导数与微分单元总结

学科：数学

教学内容：导数与微分单元达纲检测

【知识结构】 【内容提要】

1．本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用． 2．导数的概念．

函数y=f(x)的导数f ′(x)，就是当△x →0时，函数的增量△y 与自变量△x 的比x

y

??的极限，即

函数y=f(x)在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．

3．函数的微分

函数y=f(x)的微分，即dy=f ′(x)dx ． 微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即dx

dy x f =)('． 函数值的增量△y 也可以用y 的微分近似表示，即△y ≈dy 或△y ≈f ′(x)dx 。 4．求导数的方法 (1)常用的导数公式

c ′=0(c 为常数)；

)()'(1

Q m mx x m m

∈=-；

(sinx)′=cosx ； (cosx)′=－sinx ； x

x e e =)'(， a a a x

x

ln )'(=；

x x 1)'(ln =

， e x

a x

a log 1)'(log =。

(2)两个函数四则运算的导数： (u ±v)′=u ′±v ′； (uv)′=u ′v+uv ′ )0('

''2

≠-=

??

? ??v v uv v u v u 。 (3)复合函数的导数 设y=f(u)，)(x u ?=，

则)(')(''''x u f u y y x u x ??=?=． 5．导数的应用 (1)切线的斜率

根据导数的几何意义，函数f(x)在点0x 处的导数就是曲线f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线斜率。因此，求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数。 (2)函数的单调性

当函数y=f(x)在某个区间内可导时，如果f ＇(x)>0，则函数y=f(x)在这个区间上为增函数；如果f ＇(x)<0，则函数y=f(x)在这个区间上为减函数．对于某个区间上的可导函数，利用导数来判断函数单调性是普遍适用的方法。 (3)函数的极值

对于可导函数f(x)判断其极值的方法为；

1°．如果在0x 附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么，)(0x f 是极大值； 2°．如果在0x 附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么，)(0x f 是极小值. 可导函数f(x)在极值点处的导数是0；导数为0的点不一定是极值点．例如，对于函数

3)(x x f =，x=0点处的导数是0，但它不是极值点．

(4)函数的最值

闭区间[a ，b]上连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求法为： 1°．求函数f(x)在(a ，b)内的极值；

2°．将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

【难题巧解点拨】 例1 已知函数)

2lg()(ax a

x f -=（a>0且a ≠1）在定义域[0，1]上是减函数，求a 的取

值范围。

分析 因为f(x)在[0，1]上是减函数，所以在[0，1]上必有f ′(x)<0。由不等式f ′(x)<0求出a 的取值范围。 解 0lg 21)(')

2lg(<-?

=-a a

x a

x f ax ，

由0)

2lg(>-ax a

得

?????>-<020lg a x a （1） 或??

??

?<->020lg a x a （2） ∵0≤x ≤1，∴不等式（1）无解 因而知a>1，又由a

x 2

<

∴1

点拨 本题是已知函数的单调性求字母范围的问题，对于可导函数，利用导数来研究单调性是一种普遍适用的方法。

例2 若不等式a x x ->-243

4对任何实数x 都成立，求实数a 的取值范围。 分析 要使原不等式对一切实数x ∈R 均成立，只要3

44x x -的最小值大于2－a 。问题归结为求3

44x x -在区间（－∞，+∞）上的最小值。

解 令3

4

4)(x x x f -=，则)3(4124)('2

2

3

-=-=x x x x x f 。 令f ′(x)=0，得x=0或x=3。

当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下： 由表可知3

4

4)(x x x f -=的最小值为－27。

从而－27>2－a ，故a>29。 点拨 对于有关恒成立问题，一般思维方式是：a>f(x)恒成立，则a>[f(x)]的最大值；a

复习参考题三（P145）

A 组 1．（1）33'2

-=x y ； （2）x

x x

y 2121'+

=

；

（3）2

3223)1()23(3)1)(26('-----=x x x x x x y

（4）)32)(12()43(4'2

2

+-+-+=x x x x x y ； （5）)13()2(6)13()2(3'3

2

2

+-++-=x x x x y )35)(13()2(32-+-=x x x ； （6）1

2)85)(4()4(121

2)4('2+++=

+++++=

x x x x x x x y 。

2．（1）x x x y 2

sec 2tan 2'+=； （2）)

1(sin )

1cos()1()1sin('2

-----=

x x x x y ； （3）x e x e

y x x

sin cos 2'22-=；

（4）2

323)

1(]

3ln )1[('+-+=x x a x a y x ； （5）4

)42()442(4

4424

2'2

2

2

22

2

22

+++++=

+-+-?

