2012年上海市复兴高级中学高三年级第一学期数学试卷 （函数练习1）
一、填空题（56分）：
1、若集合2{560}A x x x =-+≤，集合},02{Z a ax x B ∈=-=，且A B ?，则实数a =
2、函数()()lg 43
x f x x -=
-的定义域 3、函数sin 2cos 2y x x =+的递增区间
4、已知1
sin()3πα+= ,02πα??
∈- ???
则tan α= 5、已知函数()2x
f x m =+的反函数为()1
f
x -。若1
()y f
x -=
的图像经过（5，2）
， 则实数m 的值
6、设()f x 是定义在R 上且以3为周期的奇函数，若(1)1f ≤，23(2)1
a f a -=+，
则实数a 的取值范围是 7、函数
1
2(0,1)x y a
a a +=->≠的图象恒过定点A,若点A 在直线0
1=++ny mx 上，其中0m n >、，则
n
m 21+的最小值为
8、在△ABC 中，若1=b ,3=
c , 3
2π=
∠C ,则______=?ABC S
.
9、若数()f x x a =+-a 10、已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x R ∈，有()f x m x ≤， 则称函数()f x 为F -函数.给出下列函数： ①2
()f x x =；②2
()1
x f x x =
+；③()2x
f x =；④()sin 2f x x =.其中是F -函数的序号为
11、手机产业的发展催生了网络新字“孖”。某学生准备在计算机上作出其对应的图像， 其中(2,2)A ，如图所示；在作曲线段AB 时，该学生想把函数]2,0[,21
∈=x x y
的
图像作适当变换，得到该段函数的曲线。请写出曲线段AB 在[23]x ∈，上对应的
函数解析式______.
12、若对任意,x A y B ∈∈，（,A RB R ??
）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)f x y 为
关于,x y 的二元函数。定义：满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数,x y 的广义“距离”:
(1)非负性：(,)0f x y ≥,当且仅当x y =时取等号; (2)对称性：(,)(,)f x y f y x =; (3)三角形不等式：(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立．给出三个二元函数:
①2
(,)()f x y x y =-;②(,)f x y x
y =-; ③(,)f x y =
．
请选出所有能够成为关于,x y 的广义“距离”的序号_____
13、设函数()(),f g x x 的定义域分别为,f g D D ，且f
g
D D ü。若对于任意f x D ∈，
都有()()g f x x =，则称函数()g x 为()f x 在g D 上的一个延拓函数。设()()20x f x x =≤，
()g x 为()
f x 在R 上的一个延拓函数，且()
g x 是偶函数，则()g x =
14、 设5021,...,a a a 是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若,9...5021=+++a a a 且
,107)1()1()1(2
502
22
1=++???++++a a a 则5021,...,a a a 中有0的个数为
二、选择题（20分）：
15、x R ∈， 211x x <-<“”是“”的
）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充分且必要条件
D 、既不充分也不必要条件
16. 在△A B C 中，若
01
sin cos 2sin =C
B A ，则△A B
C 的形状为 ( )
（A ）等腰三角形.（B ）直角三角形.（C ）等腰直角三角形. （D ）等腰三角形或直角三角形. 17、在一次研究性学习中，老师给出函数()()1x f x x R x
=
∈+，三位同学甲、乙、丙在
研究此函数时给出命题：甲：函数()f x 的值域为[]1,1-；
乙：若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠丙：若规定11()(),()(())n n f x f x f x f f x -==， 则()1n x f x n x
=
+ 对任意n N *
∈恒成立。你认为上述三个命题中不正确的个数有 （ ）
A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个
A
D
C
B 300
45?
18、已知函数12,02
()122,12
x x f x x x ?
≤≤??=??-<≤??，且1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，1,2,3,n = .
则满足方程()n f x x =的根的个数为（ ）A .2n 个 B .22n 个 C .2n 个 D .2(21)n
-个
三、解答题（74分）：
19.（本小题满分12分）第1小题满分4分，第2小题满分8分。
记{}n a a a ,,,max 21 为实数组n a a a ,,,21 中最大的数；{}n a a a ,,,min 21 为 实数组n a a a ,,,21 中最小的数。已知函数{}2 ,1 ,max )(-=x x x f ，函数
{}2 ,1 ,min )(-=x x x g ，它们的定义域都是{}30<（1） 求)5.1()5.1(g f -的值； （2）求函数)()(x g x f -的解析式，并画出它的图像。
20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 如图，某海滨浴场的岸边可近似地看作直线AD ，救生员现在岸边的A 处，发现海中的B 处有人求救，救生员没有直接从A 处游向B 处，而是沿岸边A 跑到离B 最近的D 处，然后游向B 处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在游水中的行进速度为2米/秒，且45BAD ∠=?，
300BD =米．
（1）分析救生员的选择是否正确；
（2）在AD 上找一点C ，使救生员从A 经C 到B 的时间为t ．
根据下列提示任选其一．．．．或另选自变量．．．．．．
写出t 表示成自变量的函数关系式： ①设C BD θ∠=，将t 表示成θ的函数关系式； ②设)(km x CD =，将t 表示成x 的函数关系式；
21、(本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分. 定义区间(),m n ，[],m n ，(],m n ，[),m n 的长度均为n m -，其中n m >．
①若关于x 的不等式2
21230ax x -->
，求实数a 的值；
②求关于x
的不等式2
sin cos 0x x x +
>，[]0,2x π∈的解集构成的各区间的长度和；
③已知关于x 的不等式组()226
1,
log log 32
x x tx t ?>???++
的解集构成的各区间长度和为6，
求实数t 的取值范围．
22、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 已知函数D x x f y ∈=),(，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，
总存在非零常数T ，恒有)()(x f m T x f ?>+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T .若恒有)()(x f m T x f ?=+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类周期函数， 周期为T .
