《高分子化学教程》习题答案(第三版)王槐三_科学出版社(DOC)
《高分子化学教程》习题答案（王槐三第三版）
第1章
1、解释下列概念
(1) 高分子化合物：由众多原子或原子团主要以共价键结合而成的相对分子质量在1万以上的化合物。
(2) 重复结构单元：将大分子链上化学组成和结构可重复的最小单位称为重复结构单元(在高分子物理里也称为链节)。
(3) 结构单元：由1个单体分子通过聚合反应而进入聚合物重复单元的那一部分叫结构单元。
(4) 平均相对分子质量：高分子化合物中同系物相对分子质量的统计平均值。
(5) 平均聚合度：所有大分子链上所含重复结构单元数量的统计平均值。
(6) 多分散性和分散指数：
多分散性是指聚合物材料中所含大分子同系物的相对分子质量不相等的这一特性。
分散指数是指重均相对分子质量与数均相对分子质量的比值。 2、写出合成下列聚合物的聚合反应方程式并标出结构单元 (1) 涤纶
n HOOC
COOH n HO(CH 2)2OH (2n -1)H 2O
HO[OC
COO(CH 2)2O]n H +=
+结构 结构单元
单元
(2) 尼龙-610
n HOOC COOH n H 2N(CH 2)6NH 2(2n -1)H 2O
HO [ OC(CH 2)8COHN(CH 2)6NH ]+=
+(CH 2)8n H 结构单元
结构单元
(3) 有机玻璃
n CH 2CH 3
COOCH 3
C
CH 2
CH 3C 3
=[]n CH 2
CH 3C 3结构单元：
(4) 聚乙烯醇
n CH 2 = CHOCOCH 3
CH 2
CH []OCOCH 3
n
聚合
[]CH 2
CH OH
n
(5) 环氧树脂 (见P8) (6) 聚碳酸酯
HO
CH 3
CH 3
C Cl C O Cl
H O
C 3
CH 3
O
C
Cl + (2n - 1)HCl
=
+n n []OH n O
(7) 聚己二氨基甲酸丁二酯
n OCN(CH 2)6NCO + n HO(CH 2)2OH = []OCNH(CH 2)6NHCOO(CH 2)4O n
(8) 维尼纶
[]CH 2
CH OH
n + CH 2O 缩醛化
CH 2CH
2CH CH 2CH O
CH 2
O
OH
(9) 丁腈橡胶
nCH 2
CHCN CH 2
CH
CH CH CH 2CHCH 2CH
CHCH n +[]
(10) ABS 树脂
nCH 2
CHCN CH 2
CH
CH CH 2n ++ nCH 2
CH
+ BPO
CH 2CHCH 2CH
CHCH 2CH 2CH CN
n
[]
3、写出合成下列聚合物的聚合反应方程式并命名聚合物 (1) HO OC(CH 2)8CONH(CH 2)6NH n H []
HO OC(CH 2)8CONH(CH 2)6NH n H
[]n HOOC(CH 2)8COOH + n H 2N(CH 2)6NH 2 =
尼龙-610 (2)
[]OCNH(CH 2)6NHCOO(CH 2)4O n
见第2题(7)小题 聚己二氨基甲酸丁二酯
(3) H O(CH 2)5CO OH
[]n
n HOOC(CH 2)5OH = HO []OC(CH 2)5O H + (n-1)H 2O
n
聚6-羟基己酸酯 4、参见教材p331
5、分别写出单独或与别的单体进行聚合的反应方程式并命名聚合物。解释其余化合物不能进行聚合反应的原因 (1) 苯 (2) BrCH 2-C 6H 4-CH 2Br
(3) HO-(CH 2)3-COOH (4) H 2N-( CH 2)4-COOH
(5) HO-( CH2) 6-NH2(6) H2N-CO-NH2
(1) 苯
n C6H6 + n [O] + CuCl2 == ~[C6H4]n~ + n H2O
在氧化剂存在下以氯化铜作催化剂，苯可按照氧化偶联历程进行聚合，生成耐高温性能良好的聚苯
(2) n BrCH2C6H4CH2Br + AlCl3 = -[CH2C6H4CH2]n-
生成聚对二甲撑苯
(3) HO-( CH2) 3-COOH
(4) H2N-( CH2)4-COOH
均不能参加均聚合或共聚合，原因是极易发生分子内环
化反应，分别生成稳定的5元和6元环状结构。
(5) HO( CH2) 6NH2
(6) H2N-CO-NH2
均不能均聚合，两个官能团间一般不能发生缩合反应。
但两者均可参加别的单体的共缩聚反应，生成共缩聚物
6．简要回答下列问题
(1) 高分子化合物的基本特征有哪些?
答: 相对分子质量大、化学组成单一、结构有规、具有平均相对分子质量及多分散性、物性不同于低分子同系物。
(2) 高分子化合物的分类方法有哪些?
答：七种分类方法：来源、用途或物性、主链元素、聚合反应类型、化学结构类别、热行为、相对分子质量。
(3) 高分子化合物的命名方法有哪几种?这些命名方法各适用于哪些种类的聚合物?试举例说明.