++=

x x x x x x x

x x x y ；

（6）x

x x

y sin cos 1'++=

。

3．（1）提示：由y ′=0，得所求点为??

?

??313,

31

（2）提示：由y ′=1，得所求点为??

?

??417,

61。 4．提示：由y ′=0，得切点的横坐标为

2

P

x -=；又由y=0，得

0442=-P P 。 5．提示：由12-=x y ，得x y x 2'=；由3

1x y -=，得23'x y x -=。 （1）由2

0032x x -=，得00=x 或3

20-

=x ； （2）由1)3()2(2

11-=-?x x ，得3

16

1

=

x 。

6．提示：割线斜率为5，由y ′=5，得所求点为（2，5）。 7．（1）dx x x dy )2(42

-=； （2）dy=2sinx cosxdx ；

（3）dx x

x dy x ???

? ??+=x 2ln2 ln 2； （4）dx x

x dy cos sin 1

=

。

8．质点的速度为16

13

7。

9．（1）由S=0，得01=t ，82=t ； （2）由S ′=0，得01=t ，42=t ，83=t 。

10．（1）当x ∈R 时，y 是减函数。

（2）当x ∈(－∞，－1)时，y 是减函数；当x ∈(－1，0)时，y 是增函数；x ∈(0，2)时，y 是减函数；当x ∈(2，+∞)时，y 是增函数。

（3）当x ∈(－∞，－1)时，y 是增函数；当??? ??-∈31,1x 时，y 是减函数；当??

? ??+∞∈,31x 时，y 是增函数。

11．（1）8)1(==f y 极大值，26)3(-==f y 极小值。 （2）92)4(=-=f y 极大值，16)2(-==f y 极小值。 （3）24)2(-=-=f y 极大值，24)2(==f y 极小值。 （4）0)0(==f y 极小值。

12．（1）y 的最大值是8，最小值是－1； （2）y 的最大值是2，最小值是－10；

13．提示：如图ABCD 是球内接圆柱的轴截面，BD=2R ，设圆柱的高为x ，则圆柱底面半径22x R 421r -=

，圆柱的体积)R 2x 0(x )x R 4(4

x r )x (V 222<<-π

=π=。令0)x 3R 4(4

)x ('V 22=-π

=

，解得R 332x =（负值舍去）。 因为V(x)只有一个极值，所以当圆柱的高为

R 3

3

2时，球内接圆柱的体积最大。 （2）提示：如图，△ABC 是球内接圆锥的轴截面，设圆锥的高AD 为x ，则圆锥底面半径)x R 2(x r -=，圆锥的体积)R 2x 0)(x R 2(x 3

x r 31)x (V 22<<-π

=π=。

令)x 3Rx 4(3)x ('V 2

-π=，解得

R 3

4

x =（负值舍去）

。 因为V(x)只有一个极值，所以当圆锥的高为R 3

4

时，球内接圆锥的体积最大。

14．提示：设靠墙的边长为x ，则垂直于墙的边)x 40(2

1

a -=，

矩形的面积)40x 0)(x 40(x 2

1

)x (S <<-=。

令S ′(x)=20－x=0，解得x=20。因为S(x)只有一个极值，所以当靠墙的边长为20m 时，围成的场地面积最大。

15．提示：设圆半径为x ，如果矩形高记作h ，那么窗户面积hx 22x s 2

+π=，窗户周长x

s

x x x x s x x h x x x l ++=-++=++=22422

222)(2ππππ。

令0x

s

22)x ('l 2=-+π=

，解得42+=πs x （负值舍去）。因为l(x)只有一个极值，因此4x x 2x +=

为最小值点，相应地，14444

x 4s 2x 4x s 2x h 222=π

-+π=π-=π-=

，所以圆半径与矩形高的比为1时，窗户周长最小。

B 组 1．（1）x 7cos x 4cos x 3sin 12'y 2

3

=； （2）2

x 2

x

e e 'y -

-=；

（3）a ln a 2'y 1

x 2+=；

（4）2

)1x (x

ln 'y +=

；

（5）)

ax 2x (ax 2x a 'y 2

2

2

---

=；

（6）22a x 'y +=

。

2．（1）当x ∈（－∞，0）与x ∈(0，+∞)时，y 是减函数。

（2）当x ∈(－∞，－3)，x ∈(－3，3)与x ∈(3，+∞)时，y 是减函数。 （3）当x ∈(0，+∞)时，y 是增函数。 3．（1）???