（1）已知函数ax x x f +-=2)(是[)∞+,3上的周期为1的2级类增周期函数， 求实数a 的取值范围；
（2）已知 1=T ，)(x f y =是[)∞+,0上m 级类周期函数，且)(x f y =是[)∞+,0上的 单调递增函数，当[)1,0∈x 时，x x f 2)(=，求实数m 的取值范围；
（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分， 如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分.
（Ⅰ）已知当[]4,0∈x 时，函数x x x f 4)(2-=，若)(x f 是[)∞+,0上周期为4的m 级类 周期函数，且)(x f y =的值域为一个闭区间，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k ，使函数kx x f cos )(=是R 上的周期为T 的T 级类周期函数， 若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由.
23、（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第 3小题满分8分.
一个函数()f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”．
（1）判断(
)1f x =
，()2f x x =，()2
3f x x =中，哪些是“三角形函数”，
哪些不是，并说明理由；
（2）如果()g x 是定义在R 上的周期函数，且值域为()0,+∞，证明()g x 不是“三角形函数”；
（3）（文）若函数()sin F x x =，x ∈()0,A ，当56
A π>
时，()F x 不是“三角形函数”
（3）（理）若函数()sin F
x x =，x ∈()0,A 是“三角形函数”，
求A 的最大值．（可以利用公式sin sin 2sin
cos
2
2
x y x y x y +-+=
A D
C B
300
45?
2012年上海市复兴高级中学高三年级第一学期数学试卷（函数内容）答案
1、0或1
2、{}43x x x <≠且
3、3,()88k k k ππππ?
?
-
+
∈Z ?
???
4
、4
-
5、1
6、213
a a <-≥
或 7、
13+ 8.
4
3
9.10． ②④）11.
1
2
22y x =
-+）
12．② 13、()g x =2x
- 14. 2026 15、B 16. A 17、B 18． C
19．解：（1）{}22,5.0,5.1max )5.1(==f ，{}5.02,5.0,5.1min )5.1(==g ，
所以5.1)5.1()5.1(=-g f .
（2）在直角坐标系中，作出定义域都是{}30<x y =1， 12-=x y ，23=y 的图像。
如图，得??
?<<<<=.
32,
,20,
2)(x x x x f
??????
?
<<-≤<=.
321,1,2
10,)(x x x x x g ???
?
??
??
?
<<≤<-≤<+≤<-=-.32,1,21,3,12
1,1,210,2)()(x x x x x x x x g x f
注：本题也可以用)2
1(2)1(2
2-
=--x x x ，
)1)(3(2)1(2
2
+-=--x x x ，以此产生分界点
2,21.
批改时建议直接按)()(x g x f -的结论分段给分。
20．解：（1）直接A 从处游向B
处时间为1AB t v =
=游水
（秒）
， 从A 经D 到B 处的时间为2200AD D B t v v =
+
=跑
游水
（秒）
，
易知200>，即12t t >，所以，救生员选择“从A 经D 到B 处”是正确的． （2）设C BD θ∠=，则(0,)4θπ
∈，300cos BC θ
=
，300300tan AC θ=-，从A 经C 到B 处的时
间为
(0,)4
θπ
∈设)(km x CD =，
则)300,0(∈x x AC -=300，2
2
300
x BC +=
从A 经C 到B 处的时间为 2
300
6
3002
2
x
x t ++
-=
)300,0(∈x
21．【解】（1）0a =时不合题意； 0a ≠时，方程221230ax x --=的两根设为1x 、2x ， 则126x x a
+=
，1232x x a
=-
，由题意知()2
2
12
12122
36664x x x x x x a
a
=-=+-=
+
，
解得2a =-或3a =（舍），所以2a =- （2
）因为2
sin cos x x x
+
)
1sin 21cos 22
2
x x =
+
+sin 232x π?
?=++ ??
?，
原不等式即
为s i n 2
32
x π?
?
+>- ??
?，[]0,2x π∈ 不
等式sin 232
x π??
+
>- ??
?的解集为,32x k x k k ππππ??-<<+∈????
Z ， 所以原不等式的解集为2350,,,22323πππππ??????
? ? ???????? 各区间的长度和为53
π （3）先解不等式
61x
>，整理得
60x x
->，即()60x x -<
所以不等式
61x
>的解集()0,6A = 设不等式()22log log 32x tx t ++<的解集为B ，
不等式组的解集为A B ?不等式()22log log 32x tx t ++>等价于2
030340
x tx t tx tx ?>?
+>??+-
又()0,6A B ? ，不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组230
340
tx t tx tx +>??+-
当()0,6x ∈时，恒成立 ;当()0,6x ∈时，不等式30tx t +>恒成立，得0t >; 当()0,6x ∈时，不等式2
340tx tx +-<恒成立，即2
43t x x
<
+恒成立;
当()0,6x ∈时，
2
43x x
+的取值范围为2
,27??
+∞
???
，所以实数227t ≤. 综上所述，t 的取值范围为20,27?
? ???
22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分
已知函数D x x f y ∈=),(，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有)()(x f m T x f ?>+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T .若恒有)()(x f m T x f ?=+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类周期函数， 周期为T .
（1）已知函数ax x x f +-=2)(是[)∞+,3上的周期为1的2级类增周期函数， 求实数a 的取值范围；
（2）已知 1=T ，)(x f y =是[)∞+,0上m 级类周期函数，且)(x f y =是[)∞+,0上的单调递增函数，当[)1,0∈x 时，x
x f 2)(=，求实数m 的取值范围；
（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分.
（Ⅰ）已知当[]4,0∈x 时，函数x x x f 4)(2
-=，若)(x f 是[)∞+,0上周期为4的m 级类周期函数，且)(x f y =的值域为一个闭区间，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k ，使函数kx x f cos )(=是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，
求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由.