答：(A) 聚 + “单体名称”, 仅限于加聚物 (B) 单体全名 + “共聚物”, 仅限于加聚共聚物
(C) 单体名称 + 用途类别: 如酚醛树脂、丁苯橡胶、腈纶 (D) 化学结构类别命名: 如聚酯、聚酰胺、聚氨酯等 (E) IUPAC 命名
7．按照下列高分子试样的分级结果数据计算其数均相对分子质量、重均相对分子质量和分散指数，根据计算结果并参考图1-2和图1-3，用直角坐标纸分别绘制该试样的分级曲线和Flory 分布函数曲线。 级分序号 1 2 3 4 5 6 7 8 质量分数/% 10 19 24 18 11 8 6 4 累计质量分数/% 10 29 53 71 82 90 96 100 平均相对分子质量 12 21 35 49 73 102 122 146 解：按照公式（1-3）将数据代入
M n = 1/(W i /∑ W i × 1/M i )
= 1/(0.1 × 1/12000 + 0.19 × 1/21000 + 0.24 × 1/35000 + 0.18 × 1/49000 + 0.11 × 1/73000 + 0.08 × 1/102000 + 0.06 × 1/122000 + 0.04 × 1/146000) = 1/0.00003097 = 32300
M n
∑W i
11
M
i
=
i
1
1
M
i =/∑( )∑W i (1-3)
M w = ∑各级分的质量分数乘以其数均相对分子质量
= 0.1 × 12000 + 0.19 × 21000 + 0.24 × 35000 + 0.18 × 49000 + 0.11
× 73000 + 0.08 × 102000 + 0.06 × 122000 = 45920 M w / M n = 45920/ 32300 =1.42
绘制该试样的分级曲线和Flory 分布函数曲线参见教材p27之图1-1和1-2。 第2章
1．解释下列高分子术语： 参见教材p325-327
2．简要回答下列问题： (1) 官能团等活性理论
解：P. J. Flory 在20世纪30年代提出：单官能团化合物的分子链达到一定长度之后，其官能团的化学反应活性与分子链长无关。后来研究发现，双多官能团同系物分子中官能团的反应活性实际上与分子链长同样无关。
(2) 在密闭反应器中进行的线型平衡缩聚反应的聚合度公式为
试解释为什么不能得出“反应程度越低则聚合度越高”的结论？ 参见教材p339
(3) 获得高相对分子质量缩聚物的基本条件有哪些？试写出可以合成涤纶的几个聚合反应方程式，说明哪一个反应更容易获得高相对分
X n == ==√K p
K
n w
_√
子质量的产物并说明理由。
参见教材p339
(4) 试举例说明线型平衡缩聚反应的条件往往对该反应的平衡常数的大小有很强的依赖性。
参见教材p339
(6) 说明体型缩聚反应的特点和基本条件。试比较三种凝胶点p c、p f、p s的相对大小并解释原因。
参见教材p340
3．试写出合成具有两种重复单元的无规共聚物和嵌段共聚物的反应方程式
(1) ~[OCC6H4COO(CH2)2O]~ 和~[OC(CH2)4COO(CH2)2O]~
解：这是两种二元酸与乙二醇生成的聚酯
第1种方法，用两种二元酸与乙二醇一起反应即生成无规结构聚酯HOOCC6H4COOH + HOOC(CH2)4COOH + 2nHO(CH2)2OH = ~[OCC6H4COO(CH2)2O] ~ [OC(CH2)4COO(CH2)2O]~
第2种方法，分别用等摩尔的两种二元酸与乙二醇聚合，然后再进行两聚合物的缩合，即生成嵌段结构的聚酯
HOOCC6H4COOH + HO(CH2)2OH = ~[OCC6H4COO(CH2)2O]~ HOOC(CH2)4COOH + HO(CH2)2OH ＝~ [OC(CH2)4COO(CH2)2O]~
两聚合物再缩合
(3) ~[OCNHC6H3(CH3)NHCOO(CH2)4O]~ 和
~[OCNHC6H3(CH3)NHCOO(CH2)2O]~
解：这是甲苯2,4-二异氰酸酯与丁二醇和乙二醇生成的聚氨酯 第1种方法，用甲苯2,4-二异氰酸酯与丁二醇和乙二醇一起反应即生成无规结构的聚氨酯
OCN-C 6H 4(CH 3)NCO+ HO(CH 2)4OH + HO(CH 2)2OH =
~[OCNHC 6H 3(CH 3)NHCOO(CH 2)4O]~[OCNHC 6H 3(CH 3)NHCOO(CH 2)
2O]~
第2种方法，分别用等摩尔的两种二元醇与甲苯2,4-二异氰酸酯聚合，然后再进行两种聚氨酯的缩合，即生成嵌段结构的聚氨酯
OCN-C 6H 4(CH 3)NCO+HO(CH 2)4OH=~[OCNHC 6H 3(CH 3)NHCOO(CH 2)4O]~
OCN-C 6H 4(CH 3)NCO+HO(CH 2)2OH=~[OCNHC 6H 3(CH 3)NHCOO(CH 2)2O]~ 4. 计算题
(1) 己二酸与己二胺进行缩聚反应的平衡常数是432，设单体为等物质的量配比，若期望得到聚合度为200的聚合物，体系中的水必须控制在多少？
解：如果按照封闭体系的聚合度公式，产物聚合度将不足20
因此必须采用开放体系合成
n w = K/X n 2 =432/40000 = 0.0108 即控制水分的摩尔分数不超过10.8%
X n K + 1
√=(2-5b)
X n
K
n w
=
(2 - 6)
√
（2）如果期望尼龙-66的相对分子质量达到15000，试计算两种单体的配料比。如果单体是等物质的量配比并改用加入苯甲酸的办法控制相对分子质量达到相同值，试计算苯甲酸的加入量。设反应程度均为为99.5%。
解：尼龙66结构单元的平均相对分子质量＝(116＋114)/2＝113 产物的聚合度＝132.7 设反应程度为1，则可用式2-12
即得γ＝（X n -1)/（X n +1) = 131.7/133.7 =0.985 即两种单体的摩尔配料比必须控制在0.985
(3) 如果期望涤纶树脂的相对分子质量达到20000，试计算反应器内乙二醇的蒸汽压必须控制在什么数值？已知该反应的平衡常数为4.9，乙二醇在该反应温度的饱和蒸汽压为7600Pa 。提示注意：该聚合反应的单体不是对苯二甲酸和乙二醇，而是对苯二甲酸双β羟乙酯。
解：涤纶结构单元的平均相对分子质量＝(132＋60)/2＝96 产物的聚合度＝208.3 设反应程度为1，则可用式2-6
即得乙二醇的摩尔分数
X n
11+γ
γ
N b + N a
N b N a
==
_=1 / Q (2-12)
X n
K n w
=
(2 - 6)
√
n w ＝K/ X n 2 = 4.9/208.3×208.3 = 0.0113%
即乙二醇必须控制在0.0113% , 或0.086 mm Hg 柱压力之下 (4) 等物质的量的二元酸和二元醇在密闭反应器中进行缩聚反应，设在该反应温度条件下的平衡常数为9，试计算达到平衡时的反应程度和聚合度。 解：在封闭体系中
p =3/4 = 0.75
X n = 3+1 = 4
（5）根据Flory 分布函数分别计算反应程度为0.5，0.90和1时线型缩聚物中单体和二聚体的理论含量。 解：p=0.5时，单体
N n / N 0 ＝ p (1-1) (1–p )2 ＝ 0.52 ＝ 0.25 二聚体
N n / N 0 ＝ p (2-1) (1–p )2 ＝0.5×0.52 ＝ 0.125 p = 0.9时，单体
N n / N 0 ＝ p (1-1) (1–p )2 ＝0.12 ＝ 0.01 二聚体
N n / N 0 ＝ p (2-1) (1–p )2 ＝0.9×0.12 ＝ 0.009 p=1时，单体＝二聚体＝ 0
（6）分别用两种方法计算下面3种体型缩聚反应配方的凝胶点，注
p
√K √K + 1
= (2 - 5a)
X n K + 1
=(2-5b)
意分别比较两种计算结果的数值大小。
邻苯二甲酸酐甘油乙二醇
3.0 mol 2.0 mol 0
1.5 mol 0.98 mol 0