??π-=+π-=??? ??π-

=67f y ,231211611f y 极小值

极大值 2312565f -π

=

??

?

??π=。 （2）

14747f y -π-

=??

?

??π-=极小值，144f y +π-=??

?

??π-=极大值，

14

4f y -π

=??? ??π=极小值，

。

4．（1）提示：y=f(x)的定义域为（－∞，+∞）。

令0)1x (4x 4'y 2

22=++-=，解得x=－1，1。

而f(－1)=－2，f(1)=2， 且0)x (f lim x =∞

→，

所以y 的最大值为2，最小值为－2。 （2）提示：y=f(x)的定义域为[－1，1]。 令0x 1x 21'y 2

2=--=

，解得2

2x ±

=。 而2122f -=???? ??-，2122f =???

? ??， 端点的函数值为f(－1)=0，f(1)=0， 所以y 的最大值是2

1

，最小值是－1。 5．

（1）提示：令0)1(1

2'2

22=+++-=

x x x y ，解得x=1±2。 而21

2)21(--=

-

f ，2

1

2)21(-=+f 端点的函数值f(0)=－1，17

3)4(=

f ， 所以y 的最大值是

2

1

2-，最小值是－１。 （2）提示：令0x

1

1'y 2

=-

=，解得x=1（负值舍去）。 而f(1)=2。

端点的函数值为f(0.01)=100.01，f(100)=100.01， 所以y 的最大值是100.01，最小值是2。 （3）提示：当x ∈(0，4)时，0x

11'y >+=，

y=f(x)是增函数。

端点的函数值为f(0)=0，f(4)=8， 所以y 的最大值是8，最小值是0。 （4）提示：令y ′=2cos2x －1=0解得6

x π±

=。 而6236f π+-

=??? ??π-

，6

236f π-=??? ??π。 端点的函数值为22f π=??? ??π-

，22f π-=??

?

??π，

所以y 的最大值是

2π，最小值是2

π

-。

6．提示：汽车与气球之间的距离是 t 1050)t (S 22+= 2610)t ('S =。 lh 后它们彼此分离的速度为h /km 2610。 【同步达纲练习】 一、选择题 1．函数)0(ln )(>=x x

x

x f ，则（ ） A ．在（0，10）上是减函数。 B ．在（0，10）上是增函数。

C ．在（0，e ）上是增函数，在（e ，10）上是减函数。

D ．在（0，e ）上是减函数，在（e ，10）上是增函数。

2．设f(x)在0x x =处可导，且1)

()2(lim

000

=?-?+→?x

x f x x f x ，

则)('0x f 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．2

1 3．函数1

42

+=

x x

y （ ） A ．有极大值2，无极小值。 B ．无极大值，有极小值－2。 C ．极大值2，极小值－2 D ．无极值。 4．函数)1|(|3)(3

<-=x x x x f （ ）

A ．有最大值，但无最小值。

B ．有最大值，也有最小值。

C ．无最大值，也无最小值。

D ．无最大值，但有最小值。 5．函数2

3

4

323)(x x x x f --=（ ）

A ．有最大值2，最小值－2。

B ．无最大值，有最小值－2。

C ．有最大值2，无最小值

D ．既无最大值，也无最小值。 6．给出下面四个命题（ ）

（1）函数)11(452

≤≤-+-=x x x y 的最大值为10，最小值为4

9-

。 （2）函数)42(1422<<+-=x x x y 的最大值为17，最小值为1。 （3）函数)33(123

<<--=x x x y 的最大值为16，最小值为－16。 （4）函数)22(123<<--=x x x y 无最大值，也无最小值。 其中正确的命题有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 7．设??

?

?

?++

=22

11x x x x y ，则y ′=（ ）

A ．32112x x x --

B ．2

2

13x x -

C ．x x x ln 4

4

++ D ．132+x 8．设y=f(cosx)是可导函数，则dy=（ ） A ．f ′(sinx)dx B ．f ′(cosx)dx

C ．f ′(sinx)·sinxdx

D ．－f ′(cosx)·sinxdx 9．过点（2，0）且与曲线x

y 1

=

相切的直线方程是（ ） A ．x+4y －2=0 B ．x －4y －2=0 C ．x+y －2=0 D ．x －y －2=0 10．函数???