22、解：（1）由题意可知： )(2)1(x f x f >+， 即)(2)1()1(2
2ax x x a x +->+++-对一切
[)∞+,3恒成立， ()1212
--<
-x x a x ，
∵3x
≥∴1
122
---<
x x x a
()1
2
12
---=
x x ()1
21--
-=x x ，
令t x =-1，则[)∞+∈,2t ，t
t t g 2)(-
=在[)∞+,2上单调递增，∴1)2()(min ==g t g ，
∴1m 且()1122----?≥?n n n n n n m m ，即2≥m .
（3）问题（Ⅰ）∵当[]4,0∈x 时，[]0,4-∈y ，且有)()4(x mf x f =+， ∴当[]4,44,x n n n Z ∈+∈时，
)4()4()(n x f m x mf x f n -==-= =()()[]
n x n x m n
4442
---，
当10≤m 时，(]0,)(∞-∈x f ；
当1-又∵[]1,1)cos(-∈+kT kx ，故要使kx T T x k cos )(cos =+恒成立，只有1±=T ， 当1=T 时，kx k kx cos )cos(=+ 得到 πn k 2=，Z n ∈且0≠n ；
当1-=T 时，kx k kx cos )cos(-=- 得到 ππ+=-n k 2，即π)12(+=n k ，Z n ∈； 综上可知：当1=T 时，πn k 2=，Z n ∈；当1-=T 时，π)12(+=n k ，Z n ∈。
23、（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第 3小题满分8分.
一个函数()f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”． （1）判断(
)1f x =，()2f x x =，()2
3f x x =中，哪些是“三角形函数”，哪些不
是，并说明理由；
（2）如果()g x 是定义在R 上的周期函数，且值域为()0,+∞，证明()g x 不是“三角形函数”； （3）（文）若函数()sin F x x =，x ∈()0,A ，当56
A π>时，()F x 不是“三角形函数”
（3）（理）若函数()sin F
x x =，x ∈()0,A 是“三角形函数”，
求A 的最大值．（可以利用公式sin sin 2sin
cos
2
2
x y x y x y +-+=）
23.解：（1）()()12,f x f x 是“三角形函数”()3f x 不是“三角形函数”任给三角形，设它的三边长分别为,,a b c ，则a b c +>，不妨假设,a c b
c 剟
，由于
0>
>
>，
所以()()12,f x f x 是“三角形函数”. 对于()3f x ，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但
222
335+<，所以不存在三角形以2223,3,5为三边长，故()3f x 不是“三角形函数”．
（2）设0T >为()g x 的一个周期，由于其值域为()0,+∞，所以，存在0n m >>，使得()()1,2g m g n ==，取正整数n m T
λ->
，可知,,T m T m n λλ++这三个数可作为一个三
角形的三边长，但()1g T m λ+=，()()1,2g T m g n λ+==不能作为任何一个三角形的三边长．故()g x 不是“三角形函数”． （3）（文）当56
A π>
，下证()F x 不是“三角形函数”.取
()55,
,
0,266
A πππ
∈，显然这三个数可
作为一个三角形的三边长，但5151
s i n
1,s i n ,s i n 2
62
62
π
ππ=
==不能作为任何一个三角形的三边长，故()F x 不是“三角形函数” （3）（理）A 的最大值为56
π 一方面，若56
A π>
，下证()F x 不是“三角形函数”.
取
()55,,0,266
A πππ
∈，显然这三个数可作为一个三角形的三边长， 但5151sin
1,sin
,sin
2
6262
π
ππ===不能作为任何一个三角形的三边长，故()F x 不是“三角形
函数”.另一方面，以下证明56A π=
时，()F x 是“三角形函数”．
对任意三角形的三边,,a b c ，若5,,(0,
)6
a b c π∈，则分类讨论如下：
（1）2a b c π++…，此时5522663
a b c πππ
ππ-->--=
…，同理，,3
b c π
>
，
∴5,,(
,)36
a b c ππ
∈故1sin ,sin ,sin (
,1]2
a b c ∈，11sin sin 1sin 22
a b c +>+=…．
同理可证其余两式.∴sin ,sin ,sin a b c 可作为某个三角形的三边长． （2）2a b c π++<此时，
2
2
a b c π++<，可得如下两种情况：
2
2
a b π
+≤
时，由于a b c +>，所以，022
2
c a b π
+<
<≤.
由sin x 在(0,
]2
π
上的单调性可得0sin sin
12
2
c a b +<<≤；
2
2
a b π
+>
时，
02
22c a b ππ
+<<-<，同样，由sin x 在0,2π??
???上的单调性可得0sin sin 122c a b +<<<； 总之，0sin
sin
122
c a b +<<≤.又由56
a b c π-<<
及余弦函数在()0,π上单调递减，得
5cos
cos
cos
cos
02
2
2
12
a b a b c π--=>>>，
∴sin sin 2sin
cos 2sin cos
sin 2
2
2
2
a b a b c c a b c +-+=>=．
同理可证其余两式，所以sin ,sin ,sin a b c 也是某个三角形的三边长．故56
A π=时，
()F x 是“三角形函数”．综上，A 的最大值为
56
π．
2012年上海市复兴高级中学高三年级第一学期数学试卷（函数部分内容）
一、填空题（56分）：
1、若集合2
{560}A x x x =-+≤，集合},02{Z a ax x B ∈=-=，且A B ?，
则实数a =__ 0或1 2、函数()()lg 43
x f x x -=
-的定义域 {}43x x x <≠且
3、函数sin 2cos 2y x x =+的递增区间 、3,()88k k k ππππ?
?-+∈Z ???
?
4、已知1
sin()3πα+= ,02πα??
∈- ???
