运算定律
第 3 节简便计算
【知识梳理】
1.加减法中常用的简便算法
(1)加法运算律的应用:在计算过程中可以通过交换律或结合律将能“凑整”的数先凑整,这样会使计算简便,在加减运算中,凑整主要是通过加法的结合律和交换律进行的。
(2)“补数”的概念
如果两个数相加能够凑出整式整百整千的数,那么这两个数互为“补数”,如32的补数是68,1234的补数是8766。通常情况下,互为补数的两个数具有如下特点:
【1】互为补数的两个数的个位相加得10
【2】互为补数的两个数除个位以外的其他位上的数字相加都得9.
在计算时找到互为补数的两个数可以达到凑整的目的。
2.乘除法中常用的简便算法
(1)乘法运算律的应用:在计算过程中,如果通过运算律的应用能凑成整式整百整千的数,则会使运算变得简单,这个原则就是简便计算的凑整原则,在乘法运算中常用“25×4=100”、“125×8=1000”来凑整。
3.除法的性质
(1)除法的性质1:一个数连续除以两个数等于这个数除以这两个数的乘积,用字母表示为a÷b÷c=a÷(b×c)
(2)除法性质2:两个数的和或差除以一个数,等于两个数分别除以这个数再求和或差,字母表示为:(a±b)÷c=a÷c±b÷c
(3)除法的性质3:被除数和除数同时扩大或算小相同的倍数商不变。
注意:一个数除以两个数的和或差只能按运算顺序计算,没有相对应的运算律,不能够写为这个数分别除以这两个数再求和或差。
【诊断自测】
一、列综合算式,并用两种方法解答下列各题
1.篮子里有16个苹果,平均分成2组,每组分成四份,每份几个?
2.王老师买了5副羽毛球拍,花乐330元,每支羽毛球拍多少钱?
3.小明用了三个星期才把一本习字本写完,一共写了420个字。他平均每天写多少个毛笔字?
二、填空
(1)一个数除以连续两个数可以用这个数除以这两个数的(),用字母表示为()(2)在四则混合运算中改变运算顺序可以通过添加或去掉括号来完成,在加减混合运算中如果括号前是加号,添加括号时(),如果括号前是减号,添加括号时()。(3)在乘除混合运算中,括号前面如果是乘号,去括号时(),括号前面如果是乘号,去括号时().
三、计算下列各题,怎样简便就怎样算
2000÷125÷8 25×(4+8)
1280÷16÷8 5×99+5
【考点突破】
类型一:乘除法中常用的简便算法
例1.老师买了5副羽毛球拍,花了330元,还买了25桶羽毛球,每桶32元,每桶12个羽毛球。
(1)老师一共买了多少个羽毛球?
(2)每支羽毛球拍多少钱?
答案
(1)12×25 (2)330÷5÷2 =3×4×25 =330÷(5×2)
=3×(4×25)=330÷10
=3×100 =33(元)
=300(个)答:每支羽毛球拍33元。
答:老师买了300个羽毛球。
解析:
在解答第一问的过程中需要用每桶的个数乘以桶数求出总个数,列式为12×25,此算式的计算过程可以用简便方法,因为12可以分解成3×4,4×25=100。
在解答第二问的过程中,列式为330÷5÷2,根据除法的性质,连续除以两个数等于除以这两个数的乘积,则原式可写为330÷(5×2),从而达到简便运算的目的。
例2.计算
125×88(用两种方法进行简便与暖)
答案:
方法一:125×88 方法二: 125×88
=125×8×11 =125×(80+8)
=(125×8)×11 =125×80+125×8
=1000×11 =10000+1000
=11000 =11000
解析:
通过观察算式,发现88可分解为8×11或80+8,125和8的乘积是1000,可凑整,在乘除法的简便运算中利用“25×4=100”和“125×8=1000”是经常用到的凑整方法。
类型二、除法的性质
例3.计算
(104×24×69)÷(23×12×13)
答案:
(104×24×69)÷(23×12×13)
=104×24×69÷23÷12÷13
=(104÷23)×(24÷12)×(69÷13)
=8×2×3
=48
解析:
一个数除以几个数的乘积,等于这个数依次除以这几个数,此题先利用除法的这一性质去括号,逆用此性质添括号即可,添括号过程中利用交换律“带符号搬家”。
例4.计算
2500÷4÷25(两种方法进行简便运算)
答案:
方法一: 2500÷4÷25 方法二: 2500÷4÷25
