数学培优竞赛新方法(九年级)-第15讲-圆的基本性质

第15讲 圆的基本性质

知识纵横

到顶点等于定长的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物,圆的图形在人类进程中打下深深的烙印。圆的基本性质有:一是与圆相关的基本概念与关系,如弦,弧，弦心距,圆心角,圆周角等;二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形,又是一个中心对称图形。用圆的基本性质解题应注意:

1.熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明

2.了解弧的特性及中介作用

3.善于促成同圆或等圆不同名称等量关系的转化

例题求解

【例1】在半径为１的圆O 中，弦AC AB ,的长分别为3和2,则BAC 度数为___＿_____

（黑龙江省中考题）

思路点拨 作出辅助线,解直角三角形，注意AC AB ,有不同的位置关系。

【例2】P 是圆O 内一点,圆O 的半径为15,P 点到圆心O 的距离为9，通过P 点，长度是整数的弦的条数是（ )

（江苏省竞赛题）

5A 7B 10C 12D

思路点拨 过点P 最长的弦为圆O 的直径，最短的弦与OP 垂直(为什么),可求得过点P

点的弦长范围。

【例3】如图，已知点D C B A ,,,顺次在圆O 上，弧AB =弧BD ，AC BM ⊥于M ，求证CM DC AM +=

(江苏省竞赛题）

思路点拨 用截长(截AM ）或补短（延长DC ）证明，将问题转化为线段相等的证明,证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它。

【例4】如图①，o Θ的直径为AB ,过半径OA 的中点G 作弦AB CE ⊥，在弧AB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F 、M 。 （1）求COA ∠和FDM ∠的度数； （2）求证：FDM ?~COM ?；

（3）如图②,若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点,点D 改取在弧EB 上,仍作直线CD 、

ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有FDM ?～COM ?？证明你的

结论。

（苏州市中考题)

思路点拨 (１）在COG Rt ?中,利用OC OA OG 2

1

21==

；(2)证明FDM COM ∠=∠，FMD CMO ∠=∠;(3)利用图①的启示思考。

【例5】如图,半径为２的o Θ中,弦AB 与弦CD 垂直相交于点P ,连接OP ，若1=OP ,求

22CD AB +的值。

(黑龙江省竞赛题）

【例6】(１)如图①，已知多边形ABDEC 是由边长为２的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成，o Θ过点A 、D 、E 三点,求o Θ的半径。

（2）如图②,若多边形ABDEC 是由等腰ABC ?和矩形BDEC 组成,2===BD AC AB ，

o Θ过点A 、D 、E 三点,问o Θ的半径是否改变？

（《时代学习报》数学文化节试题）

分析与解 对于(1)，给出不同解法；对于（2)，o Θ的半径不改变,解法类似（1)。 学习训练

学力训练

基础夯实

1、如图,点A 、B 是o Θ上两点，10=AB ，点P 是o Θ上的动点(P 与A 、B 不重合）,连接AP 、BP ，过点O 分别作AP OE ⊥于E ，PB OF ⊥于F ，则=EF ______＿.

(兰州市中考题）

2、如图，o Θ的两条弦AB 、CD 互相垂直,垂足为E ,且CD AB =,已知3,1==ED CE ，则o Θ的半径为＿______。

（20１1年安徽省中考题)

3、如图,ABC ?的三个顶点的坐标分别为)2,4(),2,2(),3,1(----C B A ，则ABC ?外接圆的半径长度为_＿___＿_。

(济南市中考题）

４、如图，将半径为2厘米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为＿______cm 。

A 、2

B 、3

C 、32

D 、52

（连云港市中考题）

5、如图,梯形ABCD 中，CD AB //,CD AB ⊥,,4,2cm CD cm AB ==以BC 上一点为圆心的圆经过A 、D 两点,且?=∠90AOD ，则圆心Ｏ到弦AD 的距离是( ）cm 。 A 、54+ B 、９ C 、54 Ｄ、26

(南通市中考题)

6、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为１62

cm ，则该半圆的半径为( )cm 。

（芜湖市中考题)

7、如图，已知o Θ的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F 。若

,AD CF ⊥,2=AB 求CD 的长。

(广东省中考题)

8、如图,在o Θ中,已知AB 是直径,P 为AB 上一点,弦MN 过P 点,.45?=∠NPB (1)若,6,2==BP AP 求MN 的长；

(2)当P 点在AB 上运动时(保持NPB ∠的度数不变）,试问:2

2

2AB

PN PM +的值是否改变？若不变,请求其值；若改变，请求出其值得取值范围。

P O

M

N

B

A

9、如图,在ABC

Rt?中,,12

,5

,

90=

=

?

