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2008年高考理科数学试题及参考答案(广东卷)

绝密 ★ 启用前 试卷类型B

2008年普通高等学校招生全国统一考试 (广东卷)

数学(理科)

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.

注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试

室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.

2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.

5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:如果事件A B ,互斥,那么()()()P A B P A P B +=+.

已知n 是正整数,则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ .

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知02a <<,复数z 的实部为a ,虚部为1,则z 的取值范围是( )

A .(15),

B .(13), C

. D

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2.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11

2

a =,420S =,则6S =( ) A .16

B .24

C .36

D .48

3.某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表1.已

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知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( C )

A .24

B .18

C .16

D .12 表1

4.若变量x y ,满足24025000x y x y x y ?+?

+?????

,,

,,≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是( )

A .90

B .80

C .70

D .40

5.将正三棱柱截去三个角(如图1所示A B C ,,分别是GHI △三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )

6.已知命题:p 所有有理数都是实数,命题:q 正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( )

A .()p q ?∨

B .p q ∧

C .()()p q ?∧?

D .()()p q ?∨?

7.设a ∈R ,若函数3ax y e x =+,x ∈R 有大于零的极值点,则( ) A .3a >-

B .3a <-

C .1

3

a >-

D .13

a <-

8.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O E ,是线段OD 的中点,AE 的延长线与

CD 交于点F .若AC = a ,BD = b ,则AF =

( )

A .

11

42

+a b B .2133+a b

C .

11

24

+a b D .1

233

+

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a b 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~12题) 9.阅读图3的程序框图,若输入4m =,6n =,则输出 a = ,i = .

(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”) 10.已知26

(1)kx +(k 是正整数)的展开式中,8

x 的系数小于 120,则k = .

11.经过圆2220x x y ++=的圆心C ,且与直线0x y +=垂直

的直线方程是 .

12.已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-,x ∈R ,则()f x 的最小正周期是 .

E F D

I

A H G

B

C E

F D A

B C

侧视 图1

图2 B

E

A .

B

E

B . B

E

C .

B

E

D .

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图4

二、选做题(13—15题,考生只能从中选做两题)

13.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线12C C ,的极坐标方程分别为cos 3ρθ=,

π4cos 002

ρθρθ?

?

=< ??

?

,≥≤,则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 .

14.(不等式选讲选做题)已知a ∈R ,若关于x 的方程21

04

x x a a ++-

+=有实根,则a 的取值范围是 .

15.(几何证明选讲选做题)已知PA 是圆O 的切线,切点为A ,2PA =.AC 是圆O 的直径,PC 与圆O 交于点B ,1PB =,则圆O 的半径R = .

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分)

已知函数()sin()(00π)f x A x A ??=+><<,

,x ∈R 的最大值是1,其图像经过点π132M ?? ???

,. (1)求()f x 的解析式;

(2)已知π02αβ??∈ ??

?

,,,且3()5f α=

,12()13

f β=,求()f αβ-的值.

17.(本小题满分13分)

随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为ξ. (1)求ξ的分布列;

(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望);

(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少? 18.(本小题满分14分)

设0b >,椭圆方程为22

2212x y b b

+=,抛物线方程为28()x y b =-.如图4所示,过点(02)F b +,作x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G ,已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的

右焦点1F .

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;

(2)设A B ,分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P ,使得ABP △为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标). 19.(本小题满分14分)

设k ∈R ,

函数1

11()1x x f x x ?

-=???

,≥,()()F x f x kx =-,

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x ∈R ,试讨论函数()F x 的单调性. 20.(本小题满分14分)

如图5所示,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形,其中BD 是圆的直径,60ABD ∠=

,45BDC ∠=

,PD 垂直底面ABCD ,

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分别是PB CD ,上的点,且PE DF

EB FC

=,过点E 作BC 的平行线交(1)求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值; (2)证明:EFG △是直角三角形;

(3)当1

2

PE EB =时,求EFG △的面积. 21.(本小题满分12分)

设p q ,为实数,αβ,是方程2

0x px q -+=的两个实根,数列{}n x 满足1x p =,

22x p q =-,12n n n x px qx --=-(34n =,

,…). (1)证明:p αβ+=,q αβ=; (2)求数列{}n x 的通项公式; (3)若1p =,1

4

q =,求{}n x 的前n 项和n S .