=2500÷(4×25)=2500÷25÷4
=2500÷100 =100÷4
=25 =25
解析:
方法一利用连续除以两个数等于除以这两个数的乘积,在连除问题中经常用到。
在同级运算中同时改变数字和它前面符号的位置不影响计算结果,也就是“带符号搬家”,方法二使用的就是这一规律。
类型三:添括号和去括号
例5.计算
1400÷25
答案:
1400÷25
=14×100÷25
=14×(100÷25)
=14×4
=56
解析:
乘除法中的添括号法则:添加括号时括号前若是乘号,则括号中的符号不改变,若括号前是除号,则括号中改变符号,乘号变为除号,除号变为乘号
如:13×25×4=13×(25×4),100÷25÷4=100÷(25×4)
例6.简便计算
6300÷54×6
答案:
6300÷54×6
=6300÷(54÷6)
=6300÷9
=700
解析:
本题先利用乘除法的添括号法则添加括号,之后按顺序计算即可。
乘除法中的添括号法则:添加括号时括号前若是乘号,则括号中的符号不改变,若括号前是除号,则括号中改变符号,乘号变为除号,除号变为乘号
如:13×25×4=13×(25×4),100÷25÷4=100÷(25×4)
例7.计算 270÷18
答案:
270÷18
=270÷(9×2)
=270÷9÷2
=30÷2
=15
解析:
本题先将18分解为9×2,再利用乘除法的去括号法则去括号。
乘除法中的去括号法则:去括号时括号前若是乘号,则括号中的符号不改变,若括号前是除号,则括号中改变符号,乘号变为除号,除号变为乘号
如:13×(25×4)=13×25×4,100÷(25×4)=100÷25÷4
【易错精选】
1.为了考察大头儿子的速算能力,小头爸爸给他出了一道题,并且限时一分钟,小朋友,你能做到吗?
???
192564125
=
尝试口算下列各题:
?= 2512516
??=
??= 125198
??= 12572
17425
13×25×125×4×8=456212525548
??????=
2.简便方法计算
?+?
????.999222333334
564251252009
+?(8172)9
1999999999
+÷
--÷29150950
(20461068735)3
÷+÷
22595
÷÷
3.把“>、<、=”填在合适的○里。
496-120-230○496-(12+230)
192+(95-75)○192+95-75
198×8×l0○198×8+10 720÷36÷2○720÷(36÷2)
18×4÷2○18×(4+2) 280-70+30○280-(70+30)
70×3+5○70×(3+5)(65+13)×4○65×4+13
【精华提炼】
知识点一:同级运算中的结合律(添括号与去括号法则)
(1)同级运算的概念:加减法是第一级运算,乘除法是第二级运算,如果一个算式中只含有同一级运算,说明该算式中只有加减法或只有乘除法。
(2)同级运算的添括号法则:
加减运算中的添括号法则:添加括号时括号前若是加号,则括号中的符号不改变,若括号前是减号,则括号中改变符号,加号变为减号,减号变为加号
如:30-14-86=30-(14+86),30+105-5=30+(105-5)
乘除法中的添括号法则:添加括号时括号前若是乘号,则括号中的符号不改变,若括号前是除号,则括号中改变符号,乘号变为除号,除号变为乘号
如:13×25×4=13×(25×4),100÷25÷4=100÷(25×4)
(3)同级运算中的去括号法则:
加减运算中的去括号法则:去括号时括号前若是加号,则括号中的符号不改变,若括号前是减号,则括号中改变符号,加号变为减号,减号变为加号
如:30-(14+86)=30-14-86,30+(105-5)=30+105-5
乘除法中的去括号法则:去括号时括号前若是乘号,则括号中的符号不改变,若括号前是除号,则括号中改变符号,乘号变为除号,除号变为乘号
如:13×(25×4)=13×25×4,100÷(25×4)=100÷25÷4
知识点二:同级运算中的交换律(“带符号搬家”)
在只含有同级运算的算式中,移动一个数和它前面的符号,不影响算式的结果
如:12+3-6+7-2=12-2+7-6+3,12×7÷3÷2×6=12×6÷3×7÷2
【本节训练】
1.怎样算简便就怎样算?