1.50 mol 0.99 mol 0.002 mol
解：配方1，2单体为等摩尔配比
平均官能度＝(3×2＋2×3)/(2+3)＝2.40, p c = 2/f = 0.833配方2，2单体为不等摩尔配比
平均官能度＝(3×0.98×2)/2.48＝2.37, p c = 2/f = 0.844 配方3，3单体为不等摩尔配比
平均官能度＝[(3×0.99+2×0.002)×2]/2.492＝2.387,
p c = 2/f = 0.838
第3章
1．说明下列烯类单体能按何种机理进行聚合，并解释理由。解：（1）CH2=CHCl 自由基型，吸电取代基
（2）CH2 = CCl2自由基、阴离子型，吸电取代基
（3）CH2 = CHCN 自由基、阴离子型，吸电取代基
（4）CH2 = C(CN)2阴离子型，2强吸电取代基叠加
（5）CH2 = CHCH3配位聚合，1个甲基不足以阳离子（6）CH2 = C(CH3)2阳离子、配位聚合，2甲基推电子叠加（7）CH2 = CHC6H5自由基、阴离子、阳离子型，共轭
（8）CF2 = CF2自由基型，对称结构
（9）CH2 = C(CN)COOR 阴离子型，2强吸电取代基叠加
（10）CH2 = CHC(CH3) = CH2自由基、阴离子、阳离子，共轭
2 判断下列单体能否进行自由基聚合反应，分别说明理由。
解: (1) CH2 = C(C6H5)2不能，位阻太大
(2) ClCH=CHCl 不能, 属1,2-二取代
(3) CH2 = C(CH3)C2H5不能, 2个推电子取代基，只能阳离子聚合
(4) CH3CH = CHCH3不能, 属1,2-二取代
(5) CH2 = C(CH3)COOCH3能，1,1-二取代
(6) CH3CH = CHCOOCH3不能, 属1,2-二取代
(7) CH2 =CHOCOCH3能, 弱吸电子取代基
(8) CH2 = CHCH2Cl 不能, 属自动阻聚的烯丙基
(9) CH2 = CHCH2OCOCH3不能, 属自动阻聚的烯丙基
(10) CF2 = CFCl 能, F原子体积和位阻很小
3．试解释下列高分子概念
定义为聚合反应的极限温度或临界(1) 聚合极限温度: 将S
T
?
H?
=/
C
上限温度。在此温度下进行的聚合反应无热力学障碍；高于此温度聚合物将自动降解或分解。
(2) 动力学链长: 指活性中心(自由基)自产生到消失所消耗的单体数目。
(3) 链转移常数: 链转移反应速率常数与链增长速率常的比值.
(4) 自动加速效应:
参见教材p327-328
4．试分别说明有哪些因素对烯类单体进行连锁聚合反应的聚合热产生影响？简要说明影响的结果和原因。
参见教材p340
5．试分别说明苯乙烯、甲基丙烯酸甲酯和氯乙烯3种单体在自由基聚合反应中的链终止反应及其对聚合度的影响有何不同？
参见教材p340
6．在推导自由基聚合反应动力学方程时作了哪些基本假定？试分别说明这些假定对动力学方程的推导过程和结果有何影响？
参见教材p340
7．试比较自由基聚合反应与线型平衡缩聚反应的不同特点。
参见教材p338
8．试总结影响自由基聚合反应速度和产物聚合度的各种因素及其影响结果。
参见教材p341
9．试总结获得高相对分子质量的自由基聚合物的基本条件。
参见教材p342
10．试叙述自由基聚合反应中自加速过程的发生过程，解释其产生原因并比较苯乙烯、甲基丙烯酸甲酯和氯乙烯（或丙烯腈）3种单体分别进行自由基本体聚合时产生自加速的早晚及程度。
参见教材p342
11．自由基聚合反应动力学方程可用下面通式表示：vp= k′[M]p
[ I ]q，试分别说明p和q可能的数值及其所代表的反应机理。
参见教材p343
12．试分别说明链自由基向单体、向引发剂、向溶剂（链转移剂）发生链转移反应的规律，并分别举例予以解释。
解：按照2原则：活泼单体的自由基不活泼，不活泼单体的自由基活泼；相关反应中自由基活性起决定性作用。
因此：对单体而言，不活泼单体均聚容易发生向单体、向引发剂和向溶剂转移，因为其自由基活泼
对引发剂而言，AIBN不容易发生诱导分解
对溶剂而言，含活泼原子的溶剂容易发生链转移13．（第2版）活泼单体苯乙烯和不活泼单体乙酸乙烯酯分别在苯和异丙苯中进行自由基溶液聚合反应，试从单体和溶剂的活性比较所合成的4种聚合物的相对分子质量大小。
参见教材p343，20 题解
14．（第1版13.）
解：υ＝单体消耗速率/自由基产生（或消失）速率
＝v p / v i
＝1.5/4.0×10 4
＝3750
苯乙烯属于双基终止,。先计算溶剂苯的浓度：
1mol苯乙烯体积＝104/0.887=117.2ml
溶剂苯的体积＝882.8ml
摩尔浓度＝0.882.7×0.839/78 = 9.50mol/L
＝ 1/2×3750+0.00008+0.00032×0.01+0.0000023×9.50 ＝ 0.0002384 X n = 4195
15．（第1版 14.题）按照第14题给出的条件合成的聚苯乙烯的聚合度仍然比较高，如果要将相对分子质量降低到83200，需要加入多少相对分子质量调节剂正丁硫醇（C S =21） 解：1/X n = (1/X n 0) + C S [S]/[M]
= 1/4195 + 21 [ S] = 104/83200 = 1/800 [ S] = 1/800 – 1/4195 = 0.00101 mol/L = 0.123 g/L (正丁硫醇的分子量等于122) 16．（第1版 15.题）
解： BPO 分子量＝242，摩尔浓度＝887×0.00109/242=0.0004mol/L 苯乙烯的摩尔浓度＝887/104=8.53 mol/L 第1步，计算动力学链长：
PS 为双基终止，不考虑链转移反应，则 X n ＝2υ ＝ 2v p /v t ＝ 2v p /v i ＝2460 υ ＝ v p /v t ＝ v p /v i ＝ 1230
第2步，用动力学链长和链增长速率计算链终止和链引发速率： 因为υ＝ v p /v t ＝ v p /v i
== + C M + C I [I ]/ [M] + C S [S]/ [M] (3-11-b)
_X n 12υ
1
v t＝v i＝v p/υ＝0.000255/1230= 2.07×10 - 7 mol / L·s
第3步，计算链引发速率常数：
由v i＝2 f k d [ I ][M]
得k d＝v i/2f [ I ][M]＝2.07×10 - 7/ 2×0.8×0.0004×8.53
＝3.79×10 - 5 mol / L·s
第4步，用自由基寿命和链终止速率计算自由基浓度：
τ＝[M.]/v t＝[M.]/v i
得[M.] ＝τ×v t＝0.82 s×2.07×10 - 7 mol / L·s
＝1.703×10 -7 mol / L
k t＝v t/2[M.]2＝2.07×10 - 7/2 (1.703×10 -7 ) 2
＝3.5×10 6mol / L·s
k p＝v p/[M.] ＝0.000255 / 1.703×10 -7
＝1500 mol / L·s
最后比较：
[M.] << [M]
k t>>k p>> k d