?

?+

=44sin 3)(πx x f 在]2

,0[π

内（ ） A ．只有一个最大值。 B ．只有一个最小值。

C ．只有一个最大值或只有一个最小值。

D ．既有一个最大值又有一个最小值。 11．函数y=(2k －1)x+b 在R 上是单调递减函数，则k 的取值范围是（ ） A ．??? ??∞-21, B ．??

? ??+∞,21

C ．??? ??-∞-21,

D ．??

?

??+∞-

,21 12．函数)ln(2

x x y +=的单调递增区间是（ ） A ．??

?

??+∞-

,21 B ．（0，+∞） C ．??

?

?

?

--21,1和（0，+∞） D ．（－∞，－1）和??

?

??-0,21 二、填空题 13．曲线334x y =

在点__________处切线的倾斜角为4

π。 14．函数x x y ln 82

-=的单调递增区间是__________。

15．过抛物线2

x y =上点__________的切线和直线3x －y+1=0构成45°角。 16．函数)40(22<

?

??-=x x x y 的最大值是__________。 三、解答题

17．过曲线)0,0(14

22

≥≥=+y x y x 上一点引切线，分别与x 轴正半轴和y 轴正半轴交于A 、B 两点，求当线段|AB|最小时的切点的坐标。

18．物体的运动方程是122

3-+=t t S ，当t=2时，求物体的速度及加速度。 19．求函数21lg x y -=的单调区间。

20．设x bx x a y ++=2

ln 在x=1在x=2时都取得极值，试确定a 与b 的值；此时f(x)在x=1处取得的是极大值还是极小值？

21．已知正三棱柱的体积为V ，试求当正三棱柱的底面边长多大时其表面积最小。 22．有一印刷器的排版面积（矩形）为2

432cm ，左、右各留4cm 宽的空白，上、下各留3cm 宽的空白。应如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？ 参考答案

【同步达纲练习】 一、选择题

1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．B 7．B 8．D 9．C 10．D 11．A 12．B 二、填空题 13．???

??61,21和??? ??--61,21 14．??

?

??+∞,41 15．（－1，1）或??? ??161,41 16．2 三、解答题

17．设|AB|=l ，切点为)y ,x (P 00 ∵x ≥0，y ≥0

∴4

x 1y 2

-=，∴004|'0y x y x x -==，

则所求切线方程为)0y ,0x (04y y 4x x 0000>>=-+。 切线在x 轴，y 轴上的截距分别为

0x 4，0

y 1

。 ∴20

202

1

16y x l +=

又)y ,x (P 00在曲线上，∴4

x 1y 20

2

-=。

∴)2x 0(x 44x 16l 020

202

<<-+=

∴2200302

)

x 4(x 8x 32)'l (-+-

=，令0)'l (2

=， 解得3

6

2x 0=

。 ∵在（0，2）内2l 只有一个导数为零的点，经验证知，在3

6

2x 0=这点，2l 取得极小值，也是最小值。 ∴当362x 0=

时，2l 最小值为9，∴l 最小值为3，此时3

3

y 0=，∴切点为???

?

??33,362。 18．t t s t v 43')(2

+==， a(t)=v ′=6t+4，

当t=2时，v(2)=20， a(2)=16。

19．∵0x 12

>-，∴－1

∵)x 1lg(2

1

y 2-=

∴1

x e

lg x e lg x 1x 221'y 22-=

--?=， 令y ′>0，得－11。

又函数定义域为（－1，1），∴－1

∴函数在（－1，0）上是增函数，在[0，1）上是减函数。 20．∵1bx 2x

a

'y ++=

， 由已知x=1与x=2是函数的极值点，

∴?????=++=++0142012b a b a ，解得???

????