1)例题325÷25=(325×4)÷(25×4)=1300÷100=13
2)450÷25 3)525÷25
4)3500÷125 5)10000÷625
6)49500÷900 7)9000÷225
2.用简便方法计算
25×125×4×8 125×15×8×4 25×24 125×16 75×16 125×25×32 25×5×64×125
3.怎样算简便就怎样算
(360+108)÷36 1÷2+3÷2+5÷2+7÷2
(720+96)÷24 (4500-90)÷45
6342÷21 8811÷89
4.运输队一辆货车一次可以运货10吨,照这样计算,运输队共有货车48辆,5 次共运
多少吨?
5.玩具厂一个生产小组有12个工人,一天工作8小时,共做芭比娃娃960个,平均每人每
小时生产芭比娃娃多少个?
【基础巩固】
一、判断题
1)27+33+67=27+100 ()
2)125×16=125×8×2 ()
3)134-75+25=134-(75+25)()
4)先乘前两个数,或者先乘后两个数,积不变,这是乘法结合律。()
5)1250÷(25×5)=1250÷25×5 ()
6)102×98=(100+2)×98这里运用了乘法的分配律。……()
7)36×25=(9×4)×25=9×(4×25)……………………………()
8)125×17×8=125×8×17这里只运用了乘法结合律。……()
9)179+204=179+200+4…………………………………………()
10)先乘前两个数,或者先乘后两个数,积不变,这是乘法结合律。()
二、选择(把正确答案的序号填入括号内)
1)56+72+28=56+(72+28)运用了()
A)加法交换律 B)加法结合律
C)乘法结合律 D)加法交换律和结合律
2)25×(8+4)=()
A)25×8×25×4 B)25×8+25×4
C)25×4×8 D)25×8+4
3)3×8×4×5=(3×4)×(8×5)运用了()
A)乘法交换律 B)乘法结合律
C)乘法分配律 D)乘法交换律和结合律
4)101×125= ()
A)100×125+1 B)125×100+125
C)125×100×1 D)100×125×1×125
三、仔细想,认真填
1.用字母a、b、c表示下面运算定律:
(l)加法交换律();
(2)乘法分配律();
(3)乘法交换律();
(4)加法结合律();
(5)乘法结合律()。
2.根据运算定律,在□里填上适当的数。
(1)a+(30+8)=(□+□)+8 (2)□十82=□十18
(3)45×□=32×□(4)25×(4+8)=□×□十□×□
四、直接写出得数。
70×13= 22×10= 250×4= 0÷280= 456-199= 100÷20= 67+23= 31×30= 157+198= 32×30= 480÷16= 850×90=
【巅峰突破】
1.计算出下式结果,并总结规律.
第一组:⑴37101
?
?⑵85101
⑶79101
?
?⑷2310101
规律总结:________________________
⑸4910101
?
?⑹69101010101
第二组:⑴1231001
?
?⑵2871001
⑶3951001001
?
?⑷456710001
规律总结:________________
⑸3985100010001
?
?⑹438691000010000100001
2.简便计算
?
68101
?154601
?2561002
?74201
?
?6875
5365
?3225
?63815
? .2999999999
+?333333999999
++++
1234551234451233451223451 (1234567234567134567124567123567123467123457123456)7 ++++++÷
参考答案
【诊断自测】
一、列综合算式,并用两种方法解答下列各题
1.篮子里有16个苹果,平均分成2组,每组分成四份,每份几个?
16÷2÷4
=16÷(2×4)
=2(个)
答:每份2个。
2.王老师买了5副羽毛球拍,花乐330元,每支羽毛球拍多少钱?
330÷5÷2
=330÷(5×2)
=330÷10
=33(元)
答:每支球拍33元。
3.小明用了三个星期才把一本习字本写完,一共写了420个字。他平均每天写多少个毛笔字?
420÷(3×7)
=420÷21
=20(个)
答:平均每天写20个字。
二、填空
(1)一个数除以连续两个数可以用这个数除以这两个数的(乘积),用字母表示为(a÷b ÷c=a÷(b×c))
(2)在四则混合运算中改变运算顺序可以通过添加或去掉括号来完成,在加减混合运算中如果括号前是加号,添加括号时(括号中的符号不用改变),如果括号前是减号,添加括号时(括号中改变符号)。
(3)在乘除混合运算中,括号前面如果是乘号,去括号时(括号中的符号不用改变),括号前面如果是乘号,去括号时(括号中改变符号).