v t< 17. 说明使自由基聚合物分散指数变大的主要原因。 参见教材p341 18. 试列出自由基聚合反应各种实施方法所需要的主要原料名称、用量范围以及对各种原料的基本要求。最后，分别说明决定悬浮聚合物珠粒大小的主要因素以及决定乳液聚合产物相对分子质量的主要因 素。 聚合方法本体聚合溶液聚合悬浮聚合乳液聚合 主要配方单体单体单体单体 引发剂引发剂引发剂(油溶引发剂(水溶 溶剂分散剂(悬浮乳化剂 介质水介质水聚合场所单体中溶液中单体液滴中胶束中 决定悬浮聚合物珠粒大小的因素包括分散剂、搅拌强度、液比和温度决定乳液聚合产物相对分子质量的因素包括乳化剂、搅拌、温度和液比 第4章 1．解释下列高分子术语 （1）竞聚率（2）Q – e 方程 参见教材p329 （3）序列结构 解：共聚物分子链上两种结构单元具体排列的规律即 为其序列结构或序列分布。 （4）恒比点 解：二元共聚2单体的竞聚率均<1时，其反“S”形态的 组成曲线与对角线的交点称为恒比点，此时满足 F1A＝f1A＝（1–r2）/（2 –r1–r 2） 2．简要回答下列问题 （1）推导二元共聚物组成微分方程的基本假设及含义有哪些？它们 与推导自由基动力学方程时的基本假设有何异同？ 参见教材p344 （2）在自由基聚合反应中，决定单体及自由基活性的决定性因素是什么？试比较苯乙烯和乙酸乙烯酯及其自由基的活性。 参见教材p344 （3）在自由基聚合链增长反应中，单体的活性对反应速率的影响大，还是自由基活性的影响大？ 参见教材p344 （4）在自由基均聚合反应中，是活泼单体的速率常数大还是不活泼单体的速率常数大？为什么？ 参见教材p344 （5）对合成聚合物进行改性的方法有哪几种？ 解：合成聚合物进行改性方法一般包括共聚、共混和化 学反应等3种。 3．试列出绘制二元共聚物组成曲线的基本步骤，并按此步骤绘制下列六种二共聚物的组成曲线，同时说明其所属的共聚类型。 （1）r1＝1, r2＝1 属于恒比共聚 （2）r＝0, r＝0 属于交替共聚 （3）r1＝0.40, r2＝0.55 属于有恒比点共聚 （4）r1＝2.60, r2＝0.11 属于无恒比点共聚（嵌均共聚） （5）r1 ＝0.10, r2＝0 属于接近交替共聚 （6）r＝0, r＝2.0 属于接近交替共聚 4．说明控制共聚物组成的主要方法有几种，如两种单体进行共聚的竞聚率为r 1＝0.40, r 2＝0.60，要求所得共聚物中两种结构单元之比为F 1＝0.50, 试设计两种单体的合理投料配比，并说明如何控制共聚物组成达到要求。 解：计算恒比点 F 1A ＝f 1A ＝（1– r 2 ）/（2 –r 1 –r 2）＝0.40 可见要求的共聚物组成处于恒比点的上方，且单体2消耗较快，因此可以按照公式 计算F 1=[(0.4×f 12 +f 1(1- f 1)]/[0.4×f 12 +2 f 1(1- f 1)+0.6 (1- f 1)2]=0.50 (0.4 f 12 +f 1- f 12 )/(0.4 f 12 + 2 f 1- f 12+0.6 – 1.2f 1+f 12 )=0.5 0.4 f 12 +f 1- f 12 = 0.5 f 12 + f 1- 0.5f 12+0.3 – 0.6 f 1+0.5f 12 1.1 f 12 – 0.6 f 1+0.3=0 解方程即可得到开始聚合时的需要单体组成f 1 聚合过程中为了控制共聚物组成符合要求，须定时补加消耗得快的单体2。 r 1 f 1 2 + 2 f 1 f 2 + r 2 f 22 r 1 f 12 + f 1 f 2 F 1= (4-2) 线性代数（试卷一) 一、 填空题(本题总计2０分,每小题2分） 1. 排列76２３451的逆序数是_______。 2． 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 ＿＿＿__＿_＿_ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为４，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ ＿2__＿__＿____＿． ６. 设Ａ为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A ７。若Ａ为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 ８．已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数)______________ 。 1０。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k 二、选择题（本题总计10分,每小题2分） 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（D) Ａ.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D ．r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ.8? B.8- Ｃ． 34?? Ｄ.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ｄ ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < C.)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ ４. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.１-3每小题８分，4-7每小题９分） １。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 ． 2．设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵，且2 1= A ，求* A A 2)3(1--. ３．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ??? 《材料力学》考试题集 一、单选题 1. 构件的强度、刚度和稳定性________。 (A)只与材料的力学性质有关 (B)只与构件的形状尺寸有关 (C)与二者都有关 (D)与二者都无关 2. 一直拉杆如图所示，在P 力作用下 。 (A) 横截面a 上的轴力最大 (B) 横截面b 上的轴力最大 (C) 横截面c 上的轴力最大 (D) 三个截面上的轴力一样大 3. 在杆件的某一截面上，各点的剪应力 。 (A)大小一定相等 (B)方向一定平行 (C)均作用在同一平面内 (D)—定为零 4. 在下列杆件中，图 所示杆是轴向拉伸杆。 (A) (B) (C) (D) 5. 图示拉杆承受轴向拉力P 的作用，斜截面m-m 的面积为A ，则σ=P/A 为 。 (A)横截面上的正应力 (B)斜截面上的剪应力 (C)斜截面上的正应力 (D)斜截面上的应力 6. 解除外力后，消失的变形和遗留的变形 。 (A)分别称为弹性变形、塑性变形 (B)通称为塑性变形 (C)分别称为塑性变形、弹性变形 (D)通称为弹性变形 7. 一圆截面轴向拉、压杆若其直径增加—倍，则抗拉 。 (A)强度和刚度分别是原来的2倍、4倍 (B)强度和刚度分别是原来的4倍、2倍 (C)强度和刚度均是原来的2倍 (D)强度和刚度均是原来的4倍 8. 图中接头处的挤压面积等于 。 (A)ab (B)cb (C)lb (D)lc 9. 微单元体的受力状态如下图所示，已知上下两面的剪应力为τ则左右侧面上的剪应力为 。 (A)τ/2 (B)τ (C)2τ (D)0 10. 下图是矩形截面，则m —m 线以上部分和以下部分对形心轴的两个静矩的 。 (A)绝对值相等，正负号相同 (B)绝对值相等，正负号不同 P P 线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ； 材料力学 一、填空题： 1.受力后几何形状和尺寸均保持不变的物体称为。 2.构件抵抗的能力称为强度。 3.圆轴扭转时，横截面上各点的切应力与其到圆心的距离成比。 4.梁上作用着均布载荷，该段梁上的弯矩图为。 5.偏心压缩为的组合变形。 6.柔索的约束反力沿离开物体。 7.构件保持的能力称为稳定性。 8.力对轴之矩在情况下为零。 9.梁的中性层与横截面的交线称为。 10.图所示点的应力状态，其最大切应力是。 11.物体在外力作用下产生两种效应分别是。 12.外力解除后可消失的变形，称为。 13.力偶对任意点之矩都。 14.阶梯杆受力如图所示，设AB和BC段的横截面面积分别为2A和A，弹性模量为E，则杆中最大正应力为。 15.