映射与函数习题

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【知识点回顾】

1.函数的概念

一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个（任意性）元素x ，在集合B 中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y 和它对应，这样的对应叫做集合A 到集合B 的一个函数（三性缺一不可） 函数的本质：建立在两个非空数集上的特殊对应 这种“特殊对应”有何特点：1).可以是“一对一” 2).可以是“多对一” 3).不能“一对多” 4). A

中不能有剩余元素 5).B 中可以有剩余元素

判断两个函数相同：只看定义域和对应法则 2.映射的概念

一般地，设A 、B 是两个集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）。 思考：映射与函数区别与联系？

函数——建立在两个非空数集上的特殊对应 映射——建立在两个非空集合上的特殊对应 1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射． 2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数． 3）映射与函数都是特殊的对应 思考：映射有“三性”： ①“有序性”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ②“存在性”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都存在元素和它对应； ③“唯一性”：对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中和它对应的元素是唯一的. 3.用映射定义函数

(1).函数的定义：如果A 、B 都是非空数集，那末A 到B 的映射f :A → B 就叫做A → B 的函数。记作：y=f (x ).

（2）定义域：原象集合A 叫做函数y =f (x)的定义域。

（3）值域：象的集合C 叫做函数

y =f (x)的值域。 定义：给定一个集合A 到集合B 的映射，且a ∈A ， b ∈B 。如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。

给定映射f ：A →B 。则集合A 中任何一个元素在集合B 中都有唯一的象，而集合B 中的元素在集合A 中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。 问题1：下图中的（1）（2）所示的映射有什么特点？

答：发现规律：（1）对于集合A 中的不同元素，在集合

B 中有不同的象，我们把这样的映射称为单射。

（2）集合B 中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射。

定义：一般地，设A 、B 是两个集合。f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映

)(B C

射下，对于集合A 的不同元素，在集合B 中有不同的象，且B 中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A

注意：1）一一映射是一种特殊的映射：A 到B 是映射，B 到A 也是映射。

2）映射和一一映射之间的充要关系，映射是一一映射的必要而不充分条件 3）一一映射： A 和B 中元素个数相等。

例2：判断下面的对应是否为映射，是否为一一映射？

1）A={0,1,2,4,9},B={0,1,4,9,64},对应法则 f ：a →b = (a-1)2

答：是映射，不是一一映射。（如右图所示可以很容易可能出。） 2）A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4},对应法则 f ：求平方根？答：不是映射。 3）A=Z ，B=N*，对应法则 f ：求绝对值？答：不是映射。

4）A={11,16,20,21},B={6,2,4,0},对应法则 f ：求被7除的余数

答：是映射，且是一一映射。

例3：已知集合Ａ＝Ｒ，Ｂ＝｛(x,y)|x,y ∈Ｒ｝，f 是从Ａ到Ｂ的映射f:x →(x+1,x 2) . （１）求2在B 中的对应元素 （２）(2,1)在Ａ中的对应元素

解:（1）将x=2代入对应关系，可得其在Ｂ中的对应元素为（2+1，2） （2）由题意得： x+1=2

x 2=1 ∴x=1 即（2,1）在A 中的对应元素为1 例4：设集合A={a 、b},B={c 、d 、e} （1）可建立从A 到B 的映射个数. （2）可建立从B 到A 的映射个数. 答：9,8（可以试着画图看看）

小结：如果集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，那么从集合A 到集合B 的映射共有n m 个。

【映射例题精解】

例1在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？ 设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，对应关系是f(x)=2x+1,x 属于A

设A={1,4,9},B+{-1,1,-2,2,-3,3}对应关系是‘A 中的元素开平方’ 设A=R ，B=R,对应关系是f(x)=x 的3次方，x 属于A 设A=R,B=R,对应关系是f(x)=2x 的2次方+1，x 属于A