三、计算下列各题,怎样简便就怎样算
2000÷125÷8 25×(4+8)
=2000÷(125×8)=25
=2000÷1000 =2
1280÷16÷8
5×99+5 =1280÷(16×8) =5×(99+1) =128÷128 =5×100 =10
=500
【易错精选】
1.为了考察大头儿子的速算能力,小头爸爸给他出了一道题,并且限时一分钟,小朋友,你能做到吗?
192564125???
=19×25×8×8×125 =19×(25×8)×(125×8) =19×200×1000 =3800000
尝试口算下列各题:
17425??=1700 125198??=19000 12572?=9000
2512516??=50000
13×25×125×4×8= 1300000 456212525548??????=456000000
2.简便方法计算
564251252009????. =5×2×4×8×25×125×2009
=(5×2)×(25×4)×(125×8)×2009 =10×100×1000×2009 =2009000000
999222333334?+? 1999999999+?
=333×3×222+333×334 =(1000+999)+999×999 =333×666+333×334 =1000+999+999×999 =(666+334)×333 =1000+999×(999+1) =1000×333 =1000+999×1000 =333000 =1000+999000
=1000000
(8172)9+÷ (20461068735)3--÷ 29150950÷+÷ =81÷9+72÷9 =2046÷3-1068÷3+735÷3 =(291+9)÷50 =9+8 =682-356-245 =300÷50 =17 =81 =6 22595÷÷ =225÷5÷9
=45÷9
=5
3.把“>、<、=”填在合适的○里。
496-120-230 < 496-(12+230)
192+(95-75) = 192+95-75
198×8×l0 > 198×8+10 720÷36÷2 < 720÷(36÷2)
18×4÷2 < 18×(4+2) 280-70+30 > 280-(70+30)
70×3+5 < 70×(3+5)(65+13)×4 > 65×4+13
【本节训练】
2.怎样算简便就怎样算?
1)例题325÷25=(325×4)÷(25×4)=1300÷100=13
2)450÷25 3)525÷25
=50×9÷25 =(25×21)÷25
=50÷25×9 =25÷25×21
=2×9 =21
=18
4)3500÷125 5)10000÷625
=(3000+500)÷125 =1000×10÷(125×5) =3000÷125+500÷125 =1000×10÷25÷5
=24+2 =(1000÷25)×(10÷5) =26 =40×2
=80
6) 49500÷900 7)9000÷225
=(49500÷100)÷(900÷100) =(9×1000)÷(25×9)
=495÷9 =1000÷25
=55 =40
2.用简便方法计算
25×125×4×8 125×15×8×4
=(25×4)×(125×8) =(125×8)×(15×4)
=100×1000 =1000×60
=100000 =60000
25×24 125×16 75×16
=25×4×6 =125×(2×8)=(25×3)×(4×4)
=(25×4)×6 =125×8×2 =(25×4)×(3×4)
=100×6 =1000×2 =100×12
=600 =2000 =1200
125×25×32 25×5×64×125
=125×25×4×8 =25×5×2×4×8×125
=(125×8)×(25×4)=(25×4)×(5×2)×(125×8)
=1000×100 =100×10×1000
=100000 =1000000
3.怎样算简便就怎样算
(360+108)÷36 1÷2+3÷2+5÷2+7÷2
=360÷36+108÷36 =(1+3+5+7)÷2
=10+3 =16÷2
=13 =8
(720+96)÷24 (4500-90)÷45
=720÷24+96÷24 =4500÷45-90÷45
=30+4 =100-2
=34 =98
6342÷21 8811÷89
=6342÷(3×7)=(8900-89)÷89
=6342÷3÷7 =8900÷89-89÷89
=2114÷7 =100-1
=302 =99
4.运输队一辆货车一次可以运货10吨,照这样计算,运输队共有货车48辆,5 次共运多少吨?
10×48×5
=(10×5)×48
=50×48
=2400(吨)
答:五次共运2400吨。
5.玩具厂一个生产小组有12个工人,一天工作8小时,共做芭比娃娃960个,平均每人每
小时生产芭比娃娃多少个?