则tan α=
4-
5、已知函数()2
x
f x m =+的反函数为()1
f
x -。若1
()y f
x -=
的图像经过（5，2）
， 则实数m 的值 1
6、设()f x 是定义在R 上且以3为周期的奇函数，若(1)1f ≤，23(2)1
a f a -=+，
则实数a 的取值范围是 213
a a <-≥或
7、函数1
2(0,1)x y a
a a +=->≠的图象恒过定点A,若点A 在直线0
1=++ny mx 上，其中0m n >、，则
n
m 21
+的最小值为 13+
8在△ABC 中，若1=b ,3=
c , 3
2π=
∠C ,则______=?ABC S .
4
3
9．若数()f x x a =+-
a =__________.10．已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x R ∈，有()f x m x ≤， 则称函数()f x 为F -函数.给出下列函数：
①2
()f x x =；②2
()1
x f x x =
+；③()2x
f x =；④()sin 2f x x =.
其中是F -函数的序号为 . ②④）
11.手机产业的发展催生了网络新字“孖”其中(2,2)A ，如图所示；在作曲线段AB 时，该学生想把函数]2,0[,21
∈=x x y
的
图像作适当变换，得到该段函数的曲线。请写出曲线段AB 在[23]x ∈，
上对应的
函数解析式______.1
2
22y x =-+）
12．若对任意,x A y B ∈∈，（,A R B R ??）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)f x y 为关于,x y 的二元函数。定义：满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数,x y 的广义“距离”: (1)非负性：(,)0f x y ≥,当且仅当x y =时取等号;(2)对称性：(,)(,)f x y f y x =; (3)三角形不等式：(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立．给出三个二元函数:
①2
(,)()f x y x y =-;②(,)f x y
x y =-; ③(,)f x y =
．
请选出所有能够成为关于,x y 的广义“距离”的序号_____② 13、设函数()(),f g x x 的定义域分别为,f g D D ，且f
g
D D ü。若对于任意f x D ∈，都有()()g f x x =，
则称函数()g x 为()f x 在g D 上的一个延拓函数。设()()20x f x x =≤，()g x 为()f x 在R 上的一个延拓函数，且()g x 是偶函数，则()g x =
2
x
-
14. 设5021,...,a a a 是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若,9...5021=+++a a a 且
,107)1()1()1(2
502
22
1=++???++++a a a 则5021,...,a a a 中有0的个数为 2026
二、选择题（20分）：
15、x R ∈， 211x x <-<“”是“”的
B ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充分且必要条件
D 、既不充分也不必要条件 16. 在△A B C 中，若
01
sin cos 2sin =C
B A ，则△A B
C 的形状为 ( A )
（A ）等腰三角形.（B ）直角三角形.（C ）等腰直角三角形. （D ）等腰三角形或直角三角形.
A
D
C
B
300
45?
B
300
45?
17、在一次研究性学习中，老师给出函数()()1x f x x R x
=∈+，三位同学甲、乙、丙在
研究此函数时给出命题：
甲：函数()f x 的值域为[]1,1-；乙：若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠； 丙：若规定11()(),()(())n n f x f x f x f f x -==，则()1n x f x n x
=
+ 对任意n N *∈恒成立。
你认为上述三个命题中不正确的个数有-----------------（ B ） A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个
18．已知函数12,02
()122,1
2
x x f x x x ?
≤≤??=??-<≤??，且1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，1,2,3,n = .
则满足方程()n f x x =的根的个数为（ C ）
A .2n 个
B .22n 个
C .2n 个
D .2(21)n -个
三、解答题（74分）： 19.（本小题满分12分） 本题有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分。
记{}n a a a ,,,max 21 为实数组n a a a ,,,21 中最大的数；{}n a a a ,,,min 21 为 实数组n a a a ,,,21 中最小的数。
已知函数{}2 ,1 ,max )(-=x x x f ，函数{}2 ,1 ,min )(-=x x x g ， 它们的定义域都是{}30<（2） 求)5.1()5.1(g f -的值； （2）求函数)()(x g x f -的解析式，并画出它的图像。
19．解：（1）{}22,5.0,5.1max )5.1(==f ，{}5.02,5.0,5.1min )5.1(==g ， 所以5.1)5.1()5.1(=-g f .
（2）在直角坐标系中，作出定义域都是{}30<如图，得??
?<<<<=.
32,
,20,
2)(x x x x f
???
????
<<-≤<=.
321,1,2
10,)(x x x x x g
所以???
?
?
?
???
<<≤<-≤<+≤<-=-.32,1,21,3,12
1,1,210,2)()(x x x x x x x x g x f （12分）
注：本题也可以用)2
1
(2)1(22-=--x x x ，)1)(3(2)1(22+-=--x x x ，以此产生分界点
2,21
. 批改时建议直接按)()(x g x f -的结论分段给分。
20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
如图，某海滨浴场的岸边可近似地看作直线AD ，救生员现在岸边的A 处，发现海中的B 处有人求救，救生员没有直接从A 处游向B 处，而是沿岸边A 跑到离B 最近的D 处，然后游向B 处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在游水中的行进速度为2米/秒，且45BAD ∠=?，
300BD =米．
（1）分析救生员的选择是否正确；
（2）在AD 上找一点C ，使救生员从A 经C 到B 的时间为t ． 根据下列提示任选其一．．．．或另选自变量．．．．．．写出t 表示成自变量的函数关系式：
①设C BD θ∠=，将t 表示成θ的函数关系式； ②设)(km x CD =，将t 表示成x 的函数关系式；
20．解：（1）直接A 从处游向B
处时间为1AB t v =
=游水
（秒）
， 从A 经D 到B 处的时间为2200AD D B t v v =
+
=跑
游水
（秒），
易知200>，即12t t >，所以，救生员选择“从A 经D 到B 处”是正确的． （2）设C BD θ∠=，则(0,)4θπ
∈，300cos BC θ
=
，
300300tan AC θ=-，从A 经C 到B 处的时间为
(0,)4
θπ
∈设)(km x CD =，则)300,0(∈x x AC -=300，2
2
300
x BC +=
从A 经C 到B 处的时间为 2
300
6
3002
2
x
x t ++
-=
)300,0(∈x
21. (本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.
