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误差理论和测量平差习题集(含答案)

1.1 观测条件是由那些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？

1.2 观测误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？对观测结果有什么影响？试举例说明。

1.3用钢尺丈量距离，有下列几种情况使得结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号：（1）尺长不准确；

（2）尺不水平；

（3）估读小数不准确；

（4）尺垂曲；

（5）尺端偏离直线方向。

1.4 在水准了中，有下列几种情况使水准尺读书有误差，试判断误差的性质及符号：

（1）视准轴与水准轴不平行；

（2）仪器下沉；

（3）读数不准确；

（4）水准尺下沉。

1.5 何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？

答案：

1.3 （1）系统误差。当尺长大于标准尺长时，观测值小，符号为“+”；当尺长小于标准尺长时，观测值大，符号为“-”。

（2）系统误差，符号为“-”

（3）偶然误差，符号为“+”或“-”

（4）系统误差，符号为“-”

（5）系统误差，符号为“-”

1.4 （1）系统误差，当i角为正时，符号为“-”；当i角为负时，符号为“+”

（2）系统误差，符号为“+”

（3）偶然误差，符号为“+”或“-”

（4）系统误差，符号为“-”

2.1 为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角'

450000α=作12次同精度观测，结果为：

'"450006 '"

455955

455958

'"450004

'"450003

'"450004

'"450000 '"

455958

455959 '"

455959 '"450006 '"450003

设a 没有误差，试求观测值的中误差。

2.2 已知两段距离的长度及中误差分别为300.465m ±4.5cm 及660.894m ±4.5cm ，试说明这两段距离的真误差是否相等？他们的精度是否相等？

2.3 设对某量进行了两组观测，他们的真误差分别为：第一组：3，-3，2，4，-2，-1，0，-4，3，-2 第二组：0，-1，-7，2，1，-1，8，0，-3，1

试求两组观测值的平均误差1?θ、2

?θ和中误差1?σ、2?σ，并比较两组观测值的精度。

2.4 设有观测向量1

221

[]T X L L =，已知1?L σ

=2秒，2?L σ=3秒，122?2L L σ=-秒，试写出其协方差阵22XX

。

2.5 设有观测向量1

331

[]T X L L L =的协方差阵334202930316XX

-??

??=--????-??

，试写出观测值

L 1，L 2，L 3的中误差及其协方差12L L σ、13L L σ和23L L σ。

答案：

2.1 ?

3.62"σ

= 2.2 它们的真误差不一定相等，相对精度不相等，后者高于前者

2.3 1?θ=2.4 2?θ=2.4 1?σ

=2.7 2?σ=3.6 两组观测值的平均误差相同，而中误差不同，由于中误差对大的误差反应灵敏，故通常采用

中误差做为衡量精度的的指标，本题中1?σ<2?σ，故第一组观测值精度高 2.4 2

2242()29XX

-??= ?-??

秒 2.5 1L σ=2, 2L σ=3, 34L σ=,122L L σ=-,130L L σ=,233L L σ=-

3.1 下列各式中的()1,2,3i L i =均为等精度独立观测值，其中误差为σ，试求X 的中误差：

（1）()1231

2X L L L =

++；（2）123

L L

X L =

3.2 已知观测值1L ，2L 的中误差12σσσ==，120σ=，设11225,2X L Y L L =+=-，12Z L L =，t X Y =+，试求X ，Y ，Z 和t 的中误差。

3.3 设有观测向量[]1

331

L L L L =，其协方差阵为

400030002LL D ??

??=??

????

分别求下列函数的的方差：（1）1133F L L =-；（2）2233F L L =

3.4 设有同精度独立观测值向量[]1

331

L L L L =的函数为1

sin sin AB

L Y S L =，

22AB Y L α=-，式中AB α和AB S 为无误差的已知值，测角误差1"σ=，试求函数的方差12

y σ、2

σ及其协方差12

y y σ 3.5 在图中△ABC 中测得A A σ∠±，边长b b σ±，c c σ±，试求三角形面积的中误差s σ

。

3.6 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1mm ，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm ，问可以设多少站？

3.7 有一角度测4个测回，得中误差为0.42〃，问再增加多少个测回其中误差为0.28〃？ 3.8 在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点A ，B ，C 之间的高差，设三角形的边

长分别为S 1=10km ，S 2=8km ，S 3=4km ，令40km 的高差观测值权威单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。

3.9 以相同观测精度A ∠和B ∠，其权分别为14A P =，1

B P =，已知8"B σ=，试求单位权中误差0A σ∠和的中误差A σ。 3.10 已知观测值向量21L 的权阵为5224LL P -??