960÷12÷8
=960÷(12×8)
=960÷96
=10(个)
答:平均每个工人每小时做10个芭比娃娃。【基础巩固】
一、判断题
1)27+33+67=27+100 (√)
2)125×16=125×8×2 (√)
3)134-75+25=134-(75+25)(×)
4)先乘前两个数,或者先乘后两个数,积不变,这是乘法结合律。(×)
5)1250÷(25×5)=1250÷25×5 (×)
6)102×98=(100+2)×98这里运用了乘法的分配律。……(×)
7)36×25=(9×4)×25=9×(4×25)……………………………(√)
8)125×17×8=125×8×17这里只运用了乘法结合律。……(×)
9)179+204=179+200+4…………………………………………(√)
10)先乘前两个数,或者先乘后两个数,积不变,这是乘法结合律。(×)
二、选择(把正确答案的序号填入括号内)
1)56+72+28=56+(72+28)运用了(B)
A)加法交换律 B)加法结合律
C)乘法结合律 D)加法交换律和结合律
2)25×(8+4)=(B)
A)25×8×25×4 B)25×8+25×4
C)25×4×8 D)25×8+4
3)3×8×4×5=(3×4)×(8×5)运用了(B)
A)乘法交换律 B)乘法结合律
C)乘法分配律 D)乘法交换律和结合律
4)101×125= (B)
A)100×125+1 B)125×100+125
C)125×100×1 D)100×125×1×125
三、仔细想,认真填
1.用字母a、b、c表示下面运算定律:
(l)加法交换律(a+b=b+a);
(2)乘法分配律(a×(b+c)=a×b+a×c);
(3)乘法交换律(a×b=b×a);
(4)加法结合律((a+b)+c=a+(b+c));
(5)乘法结合律((a×b)×c=a×(b×c))。
2.根据运算定律,在□里填上适当的数。
(1)a+(30+8)=(a+30)+8 (2)18十82=82十18
(3)45×32=32×45 (4)25×(4+8)=25×4十25×8
四、直接写出得数。
70×13=910 22×10=220 250×4=1000 0÷280=0
456-199=257 100÷20=5 67+23=90 31×30=930 157+198=355 32×30=640 480÷16=30 850×90=76500
【巅峰突破】
1.计算出下式结果,并总结规律.
第一组:⑴37101
?
?⑵85101
=3737 =8585
⑶79101
?
?⑷2310101
=7979 =232323
规律总结:一个两位数乘以“101、10101、1010101....”这样的数字时,得数为abab、abab、ababab...的形式。
⑸4910101
?
?⑹69101010101
=494949 =6969696969
第二组:⑴1231001
?
?⑵2871001
=123123 =287287
⑶3951001001
?
?⑷456710001
=395395395 =45674567
规律总结:
⑸3985100010001
?
?⑹438691000010000100001
=39853985 =43869438694386943869
4.简便计算
?2561002
?
?154601?74201
68101
=68×(100+1) =74×(200+1)=256×(1000+2) =154×(600+1)
=68×100+1×68 =74×200+74×1 =256×1000+256×2 =154×600+154×1
=6800+68 =14800+74 =256000+512 =92400+154
=6868 =14874 =256512 =92554
?
?3225
?63815
5365
=2×268×5 =(2×319)×(3×5)=(4×8)×25
=(2×5)×268 =(2×5)×(3×319)=(4×25)×8
=268×10 =10×957 =100×8
=2680 =9570 =800
?
6875
=(4×17)×(25×3)
=(4×25)×(17×3)
=100×51
=5100
? .
2999999999
+?333333999999
=2000+999+999×999 =(999999÷3)×999999
=2000+999×(1+999) =9999999×999999÷3
=2000+999000 =(1000000-1)×999999÷3
=1001000 =(9999999000000-999999)÷3
=9999999000000÷3-999999÷3
=3333330000000-333333
=333332666667
++++
1234551234451233451223451
=(1+2+3+4+5)×10000+(1+2+3+4+5)×1000+(1+2+3+4+5)×100+(1+2+3+4+5)×10(1+2+3+4+5)×1
=(1+2+3+4+5)×(10000+1000+100+1)
=15×11111
=(10+5)×11111
=111110+55555
=166665
++++++÷(1234567234567134567124567123567123467123457123456)7
=(1+2+3+4+5+6+7)×1000000+(1+2+3+4+5+6+7)×100000+(1+2+3+4+5+6+7)×10000+(1+2+3+4+5+6+7)×1000+(1+2+3+4+5+6+7)×100+(1+2+3+4+5+6+7)×10+(1+2+3+4+5+6+7)×1÷7
=(1+2+3+4+5+6+7)×(1000000+100000+10000+1000+100+10+1)÷7
=28×1111111÷7
=(28÷7)×1111111
=4×1111111
=4444444