图5

绝密★启用前 试卷类型B

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数学(理科)参考答案

一、选择题:C D C C A D B B 1.C 【解析】12+=

a z ,而20<

2.D 【解析】20624=+=d S ,3=∴d ,故481536=+=d S

3.C 【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人,那么三年级的学生的人数应该是5003703803773732000=----,即总体中各个年级的人数比例为2:3:3,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为168

2

64=? 4.C 5.A

6.D 【解析】不难判断命题p 为真命题,命题q 为假命题,从而上述叙述中只有()()p q ?∨?

为真命题

7.B 【解析】'()3ax f x ae =+,若函数在x R ∈上有大于零的极值点,即'()30ax f x ae =+=有正根。当有'()30ax f x ae =+=成立时,显然有0a <,此时13

ln()x a a

=-,由0x >我们马上就能得到参数a 的范围为3a <-。

8.B

二、填空题: 9.【解析】要结束程序的运算,就必须通过n 整除a 的条件运算,而同时m 也整除a ,那么a 的最小值应为m 和n 的最小公倍数12,即此时有3i =。

10.【解析】26(1)kx +按二项式定理展开的通项为22166()r r r r r

r T C kx C k x +==,我们知道8

x 的系数为444615C k k =,即4

15120k <,也即4

8k <,而k 是正整数,故k 只能取1。

11.【解析】易知点C 为(1,0)-,而直线与0x y +=垂直,我们设待求的直线的方程为

y x b =+,将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =,故待求的直线的方程为10x y -+=。

12.【解析】21cos 211

()sin sin cos sin 2)2242

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x f x x x x x x π-=-=-=-+,故函数的最小正周期22

T π

π=

=。 二、选做题(13—15题,考生只能从中选做两题)

13.【解析】由cos 3(0,0)4cos 2ρθπρθρθ=?

≥≤

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??=

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??

)6π。 14.10,4

??

????

15.【解析】依题意,我们知道PBA PAC ?? ,由相似三角形的性质我们有

2PA PB

R

AB

=,

即2PA AB R PB ?===

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三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.解:(1)依题意有1A =,则()s i n ()f x x ?=+,将点1

(

,)32M π代入得1

sin()32

π?+=,而0?π<<,536π

?π∴

+=,2π?∴=,故()sin()cos 2

f x x x π

=+=;

(2)依题意有312cos ,cos 513αβ==,而,(0,2

π

αβ∈,

45

sin ,sin 513

αβ∴====,

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3124556

()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=?+?=。

17.解:(1)ξ的所有可能取值有6,2,1,-2;

126(6)0.63200P ξ===,50

(2)0.25200

P ξ=== 20(1)0.1200P ξ===,4

(2)0.02200

P ξ=-==

故ξ的分布列为:

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(2)60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=?+?+?+-?= (3)设技术革新后的三等品率为x ,则此时1件产品的平均利润为

()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =?+?---+-?=-≤≤

依题意,() 4.73E x ≥,即4.76 4.73x -≥,解得0.03x ≤ 所以三等品率最多为3%

18.解:(1)由2

8()x y b =-得2

18

y x b =

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+, 当2y b =+得4x =±,∴G 点的坐标为(4,2)b +,

1

'4

y x =

, 4'|1x y ==, 过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-, 令0y =得2x b =-,1F ∴点的坐标为(2,0)b -, 由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ,2b b ∴-=即1b =,

即椭圆和抛物线的方程分别为2

212

x y +=和28(1)x y =-; (2) 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,

∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ?只有一个,同理∴以PBA ∠为直角的Rt ABP ?只有一个。 若以APB ∠为直角,设P 点坐标为2

1(,

1)8

x x +,A 、B

两点的坐标分别为(

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和,

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222421152(1)108644

PA PB x x x x =-++=+-= 。

关于2

x 的二次方程有一大于零的解,x ∴有两解,即以APB ∠为直角的Rt ABP ?有两个, 因此抛物线上存在四个点使得ABP ?为直角三角形。

19.解:

1,1,1()(),1,kx x x F x f x kx kx x ?-

,21,1,(1)'(),

1,

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k x x F x k x ?-

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()(1)1F x kx x x =-<-,

当0k ≤时,函数()F x 在(,1)-∞上是增函数;

当0k >时,函数()F x

在(,1-∞

上是减函数,在(1上是增函数;

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对于()(1)F x k x =≥,

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当0k ≥时,函数()F x 在[)1,+∞上是减函数;

当0k <时,函数()F x 在211,14k ??+???