=

∠CB

AC

ACB AD SHＩABC

?的角平分线,过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE。

（1）求证：AE

AC=;

（2）求ACD

?外接圆的半径。

（陕西省中考题）

能力拓展

10.圆O的直径为cm

5，弦∥

AB弦CD,cm

AB3=，cm

CD4=,则梯形ABCD的面积为_

＿___＿_＿＿________

（黄冈市竞赛题)

11．如图，半径为5的圆P 与y 轴交于点),10,0(),4,0(--N M 函数)0(<=

x x

k

y 的图象过点P ,则=k ＿_＿____＿______＿＿

(武汉市中考题)

12.如图,在以AB 为直径的半圆中,有一个边长为1的内接正方形CDEF ,则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是 .

（2011年日照市中考题）

13.如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形,则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )

2.A 25.

B 4

5

.C 1675.D (天津市选拔赛试题）

14.P是圆O内一点,圆O的半径为5，P点到圆心O的距离为4，通过P点、长度是整数的弦的条数是（）

5.A

6.B

7.C

8.D

（黄冈市竞赛题)

PC⊥,PC交圆O于C，若15.如图,点P为弦AB上的一点,连接OP,过点P作OP

=

AP，2

8

PB,则PC的长为（）

=

2.B5.C.D无法确定

4.A2

(黑龙江省竞赛题）

16.如图,正方形ABCD的顶点A、D和正方形JKLM的顶点K、L在一个以5为半径的圆O上，点J、M在线段BC上，若正方形ABCD的边长为6,求正方形JKLM的边长

(上海市竞赛题)

17.如图,已知弦CD 垂直于圆O 的直径AB 于L ，弦AE 平分半径OC 于H ，求证：弦DE 平分线BC 于M .

(第2１届全俄九年级奥林匹克试题)

综合创新

18.(1)如图①,已知PB PA 、为圆O 的弦,C 是劣弧AB 的中点，直线PA CD ⊥于点E ,求证:PB PE AE +=

(１)如图②,已知PB PA 、为圆O 的弦，C 是优弧AB 的中点，直线PA CD ⊥于点E ,问:PE AE 、于PB 之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论

人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程：二元一次方程组解的讨论

人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程 （10）二元一次方程组解的讨论 【知识精读】 1． 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 【分类解析】 例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。 解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解， 即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时，方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组

初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题10 最优化_答案[精品]

专题10 最优化 例1. 4 提示：原式=1 12 - 62 -+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤≤1，则=22 +16+3y 2 =142 +4+3是开口向上，对称轴为7 1 -=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论：①0≤a +?）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则?? ? ??=--=413 172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-， 4 13 ） 例4. （1） 121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（ x .当=4 3时，y 2 取得最大值1，a =1； 当21= x 或=1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=2 3. (2) 如图，AB =8，设AC =，则BC =8- ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2. 10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x 当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有 22 4 ===DA EB CA BC , 从而=AC = 3831=AB .故原式取最小值时，=3 8. (3)如图， 原式= [] 22222 2 2)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（

数学培优竞赛新方法(九年级)-第22讲 几何最值

第22讲 几何最值 知识纵横 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。求几何最值问题的基本方式有： 1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。 2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理. 3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。 例题求解 【例1】 如图，在锐角ABC ?中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值 。 （陕西省中考题） 思路点拨 画折线为直线，综合运用轴对称、垂线段最短等知识。 例1

例2 【例2】 如图，在ABC ?中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 的最小值（ ）。 A.24 B.4.75 C.5 D4.8 （兰州市中考题） 思路点拨 设O 与AB 相切与T ，连OC 、OT,EF 为O 直径，则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT 的最小值。 【例3】 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm. (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值； (2) 当4 1 = y cm 时，求x 的值. （河南省中考题） 思路点拨 利用相似形建立y 与x 的函数关系式，由此导出y 的最大值 例3

