绝密 ★ 启用前 试卷类型B

2008年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷）

数学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试

室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．

已知n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ ．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）

A ．(15)，

B ．(13)， C

． D

．

2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11

2

a =，420S =，则6S =（ ） A ．16

B ．24

C ．36

D ．48

3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已

知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）

A ．24

B ．18

C ．16

D ．12 表1

4．若变量x y ，满足24025000x y x y x y ?+?

+?????

，，

，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ ）

A ．90

B ．80

C ．70

D ．40

5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

6．已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）

A ．()p q ?∨

B ．p q ∧

C ．()()p q ?∧?

D ．()()p q ?∨?

7．设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >-

B ．3a <-

C ．1

3

a >-

D ．13

a <-

8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与

CD 交于点F ．若AC = a ，BD = b ，则AF =

（ ）

A ．

11

42

+a b B ．2133+a b

C ．

11

24

+a b D ．1

233

+

a b 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~12题） 9．阅读图3的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出 a = ，i = ．

（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”） 10．已知26

(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8

x 的系数小于 120，则k = ．

11．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直

的直线方程是 ．

12．已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ．

E F D

I

A H G

B

C E

F D A

B C

侧视 图1

图2 B

E

A ．

B

E

B ． B

E

C ．

B

E

D ．

图4

二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）

13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，

π4cos 002

ρθρθ?

?

=< ??

?

，≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 ．

14．（不等式选讲选做题）已知a ∈R ，若关于x 的方程21

04

x x a a ++-

+=有实根，则a 的取值范围是 ．

15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R = ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）

已知函数()sin()(00π)f x A x A ??=+><<，

，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ?? ???

，． （1）求()f x 的解析式；

（2）已知π02αβ??∈ ??

?

，，，且3()5f α=

，12()13

f β=，求()f αβ-的值．

17．（本小题满分13分）

随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ． （1）求ξ的分布列；

（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 18．（本小题满分14分）

设0b >，椭圆方程为22

2212x y b b

+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图4所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的

右焦点1F ．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． 19．（本小题满分14分）

设k ∈R ，

函数1

11()1x x f x x ?

-=???

，≥，()()F x f x kx =-，

x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性． 20．（本小题满分14分）

如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=

，45BDC ∠=

，PD 垂直底面ABCD ，

分别是PB CD ，上的点，且PE DF

EB FC

=，过点E 作BC 的平行线交（1）求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值； （2）证明：EFG △是直角三角形；

（3）当1

2

PE EB =时，求EFG △的面积． 21．（本小题满分12分）

设p q ，为实数，αβ，是方程2

0x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，

22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，

，…）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，1

4

q =，求{}n x 的前n 项和n S ．

图5

绝密★启用前 试卷类型B

2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)参考答案

一、选择题：C D C C A D B B 1．C 【解析】12+=

a z ，而20<

2．D 【解析】20624=+=d S ，3=∴d ，故481536=+=d S

3．C 【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是5003703803773732000=----，即总体中各个年级的人数比例为2:3:3，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为168

2

64=? 4．C 5．A

6．D 【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有()()p q ?∨?

为真命题

7．B 【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30ax f x ae =+=有正根。当有'()30ax f x ae =+=成立时，显然有0a <，此时13

ln()x a a

=-，由0x >我们马上就能得到参数a 的范围为3a <-。

8．B

二、填空题： 9．【解析】要结束程序的运算，就必须通过n 整除a 的条件运算，而同时m 也整除a ，那么a 的最小值应为m 和n 的最小公倍数12，即此时有3i =。

10．【解析】26(1)kx +按二项式定理展开的通项为22166()r r r r r

r T C kx C k x +==，我们知道8

x 的系数为444615C k k =，即4

15120k <，也即4

8k <，而k 是正整数，故k 只能取1。

11．【解析】易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的直线的方程为

y x b =+，将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =，故待求的直线的方程为10x y -+=。

12．【解析】21cos 211

()sin sin cos sin 2)2242

x f x x x x x x π-=-=-=-+，故函数的最小正周期22

T π

π=

=。 二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）

13．【解析】由cos 3(0,0)4cos 2ρθπρθρθ=?

≥≤

??=

??

)6π。 14．10,4

??

????

15．【解析】依题意，我们知道PBA PAC ?? ,由相似三角形的性质我们有

2PA PB

R

AB

=,

即2PA AB R PB ?===

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．解：（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ?=+，将点1

(

,)32M π代入得1

sin()32

π?+=，而0?π<<，536π

?π∴

+=，2π?∴=，故()sin()cos 2

f x x x π

=+=；

（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,2

π

αβ∈，

45

sin ,sin 513

αβ∴====，

3124556

()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=?+?=。

17．解：（1）ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；

126(6)0.63200P ξ===，50

(2)0.25200

P ξ=== 20(1)0.1200P ξ===，4

(2)0.02200

P ξ=-==

故ξ的分布列为：

（2）60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=?+?+?+-?= （3）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为