解析：1、是一一映射，且是函数

2、不是映射（象是有且唯一）

3、是一一映射，且是函数

4、是映射，但不是函数，因为B中不是所有值在A中都有对应。

例2设A={a,b,c},B={0,1},请写出两个从A到B的映射

从A到B的映射共有2^3=8个：

（a，b，c）→（0，0，0）；

（a，b，c）→（0，0，1）；

（a，b，c）→（0，1，0）；

（a，b，c）→（1，0，0）；

（a，b，c）→（0，1，1）；

（a，b，c）→（1，0，1）；

（a，b，c）→（1，1，0）；

（a，b，c）→（1，1，1）。

例3假设集合m={0 -1 1} n={-2 -1 0 1 2} 映射f:M→N 满足条件“对任意的x属于M ,x+f(x) 是奇数”，这样的映射有____个

①当x=-1时，x+f(x)=-1+f(-1)恒为奇数，相当于题目中的限制条件“使对任意的x属于M，都有x+f(x)是奇数”

f(-1)=-2,0,2

②当x=0时，x+f(x)=f(0),根据题目中的限制条件“使对任意的x属于M，都有x+f(x)是奇数”可知f(0)只能等于-1和1

③当x=1时，x+f(x)=1+f(1)恒为奇数

f(1)=-2,0,2

综上①②③可知，只有第②种情况有限制，所以这样的映射共有3×2×3=18个

例4 设集合A={-1，0，1} B={2，3，4，5，6 } 从A到B的映射 f满足条件：对每个X∈A 有 f（X）+X为偶数那么这样的映射f的个数是多少？

映射可以多对一，要让f（X）+X＝偶数，当X＝－1和1时，只能从B中取奇数，有3，5两种可能，当X＝0从B中取偶数有2 4 6三种，则一共有2×2×3＝12个

以后你学了分步与分类就很好理解啦，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n中不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法

例5已知：集合{,,}M a b c =，{1,0,1}N =-，映射:f M N →满足()()()0f a f b f c ++=，那么映射:f M N →的个数是多少？ 思路提示：满足()()()0f a f b f c ++=，则只可能00001(1)0++=++-=，即()f a 、()f b 、()f c 中可以全部为0，或0,1,1-各取一个．

解：∵(),(),()f a N f b N f c N ∈ ∈ ∈，且()()()0f a f b f c ++= ∴有00001(1)0++=++-=．

当()()()0f a f b f c ===时，只有一个映射；

当()()()f a f b f c 、、中恰有一个为0，而另两个分别为1，1－时，有326?＝个映射．因此所求的映射的个数为167＋＝． 例6给出下列四个对应：

① ② ③ ④ 其构成映射的是（）

A 只有①②

B 只有①④

C 只有①③④

D 只有③④ 答案：B 提示：根据映射的概念，集合A 到集合B 的映射是指对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有唯一确定的值与之相对应，故选择B ．

例7．若函数()f x 满足()()(),f x y f x f y x y R +=+ (∈)，则下列各式不恒成立的（） (0)0A f =(3)3(1)B f f =

11

()(1)22C f f =()()0D f x f x -?<

答案：D

提示：令0y =有()()(0)f x f x f =+，(0)0f ∴=，A 正确．

令1x y ==，有(3)(2)(1)(1)(1)(1)3(1)f f f f f f f =+=++=，B 正确． 令12x y ==

，有111(1)()()2()222f f f f =+=，11

()(1)22

f f ∴=，C 正确． 令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-． 由于(0)0f =，()()f x f x ∴-=-，

于是当0x y ==时，()()0f x f x -?=，故()()0f x f x -?<不恒成立，故选D ．

例8．已知集合{04}P x x =≤≤，{02}Q y y =≤≤，下列不表示从P 到Q 的映射是（ ）

1:2A f x y x →=1:3B f x y x →=

2

:3

C f x y x →=:

D f x y

→ 答案：C

提示：C 选项中2:3f x y x →=，

则对于P 集合中的元素4，对应的元素8

3

，不在集合Q 中，不符合映射的概念．

例9．集合{3,4}A = ，{5,6,7}B = ，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B

到A 的映射个数是__________． 答案：9,8

提示：从A 到B 可分两步进行：第一步A 中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A 中的元素4也有这3种对应方法．则不同的映射种数1339N =?=．反之从B 到A ，道理相同，有22228N =??=种不同映射．