最新沪科版七年级数学培优竞赛训练一

培优竞赛训练一 1. 有理数a ，b ，c 在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： (1)｜a ｜______｜b ｜； (2)a ＋b ＋c ______0： (3)a －b ＋c ______0； (4)a ＋c ______b ； (5)c －b ______a ． 2. 已知321===c b a ，，，且c b a >>，那么c b a -+＝ ． 3. 已知d c b a 、、、是有理数，169≤-≤-d c b a ，，且25=+--d c b a ， 那么=---c d a b ． 4. 若有理数x 、y 满足2002(x 一1)2 +0112=+-y x ，则=+2 2y x ． 5. a 与b 互为相反数，且54=-b a ，那么1 2+++-ab a b ab a ＝ ． 6. 设0=++c b a ，0>abc ，则c b a b a c a c b +++++的值是（ ）． A ．-3 B ．1 C ．3或-1 D ．-3或1 7. 若｜x ｜＝x ，并且｜x －3｜＝3－x ，请求出所有符合条件的整数x 的值，并计算这些值 的和． 8. 已知m ，n 为整数，且｜m －2｜＋｜m －n ｜＝1，求m ＋n 的值． 9. ｜x －1｜＋｜y ＋2｜＋｜z －3｜＝0，则(x －1)(y －2)(z ＋3)的值为( )． (A)48 (B)－48 (C)0 (D)xyz 10. 巧算下列各题： (1))2004 11)(120031( )151)(411)(131)(211(--?---- (2)666663333222299999?-? 11. 式子| |||||ab ab b b a a ++的所有可能的值有( )． (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个 12. 13. 如果c b a 、、是非零有理数，且0=++c b a ，那么 abc abc c c b b a a +++的所有可能

人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)

九年级讲义目录

专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题）

（3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

8年级数学培优竞赛试题1-25题(含详解)

八年级 第1题：下列命题： （1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； （2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等； （3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等； （4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等。其中正确命题的个数有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：B 解析： （1）全等三角形的中线、高、角平分线对应相等，正确 （2）可以先证明两边的夹角相等，再证明两三角形全等，正确 （3）可以用AAS或ASA判定两个三角形全等，正确 （4）参考等高模型，两三角形不一定全等，错误 第2题：如图，在△ABC中，IB，IC分别平分∠ABC和∠ACB，过点I作DE ∥BC，分别交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形； ②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC，其中正确的是（） A．①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④

答案：C 解析： ①因为IB 平分ABC ∠ 所以CBI DBI ∠=∠ 因为DE 平行BC 所以CBI DIB ∠=∠ 所以DIB DBI ∠=∠ 所以BD=DI 所以DBI ?是等腰三角形 ②因为BAC ∠不一定等于ACB ∠ 所以IAC ∠不一定等于ICA ∠ 所以ACI ?不一定是等腰三角形 ③因为三角形角平分线相交于一点，BI 、CI 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线 所以AI 平分BAC ∠ ④因为DI BD =,同理可得EC EI = 所以ADE ?的周长AE EC BD AD AE EI DI AD +++=+++ 第3题：已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A ．6条 B.7条 C.8条 D.9条 答案：B 解析： 根据当11AC BC =，2CC AC =，3BC AB =，44CC AC =，5AC AB = 6AC AB =，77CC BC =时，都可以得到符合题意的等腰三角形 所以共有7条

初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题07 整式的加减

专题07 整式的加减 阅读与思考 整式的加减涉及许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点： 1．透彻理解“三式”和“四数”的概念 “三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的系数、次数． 2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则” “两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则． 物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．这样，使得整式大为简化，整式的加减实质就是合并同类项． 例题与求解 [例1]如果代数式ax5＋bx3＋cx－5，当x＝－2时的值是7，那么当x＝7时，该式的值是______． (江苏省竞赛试题) 解题思路：解题的困难在于变元个数多，将x两个值代入，从寻找两个多项式的联系入手． [例2]已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代数式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，对于任意a，b对应的代数式的值最大的是( ) A．a＋b B．a－b C．a＋b2D．a2＋b (“希望杯”初赛试题) 解题思路：采用赋值法，令a＝1 2 ，b＝－ 1 2 ，计算四个式子的值，从中找出值最大的 式子． [例3]已知x＝2，y＝－4时，代数式ax2＋1 2 by＋5＝1997，求当x＝－4，y＝－ 1 2 时， 代数式3ax－24by3＋4986的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：一般的想法是先求出a，b的值，这是不可能的．解本例的关键是：将给定的x，y值分别代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体代入求值．[例4]已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．当x＝2时的值为－17，求当x＝－2时，该多项式的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式． [例5]一条公交线路上起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？

七年级数学竞赛培优(含解析)专题27 以形借数

27 以形借数——借助图形思考 阅读与思考 数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面： 1．从给定的图形获取解题信息 数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能． 2．有意地画图辅助解题 图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解． 阅读与思考 【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住 其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同 形状的共有____________种。 （“五羊杯”竞赛试题） x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,, ≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。 ++=。不妨设x y z 9 x y z