定义区间(),m n ，[],m n ，(],m n ，[),m n 的长度均为n m -，其中n m >．
（1） 若关于x 的不等式221230ax x -->
的解集构成的区间的长度为，求实数a 的值； （2） 求关于x
的不等式2
sin cos 0x x x +
>，[]0,2x π∈的解集构成的各区间的长
度和；
（3） 已知关于x 的不等式组()226
1,
log log 32
x x tx t ?>???++
的解集构成的各区间长度和为6，
求实数t 的取值范围．
21．【解】（1）0a =时不合题意； 0a ≠时，方程221230ax x --=的两根设为1x 、2x ， 则126x x a
+=
，1232x x a
=-
，由题意知()2
2
12
12122
36664x x x x x x a
a
=-=+-=
+
，
解得2a =-或3a =（舍），所以2a =-
（2
）因为2
sin cos x x x
+)1sin 21cos 222x x =+
+sin 232x π??=++ ???， 原不等式即
为s i n 232x π??+>- ???，[]0,2x π∈ 不
等式sin 232x π??+>- ???
的解集为,32x k x k k ππππ??-<<+∈????
Z ， 所以原不等式的解集为2350,,,22323πππππ??????? ? ???????? 各区间的长度和为53
π （3）先解不等式
61x
>，整理得
60x x
->，即()60x x -<
所以不等式
61x
>的解集()0,6A = 设不等式()22log log 32x tx t ++<的解集为B ，
不等式组的解集为A B ?不等式()22log log 32x tx t ++>等价于2
030340
x tx t tx tx ?>?
+>??+-
又()0,6A B ? ，不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组230
340
tx t tx tx +>??+-
当()0,6x ∈时，恒成立 ;当()0,6x ∈时，不等式30tx t +>恒成立，得0t >; 当()0,6x ∈时，不等式2340tx tx +-<恒成立，即2
43t x x
<+恒成立;
当()0,6x ∈时，
2
43x x
+的取值范围为2
,27??
+∞
???
，所以实数227t ≤. 综上所述，t 的取值范围为20,
27?
?
??
?
22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分
已知函数D x x f y ∈=),(，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有)()(x f m T x f ?>+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T .若恒有)()(x f m T x f ?=+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类周期函数，周期为T .
（1）已知函数ax x x f +-=2)(是[)∞+,3上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；
（2）已知 1=T ，)(x f y =是[)∞+,0上m 级类周期函数，且)(x f y =是[)∞+,0上的单调
递增函数，当[)1,0∈x 时，x
x f 2)(=，求实数m 的取值范围；
（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分，如果你选做了
两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分.
（Ⅰ）已知当[]4,0∈x 时，函数x x x f 4)(2
-=，若)(x f 是[)∞+,0上周期为4的m 级类周
期函数，且)(x f y =的值域为一个闭区间，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k ，使函数kx x f cos )(=是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，
求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由.
解：（1）由题意可知： )(2)1(x f x f >+， 即)(2)1()1(2
2ax x x a x +->+++-对一切[)∞+,3恒成立， ()1212
--<-x x a x ， ∵3
x
≥∴1
122
---<
x x x a ()1
2
12
---=
x x ()1
21--
-=x x ，
令t x =-1，则[)∞+∈,2t ，t
t t g 2)(-
=在[)∞+,2上单调递增，∴1)2()(min ==g t g ，
∴1n x f m x f m x mf x f n
-==-=-= n
x n m -?=2
，
即[)1,+∈n n x 时，n x n m x f -?=2)(，*n N ∈， ∵)(x f 在[)∞+,0上单调递增， ∴0>m 且()1122----?≥?n n n n n n m m ，即2≥m .
（3）问题（Ⅰ）∵当[]4,0∈x 时，[]0,4-∈y ，且有)()4(x mf x f =+， ∴当[]4,44,x n n n Z ∈+∈时，
)4()4()(n x f m x mf x f n
-==-= =()
()[]
n x n x m
n
4442
---，
当10≤m 时，(]0,)(∞-∈x f ；
当1-又∵[]1,1)cos(-∈+kT kx ，故要使kx T T x k cos )(cos =+恒成立，只有1±=T ， 当1=T 时，kx k kx cos )cos(=+ 得到 πn k 2=，Z n ∈且0≠n ；
当1-=T 时，kx k kx cos )cos(-=- 得到 ππ+=-n k 2，即π)12(+=n k ，Z n ∈； 综上可知：当1=T 时，πn k 2=，Z n ∈；当1-=T 时，π)12(+=n k ，Z n ∈。 23. （本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第 3小题满分8分.
一个函数()f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”． （1）判断(
)1f x =，()2f x x =，()2
3f x x =中，哪些是“三角形函数”，哪些不
是，并说明理由；
（2）如果()g x 是定义在R 上的周期函数，且值域为()0,+∞，证明()g x 不是“三角形函数”；
（3）（文）若函数()sin F x x =，x ∈()0,A ，当56
A π>时，()F x 不是“三角形函数”
（3）（理）若函数()sin F
x x =，x ∈()0,A 是“三角形函数”，
求A 的最大值．（可以利用公式sin sin 2sin
cos
2
2
x y x y x y +-+=）
23.解：（1）()()12,f x f x 是“三角形函数”()3f x 不是“三角形函数”任给三角形，设它的三边长分别为,,a b c ，则a b c +>，不妨假设,a c b
c 剟
，由于
0>
>
>，
所以()()12,f x f x 是“三角形函数”. 对于()3f x ，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但
222
335+<，所以不存在三角形以2223,3,5为三边长，故()3f x 不是“三角形函数”．
（2）设0T >为()g x 的一个周期，由于其值域为()0,+∞，所以，存在0n m >>，使得()()1,2g m g n ==，取正整数n m T
λ->
，可知,,T m T m n λλ++这三个数可作为一个三
角形的三边长，但()1g T m λ+=，()()1,2g T m g n λ+==不能作为任何一个三角形的三边长．故()g x 不是“三角形函数”． （3）（文）当56
A π>
，下证()F x 不是“三角形函数”.取
()55,
,
0,266
A πππ
∈，显然这三个数可
作为一个三角形的三边长，但5151
s i n
1,s i n ,s i n 2
62
62
π
ππ=
==不能作为任何一个三角形的三边长，故()F x 不是“三角形函数” （3）（理）A 的最大值为56
π 一方面，若56
A π>
，下证()F x 不是“三角形函数”.