-??

，试求观测值的权1L P 和2L P

答案：

3.1 (1)x σ=, (2)3

x σ=

3.2 2x σσ=,y σ=,z σ=,t σ= 3.3 122F D =,222

231827F D L L =+

3.4

()1

22222113"223

cos sin cot sin AB

y S L L L L σ

ρ=+? ()2

221y σ=秒

0y y σ=

3.5

s σ=

3.6 最多可设25站 3.7 再增加5个测回

3.8 1

4.0P =，2

5.0P =，310.0P =，0()km σ 3.9 "0 5.66σ=，"11.31A σ=

3.10 14L P =，2165

L P =

第四章思考题

4.1 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素就是必要观测数吗？为什么？

4.2 必要观测值的特性是什么？在进行平差前，我们首先要确定哪些量？如何确定几何模型中的必要元素？试举例说明。

4.3 在平差的函数模型中，n，t，r，u，s，c等字母代表什么量？它们之间有什么关系？

4.4 测量平差的函数模型和随机模型分别表示那些量之间的什么关系？

4.5 最小二乘法与极大似然估计有什么关系？

第五章条件平差习题

第五章思考题参考答案

5.1（a）n=6，t=3，r=3

（b）n=6，t=3，r=3

（c）n=14，t=5，r=9

5.2（a）n=13，t=6，r=7

共有7个条件方程，其中有5个图形条件，2个极条件。

（b）n=14，t=8，r=6

共有6个条件方程，其中有3个图形条件，3个极条件。

（c）n=16，t=8，r=8

共有8个条件方程，其中有6个图形条件，2个极条件。

（d）n=12，t=6，r=6

共有6个条件方程，其中有4个图形条件，1个圆周条件，1个极条件。

5.3n=23，t=6，r=17

共有17个条件方程，其中有9个图形条件，1个圆周条件，1个固定角条件，1个固定边条件，5个极条件。

5.4 （1）n=22，t=9，r=13：7个图形条件，1个圆周条件，2个极条件，2个边长条件，一个基线条件。

（2）

1283794

121520111718195

6101119910111213

510???1800???1800???1800???1800????1800????1800????1800?????1800???sin sin sin L L L L L L L

L L L L L L L L L L

L L L L L L L L L L L L L L L ++-=++-=++-=++-=+++-=+++-=+++-=++++-=1719

361418

471519

121318124?sin 1()

????sin sin sin sin ????sin sin sin sin 1()

????sin sin sin sin ??()????sin sin sin sin ??(????sin sin sin sin FG FG L L L L L

L L L L L L L L S S S S L L L

L S S L L L L ===→=以大地四边形中心为极以中点四边形D 点为极的边长条件1213611

??)????sin sin sin sin ????sin sin sin sin FG AB S S L L L L S S L L L L

→=的边长条件（基线条件）

5.5 n=8，t=4，r=4；有多种条件方程的列法，其中之一为：

1001000

100110000120001001104000011014V ????

????-????-=????--????

---????

（注意常数项单位为mm ） 5.6 （1）P=3/2，（2）P=1

5.7 （1）P B =1.6，P C =2.1，P D =2.1，P E =1.6 （2）P hCD =1.8

5.8 []? 2.4998 1.9998 1.3518 1.8515h

= 2

P σ=0.32(mm)

5.9 12

34561110009100110900101016V V V V V V ??????-??????????+=??????

??????--???????????