【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为 ．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图像进行一下探究： 信息读取 （1）甲、乙两地之间的距离为___________km。 （2）请解释图中点B的实际意义。 图像理解 （3）求慢车和快车的速度。 （4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 问题解决 （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时？ （江苏省南京市中考试题）解题思路：函数图像包含了两种不同层次的信息：有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构信息，也有在0～4小时之间以及稍后的一段时间内，快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。

黄东坡数学培优竞赛新方法平行四边形与平移变换(答案)

例1 （1）本题先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线得出CN=MN，BM=DN=2NF，同时推翻AM=AC、S△AMB= S△ABC．

（2）用大五边形面积减去3个三角形面积即可求得结果 （三角形ABD、三角形ACE、三角形ABC）； ∴△BDF、△EFC均为RT三角形 例2平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，任取两个进行推理．

解：根据平行四边形的判定，符合四边形ABCD是平行四边形条件的有九种：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）；（1）（3）；（2）（4）；（1）（5）；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共九种． 例3熟记平行四边形的判定，其中对角线互相平分，是平行四边形，延长AC 后，证明AD∥BC，然后再证明三角形全等，证得对角线互相平分，得到结论． 证明：延长AC，在C上方取N，A下方取M，使AM=AE，CN=CF，则由已知可得PM=PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形． ∴∠M=∠N，MEP=∠NFP ∴∠AEP=∠PFC ∴AD∥BC， 可证得△PAE≌△PCF，得PA=PC， 再证△PED≌△PFB．得PB=PD． ∴ABCD为平行四边形． 例4（1）先过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G，由EG∥CD，AB∥CD，可得，CD∥GE，再有BE∥AG，那么四边形ABEG是平行四边形，就可得，AB=GE=CD，而GE∥CD，会出现两对内错角相等，故△EGF≌△DCF，即EF=DF．

初中培优竞赛含详细解析 第1讲 整数的基本性质

初中数学竞赛专题1——整数的基本性质 1.（1，2）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题） 【标准答案】1#0#1#4#A 三人中每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是47，61，60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是 ( ) A. 28 B. 27 C. 26 D. 25 【分析】设三个人的年龄分别为X1，X2，X3，根据题意，则 +X2+2X3=47×2 ① X X2+X3+2X1=61×2 ② X3+X1+2X2=60×2 ③ 由①+②+③得X1+X2+X3=84，分别代入①②③得X1=38，X2=36，X3=10. 所以X1-X3=28. 【答案】A 【技巧】设未知数列方程（组）来解应用题是常用的方法. 2.（2，3）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题） 【标准答案】2#0#1#4#B 三角形的三边长a、b、c都是整数，且[a，b，c]=60，（a，b) =4，(b，c)=3则a+b+c的最小值是 ( ) {注：[a，b，c]表示a、b、c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大公约数} A．30 B．31 C．32 D. 33 【分析】因为（a，b）=4，所以a，b都是4的倍数.因为(b，c)=3，所以b，c都是3的倍数.从而a=4a1，b=12b1，c=3c1，a1、b1、c1都是正整数；又因为[a，b，c]=60，所以a，b，c中至少有一个被5整除，即a1、b1、c1中至少有一个被5整除.因为abc三个数的系数中，c的系数最小为3，所以只有当a1、b1 取最小时，三个数之和才最小，那么当a1= b1=1，c1=5时，a+b+c=4+1+15=31最小. 【答案】B 【技巧】根据最大公约数和最小公倍数的性质，用解析式表示未知数. 【易错点】若不注意三角形三边的关系（两边之和大于第三边）就容易出错.

七年级数学培优竞赛教案

奥数培训之趣味数学 生活中的数学： 1、诗仙李白豪放豁达，有斗酒诗百篇的美名，为唐代“饮中八仙”之一， 民间流传李白买酒歌谣，是一道有趣的数学问题：李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一抖，三遇店和花，喝完壶中酒。试问：酒壶中原有多少酒？ 解：设酒壶中原有酒x 斗，“三遇店和花”意思是李白三遇店，同时也三见花。 第一次见店又见花后，酒有：12-x ； 第二次见店又见花后，酒有：1-122）（ -x ； 第三次见店又见花后，喝完壶中酒，所以 依题意，得 ()[]0111222=---x 解方程，得 87= x 答：酒壶中原有酒8 7斗。 2、有甲乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了”，求两个牧童各有多少只羊。 解：设甲有x 只羊，乙有y 只羊。依题意，得 ()? ??+=--=+11121y x y x 解方程组，得? ??==57y x 所以甲牧童有羊7只，乙牧童有5只。 3、一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛 A 、16 B 、18 C 、20 D 、22 分析：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c ，根据60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完，列方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解。