梁上作用集中力处，其剪力图在该位置有。 16.光滑接触面约束的约束力沿指向物体。 17.外力解除后不能消失的变形，称为。 18.平面任意力系平衡方程的三矩式，只有满足三个矩心的条件时，才能成为力系平衡的充要条件。 19.图所示，梁最大拉应力的位置在点处。 20.图所示点的应力状态，已知材料的许用正应力[σ]，其第三强度理论的强度条件是。 21.物体相对于地球处于静止或匀速直线运动状态，称为。 22.在截面突变的位置存在集中现象。 23.梁上作用集中力偶位置处，其弯矩图在该位置有。 24.图所示点的应力状态，已知材料的许用正应力[σ]，其第三强度理论的强度条件是。 25.临界应力的欧拉公式只适用于杆。 26.只受两个力作用而处于平衡状态的构件，称为。 27.作用力与反作用力的关系是。 28.平面任意力系向一点简化的结果的三种情形是。 29.阶梯杆受力如图所示，设AB和BC段的横截面面积分别为2A和A，弹性模量为E，则截面C的位移为 。 30.若一段梁上作用着均布载荷，则这段梁上的剪力图为。 二、计算题： 1.梁结构尺寸、受力如图所示，不计梁重，已知q=10kN/m，M=10kN·m，求A、B、C处的约束力。 2.铸铁T梁的载荷及横截面尺寸如图所示，C为截面形心。已知I z=60125000mm4，y C=157.5mm，材料许用压应力[σc]=160MPa，许用拉应力[σt]=40MPa。试求：①画梁的剪力图、弯矩图。②按正应力强度条件校核梁的强度。 3.传动轴如图所示。已知F r=2KN，F t=5KN，M=1KN·m，l=600mm，齿轮直径D=400mm，轴的[σ]=100MPa。试求：①力偶M的大小；②作AB轴各基本变形的内力图。③用第三强度理论设计轴AB 西南大学线性代数作业答案 第一次 行列式部分的填空题 1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符 号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式2 5 1122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10 2 3 25403--中元素-2的代数余子式是 —11 。 5．行列式25 11 22 14--x 中，x 的代数余子式是 — 5 。 6．计算00000d c b a = 0 行列式部分计算题 1．计算三阶行列式 3 811411 02--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）× （—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—4 2．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。 3．(7分)已知0010413≠x x x ，求x 的值． 解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2 所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组 ?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。 解：()211 1 1 010001 1 111111-=--= =λλλλλD 由D=0 得 λ=1 5．用克莱姆法则求下列方程组： ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为 33113 210421711 7021 04 21 911 7018904 2 1 351 1321 5 421231 312≠-=?-?=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算： 81 1 11021 29 42311-=-=D 108 1 103229543112-==D 135 10 13291 5 31213=-=D 因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是： 第六章 线性空间与线性变换 1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基. (1) 2阶矩阵的全体S 1; 解 设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为 (A +B )∈S 1, kA ∈S 1, 所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. ??? ??=00 011ε, ??? ??=00102ε, ??? ??=0100 3ε, ?? ? ??=1000 4ε 是S 1的一个基. (2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2; 解 设??? ??-=a c b a A , ?? ? ??-=d f e d B , A , B ∈S 2 . 因为 2)(S d a a c b c d a B A ∈??? ??++++-=+, 2S ka kc kb ka kA ∈?? ? ??-=, 所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. ?? ? ? ?-=10011ε, ??? ??=00102ε, ?? ? ??=0100 3ε 是S 2的一个基. (3) 2阶对称矩阵的全体S 3. 解 设A , B ∈S 3, 则A T =A , B T =B . 因为 (A +B )T =A T +B T =A +B , (A +B )∈S 3, (kA )T =kA T =kA , kA ∈S 3, 所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间. ??? ??=00 011ε, ??? ??=01102ε, ?? ? ??=1000 3ε 是S 3的一个基. 2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间. 解 设V ={与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T , r 2=(-1, 0, 1)T , 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T ?V , 即V 不是线性空间. 3. 设U 是线性空间V 的一个子空间, 试证: 若U 与V 的维数相等, 则U =V . 证明 设ε1, ε2, ???, εn 为U 的一组基, 它可扩充为整个空间V 的一个基, 由于dim(U )=dim(V ), 从而ε1, ε2, ???, εn 也为V 的一个基, 则: 对于x ∈V 可以表示为x =k 1ε1+k 2ε2+ ??? +k r εr . 显然, x ∈U , 故V ?U , 而由已知知U ?V , 有U =V . 4. 设V r 是n 维线性空间V n 的一个子空间, a 1, a 2, ???, a r 是V r 的一个基. 试证: V n 中存在元素a r +1, ???, a n , 使a 1, a 2, ???, a r , a r +1, ???, a n 成为V n 的一个基. 证明 设r 2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式：闭卷 考试时间： 一、单项选择题（每小题 3分，共15分） 1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． (A ) 1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥． 