取
()55,,0,266
A πππ
∈，显然这三个数可作为一个三角形的三边长， 但5151sin
1,sin
,sin
2
6262
π
ππ===不能作为任何一个三角形的三边长，故()F x 不是“三角形
函数”.另一方面，以下证明56A π=
时，()F x 是“三角形函数”．
对任意三角形的三边,,a b c ，若5,,(0,
)6
a b c π∈，则分类讨论如下：
（1）2a b c π++…，此时5522663
a b c πππ
ππ-->-
-=
…，同理，,3
b c π
>
，
∴5,,(
,)36
a b c ππ
∈故1sin ,sin ,sin (
,1]2
a b c ∈，11sin sin 1sin 2
2
a b c +>
+
=…．
同理可证其余两式.∴sin ,sin ,sin a b c 可作为某个三角形的三边长． （2）2a b c π++<此时，
2
2
a b c π++<，可得如下两种情况：
2
2
a b π
+≤
时，由于a b c +>，所以，022
2
c a b π
+<
<≤.
由sin x 在(0,
]2
π
上的单调性可得0sin sin
12
2
c a b +<<≤；
2
2
a b π
+>
时，
02
22c a b ππ
+<<-<，同样，由sin x 在0,2π??
???上的单调性可得0sin sin 122c a b +<<<； 总之，0sin
sin
122
c a b +<<≤.又由56
a b c π-<<
及余弦函数在()0,π上单调递减，得
5cos cos
cos
cos
02
2
2
12
a b a b c π--=>>>，
∴sin sin 2sin cos 2sin cos
sin 2
2
2
2
a b a b c c a b c +-+=>=．
同理可证其余两式，所以sin ,sin ,sin a b c 也是某个三角形的三边长．故56
A π=时，
()F x 是“三角形函数”．综上，A 的最大值为
56
π．
高中数学必修1函数的基本性质
高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）； 注意： ○ 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○ 2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1高一函数综合练习题及答案
1． 下列从A 到B 的对应中对应关系是:f x y →,能成为函数的是: *:,:3A A B N f x y x ==→=- :,:B A B R f x y ==→= {}2:,|0,:C A R B x R x f x y x ==∈>→= {}{1,0:,0,1,:0,0 x D A R B f x y x ≥==→=<. 2． 与函数y=x 有相同的图象的函数是: A. 2y = B. y = C. 2 x y x = D. y =3． 函数y =的定义域为（ ） A 、(],2-∞ B 、(],1-∞ C 、11,,222????-∞ ? ????? D 、11,,222????-∞ ? ?? ??? 4． 已知2,0(),00,0x x f x x x π?>?==??
又(8)3f =,则f =: A.12 B.1 C.12 - 9． 函数y ax b =+在[1,2]上的值域为[0,1],则a b +的值为: A.0 B.1 C.0或1 D.2 10.已知2()3([]3)2f x x =+-,其中[]x 表示不超过x 的最大整数, 如[3.1]3=,则( 3.5)f -=: A.-2 B.54- C.1 D.2 11.若一次函数()y f x =满足()91f f x x =+????,则()f x =___________. 12.已知函数()f x 的定义域为[0,1],函数2()f x 的定义域为:___________. 13.函数2()(0)f x ax a =>,如果[f f =则a =________. 14.建造一个容积为38m ,深为2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别 为120元2/m 和80 元2/m ,则总造价y 关于底面一边长x 的函数解析式为: _____________________. 15.已知函数2()1f x x x =++, (1)求(2)f x 的解析式; (2)求(())f f x 的解析式 (3)对任意x R ∈,求证1 1()()22 f x f x -=--恒成立. 16.美国的高税收是世界上出名的,生活在那里的人们总在抱怨各种税收,以工薪阶 层的个人所得税为例,以年收入17850美元为界,低于(含等于)这个数字的缴纳15% 的个人所得税,高于17850美元的缴纳28%的个人所得税. (1)年收入40000美元的美国公民交多少个人所得税?