解：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c 。 根据题意，得 ???==???+=?+=?b c b a a c b a c b 120010606030242460解得， 则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是20120120=+b a c 。故选C 。 4、杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A ．一样多． B ．多了． C ．少了． D ．多少都可能． 解：设杯中原有水量为a ，依题意可得， 第二天杯中水量为a ×(1－10%)=0.9a ； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a ； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为199.01.19.01.19.0<=?=??a a 。 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C ． 5、 甲杯中盛有2m 毫升红墨水，乙杯中盛有m 毫升蓝墨水，从甲杯倒出a 毫升到乙杯里（0＜a ＜m ），搅匀后，又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里，则这时( )。 A ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C ．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D ．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定． 解：从甲杯倒出a 毫升红墨水到乙杯中以后： 乙杯中含红墨水的比例是a m a +， 乙杯中含蓝墨水的比例是 a m m +， 再从乙杯倒出a 毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的红墨水的数量是毫升a m ma a m a a a +=+?- ①

初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题08 二次函数_答案[精品]

专题08 二次函数 例1 C ． 提示：③④⑤成立． 对于④，当x ＝－l 时，y ＝a b c -+＜0，∴a c +＜b ．又∵2b a - ＝1，则a ＝2b -代入上式，得2c ＜3b ； 对于⑤，当x ＝1时，max y ＝a b c ++，∴a b c ++＞2am bm c ++，则a b +＞()m am b +（m ≠1）． 例2 B ． 提示：S ＝2b ，b ＞0，b ＝1a +，a ＜0． 例3 （1）O （0，0），B （2，—10），y ＝22510 63 x x - +． （2）x ＝3325-＝85时，y ＝163-，此时运动员距水面的高为10－163＝14 3＜5，故此次试跳会出现失误． 例4 （1）y 24)x - （2）P （0 ，）； （3）由点点A （l ，0），C （4 ，，B （7，0）得∠BAC ＝∠ABC ＝30°，∠ACB ＝120°． ①若以AB 为腰，∠BAQ 为顶角，使△ABQ ∽△CBA ，则Q （－2 ，； ②若以BA 为腰，∠ABQ ′为顶角，由对称性得另一点Q ′（10 ，； ③若以AB 为底，AQ 、BQ 为腰．则Q 点在抛物线的对称轴上，舍去． 例5 由 NP BC CN -＝BF AF ，得34NP x --＝12，∴NP ＝152 x -+，∴y ＝1(5)2x x -+＝21 (5)12.52x --+（2≤x ≤4） ．∵y 随x 的增大而增大，∴当x ＝4时，y 有最大值为21 (45)12.52 -?-+＝12． 例6 （l ）y 2 （2） ①令2＝0，得1x ＝－1，2x ＝1，则抛物线1c 与x 轴的两个交点坐标为（－1，0），（1，0）．∴ A （1m --，0）， B （1m -，0）．同理可得D （1m -+，0），E （1m +，0）．当AD ＝1 3AE 时，如图 1， (1)(1)m m -+---＝[]1(1)(1)3m m +---， ∴m ＝12．当AB ＝1 3 AE 时，如图2，(1)(1)m m ----＝ []1(1)(1)3m m +---，∴m ＝2．∴当m ＝1 2 或2时，B 、D 是线段AE 的三等分点．

初中几何学霸内部秘籍系列1(学而思培优竞赛)

初中几何学霸内部秘籍系列1（学而思培优 竞赛） 模型 1 ：角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。 结论：PB=PA。 模型证明： ∵OP平分∠MON， ∴∠AOP=∠BOP； 又 PA⊥OM ，PB⊥ON， ∴∠OAP=∠OBP=90°； OP=OP； ∴RT△OAP≌RT△OBP, ∴PB=PA。 模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，

为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的 突破口。 模型实例 （1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点 D 到直线 AB 的距离是_____； （2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4。 求证：AP 平分∠BAC。 解析：（1）由角平分线模型知，D到AB的距离等于DC=2 （2）如图分别做AB、BC、AC三边的高，由题意易得三边高相等， ∴AP 平分∠BAC

模型练习 1．如图，在四边形 ABCD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。 证明：如图延长BA， 过D作DE、DF垂直BA延长线、BC于E、F两点， ∵BD 平分∠ABC ∴DE=DF, 又AD=DC ∴RT△DEA≌RT△DFC ∴∠DAE=∠BCD ∴∠BAD+∠BCD=180° 2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP 交于点 P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲 质数与合数