4．初等矩阵（A ）； (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,, ,n ααα线性无关，则（C ） A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关； B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； D. 以上都不对。 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t 7．设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ，则1A -= 材料力考试题及答案 一、填空题：（每空1分，共计38分） 1、变形固体的变形可分为：弹性变形和塑性变形。 2、构件安全工作的基本要求是：构件必须具有足够的强度、足够刚度 和足够稳定性。 3、杆件变形的基本形式有拉（压）变形、剪切变形、扭转变形 和弯曲变形。 4、吊车起吊重物时，钢丝绳的变形是拉伸变形；汽车行驶时，传动轴的变 形是扭转变形；教室中大梁的变形是弯曲变形；螺旋千斤顶中的螺杆受压杆受压变形。 5、图中σ——ε曲线上，对应p点的应力为比例极限，符号__σp__、对应y 点的应力称为屈服极限，符号_σs__、对应b点的应力称为强化极限符号_σb ___ __。 k 6、内力是外力作用引起的，不同的外力引起不同的内力，轴向拉、压变形时 的内力称为轴力。剪切变形时的内力称为剪力，扭转变形时内力称为扭矩，弯曲变形时的内力称为弯矩。 7、下图所示各杆件中受拉伸的杆件有 AB、BC、CD、AD ；受力压缩杆件有 BE 。 8、胡克定律的两种表达式为EA L N l ?=?和εσE =。E 称为材料的 弹性模量 。它是衡量材料抵抗 变形 能力的一个指标。E 的单位为MPa ，1 MPa=_106_______Pa 。 9、衡量材料强度的两个重要指标是 屈服极限 和 强化极限 。 10、通常工程材料丧失工作能力的情况是：塑性材料发生 屈服 现象， 脆性材料发生 强化 现象。 11、挤压面为平面时，计算挤压面积按 实际面积 计算；挤压面为半圆柱面的 投影 面积计算。 12、在园轴的抬肩或切槽等部位，常增设 圆弧过渡 结构，以减小应力集中。 13、扭转变形时，各纵向线同时倾斜了相同的角度；各横截面绕轴线转动了不同 的角度，相邻截面产生了 转动 ，并相互错动，发生了剪切变形，所以横截面上有 剪 应力。 14、因半径长度不变，故切应力方向必与半径 垂直 由于相邻截面的间距不 变，即园轴没有 伸长或缩短 发生，所以横截面上无 正 应力。 15、长度为l 、直径为d 的圆截面压杆，两端铰支，则柔度λ为 ，若压 杆属大柔度杆，材料弹性模量为E ，则临界应力σ cr 为______________。 二、 判断题：（每空1分，共计8分） 1、正应力是指垂直于杆件横截面的应力。正应力又可分为正值正应力和负值正 应力。 （ √） 2、构件的工作应力可以和其极限应力相等。 （ × ） 3、设计构件时，须在满足安全工作的前提下尽量节省材料的要求。 （ √ ） 4、挤压面的计算面积一定是实际积压的面积。 （ × ） 线性代数机算与应用作业题 学号： 姓名： 成绩： 一、机算题 1．利用函数rand 和函数round 构造一个5×5的随机正整数矩阵A 和B 。 （1）计算A ＋B ，A －B 和6A （2）计算()T AB ，T T B A 和()100 AB （3）计算行列式A ，B 和AB （4）若矩阵A 和B 可逆，计算1 A -和1 B - （5）计算矩阵A 和矩阵B 的秩。 解 输入： A=round(rand(5)*10) B=round(rand(5)*10) 结果为： A = 2 4 1 6 3 2 2 3 7 4 4 9 4 2 5 3 10 6 1 1 9 4 3 3 3 B = 8 6 5 4 9 0 2 2 4 8 9 5 5 10 1 7 10 6 0 3 5 5 7 9 3 （1）输入： A+B 结果为： ans= 10 10 6 10 12 2 4 5 11 12 13 14 9 12 6 10 20 12 1 4 14 9 10 12 6 输入： A-B 结果为： ans = -6 -2 -4 2 -6 2 0 1 3 -4 -5 4 -1 -8 4 -4 0 0 1 -2 4 -1 -4 -6 0 输入： 6*A 结果为： ans = 12 24 6 36 18 12 12 18 42 24 24 54 24 12 30 18 60 36 6 6 54 24 18 18 18 （2）输入： (A*B)' 结果为： ans = 82 112 107 90 135 100 121 107 83 122 80 99 105 78 107 61 82 137 121 109 78 70 133 119 134 输入： B'*A' 结果为： ans = 82 112 107 90 135 100 121 107 83 122 80 99 105 78 107 61 82 137 121 109 78 70 133 119 134 输入： (A*B)^100 结果为： ans = 1.0e+270 * 1.6293 1.6526 1.4494 1.5620 1.6399 1.9374 1.9651 1.7234 1.8573 1.9499 2.4156 2.4501 2.1488 2.3158 2.4313 2.0137 2.0425 1.7913 1.9305 2.0268 2.4655 2.5008 2.1932 2.3636 2.4815 （3）输入： D=det(A) 结果为： D = 5121 输入： D=det(B) 结果为： ||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： || 第 1 页 共 18 页 行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是( ) (A) b a d c d c b a - = ； (B) a c b d d c b a = ； (C) d c b a d c d b c a = ++33； (D) d c b a d c b a ----- =. 答案：D 2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）． (A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号． 答案：C 二、填空题 1. a b b a log 1 1 log = . 解析： 0111log log log 1 1log =-=-=a b a b b a b a . 2. 6 cos 3sin 6sin 3 cos π π ππ = . 解析： 02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3 sin 6sin 3 cos ==-=πππππππ π π 3.函数x x x x x f 1213 1 2)(-=中，3x 的系数为 ； x x x x x x g 2 1 1 12)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2. ||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： || 第 2 页 共 18 页 阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1. 5. 三阶行列式11342 3 2 1-中第2行第1列元素的代数余子式 等于 . 答案：5. 6.若 02 1 8 2=x ，则x = . 答案：2. 7.