高中函数的基本性质
一 函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到 B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． 求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中， () 2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． 二 函数的表示法 函数的表示方法：表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 映射的概念 ①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →． ② 给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 三 单调性与最大（小）值 1函数的单调性
①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈， 都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的 最大值，记作 max ()f x M =． (2) 一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈， 都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小 值，记作:()f x min = m 四 函数的奇偶性 ② 函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =． ③ 奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相
高中数学必修一函数练习题及答案
高中数学必修一函数试题 一、选择题： 1 、若()f x = (3)f = （ ） A 、2 B 、4 C 、 D 、10 2、对于函数()y f x =，以下说法正确的有 （ ） ①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()f x = 与()g x =；②()f x x = 与2 ()g x =；③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2 ()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 4、二次函数2 45y x mx =-+的对称轴为2x =-，则当1x =时，y 的值为 （ ） A 、7- B 、1 C 、17 D 、25 5 、函数y =的值域为 （ ） A 、[]0,2 B 、[]0,4 C 、(],4-∞ D 、[)0,+∞ 6、下列四个图像中，是函数图像的是 （ ） A 、（1） B 、（1）、（3）、（4） C 、（1）、（2）、（3） D 、（3）、（4） 7、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．． 的是( ) A 、()()0f x f x -+= B 、()()2()f x f x f x --=- C 、()()0f x f x -g ≤ D 、 () 1() f x f x =-- 8、如果函数2 ()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 9、设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则有 （ ） （1） （2） （3） （4）
高中数学-函数的基本性质小结
函数的基本性质【教学目标】 【教学重点】
函数的基本性质及应用 【教学难点】 函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。 【教学过程】： 一．知识整理 1．基本思想 （1）函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题，大多可用函数的观点来解决。 （2）研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质（以图象说明性质）。 2.主要问题： （1）函数图象的基本作法：a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩 （2）函数单调性的求法：a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义 （3）函数最值（或范围）的求法：a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元 f.数形结合 （4）反函数求法：①解出x =φ(y)，②调换x,y, ③写出反函数定义域 3.函数的基本性质 函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x函数，记作y = f (x)，x∈D，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 函数的相等：定义域相同，对应法则相同 函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集，即{(x,y)|y = f (x), x∈D} a.定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合 b.值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合 c.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)= f(a)，则称函数 f(x)为偶函数； 如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)=-f(a)，则称函数f(x) 为奇函数；
高一数学函数习题(练习题以及答案
一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、 _ _ _； ________； 3、若函数(1)f x +(21)f x -的定义域是 ；函数1 (2)f x +的定义域为 。 4、 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4 、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _
()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸2 1)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3 44 2 ++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3 ) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2 (2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞U D 、{2,2}- 14、函数1 ()(0)f x x x x =+ ≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数
高中数学函数经典复习题含答案
《函 数》复习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111y x x = +-+ -2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞U D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数
(完整版)高中数学函数测试题(含答案)(可编辑修改word版)
? ? ? 高中数学函数测试题 学生： 用时： 分数： 一、选择题和填空题（3x28=84 分） 1、若 a = log 3 π，b = log 7 6，c = log 2 0.8 ，则（ ） A. a > b > c 【答案】A B. b > a > c C. c > a > b D. b > c > a 【解析】利用中间值 0 和 1 来比较: a = log 3 π>1，0 < b = log 7 6 < 1，c = log 2 0.8 < 0 2、函数 f (x ) = (x -1)2 +1(x < 1) 的反函数为（ ） A ． f -1(x ) = 1+ C ． f -1(x ) = 1+【答案】B x > 1) x ≥ 1) B ． f -1(x ) = 1- D ． f -1(x ) = 1-x > 1) x ≥ 1) 【解析】 x < 1 ? y = (x -1)2 +1, ∴(x -1)2 = y -1 ? x -1 = 所以反函数为 f -1(x ) = 1-x > 1) 3、已知函数 f (x ) = x 2 - cos x ，对于?- π π ? 上的任意 x ，x ，有如下条件： ， 1 2 ? 2 2 ? ① x > x ； ② x 2 > x 2 ； ③ x > x ． 1 2 1 2 1 2 其中能使 f (x 1 ) > f (x 2 ) 恒成立的条件序号是 ． 【答案】② 【解析】函数 f (x ) = x 2 - cos x 为偶函数，则 f (x ) > f (x ) ? f (| x |) > f (| x |). 1 2 1 2 在区间?0 π ? 上, 函数 f (x ) = x 2 - cos x 为增函数， ， ? 2 ? ∴ f (| x |) > f (| x |) ?| x |>| x |? x 2 > x 2 1 2 1 2 1 2 4、已知函数 f (x ) = ?log 3 x , x > 0 ，则 f ( f (1 )) = （ ） ?2x , x ≤ 0 9 1 1 A.4 B. C.-4 D- 4 4 答案：B ?
高一数学教案：函数的基本性质
教学要求：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 教学难点：理解概念。 教学过程： 一、复习准备： 1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？ 2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？ 3. 画出函数f(x)= x ＋2、f(x)= x 2的图像。（小结描点 法的步骤：列表→描点→连线） 二、讲授新课： 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念： ①根据f(x)＝3x ＋2、 f(x)＝x 2 (x>0)的图象进行讨论： 随x 的增大，函数值怎样变化？ 当x 1>x 2时，f(x 1)与f(x 2)的大小关系怎样？ ②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？ ③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1高中数学复习函数专题练习题附答案