第二十讲 质数与合数 趣题引路】 由超级计算机运算得到的结果2859433－1是一个质数，则2859433＋1是（ ） A ．质数 B ．合数 C ．奇合数 D ．偶合数 解析 ∵2859433－1，2859433，2859433＋1．是三个连续正整数，∵2859433－1的末位数字是1．∴2859433 是偶合数，∵上述三个数中一定有一个能被3整除，而2859433－1是质数，∴2859433＋1的末位数字是奇数且能被3整除，故2859433＋1是奇合数．故选C ． 同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗？二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和．如6＝3＋3，12＝5＋7等．对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例．到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1＋2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为“陈氏定理”． 知识延伸】 1．正整数依据不同的标准可以有各种分类，这里依据它们的正约数的个数可以分为三类： （1）只有一个正约数的数，它只能是1； （2）只有两个正约数的数，如2，3，11这样的数叫质数； （3）有两个以上正约数的数，如4，10，12这样的数叫合数． 2．（1）2是最小的质数，也是唯一的偶质数；除2以外，其余的质数都是奇数。 （2）质数有无穷多；合数也有无穷多． 证明 假设只有有限多个质数，设为P 1，P 2，P 3，…，P n 考虑P 1P 2P 3…P n ＋1，由假设可知，P 1P 2P 3…P n ＋1是合数，它一定有一个质因数P ，显然，P 不同于P 1，P 2，P 3，…，P n ，这与假设P 1，P 2，P 3，…，P n 为全部质数矛盾． 3．质数可以采用埃拉托色尼筛选法进行判定．如判断2003为质数，可以这样操作：分别用质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，41，43来除2003，它们都不能整除2003，而下一个质数47，它的平方472＝2209大于2003，由此就可判定2003为质数。 4．算术基本定理 对于一合数，如果将它分解为若干质数的连乘积的形式，并不考虑质因数的排列顺序，那么这种分解 式将是唯一的，即正整数N （N ＞1）可以唯一表示为12 12m a a a m N P P P =??? 其中，P 1，P 2，…，P m 为质数，且P 1＜P 2＜…＜P m ，a 1，a 2，…，a m 为正整数. 5．对于正整数N 的质因数标准分解式12 12m a a a m N P P P =??? 根据乘法原理，它的正约数个数为（1＋a 1）（1＋a 2）…（1＋a m ）．它的所有约数之和为 ()()()() 12 11221+++1+++1+++m a a a m m S N P P P P P P =???????????? 121 11 1212111=111 m m m p p p p p p ααα+++---???---. 而且仅当N 为平方数时，它的正约数个数为奇数.

(完整版)数学培优竞赛新方法(九年级)-第23讲几何定值

第23讲 几何定值 知识纵横 几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。 解几何定值问题的基本方法是： 分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。 例题求解 【例1】 （1）如图1，圆内接ABC ?中，CA BC AB ==，OE OD ,为圆O 的半径， BC OD ⊥于点F ，AC OE ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC ?的 面积的 3 1 . （2）如图2，若DOE ∠保持?120角度不变，求证：DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC ?的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC ?的面积的 3 1． （广东省中考题） 思路点拨 对于（1），连OC OA 、，则要证明ABC OAC S S ??=3 1 ，只需证明OCF OAG ???；对于（2），类比（1）的证明方法证明。

【例2】如图，⊙1O 和⊙2O 外切于点A ，BC 是⊙1O 和⊙2O 的公切线，C B ,为切点． （1）求证：AC AB ⊥； （2）过点A 的直线分别交⊙1O 和⊙2O 于点E D ,，且DE 是连心线时，直线DB 与直线EC 交于点F ．请在图中画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由； （3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE 绕点A 旋转（DE 不与点C B A ,,重合），请另画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由． （沈阳市中考题） 思路点拨 按题意画出图形，充分运用角的知识证明若?=∠90DFE ，则EF DF ⊥这一位置关系不变。