在 n 阶行列式ij a D =中，当i 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 二、计算题： 1.梁结构尺寸、受力如图所示，不计梁重，已知q=10kN/m，M=10kN·m，求A、B、C处的约束力。 2.铸铁T梁的载荷及横截面尺寸如图所示，C为截面形心。已知I z=60125000mm4，y C=157.5mm，材料许用压应力[σc]=160MPa，许用拉应力[σt]=40MPa。试求：①画梁的剪力图、弯矩图。②按正应力强度条件校核梁的强度。 3.传动轴如图所示。已知F r=2KN，F t=5KN，M=1KN·m，l=600mm，齿轮直径D=400mm，轴的[σ]=100MPa。 试求：①力偶M的大小；②作AB轴各基本变形的内力图。③用第三强度理论设计轴AB的直径d。 4.图示外伸梁由铸铁制成，截面形状如图示。已知I z=4500cm4，y1=7.14cm，y2=12.86cm，材料许用压应力[σc]=120MPa，许用拉应力[σt]=35MPa，a=1m。试求：①画梁的剪力图、弯矩图。②按正应力强度条件确定梁截荷P。 5.如图6所示，钢制直角拐轴，已知铅垂力F1，水平力F2，实心轴AB的直径d，长度l，拐臂的长度a。 试求：①作AB轴各基本变形的内力图。②计算AB轴危险点的第三强度理论相当应力。 6.图所示结构，载荷P=50KkN，AB杆的直径d=40mm，长度l=1000mm，两端铰支。已知材料E=200GPa，σp=200MPa，σs=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa，稳定安全系数n st=2.0，[σ]=140MPa。试校核AB杆是否安全。 7.铸铁梁如图5，单位为mm，已知I z=10180cm4，材料许用压应力[σc]=160MPa，许用拉应力[σt]=40MPa， 试求：①画梁的剪力图、弯矩图。②按正应力强度条件确定梁截荷P。 8.图所示直径d=100mm的圆轴受轴向力F=700kN与力偶M=6kN·m的作用。已知M=200GPa，μ=0.3，[σ]=140MPa。试求：①作图示圆轴表面点的应力状态图。②求圆轴表面点图示方向的正应变。③按第四强度理论校核圆轴强度。 9.图所示结构中，q=20kN/m，柱的截面为圆形d=80mm，材料为Q235钢。已知材料E=200GPa，σp=200MPa，σs=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa，稳定安全系数n st=3.0，[σ]=140MPa。试校核柱BC是否安全。 线性代数作业提示与答案 作业（1） 一．k x x k x k x -====4321,0,, 二．??? ??? ???==--=++=24 13212 211,757975,767171k x k x k k x k k x 三．1．阶梯形（不唯一）：????? ? ???? ??---140 10612 0071210 02301 ，简化阶梯形?????? ? ????? ????- 10000 02 1 100 00 01002 7 01 秩为4； 2．简化阶梯形为单位矩阵. 四．1．其系数矩阵的行列式值为 2 )1)(2(-+λλ（该方程组的系数矩阵为方阵，故可以借助于行列式来判定） 当12≠-≠λλ,时，方程组只有零解， 当2-=λ时，通解为=x ???? ? ?????111k ； 当1=λ时，通解为=x T T k k ]1,0,1[]0,1,1[21-+-； 2．?? ?? ???? ??? ???? ? -++-- - -2200123 23012 1211~2 λλλλA ， 当2-≠λ时，方程组有唯一解； 当2-=λ时，方程组有无穷解，通解为=x T T k ],,[],,[022111+. 作业(2) 一．1． =x 1，2，3； 2. !)(n n 11-- 3.-120 4. ()() !) 1(2 21n n n --- 5. 41322314a a a a 6. 2,0=x 7.abc 3- 8.12 二．1．1； 2.以第二列、第三列分别减去第一列，再把第二列、第三列分别加到第一列上，得到 333 33 32222221 11111b a a c c b b a a c c b b a a c c b +++++++++=23 2 3 3221 11c b a c b a c b a 3． 0； （注：行列式计算中注意行列式的表示方法不要和矩阵表示方法混淆，而且计算过程中用的是等号） 4．12 2 2 +++γβα 作业(3) 一．1．c; 2. d ; 3.a 二．1.将第n ,,, 32列都加到第一列上，提出公因子∑=+ n i i a x 1 ，得到(∑=+ n i i a x 1 )1-n x . 2.由第二列起，各列均减第一列，按第二行展开，得)!(22--n ． 3．由第1-n 行至第一行，相继将前一行元素乘以1-后加到后一行上，得到 .)1(0 1 00001011 111 22 1 2) 1(n n n n n n --=-- 4．按第一列展开，得到行列式的值为.)(n n n y x 11+-+ 三．3)(=A R （注：用矩阵的行初等变换化为梯矩阵，数非零行即可.注意矩阵的表 07 秋材料力学性能 一、填空：（每空1分,总分25分） 1.材料硬度的测定方法有、和。 2.在材料力学行为的研究中，经常采用三种典型的试样进行研究，即、和。 3.平均应力越高，疲劳寿命。 4.材料在扭转作用下,在圆杆横截面上无正应力而只有,中心处切 应力为,表面处。 5.脆性断裂的两种方式为和。 6.脆性材料切口根部裂纹形成准则遵循断裂准则；塑性材料切口根 部裂纹形成准则遵循断裂准则； 7.外力与裂纹面的取向关系不同，断裂模式不同，张开型中外加拉 应力与断裂面，而在滑开型中两者的取向关系则为。 8．蠕变断裂全过程大致由、和 三个阶段组成。 9．磨损目前比较常用的分类方法是按磨损的失效机制分为、和腐蚀磨损等。 10．深层剥落一般发生在表面强化材料的区域。 11．诱发材料脆断的三大因素分别是、和 。 二、选择：（每题1分，总分15分） （）1. 下列哪项不是陶瓷材料的优点 a）耐高温 b) 耐腐蚀 c) 耐磨损 d)塑性好 （）2. 对于脆性材料，其抗压强度一般比抗拉强度 a)高b)低c) 相等d) 不确定 （）3.用10mm直径淬火钢球，加压3000kg，保持30s，测得的布氏硬度值为150的正确表示应为 a) 150HBW10／3000／30 b) 150HRA3000／l0／ 30 c) 150HRC30／3000／10 d) 150HBSl0／3000／30 （）4.对同一种材料，δ5比δ10 a) 大 b) 小 c) 相同 d) 不确定 （）5.下列哪种材料用显微硬度方法测定其硬度。 a) 淬火钢件 b) 灰铸铁铸件 c) 退货态下的软钢 d) 陶瓷 （）6.下列哪种材料适合作为机床床身材料 a) 45钢 b) 40Cr钢 c) 35CrMo钢 d) 灰铸铁（）7.下列哪种断裂模式的外加应力与裂纹面垂直，因而 它是最危险的一种断裂方式。 华东理工大学 线性代数 作业簿（第七册） 学 院____________专 业____________班 级____________ 学 号____________姓 名____________任课教师____________ 5.1 方阵的特征值与特征向量 1. 求下列矩阵的特征值与特征向量: (1)??????????--=201034011A ; (2)?? ?? ? ?????=122212221A . 解:（1）由 1104301 2|A I |---=---λ λλλ 0)1)(2(2=--=λλ， 解得A 的特征值为: 2,1321===λλλ, 当121==λλ时, 解方程 ()0A I x -=, 由 210101420~012101000A I -???? ????