例10．如果函数3()()f x x a =+对任意x R ∈都有(1)(1)f x f x +=--，试求(2)(2)f f +-的值．

解：∵对任意x R ∈，总有(1)(1)f x f x +=--，

∴当0x =时应有(10)(10)f f +=--， 即(1)(1)f f =-．∴(1)0f =．

又∵3()()f x x a =+，∴3(1)(1)f a =+．

故有3(1)0a +=（，则1a =-．∴3()(1)f x x =-． ∴33(2)(2)(21)(21)26f f +-=-+--=-．

【课堂练习】

1．设f:A→B 是集合A 到集合B 的映射，则正确的是 （ ） A ．A 中每一元素在B 中必有象 B ．B 中每一元素在A 中必有原象

C ．B 中每一元素在A 中的原象是唯一的

D ．A 中的不同元素的象必不同

2．集合A={3,4},B={5,6,7},那么可建立从A 到B 的映射个数是_______，从B 到A 的映射个数是__________.

3．设集合A 和B 都是自然数集N ，映射f:A→B 把集合A 中的元素n 影射到集合B 中的元素

n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 （ ）A.2 B.3 C.4 D.5

4．如果(x,y)在映射f 下的象是(x+y,x-y)，那么(1,2)在映射下的原象是 （ ） A.（3，1） B.（

21,23-） C. （2

3

,21-） D.（-1，3） 5.已知点(x ，y)在映射f 下的象是(2x －y ，2x ＋y)， 求(1)点（２，３）在映射f 下的像；

（２）点(4，6)在映射f 下的原象.

6.设集合A ＝{1,2,3,k},B ＝{4,7,a 4,a 2＋3a},其中a,k ∈N,映射f:A →B ，使B 中元素y ＝3x ＋1与A 中元素x 对应，求a 及k 的值.

【综合练习】

一、选择题：

1．下列对应是从集合A 到集合B 的映射的是

（）

A ．A =R ，

B ={x |x ＞0且x ∈R}，x ∈A ，f ：x →|x | B ．A =N ，B =N ＋

，x ∈A ，f ：x →|x －1|

C ．A ={x |x ＞0且x ∈R}，B =R ，x ∈A ，f ：x →x 2

D ．A =Q ，B =Q ，f ：x →

x

1 2．已知映射f :A B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B 中的元素都是

A 中的元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A ，在

B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中的元素的个数是 （）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

3．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，象20的原象是

（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

4．在x 克a %的盐水中，加入y 克b %的盐水，浓度变成c %(a ,b >0,a ≠b )，则x 与y 的函数关系式是

（

）

A ．y =

b c a

c --x B ．y =c b a

c --x

C ．y =c b c

a --x

D ．y =a

c c b --x

5．函数y=3

23

2+-x x 的值域是

（）

A ．(－∞，－1 )∪(－1，＋∞)

B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)

C ．(－∞，0 )∪(0，＋∞)

D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)

6．下列各组中，函数f (x )和g(x )的图象相同的是

（）

A ．f (x )=x ，g(x )=(x )2

B ．f (x )=1，g(x )=x 0

C ．f (x )=|x |，g(x )=2x

D ．f (x )=|x |，g(x )=?

??-∞∈-+∞∈)0,(,)

,0(,x x x x

7．函数y =1122---x x 的定义域为

（）

A ．{x |－1≤x ≤1}

B ．{x |x ≤－1或x ≥1}

C ．{x |0≤x ≤1}

D ．{－1，1}

8．已知函数f (x )的定义域为［0，1］，则f (x 2)的定义域为

（）

A ．(－1，0)

B ．[－1，1]

C ．(0，1)

D ．［0，1］

9．设函数f (x )对任意x 、y 满足f (x ＋y )=f (x )＋f (y )，且f (2)=4，则f (－1)的值为

（）

A ．－2

B ．±2

1

C ．±1

D ．2

10．函数y=2－x x 42+-的值域是 （）

A ．[－2，2]

B ．[1，2]

C ．[0，2]

D ．[－2，2]