西安交大少年班入学考试试题

数学：全国数学竞赛或联赛的题要做，黄东坡的《培优竞赛新方法》的竞赛内容。物理：省赛水平，力电为主，去年光声都没考。 语文：古文要注意，作文关注社会热点。 英语：看高中词汇，做高考阅读和完型填空。 化学：去年没考，建议天原杯的原题。 面试：10个科普，一个一分钟回答，一个动手能力操作，一个团队合作项目，再问你什么事情让你成长最多。面试时要努力争取发表意见的机会但不要让人觉得你爱出风头过于张扬，要把握一个度。 科普：书香门第是什么意思？被蚊子叮了为什么痒？兔子上山快还是下山快为什么？NBA单场最高得分是多少？ 一分钟：砖块的用处？空城计被识破了会怎么样？ 团队合作：每人在一张纸上画一笔，并起一个名字。 动手：如何把一张纸变得最长，要有创意。 数学是最难的一门，甚至有好多高中奥赛的题，千万不要指望都做出来，重要的是心态，不要慌，能做多少做多少就行了。 语文重要的是阅读量，都是初中生没看过的，如果你平常看的课外书比较多，应该不成问题。 英语吗，我英语比较好，当时考了全河北省第一，所以觉得比较简单，呵呵，给不出什么建议，抱歉啦。 物理不难，要做一本叫《初中生物理培优教程》，有大量原题。 面试要落落大方，大胆些，抢到说话的主动权，无论发生什么紧急状况，千万不要怵，因为那是评委给你设的套！ 题目很多，我是去年的，我们先是自我介绍，然后专家会根据你的介绍向个人提问题。不过，呵呵，有的会问提前写好的问题，我们那一组有两道题挺好“如果照相时摄影师没有安排你位置，你会选择坐在哪里？”，“你如何看待学校里阴盛阳衰（女生比男生强势）的问题？”反正，我觉得这种题，你最好答的成熟一些，比如我前面有个人答第一个题，她竟说在最边上！当时我觉得她就挂掉了。不过因人而异，表达自己就好，专家通常能看出你是不是很真实，最忌讳虚假！！！然后就是看了一幅图片，我记得当时是一只母鸡喂养一只小狗，然后写下自己的感想，然后依次发言，我的建议，写的不要太详细，关键字写上就好，这样发言时自由空间比较大。然后是动手操作，我知道两道题：用一个纸杯，一根吸管，胶带，一根牙签（好像是），一个组做一个能下落时间最长的飞行器，一个组我记得是做能从斜面上滑下能直线运动且运动最远的模型。反正你只要做得比同组人做的好就行了。比较式的那种呵呵，你比同组强就行了。我是女生，我觉得女生其实挺占优势，至少我们做得差不多就行了，不过最后的环节，他们问你可不可以实验一下，一定要实验哦，否则我个人认为你的主动性得分就会大打折扣。还有最简单有效的模型有时就比奇异形状好。既省时间，又好想。最后一个环节，我们是集体合作将一个字改成画，“旮”。我们组做得超级好。因为我们提前就商量

初中数学竞赛培优辅导反证法和构造法(含答案)

培优辅导 反证法和构造法 一、选择题: 1．若假设“整数a,b,c 中恰有一个偶数”不成立，则有（ ） A 、a,b,c 都是奇数 B 、a,b,c 都是偶数 C 、a,b,c 中至少有两个偶数 D 、a,b,c 都是奇数或至少有两个偶数 2．已知△ABC 的周长为18，c b a 、、三边的关系为c b a ≤≤,则( ) A 、a <6 B 、a >6 C 、a >7 D 、6≤a 3．A 、B 、C 、D 、E 、F 、六个足球队单循环赛，已知A 、B 、C 、D 、E 五个队已经分别比赛了5、4、3、2、1场，则还未与B 队比赛的球队是（ ） A 、C 队 B 、D 队 C 、E 队 D 、F 队 4．设等式在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的 实数，则 的值是( ) A 、3 B 、 31 C 、2 D 、3 5 5．关于x 的一元二次方程2a x 2 -2x-3a-2=0的一根大于1，另一根小于1，则a 的取值范围 是 （ ） A 、a ＞0或a ＜-4． B 、a ＜-4． C 、a ＞0． D 、－4＜a ＜0． 二、填空题 6．用反证法证明：“三角形中最多有一个角是直角或钝角。”时，第一步应反设: ________________________________________________. 7．不查表可求得=?5.22cot _________. 8．321-+-++x x x 的最小值是______________. 9．若28,142 2=++=++x xy y y xy x ，则=+y x _________. 10．已知))((4)2a c b a c b --=-（且0≠a ,则a c b +=______________. 三、解答题

(完整版)七年级数学(下)培优试题

七年级数学（下）培优竞赛试题 1、已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1， ∠2=20度，求∠DOE 的度数。 2、如图所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=1 3 ∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线。 ①求∠COD 的度数； ②判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由。 3、如图，两直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，如果∠AOC ：∠AOD=7：11， ①求∠COE ； ②若OF ⊥OE ，∠AOC=70°，求∠COF 。 4、如图⑺，在直角 ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥AC 于E,交AB 于D . ①指出当BC 、DE 被AB 所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角. ②试说明∠1＝∠2＝∠3的理由.（提示：三角形内角和是1800） 5、如图是一个3×3的正方形，则图中∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠9= 。 6,（安徽中考）如图，已知AB ∥DE ，∠ABC= 80 ，∠CDE= 1400 ，则∠BCD= . 3 21O F E D C B A O D C B A A B C D O E F 6 3 2 １ 9 8 7 5 4