-=-???? ????????, 得基础解系为 ???? ??????-=1211p , 故对应121==λλ的全部特征向量为 )0(1≠k kp ; 当23=λ时, 解方程 0)2(=-x E A , 由 3101002410010100000A I ~-???? ????-=-???? ????????, 得基础解系为 ???? ??????=1002p , 故对应23=λ的全部特征向量为 )0(2≠k kp . 解: (2) 由1222122 2 1|A I |--=--λλλλ 0)5()1(2=-+=λλ, 解得A 的特征值为: 5,1321=-==λλλ, 当12 1==λλ时, 解方程 ()0A I x +=, 由 22211122 2~00022 2000A I ????????+=???? ????????, 得基础解系为 ???? ? ?????-=0111p , ???? ? ?????-=1011p ，故对应121-==λλ的全部特征向量为 )0(212211≠+k k p k p k ; 当53=λ时, 解方程: (5)0A I x -=, 由 4221015242~011224000A I --???? ????-=--???? ????-????, 得基础解系为 ???? ??????=1113p , 故对应53=λ的全部特征向量为)0(3≠k kp . 2. 已知3阶矩阵A 的特征值为2,1,1-,235A A B -=,求B 的特征值. 解: 容易证明， 当λ是A 的特征值时, 则矩阵A 的多项式)(A f 必有特征值)(λf .设235)(A A A f B -==, 则B 有特征值: 4)1(-=f , 6)1(-=-f , 12)2(-=f . 3.设矩阵?? ?? ? ?????=100321z y x A , 且A 的特征值为3,2,1, 求z y x ,,. 解: 0]2))(1)[(1(10 321||=----=---= -x y z y x I A λλλλ λλ λ, 因为A 有特征值为3,2,1得: ???=----=----0 ]2)3)(31)[(31(0 ]2)2)(21)[(21(x y x y , 《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠； () B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同； 第一章 1．用消元法解下列线性方程组： （1）??? ??=++=++=++. 5432,9753,432321 321321x x x x x x x x x 解 由原方程组得同解方程组 12323234,23,x x x x x ++=?? +=? 得方程组的解为13232, 2 3. x x x x =-?? =-+?令3x c =，得方程组的通解为 c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数． 2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵： （2）???? ? ??--324423211123． 解 1102 232111232551232041050124442300000000r r ? ?- ?-???? ? ? ? ? -??→--??→- ? ? ? ? ?- ????? ? ?? ? ，得 行阶梯形：????? ? ?---0000510402321（不唯一）；行最简形：???? ??? ? ? ? - -00004525 10212 01 3．用初等行变换解下列线性方程组： （1）?? ? ??=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x 解 2100313357214110109011320019r B ? ? ??? ? ? ?=-??→- ? ? ?- ??? ? ?? ?M M M M M M ， 得方程组的解为 9 20 ,97,32321=-==x x x ． （2）??? ??=+++=+++=++-. 2222,2562, 1344321 43214321x x x x x x x x x x x x 解 114311143121652032101222200001r B --???? ? ? =?? →-- ? ? ? ????? M M M M M M ， 得方程组无解． 第二章 1.（2） 2 2 x y x y ． 解 原式()xy y x =-． （2）01000 020 00010 n n -L L L L L L L L L ． 2.解 原式1 100 020 (1) 001 n n n +=-=-L L M M M L !)1(1n n +- 线性代数（经管类)综合试题一 （课程代码 4１84) 一、单项选择题（本大题共10小题,每小题2分，共2０分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将 其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设D==M≠0,则D1＝= ( B ). A．-2M B.2MＣ.-6Ｍ D.６M 2.设A、B、C为同阶方阵,若由AＢ= AC必能推出B＝C, 则A应满足 ( D)． A. A≠ O B．A=Ｏ C.|A|= 0 D．|A|≠0 3．设A，B均为n阶方阵，则（A)． A.|A+AB|=０,则|Ａ|＝0或|Ｅ+Ｂ｜=０ B.(A+B)2=Ａ2+２ AB+B2 C.当ＡB=O时,有A=O或B=Ｏ D．（AＢ）-1=B－1A-1 4．二阶矩阵Ａ,|Ａ|＝1,则Ａ-1= ( B). A.Ｂ. C. D. ，则下列说法正确的是( B). Ａ.若两向量组等价,则ｓ＝t . Ｂ.若两向量组等价，则ｒ()＝ｒ() C.若s = t，则两向量组等价. D．若ｒ()=ｒ(),则两向量组等价. 6.向量组线性相关的充分必要条件是 （C )． A.中至少有一个零向量 B.中至少有两个向量对应分量成比例 Ｃ.中至少有一个向量可由其余向量线性表示 Ｄ.可由线性表示 ７.设向量组有两个极大无关组与 ,则下列成立的是( Ｃ). Ａ. r与s未必相等 B. r + s ＝ｍ Ｃ. r = s D. r + s > m ８.对方程组Ａx ＝b与其导出组Ax＝o,下列命题正确的是( Ｄ). A. Ax =o有解时,Ax = b必有解. Ｂ．Ax＝o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解. C．Ax = b无解时，Ax= o也无解. D．Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解. 9．设方程组有非零解，则ｋ=( D)． A. ２B．3 C. -1 D. 1 １0．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D). A.|A｜>０Ｂ.存在n阶方阵C使A=C T C C.负惯性指标为零 D．各阶顺序主子式均为正数 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.四阶行列式D中第３列元素依次为-1，2,0,1，它们的余子式的值依次为５,3,-7，4，则D= -1５． １２.若方阵A满足A2= A,且A≠Ｅ，则|A|= 0 . 13.若A为3阶方阵,且,则|2A｜= 4． 14.设矩阵的秩为２,则t= -３ . １５.设向量＝(6，８，0），=(4，–3，5),则（，)= 0 . 1６.设n元齐次线性方程组A x= o,r（A)= r＜n,则基础解系含有解向量的个数为ｎ-r个.线性代数试题及答案.
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