-=-=61b 3

2a

∴13

x

x 32'y +--

= 当x<1时，y'<0，当kx<2时y'>0， ∴函数f(x)在x=1处取得的是极大值。

21．设正三棱柱底面边长为x ，则底面面积为

2

x 4

3，设正三棱柱高为h ，由h x 43V 2=

，得2x

3V 4h =，于是柱体表面积)0x (x V 34x 23S 2>+=， 由0)V 4x (x

3x V 34x 3'S 3

2

2=-=-

=

， 得3V 4x =。

∵在x>0条件下，只有一个极值点， ∴当底面边长为V 43时，柱体表面积最小。

22．解法一：设排版部分矩形长x ，宽y ，则xy=432(x>0，y>0）， 用纸面积)6y )(8x (S ++=

768480y 482480y 8x 6=+≥++=， 当且仅当6x=8y ，即x=24，y=18时， 768S =最小值。 解法二：如上所设x

432

y =，则用纸面积为 ∵03456

6'2

=-

=x

S 解得x=24 而导函数在开区间内只有一个极值点，所以它必为最值点， ∴当x=24，y=18时，用纸量最少为768。

函数与导数知识点总结

函数与导数 1．映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性； ⑤换元法；⑥利用均值不等式；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ①若f(x)的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数的定义域是内函数的值域。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ⑵是奇函数； ⑶是偶函数； ⑷奇函数在原点有定义，则； ⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①在区间上是增函数当时有； ②在区间上是减函数当时有； ⑵单调性的判定 1 定义法： 注意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）； ③复合函数法（见2 （2））； ④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义： 对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周（2）三角函数的周期： ⑶函数周期的判定 ①定义法（试值）②图像法③公式法（利用（2）中结论） ⑷与周期有关的结论

第二章 导数与微分习题汇总

第二章 导数与微分 【内容提要】 1．导数的概念 设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ?=+?-．若0→?x 时，极限x y x ??→?0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数， 记为 )(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或 0|d d x x x y =或0|d d x x x f = +→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??+ →?0 lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。 -→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??- →?0 lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。 2．导数的意义 导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。 3．可导与连续的关系 定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。 4．导数的运算 定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u '±'='±)( 定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u uv '+'=')( 定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则 2v v u v u v u ' -'= ' ?? ? ??

第3章-微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关 系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。 拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<； 一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于 直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意 正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。 如果极限是0 lim ()x x f x → 那么就在0 x 附近展开。如果极限是 lim ()x f x →∞ ，

高数第二章导数与微分知识点与习题

高数第二章导数与微分知识点总结 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x - --?→→+?--==?-. 0 '00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x + ++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001 ()()'() y f x x x f x -=- -. 2．基本公式 （1）'0C = （2）' 1 ()a a x ax -= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1 (log )'(0,1)ln a x a a x a = >≠

（5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11）2 1(arcsin )'1x x = - （12）2 1(arccos )'1x x =- - （13）21(arctan )'1x x = + （14）2 1 (arccot )'1x x =-+ （15222 2 1[ln()]'x x a x a + += + 3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则 ()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2 '' ()'u u v uv v v -= （2）复合函数求导法则--链式法则 设(),()y f u u x ?==，则(())y f x ?=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ???=. 例5 求函数2 1 sin x y e =的导数. （3）反函数的求导法则 设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则 11 '()'()'(()) g y f x f g y = =. （4）隐函数求导 设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法' ''x y F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数

(完整版)第二章.导数和微分答案解析

第二章 导数与微分 一 导数 （一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）0)(='C （2）21 )1(x x - =' （3）x x 21)(=' （4）x x sin )(cos -=' （5）a a a x x ln )(=' （6）1 )(-='μμμx x （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解：x y 1' = ，1)1(' ==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解：4 3 x y =，41 ' 43-=x y ，4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ，即4 143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分） （1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T （2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 （ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 （1）（7分）|sin |x y =

导数、微分及其应用

第二讲导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题 3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） 二、题型与解法 A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定，求 2.决定，求 解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则 B.曲线切法线问题5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0

C.导数应用问题 6.已知， ，求点的性质。 解：令，故为极小值点。 7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域 8.求函数的单调性与极值、渐进线。 解：， D.幂级数展开问 10.求 题 解： =

E.不等式的证明 11.设， 证：1）令 2）令 F.中值定理问题 12.设函数具有三阶连续导数，且， ，求证：在（-1，1）上存在一点 证： 其中 将x=1，x=-1代入有 两式相减：

13.，求证： 证： 令 令 （关键：构造函数）三、补充习题（作业） 1. 2.曲线 3. 4.证明x>0时, 证：令

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导数与微分重点知识归纳

导数的概念 例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t0的瞬时速 度？ 我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量 这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： 若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。 我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度， 即：质点在t0时的瞬时速度= 为此就产生了导数的定义，如下 导数的定义 设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地 函数有增量 ， 若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。 记为：还可记为：， 函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。 若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数 对于区 间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数， 我们就称这个函数为原来函数的导函数。 注：导数也就是差商的极限左、右导数 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的

