向量的概念与基本运算

平面向量的概念与几何运算（1）

一、知识梳理

1.平面向量的有关概念： （1）向量的定义；（2）表示方法；（3）模；（4）零向量；（5）单位向量；（6）共线向量； （7）相等的向量。 2．向量的加法与减法3．实数与向量的积4．平面向量基本定理 5. 平面向量的坐标表示 6. 平面向量的坐标运算

(1) 若()()2211,,,y x b y x a ==，则()2121,y y x x b a ±±=± (2) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)

(3) 若()()2211,,,y x b y x a ==，则1212a b x x y y ?=?+?

7. 设()()2211,,,y x b y x a ==则

向量共线:1221//0a b x y x y ?-=

向量垂直:b a ⊥，? 02121=?+?y y x x

二、典型例题分析

例1. 已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b == ,则B C

为（ ）

A.423

3a b +

B.2433a b +

C.2233a b -

D.2233

a b -+

例2．求A B C D 是梯形，//AB C D 且2AB C D =，,M N 分别是D C 和AB 的中点，设

,AB a AD b == ，试用,a b 表示B C 和M N

变式训练： 下面给出四个命题：

①对于实数m 和向量,a b

，恒有()

m a b m a mb -=- ； ②对于实数m 、n 和向量a ，恒有

()m n a m a n a -=- ；③若(,0),m a m b m R m a b =∈≠= 则； ④若(0)m a n a a =≠

，则

m=n 其中正确的命题个数是（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

例3. 已知，,,O A a O B b O C c ===

（如图），求证：A 、B 、C 三点

在一直线上的充要条件是存在不全为0的实数l 、m 、n 使得00l a mb nc l m n ++=++=

且.

变式训练： 已知正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===

，则a b c ++ 的模等于

（ ）

例4.平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==c b a ，回答下列问题： （1）求满足c n b m a +=的实数m,n ；

（2）若(

)()

a b c k a -+2//，求实数k ；

（3）若d 满足()()b a c d +-//5=

-，求d

变式训练：设→--OA =（3，1），→--OB =（-1，2），→--OC ⊥→--OB ，→--BC ∥→

--OA ，O 为坐标原点，则满足→

--OD +→

--OA =→

--OC 的→

--OD 的坐标是___________

例5.已知向量2

2),cos ,1(),1,(sin πθπθθ<<-==b a

。

（Ⅰ）若b a

⊥，求θ；（Ⅱ）求||b a +的最大值。

例6.已知ABC ?中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1),BC 边上的高为AD ，求AD 。

变式训练 已知向量2||,2||,1||=-==b a b a |，则||b a

+等于 ( )

A.1

B.2

C.5

D.6