?上是减函数,在211,4k ??++∞????上是增函数。 20.解:(1)在Rt BAD ?中,

60ABD ∠=

,,AB R AD ∴==

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而PD 垂直底面ABCD

,PA =

=

P G E

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A D

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PB===,

在PAB

?中,222

PA AB PB

+=,即PAB

?为以PAB

∠为直角的直角三角形。

设点D到面PAB的距离为H,

P ABD D PAB

V V

--

=有PA AB H AB AD PD

=

,

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AD PD

H

PA

==

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sin

H

BD

θ==;

(2)//,PE PG

EG BC

EB GC

∴=,而

PE DF

EB FC

=,

即,//

PG DF

GF PD

GC DC

=∴,GF BC

∴⊥,GF EG

∴⊥,EFG

∴?是直角三角形;(3)

1

2

PE

EB

=时

1

3

EG PE

BC PB

==,

2

3

GF CF

PD CD

==,

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1122

2cos45,

3333

EG BC R R GF PD

==???===?=,

EFG

∴?

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的面积2

114

229

EFG

S EG GF R

?

===

21.解:(1)由求根公式,不妨设<

αβ

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,得==

αβ

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∴+==p

αβ

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,==q

αβ

(2)设

112

()

---

-=-

n n n n

x sx t x sx,则

12

()

--

=+-

n n n

x s t x stx,由

12

n n n

x px qx

--

=-

得,

+=

?

?

=

?

s t p

st q

,消去t,得20

-+=

s ps q,∴s是方程20

x px q

-+=的根,

由题意可知,

12

,

==

s s

αβ

①当≠

αβ时,此时方程组+=

?

?

=

?

s t p

st q

的解记为12

12

==

??

??

==

??

s s

t t

αα

ββ

112

(),

---

∴-=-

n n n n

x x x x

αβα

112

(),

---

-=-

n n n n

x x x x

βαβ

即{}

11-

-

n n

x t x、{}

21-

-

n n

x t x分别是公比为

1

=

sα、

2

=

sβ的等比数列,

由等比数列性质可得2

121

()-

-

-=-n

n n

x x x x

ααβ,2

121

()-

-

-=-n

n n

x x x x

ββα,

两式相减,得2212121()()()----=---n n n x x x x x βααββα

221,=-= x p q x p ,222∴=++x αβαβ,1=+x αβ

22221()--∴-== n n n x x αββββ,22221()---== n n n x x βαααα

1()-∴-=-n n

n x βαβα,即1--∴=

-n

n

n x βαβα

,11++-∴=-n n n x βαβα ②当=αβ时,即方程20x px q -+=有重根,240∴-=p q , 即2()40+-=s t st ,得2()0,-=∴=s t s t ,不妨设==s t α,由①可知

2121()---=-n n n x x x x ααβ,= αβ,2121()--∴-=-=n n n n x x x x αααα

即1-∴=+n n n x x αα,等式两边同时除以n

α,得

1

1

1--=

+n

n n

n x x α

α

,即

1

1

1---

=n

n n

n x x α

α

∴数列{}n n x

α是以1为公差的等差数列,12(1)111∴=+-?=+-=+n n x x n n n αααα

∴=+n n n x n αα

综上所述,11

,(),()++?-≠?=-??+=?

n n n

n n x n βααββααααβ (3)把1p =,14q =

代入2

0x px q -+=,得2104-+=x x ,解得12

==αβ 11

()()22

∴=+ n n n x n

23231

1111111()()()...()()2()3()...()2

2222222n n n S n ????=+++++++++ ? ?????

2311

1111()()2()3()...()22

222n n n ??=-+++++ ???

111111()2()()3(3)()2222

n n n n n n -=-+--=-+