概念。 若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。 若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。 注：函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件 函数的和差求导法则 法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差). 用公式可写为：。其中u、v为可导函数。 常数与函数的积的求导法则 法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 函数的积的求导法则 法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成： 函数的商的求导法则 法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。用公式可写成： 复合函数的求导法则 例题：求=? 解答：由于，故这个解答正确吗? 这个解答是错误的，正确的解答应该如下： 我们发生错误的原因是是对自变量x求导，而不是对2x求导。 下面我们给出复合函数的求导法则

导数及其应用(知识点总结)

导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

高等数学第2章 导数与微分

第二章 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取

比值 0) ()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0 000) ()(tan x x x f x f x x y y --= --= ?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00) ()(lim 0x x x f x f x x --→. 令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x --→ 成为 x y x ??→?0lim 或x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000. 定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000,

一元函数微分学知识点

第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞ ∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：

基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法

函数与导数知识点

函数与导数知识点 【重点知识整合】 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数()y f x =相 应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?， 如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在 0x x →处的导数，记作0 x x y ='，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?. 注意：在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写 成 000000 ()()()() ()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ?→→+?--'==?-. 2.导数的几何意义： 导数 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处 变化的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00 x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0 x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00 x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='- 注意：“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点. 3.导数的物理意义： 函数()s s t =在点 0t 处的导数0(),s t '就是物体的运动方程()s s t =在点0t 时刻的瞬时速度v ，即0().v s t '= 4．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=； 1(ln )x x '= ； 1 (log )log a a x e x '=； ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=. 5.求导法则： 法则1： [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'； 法则2： [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=； 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ???.

2第二章 导数与微分答案

第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1．填空题. （1） ()'f 0= 0； （2） (2, 4) （3） 1 . （4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题. （1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4．设()? x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-?， 求()'f a ；若)(||)(x a x x g ?-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()? x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a x ??=→，所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时，()0)(' ==a a g ?；当()0≠a ?时，())(' ' a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y .

导数与微分知识点

第二章 导数与微分 一、导数 1．导数的定义: 由“变速直线运动的瞬时速度”、“平面曲线的切线斜率”引出 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量()()00x f x x f y -?+=?。如果极限 ()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0 x x y =' ， 0x x dx dy =，()0 x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在， 则称函数()x f y =在点0x 处不可导。 注：函数()x f 在0x 处的导数，就是导函数f ’(x)在点在0x 处的函数值，即()0x f '=f ’(x)|x=x0。 多数情况下用求导法则，有时用定义求导更方便。如题中函有f(x)，而不是具体的方程时。 2、单侧导数 右导数：()()()()() x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有 ()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 3、导数的几何意义 如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线 ()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即：()0x f '=K=tan a 。 切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()()()01 0000≠'-'- =-x f x x x f x f y 注：切线与法线垂直，切线的斜率与法线的斜率乘积为负1，即：K 切 * K 法 = -1。 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为()t f S =，如果()0t f '存在，则

重点高中数学导数知识点归纳总结

高中导数知识点归纳 一、基本概念 1. 导数的定义： 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 ()f x 在点0x 2 函数)(x f y =的切线的斜率， ②()1;n n x nx -'= ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算： 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±????

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()() f x g x f x g x f x g x ''' ?=+ ?? ?? 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：). ( )) ( (' 'x Cf x Cf=(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： () () ()()()() () () 2 f x f x g x f x g x g x g x ' ??'' - =≠ ?? ?? 。 2.复合函数的导数 形如)] ( [x f y? = 三、导数的应用 1. ) (x f在此区间上为减函数。 恒有'f0 ) (= x，则)(x f为常函数。 2．函数的极点与极值：当函数)(x f在点 x处连续时， ①如果在 x附近的左侧)('x f＞0，右侧)('x f＜0，那么) (0x f是极大值； ②如果在 x附近的左侧)('x f＜0，右侧)('x f＞0，那么) (0x f是极小值. 3．函数的最值： 一般地，在区间] , [b a上连续的函数) (x f在] , [b a上必有最大值与最小值。函数) (x f在区间上的最值 ] , [b a值点处取得。 只可能在区间端点及极 求函数) (x f在区间上最值 ] , [b a的一般步骤：①求函数) (x f的导数，令导

