常微分方程练习题及答案(复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23210d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dy f xy y dx
=经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程3230d y y x dx
--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .
5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的
条件.
6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .
7. 已知
()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组20'05??=????
x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.
10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.
11.方程
的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是
二、 计算题
1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.
2．求解方程13
dy x y dx x y +-=-+.
3. 求解方程222()0d x dx x dt dt
+= 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程
sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
7．设 3124A -??=??-?? ， ??????-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dt dX =满足初始条件η=)0(x 的解.
8. 求方程 2213dy x y dx =-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.
9.
求 的通解
试求方程组x Ax '=的解(),t ?
12(0),η?ηη??==???? 并求expAt
10.若
三、证明题
1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.
2. 设),()(0βα?≤≤x x x 是积分方程
],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=?x x d y y x y x x
的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ?在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ?ψ≡.
3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明: (i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);
(ii) 和 没有共同的零点;
(iii)
和 没有共同的零点.
4.试证：如果)(t ?是AX dt
dX =满足初始条件η?=)(0t 的解，那么η?)(ex p )(0t t A t -= .
答案
2114A ??=??-??32()480dy dy xy y dx dx
-+=
一.填空题。 1. 二，非线性 2.u xy =， 11(()1)du dx u f u x
=+ 3.无穷多 4.3,2,1αβγ=-==- 5.必要 6.3y 7.1()()t t -'ΦΦ 8. 25 00t At t e e e ??=????
9. 10. 11.
12. 1,
二、计算题
1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.
解: 设曲线方程为
, 切点为(x ,y ), 切点到点(1,0)的连线的斜率为 , 则由题意
可得如下初值问题: . 分离变量, 积分并整理后可得 .
代入初始条件可得
, 因此得所求曲线为 .
2.求解方程13
dy x y dx x y +-=-+. 解：由10,30
x y x y +-=??-+=? 求得1,2x y =-= 令 1,2,x y ξη=-??=+? 则有 .d d ηξηξξη+=-令z ηξ=，解得2(1)1z dz d z ξξ-=+,积分得21arctan ln(1)ln ||2
z z C ξ-+=+, 故原方程的解为 222arctan ln (1)(2)1
y x y C x -=++-++.
3. 求解方程222()0d x dx x dt dt +=
解 令，直接计算可得，于是原方程化为 ，故有或，积分后得，
即，所以 就是原方程的通解，这里为任意常数。
4.用比较系数法解方程. .
解：特征方程为 , 特征根为 .
对应齐方程的通解为 .
设原方程的特解有形如
代如原方程可得 利用对应系数相等可得 , 故 .
原方程的通解可以表示为( 是任意常数)
.
5.求方程 sin y y x '=+的通解.
解：先解y y '=得通解为x y ce =, 令()x y c x e =为原方程的解，
代入得()()()sin x x x c x e c x e c x e x '+=+, 即有()sin x c x e x -'=,
积分得1()(sin cos )2x c x e x x c -=-++ , 所以1(sin cos )2
x y ce x x =-+ 为原方程的通解.
6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
解：由于22(,)cos sin ,(,)(1)M x y x x xy N x y y x =-=-，因为
2M N xy y x ??=-=??所以原方程为恰当方程. 把原方程分项组合得
22cos sin ()0x xdx xy dx yx dy ydy -++=, 或写成2222111(sin )()()0222
d x d x y d y ++=, 故原方程的通解为2222sin x x y y C -+=.
7．设 3124A -??=??-?? ， ??
????-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dt dX =满足初始条件η=)0(x 的解. 解：特征方程为 31det()(2)(5)0,24A E λ
λλλλ---==++=--