高中数学复习函数专题练习题附答案 (2012年栟茶高级中学高三阶段考试)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ?， （其中a b <），使得当[] x a b ∈， 时，()f x 的值域恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．如果函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数，则实数m 的取值范围 答案：3(1,)4 -- （2012年兴化）已知实数b a ,分别满足15323=+-a a a ，5532 3=+-b b b ， 则b a +的值为 ▲ . 答案：2 说明：由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数。 将已知等式变形为2)1(2)1(,2)1(2)1(3 3 =-+--=-+-b b a a ， 构造函数x x x f 2)(3 +=，这是一个单调递增的奇函数，因为2)1(,2)1(=--=-b f a f 所以)1()1()1(b f b f a f -=--=-，从而有b a -=-11，2=+b a 。 （2012年泰兴）方程在[0，1]上有实数根，则m 的最大值是 0 ； 析：可考虑,y m =与 3 3y x x =-在[0，1]上有公共点，数形结合。3(1,)4 -- 033 =--m x x
（南师附中最后一卷）已知函数f(x)＝log a (x 3－ax)(a ＞0且a ≠1)，如果函数f(x)在区间????－1 2，0内单调递增，那么a 的取值范围是____________． 答案：???? 34，1 （泰州期末）13．设实数1≥a ，使得不等式a a x x ≥+ -2 3 ，对任意的实数[]2,1∈x 恒成立，则满足条件的实数a 的范围是 . 解析：本题考查不等式的解法，数形结合。 当32a ≤ 时，不等式a a x x ≥+-23 ，对任意的实数[]2,1∈x 当32a >时，将不等式化为32||a x a x --≥，作出函数2||,(12)a y x a y x x - =-=≤≤的图像，如图， 不等式a a x x ≥+-2 3 ，对任意的实数[]2,1∈x 恒成立的条件是，函数||,y x a =-的图像全部落在函数 32(12)a y x x -=≤≤的图像的上方，由32223 12 a a a a ? -?-≥???-≥-??解得52a ≥， 综上所述，实数a 的范围是3 5[1,][,)22 +∞。 （注：本题关键在于对不等式的合理变形，和由图考出题设成立的条件） （泰州期末）14. 集合{)(x f M =存在实数t 使得函数)(x f 满足}) 1()()1(f t f t f +=+，下列函数 k c b a ,,,(都是常数）（1）)0,0(≠≠+=b k b kx y ；（2）)0(2≠++=a c bx ax y ；（3）)10(<<=a a y x ； （4）)0(≠=k x k y ；（5）x y sin =；属于M 的函数有 . (只须填序号) 解析：本题考查基本初等函数，解方程。 解法一：对函数（1），若(1)()()k t b kt b k b ++=+++，则0b =，与条件矛盾；
人教版高中数学必修一《集合与函数概念》之《函数的基本性质》教案设计
函数的基本性质 教学目标 1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 教学过程 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当 1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数 ()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断：
设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在 ],[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是 ，单调递增区间 为 ． （2）5 412 +-= x x y 的单调递增区间为 ． 3、函数单调性应注意的问题： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数 4．例题分析 证明：函数1 ()f x x = 在(0,)+∞上是减函数。 证明：设任意1x ，2x ∈（0，+∞）且12x x <， 则21 121212 11()()x x f x f x x x x x --= -=， 由1x ，2x ∈（0，+∞），得120x x >，又12x x <，得210x x ->， ∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >
高一数学函数习题(练习题以及答案.
一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x = +- ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1 (2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-， 且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _
函数的基本性质 (2)
1 第二讲 函数的性质（一） 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 2．单调区间的定义 若函数y ＝f (x )在区间D 上是 或，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3、单调性的判定方法 （1）定义法： 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 4、函数单调性应注意的问题： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数 二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 ○ 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○ 2 利用图象求函数的最大（小）值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)； 强调 1.函数的单调性是局部性质 从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2．函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． [注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符 号“∪”联结，也不能用“或”联结． 三、例题讲解 例1、证明函数f (x )＝2x －1 x 在(－∞，0)上是增函数．
高中数学函数的专项练习题(含答案)
高中数学函数的专项练习题(含答案) 高中数学函数的专项练习题(含答案) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.函数的定义域是() A.[1，+) B.45，+ C.45，1 D.45，1 解析：要使函数有意义，只要 得01，即45 答案：D 2.设a=20.3，b=0.32，c=logx(x2+0.3)(x1)，则a，b，c的大 小关系是() A.a C.c 解析：∵a=20.321=2，且a=20.320=1，1 ∵x1，c=logx(x2+0.3)logxx2=2.cb. 答案：B 3.已知函数f(x)=ln(x+x2+1)，若实数a，b满足f(a)+f(b-1)=0，则a+b等于() A.-1 B.0 C.1 D.不确定 解析：观察得f(x)在定义域内是增函数，而f(-x)=ln(- x+x2+1)=ln1x+x2+1=-
f(x)，f(x)是奇函数，则f(a)=-f(b-1)=f(1-b). a=1-b，即a+b=1. 答案：C 4.已知函数f(x)=-log2x(x0)，1-x2(x0)，则不等式f(x)0的解集为() A.{x|0 C.{x|-1-1} 解析：当x0时，由-log2x0，得log2x0，即0 当x0时，由1-x20，得-1 答案：C 5.同时满足两个条件：①定义域内是减函数;②定义域内是奇函数的函数是() A.f(x)=-x|x| B.f(x)=x3 C.f(x)=sinx D.f(x)=lnxx 解析：为奇函数的是A、B、C，排除D.A、B、C中在定义域内为减函数的只有A. 答案：A 6.函数f(x)=12x与函数g(x)=在区间(-，0)上的单调性为() A.都是增函数 B.都是减函数 C.f(x)是增函数，g(x)是减函数 D.f(x)是减函数，g(x)是增函数 解析：f(x)=12x在x(-，0)上为减函数，g(x)=在(-，0)上为增函数.
高中数学 函数的基本性质
第二章 函数 第二节 函数的基本性质 一、历年高考真题题型分类突破 题型一 函数单调性的应用--比较大小 【例1】（2019全国Ⅰ卷）已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a 解析：a ＝log 20.2＜log 21＝0，b ＝20.2＞20＝1， ∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c ＝0.20.3 ∈（0，1）， ∴a ＜c ＜b ，故选B ． 题型二 函数奇偶性的判断 【例2】（2014全国Ⅰ卷）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A.)()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 解析：由函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，可得，|()|f x 和|()|g x 均为偶函数，根据一奇一偶函数相乘为奇函数和两偶函数相乘为偶函数的规律可知选C ． 题型三 函数奇偶性的应用 【例3】（2019全国Ⅱ卷）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=( ) A ． B ．e 1x -+ C ． D ．e 1x --+ 解析：当0x ，()1--=-x f x e ，又()f x 为奇函数， 有()()1-=--=-+x f x f x e . 故选D. 【例4】（2018全国Ⅲ卷）已知函数f(x)=ln(1-x 2-x)+1，f(a)=4， 则f(-a)= ________． e 1x --e 1x ---
函数的基本性质知识点总结(供参考)
函数的基本性质 基础知识： 1.奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也 一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f (－x )与f (x )的关系； ③作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴成轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2.单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）； 注意： ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1