导数与微分练习题答案

高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3π，2 1 ）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)

电大【高等数学基础】 导数与微分

2） 导数与微分 070713.设 )(x f 在0x 可导，则=--→h x f h x f h ) ()2(lim 000 （ ）． A )(0x f ' B )(20x f ' C )(0x f '- D )(20x f '- 070113.设 )(x f 在0x 可导，则=--→h x f h x f h 2) ()2(lim 000 （ ）． (A) )(0x f ' (B) )(20x f ' (C) )(0x f '- (D) )(20x f '- 060113.设 x x f e )(=，则=?-?+→?x f x f x )1()1(lim （ ）．A e 2 B e C 080713.下列等式中正确的是（ ） A dx x x d 1 )1(2-= B dx x 2)x 1d(= C dx d x x 2)ln22(= D 050713.下列等式中正确的是（ ）． A.xdx d arctan )1( 2= B. 2 )1(dx d -= C.dx d x x 2)2ln 2 (= D.xdx x d cot )(tan = A 先单调下降再单调上升 B 单调下降 C 先单调上升再单调下降 D 单调上升 060713. 函数 622+-=x x y 在区间)5,2(内满足（ ） ． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 080724.函数 2)2(2+-=x y 的单调减少区间是 ．

080124.函数 1)(2-=x x f 的单调减少区间是 ． 070724. 函数2 x e y -=的单调减少区间是 ． 070124.函数x y arctan =的单调增加区间是 ． 060724.函数1)1(2++=x y 的单调增加区间是 ． 060124.函数1)1(2++=x y 的单调减少区间是 ． 050724.函数 )1ln(2x y +=的单调增加区间是 ． 080732.设 2sin sin x e y x +=，求y ' 解：2sin 2sin cos 2cos )(sin )(x x x e x e y x x +='+'=' 080132.设2 x xe y =，求 y ' 解：2 22222)()(x x x x e x e e x e x y +='+'=' 070732.设2sin x e y x -=，求'y 解：x xe x x e y x x 2cos )().(sin sin 2sin -='-'=' 070132.设x x y e cos ln +=，求'y 解：x x x y e sin )(ln -'=' 060732.设 x x e y x ln tan -=，求y '． x x x x x 12- 解：由导数四则运算法则得 x x x x x x x x x y ++= '+'+'='ln 2cos 1 )(ln ln )()(tan 222 050733.设 2cos ln x y =，求d y ．

高考积分,导数知识点精华总结

定积分 一、知识点与方法： 1、定积分的概念 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式 1 ()n n i i I f x ξ== ?∑ （其中x ?为小区间长度） ，把n →∞即0x ?→时，和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：?b a dx x f )(，即?b a dx x f )(＝1 lim ()n i n i f x ξ→∞ =?∑ 。 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。 (1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()b a f x dx ?的几何意 义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。 (2)定积分的性质 ① ??=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；② ???± = ±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ③???+ = b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<)。 2、微积分基本定理 如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么: ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 3、定积分的简单应用 (1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线 ,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的 曲边梯的面积? = b a dx x f S )(。 如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a

(完整版)第二章导数与微分(答案)

x 第二章导数与微分 (一) f X 0 X f X 0 I x 0 X 3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ） 5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ） C . a 6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ） A . 8 B . 12 C . -6 D . 6 8.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ） A . e f x B f X r e f f X ￡ ￡ f X 丄 2 x C . e f x f x D . e f x 9.若 f x ax e , x 0 在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x, (A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到 X o x 时，相应函数的改变量 f x 0 x B . f x 0 x C . f x 0 X f X 0 f X 。 x 2 .设f x 在x o 处可，则lim f X 0 B . X o C . f X 0 D . 2 f X 0 A .必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C .充分必要条件 既不充分也不必要条件 4.设函数y f u 是可导的，且u x 2 ，则 d y ( C ) x 2 B . xf x 2 C . 2 2 2xf x D . x f x D .有定义

10?若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ） A ?一定都没有导数 B ?—定都有导数 C .恰有一个有导数 D ?至少一个有导数 11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fx g x 在 x o 处(D ) 13 . y arctg 1 ，贝U y x A .一定都没有导数 B . 一定都有导数 C .至少一个有导数 D .至多一个有导数 12.已知F x f g x ，在 X X 。处可导，则（A ） g x 都必须可导 B . f x 必须可导 C . g x 必须可导 D . x 都不一定可导