()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =?+?---+-?=-≤≤

依题意，() 4.73E x ≥，即4.76 4.73x -≥，解得0.03x ≤ 所以三等品率最多为3%

18．解：（1）由2

8()x y b =-得2

18

y x b =

+， 当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，

1

'4

y x =

， 4'|1x y ==， 过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-， 令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -， 由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ，2b b ∴-=即1b =，

即椭圆和抛物线的方程分别为2

212

x y +=和28(1)x y =-； （2） 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,

∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ?只有一个，同理∴以PBA ∠为直角的Rt ABP ?只有一个。 若以APB ∠为直角，设P 点坐标为2

1(,

1)8

x x +，A 、B

两点的坐标分别为(

和，

222421152(1)108644

PA PB x x x x =-++=+-= 。

关于2

x 的二次方程有一大于零的解，x ∴有两解，即以APB ∠为直角的Rt ABP ?有两个， 因此抛物线上存在四个点使得ABP ?为直角三角形。

19．解：

1,1,1()(),1,kx x x F x f x kx kx x ?-

，21,1,(1)'(),

1,

k x x F x k x ?-

()(1)1F x kx x x =-<-，

当0k ≤时，函数()F x 在(,1)-∞上是增函数；

当0k >时，函数()F x

在(,1-∞

上是减函数，在(1上是增函数；

对于()(1)F x k x =≥，

当0k ≥时，函数()F x 在[)1,+∞上是减函数；

当0k <时，函数()F x 在211,14k ??+???

?上是减函数，在211,4k ??++∞????上是增函数。 20．解：（1）在Rt BAD ?中，

60ABD ∠=

，,AB R AD ∴==

而PD 垂直底面ABCD

，PA =

=

P G E

A D

PB===,

在PAB

?中，222

PA AB PB

+=,即PAB

?为以PAB

∠为直角的直角三角形。

设点D到面PAB的距离为H,

由

P ABD D PAB

V V

--

=有PA AB H AB AD PD

=

,

即

AD PD

H

PA

==

，

sin

H

BD

θ==;

(2)//,PE PG

EG BC

EB GC

∴=,而

PE DF

EB FC

=,

即,//

PG DF

GF PD

GC DC

=∴,GF BC

∴⊥，GF EG

∴⊥,EFG

∴?是直角三角形；（3）

1

2

PE

EB

=时

1

3

EG PE

BC PB

==,

2

3

GF CF

PD CD

==,

即

1122

2cos45,

3333

EG BC R R GF PD

==???===?=,

EFG

∴?

的面积2

114

229

EFG

S EG GF R

?

===

21．解：（1）由求根公式，不妨设<

αβ

，得==

αβ

∴+==p

αβ

，==q

αβ

（2）设

112

()

---

-=-

n n n n

x sx t x sx，则

12

()

--

=+-

n n n

x s t x stx，由

12

n n n

x px qx

--

=-

得，

+=

?

?

=

?

s t p

st q

，消去t，得20

-+=

s ps q，∴s是方程20

x px q

-+=的根，

由题意可知，

12

,

==

s s

αβ

①当≠

αβ时，此时方程组+=

?

?

=

?

s t p

st q

的解记为12

12

==

??

??

==

??

s s

t t

αα

ββ

或

112

(),

---

∴-=-

n n n n

x x x x

αβα

112

(),

---

-=-

n n n n

x x x x

βαβ

即{}

11-

-

n n

x t x、{}

21-

-

n n

x t x分别是公比为

1

=

sα、

2

=

sβ的等比数列，

由等比数列性质可得2

121

()-

-

-=-n

n n

x x x x

ααβ,2

121

()-

-

-=-n

n n

x x x x

ββα,

两式相减，得2212121()()()----=---n n n x x x x x βααββα

221,=-= x p q x p ，222∴=++x αβαβ，1=+x αβ

22221()--∴-== n n n x x αββββ，22221()---== n n n x x βαααα

1()-∴-=-n n

n x βαβα，即1--∴=

-n

n

n x βαβα

，11++-∴=-n n n x βαβα ②当=αβ时，即方程20x px q -+=有重根，240∴-=p q ， 即2()40+-=s t st ，得2()0,-=∴=s t s t ，不妨设==s t α，由①可知

2121()---=-n n n x x x x ααβ，= αβ，2121()--∴-=-=n n n n x x x x αααα

即1-∴=+n n n x x αα，等式两边同时除以n

α，得

1

1

1--=

+n

n n

n x x α

α

，即

1

1

1---

=n

n n

n x x α

α

∴数列{}n n x

α是以1为公差的等差数列，12(1)111∴=+-?=+-=+n n x x n n n αααα

∴=+n n n x n αα

综上所述，11

,(),()++?-≠?=-??+=?

n n n

n n x n βααββααααβ （3）把1p =，14q =

代入2

0x px q -+=，得2104-+=x x ，解得12

==αβ 11

()()22

∴=+ n n n x n

23231

1111111()()()...()()2()3()...()2

2222222n n n S n ????=+++++++++ ? ?????

2311

1111()()2()3()...()22

222n n n ??=-+++++ ???

111111()2()()3(3)()2222

n n n n n n -=-+--=-+