完整版两个计数原理
两个计数原理
两个计数原理
1?分类计数原理：做一件事，有n类办法，在第1类办法中有m i种不同的方法, 在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N m i m2 L 种不同的方法?
例从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有____________ 种
练习一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有 _种.
2?分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m i种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N m1 m2 L m*种不同的方法?
例1一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有种不同的选法?
例2 一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有
种?
练习1从分别写有0,1，2，3，…，9十张数字的卡片中，抽出两张，数字和为奇数的卡片共有种不同的抽法。数字和为偶数的卡片共有种不同的抽法?
练习2从1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x) ax2 bx c 的系数，可组成不同的二次函数共有—，其中不同的偶函数共有个.18,6
3两个原理的综合应用例1如图10-1-2所示，从A地到B地有3条不同的道路,从B地到C地有4 条不同的道路，从A地不经B地直接到C地有2条不同的道路.
（1）从A地到C地共有多少种不同的走法？（14）（2）从A地到C地再回到A 地有多少种不同的走法？（196）
⑶从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时不同的道路，有多少种走
法？（182）
⑷从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时完全不同的道路，有多少
种走法？（122）
例2如下图的街道上，从A到B不走回头路，则有
n i& 11
不同的走法.（15）
例3某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元. 某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29 中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花_____________________ 钱?（2100）
练习1如图，从A C有___________ 种不同走法?（6）
练习2在3000到8000之间有_______ 无重复数字的奇数.（1232个）分两类；一类是以3、5、7为首位的四位奇数，可分三步完成：先排首位有 3 种方法，再排个位有4种方法，最后排中间两个数位有8 X7种方法，所以共有 3 X4 X8 X7=672 个.
另一类是首位是4或6的四位奇数，也可以3步完成，共有2 X5 X8X7=560
个?
由分类计数原理得共有672+560=1232 个.
练习3有一角、二角、五角人民币各一张，一元人民币3张，五元人民币2张，一
百元人民币2张,由这些人民币可组成_____ 中不同的非零币值.（287 ）
练习4用0, 1，2，3，4，5可以组成—无重复数字且比2000大的偶数
（120）.
涂色问题 例1如图：某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、绿、
蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中 A 、B 、C 、D 每一部分只写一种 颜色，如图所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色
的书写方法共有
1 -------
A
―i
1
------------
* B 斗一
C
D
例2如图，用4种不同的颜色涂入 图中的矩形A ，
的矩形涂色不同，则不同的涂法有（
）A
练习1如图所示，用五种不同的颜色，给图中标有①，②，③，④的各个部分涂色,
每部分只能涂一种颜色，且相邻部分要涂不同色，那么不同涂色的方法种数为 _____ （240 ）
种（180）
A . 72 种
B . 48 种
C . 24 种
D . 12 种
例2有5名同学争夺4项竞赛冠军，冠军获得者共有
种可能.
练习2用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色,
(260)
□ □ □
练习3将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图中的五个区域内，要求相邻
三 模型法（投信法） （1）可重复问题
例1有5名同学报名参加4个课外活动小组，若每人限报1个，共有 _ 中不 同的报名方法?
若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有
种不同的涂色方法
的两个区域的颜色都不相同，贝U 不同的涂色方法有
种
例1将三封信投入4个邮箱，不同的投法有_________ 种.
例2有3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有
____ 中不同的报名方案?
例3有数学、物理、文学3个课外活动小组,6个同学报名，每人限报一组，一共有种报名的方法?
（2）无重复问题
例1把4张不同的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完, 则不同的分法共有种?
练习1五个工程队承建某个工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项, 其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有___种.（96）