? []045452T

V mm =---

[]? 1.576 2.219 3.7950.867 2.443 1.352T h

m =--- 5.10 （1）1?10.3556h m = 2

?15.0028h m = 3?20.3556h m = 4

?14.5008h m =

5? 4.6472h m = 6? 5.8548h m = 7

?10.5020h m =

（2）±2.2mm

第六章思考题

6.1某平差问题有12个同精度观测值，必要观测数t = 6，现选取2个独立的参数参与平差，

应列出多少个条件方程？

6.2 有水准网如图，A 为已知点，高程为10.000A H m =，同精度观测了5条水准路线，观测值为1

7.251h m =，20.312h m =，30.097h m =-，4 1.654h m =，50.400h m =，若设

AC 间高差平差值??AC

h X 为参数，试按附有参数的条件平差法，（1）列出条件方程

（2）列出法方程

（3）求出待定点C 的最或是高程

6.3 下图水准网中，A 为已知点，P1，P2，P3为待定点，观测了高差15~h h ，观测路线长度相等，现选择P3点的高程平差值为参数，求P3点平差后高程的权。

6.4 下图水准网中，A 为已知点，高程为10.000A H m =，P 1~P 4为为待定点，观测高差及路线长度为：

h 1=1.270m, S1=2; h 2=-3.380m, S2=2; h 3=2.114m, S3=1; h 4=1.613m, S4=2; h 5=-3.721m, S5=1; h 6=2.931m, S6=2; h 7=0.782m, S7=2;

若设P2点高程平差值为参数，求：（1）列出条件方程；（2）列出法方程；（3）求出观测值的改正数及平差值；（4）平差后单位权方差及P2点高程平差值中误差。

6.5 如图测角网中，A 、B 为已知点，C 、D 为待定点，观测了6个角度，观测值为： L1=40。

23’58”， L2=37。

11’36”， L3=53。

49’02”， L4=57。

00’05” L5=31。

59’00”， L4=36。

25’56”

若按附有参数的条件平差，（1）需要设哪些量为参数；（2）列出条件方程；（3）求出观测值的改正数及平差值。

思考题参考答案

6.2 n=5 t=3 r=2 u=1 c=3 6.3 n=5 t=3 r=2 u=1 c=3 v 1+v 4+v 5+w 1=0

v 2+v 3-v 5+w 2=0

v 1+v 2-?X +w 3=0 ??11X X Q P ==，

6.4（1）v 1+v 2+v 3+4=0

v 3+v 4+v 5+6=0

v 5+v 6+v 7+8=0

v 1+v 7-?X

=0 （2）

1234551

020414100600152082024100

0100K K K K K ??????

????????????

??????+=-??????

-???????????

?-??????

（3）[]1124044()T

v mm =----

[]? 1.269 3.381 2.112 1.609 3.721 2.9350.786()T L

mm =-- （4）22

034.7()mm σ=

?0.5X Q =，22

?17.3()X Q mm =，? 4.2()X

mm σ=

6.5 （1）设0

?,10310'06"X ADB X =∠=

（2）v 1+v 6=0

v 2+v 3+v 4+ v 5-17”=0

-0.955 v 1+ 0.220 v 2-0.731 v 3+0.649 v 4-0.396 v 5+ 0.959 v 6+2”=0

（3）法方程：

1232

00.00410040.25801700.0040.258 2.9902?10000K K K x

??????

??????--?

?????+=??????-?

??????????? []0 4.230.3T

K =-

=0 []0.3 4.2 4.44 4.30.3(")T

V =-

?4023'58.3"3711'40.2"5349'06.4"5700'09"3159'04.3"3625'55.7"L ??=??

第七章思考题

7.1 如图闭合水准网中，A 为已知点，高程为10.000A H m =，P1，P2为高程未知点，观测

高差及路线长度为：

h 1=1.352m, S1=2 km ; h 2=-0.531m, S2=2 km ; h 3=-0.826m, S3=1 km ;

试用间接平差求各高差的平差值。

7.2 图中A 、B 、C 为已知点，P 为为待定点，网中观测了3条边长L 1 ~ L 3，起算数据及观测数据均列于表中，现选待定点坐标平差值为参数，其坐标近似值为（57578.93m ，70998.26m ），试列出各观测边长的误差方程式。