7、如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ， （1）若∠A=60°。求∠Q （2）若∠A=100°、120°，∠Q 又是多少？ （3）由（1）、（2）你发现了什么规律？当∠A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三解形的内角和等于180°） 8、如图所示，AB ⊥EF 于G ，CD ⊥EF 于H ，GP 平分∠EGB ，HQ 平分∠CHF ，试找出图中有哪些平行线，并说明理由． 9，（北大）如图所示，图（1）是某城市古建筑群中一座古 塔底部的建筑平面图，请你利用学过的知识设计测量古塔外墙底部的∠ABC 大小的方案，并说明理由，（注：图（2）、图（3）备用） （1） （2） （3） 10、已知点B 在直线AC 上，AB=8cm ，AC=18cm ，P. Q 分别是AB. AC 的中点,则PQ 为多少cm? （自己构造图） A B C D E F G H P Q

数学培优竞赛新方法(九年级)-配方法

配方法 把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。 配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。 运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。熟悉以下基本等式： 1.222)(2b a b ab a ±=+± 2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； 3.[] 2222 2 2 )()()(2 1 a c c b b a ca b c ab c b a ±+±+±= ±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 44222 2 -+ ??? ? ?+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为 （镇江市中考题） 思路点拨 把y 用x 的式子表示，通过配方法求出y x +的最大值。 【例2】已知c b a 、、，满足722 =+b a ，122 -=-c b ， 1762 -=-a c ，则c b a ++的值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 （河北省竞赛题） 思路点拨 由条件等式的特点，从整体叠加配方入手 【例3】已知a 是正整数，且a a 2004 2 +是一个正整数的平方，求a 的最大值。 （北京市竞赛题） 思路点拨 设2 2 2004m a a =+（m 为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。 【例4】已知c b a 、、是整数，且01,422 =-+=-c ab b a ，求c b a ++的值 （浙江省竞赛题）

八年级上册科学《溶液》单元培优训练试题

八年级上册科学《溶液》单元培优训练试题 1．20 ℃时，在三个各盛有100 g水的容器中加10 g甲、乙、丙三种纯净物(不含结晶水，不与水反应)，待充分溶解后，情况如表所示，正确的是() A． C．丙溶液的溶质的质量分数最大D．20 ℃时，甲的溶解度最大 2．分离混合物要根据各成分不同的性质选用不同的方法，是人们改造、利用自然界物质的重要方法。下列说法不正确的是() A．结晶法是利用混合物各成分在水中的溶解性不同 B．化学沉淀法是根据混合物各成分的化学性质不同 C．过滤法是根据混合物各种成分的粒子大小不同 D．蒸馏法是利用混合物各成分的沸点不同 3．30 ℃时将等质量的两份饱和石灰水一份冷却到20 ℃，另一份加入少量生石灰，温度仍保持在30 ℃。则两种情况下均不改变的是() A．溶剂的质量B．溶质的质量C．溶质的溶解度D．溶质的质量分数 4．下列有关实验操作的叙述，不正确的是() A．把烧杯置于铁架台的铁圈上直接加热 B．给试管中液体加热时，液体体积不超过试管容积的1/3 C．用量筒量取液体时，视线与量筒内液体的凹液面的最低处保持水平 D．实验剩余的药品，不能放回原试剂瓶 5．能证实20℃时，原硝酸钾溶液是饱和溶液的事实是() A．降温到10℃时有硝酸钾晶体析出 B．蒸发掉10g水，有硝酸钾晶体析出 C．加热到30℃后，再加入硝酸钾晶体仍能继续溶解 D．在20℃的硝酸钾溶液中加入少量硝酸钾晶体，溶液的质量不变 6．下列物质与水混合，在室温时难以形成饱和溶液的是() A．硝酸钾B．酒精C．二氧化碳D．氯化钠 7．配制硝酸钾溶液时得到下表数据，根据表中数据分析，不正确的是() A．28℃时10g水中最多能溶解硝酸钾4g B．60℃时等质量水中能溶解的硝酸钾比28℃时多 C．①②所得溶液溶质的质量分数相等 D．③所得溶液一定是硝酸钾的饱和溶液 8．如图所示，甲、乙试管中分别盛有硝酸钾、氢氧化钙的饱和溶液，试管底部均有未溶解的固体．向烧杯中加入一定质量的氢氧化钠固体后，下列分析正确的是()