点号

坐标

X / m Y / m

A 60509.596 69902.525

B 58238.935 74300.086

C 51946.286 73416.515

边号 L1 L2 L3 观测值 / m

3128.86

3367.20

6129.88

7.3 下图水准网中，A 、B 为已知点P 1 ~ P 3为待定点，观测高差h 1 ~ h 5，相应的路线长度为4 km ，2 km ，2 km ，2 km ，4 km ，若已知平差后每千米观测高差中误差的估值为3 mm ，试求P 2点平差后高差的中误差。

7.4 在剪接平差中，?X

与?L ，?L 与V 是否相关？试证明。

7.5 有水准网如图，A 、B 、C 、D 为已知点，P 1 、 P 2为待定点，观测高差h 1 ~ h 5，路线长度为S 1 = S 2= S 5=6 km ，S 3= 8 km ，S 4= 4 km ，若要求平差后网中最若点高程中误差≤5 mm ，试估计该网每千米观测高差中误差为多少？

思考题参考答案

7.1 1? 1.356h m =，2?0.822h m =-，3

?0.534h m =- 7.2

()3,10.93670.3502 5.22?0.19600.9806 5.56?0.91890.3945 6.47P P x V cm y -????

??????=---????????????-????

7.3 2

0?14σ

=，0? 3.74σ=

7.5 每千米观测高差中误差小于3.3 mm

第八章思考题

8.1 附有限制条件的间接平差中的限制条件与条件平差中的条件方程有何异同？

8.2 附有限制条件的间接平差法适用于什么样的情况？解决什么样的平差问题？在水准测量平差中经常采用此平差方法吗？

8.3 在图中的大地四边形中，A 、B 为已知点，C 、D 为为待定点，现选取L3，L4，L5，

L6，L8的平差值为参数，记为125

???,,X X X ，列出误差方程和条件方程。

8.4 如图水准网中，A 为已知点，高程为10.000A H m =，观测高差及路线长度为：

线路

h / m S / km 1 2.563 1 2 -1.326 1 3 -3.885 2 4 -3.883 2

若设参数1

4???????T

X X X X H h h ????==????

，定权时C= 2 km ，试列出：（1）误差方程和限制条件

（2）法方程式

8.5 试证明在附有限制条件的间接平差中：（1）改正数向量V 与平差值向量?L 互不相关；（2）联系数s K 与未知数的函数0??T f x f ?

=+互不相关。

思考题参考答案

8.3 n=8 t=4 u=5 s=1

令L3，L4，L5，L6，L8的参数近似值为()0

1,2

5i X i =，且0??X

X x =+，误差方程为：

1235121232314253647234785??????????????V x

x x l V x x x l V x V x

V x V x

V x x x l V x

=+--=----=====----=

其中常数项：

()()()

00112350002212300077234180180l L X X X l L X X X l L X X X =-+-=----=---- 限制条件：

()()()()()()00000000112112572357300

0045745755???cot cot cot cot cot cot ??cot cot cot cot 0

x X X X x X X X L x X X L x X X L x X L X x W ??????-+-++++-+-

??????????-+++--=????(

)

(

)

()

0000

5124

577000

1357sin sin sin "1cot sin sin sin x X X X X W X L L X X X L ρ??-+ ?=--+ ?+??

8.4 （1）误差方程

112231243????4()?V x V x

V x x mm V x

===++=

限制条件

13??20x

x --=

（2）法方程

123?3

04?130140?0011001102S x x x

K -????????????-??????-=??????-??????

-??????

9.1 何谓一般条件方程？何谓限制条件方程？它们之间有什么区别？

9.2什么是概括平差函数模型？指出此模型的主要作用是什么。

9.3 某平差问题有15个同精度观测值，必要观测数等于8，现取8个参数，且参数之间一个限制条件。若按附有限制条件的的条件平差法进行平差，应列出多少个条件方程和限制条件方程？其法方程有几个？

9.4 概括平差函数模型的方程数是否和附有参数的条件平差的方程数一样？其中r、u、c和s各表示什么量？

9.5 在条件平差中，试证明估计量?L具有无偏性。

思考题参考答案

8.3 n=15 t=8 u=8 s=2

应列出13个条件方程，2个限制条件方程，组成的法方程有15个。