11．若函数y=x 2—x —4的定义域为[0，m ]，值域为[25

4

-，-4]，则m 的取值范围是 （）

A ．(]4,0

B ．[

2

3

，4] C ．[

23，3] D ．[2

3

，＋∞] 12．已知函数f (x ＋1)=x ＋1，则函数f (x )的解析式为

（）

A ．f (x )=x 2

B ．f (x )=x 2＋1(x ≥1)

D ．f (x )=x 2－2x ＋2(x ≥1) C ．f (x )=x 2－2x (x ≥1)

二、填空题：

13．己知集合A ={1，2，3，k } ，B = {4，7，a 4，a 2＋3a }，且a ∈N*，x ∈A ，y ∈B ，使B

中元素y =3x ＋1和A 中的元素x 对应，则a =___，k =__.

14．若集合M={－1，0，1} ，N={－2，－1，0，1，2}，从M 到N 的映射满足：对每个x ∈M ，

恒使x ＋f (x) 是偶数，则映射f 有____个. 15．设f (x －1)=3x －1，则f (x )=_________.

16．已知函数f (x )=x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f (3)之间的大小关系为.

三、解答题：

17．（1）若函数y = f (2x ＋1)的定义域为[ 1，2 ]，求f (x )的定义域.

（2）已知函数f (x )的定义域为［－21，23］，求函数g (x )=f (3x )＋f (3

x

)的定义域. 18．（1）已f (

x 1

)=x

x -1，求f (x )的解析式. （2）已知y =f (x )是一次函数，且有f [f (x )]=9x ＋8，求此一次函数的解析式.

19．求下列函数的值域：

（1）y =－x 2＋x ，x ∈[1，3 ] （2）y =

1

1

-+x x

（3）y x =

20．已知函数?(x )=f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，

且?(

3

1

)=16，?(1)=8． （1）求?(x )的解析式，并指出定义域； （2）求?(x )的值域.

21．如图，动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始，顺次经B 、C 、D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示P A 之长时，求y 关于x 的解析式，并求f (

2

5

)的值.

22．季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且

每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售. （1）试建立价格P 与周次t 之间的函数关系式.

（2）若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0，16]，t∈N*，试问该服装第几周每件销售利润L最大?

第2讲函数与映射的概念复习.docx

第2讲函数与映射的概念 ★知识梳理 1.函数的概念 (1)函数的定义：设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则于，对于集合A中的每一个数x ,在集合B中都冇唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从4到B的一个函数，通常记为y = /(x),x G A (2)函数的定义域、值域 在函数y = /(x),x G A中，x叫做口变量，x的取值范碉A叫做y = /0)的定义域；与x的值和对应的y值叫做函数值，函数值的集介｛f(x)卜e A｝称为函数y = f(x)的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2.映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/,对于集合A中的任意元素，在集合B小都有唯-确泄的元素与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f : A — B ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象两数的定义域 重难点：1?关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没冇弄清所给函数Z间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数y = /(x)的定义域为[a, b],求y = /(x + 2)的定义域. 问题2：己知y = /(x + 2)的定义域是[d, b],求函数y = f (x)的定义域. 1.求值域的几种常用方法 (1 )配方法：对于(可化为)'、二次函数型〃的函数常用配方法，如求函数y = -sin2兀一2cosx + 4, 变为y = - sin? x-2cosx + 4 = (cosx-1)2 + 2解决. (2)基本函数法：一些由基木函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数y = log j (-x2 + 2x + 3)就是利用函数y = log丨u和u = -x2 + 2兀+ 3的值域来求. 2 2 2JC + 1 (3)判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数/ 的值域 兀'―2兀+ 2 山)，=严+1得y/—2(y + i)x + 2y — l = 0,若y = 0 ,则得 % = 所以y = 0 x - 2x + 2 2 是函数值域中的一个值；若y ^0 ,则由△ = [—2(y + l)『—4y(2y —1)? 0得

高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.1映射与函数

课时授课计划 课次序号：01 一、课题：§1.1 映射与函数 二、课型：新授课 三、目的要求：1.了解集合与映射的有关概念； 2.理解函数的概念，了解函数的四种特性； 3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念； 4.熟悉基本初等函数的性质及其图形； 5.会建立简单实际问题的函数关系式． 四、教学重点：函数的概念，函数的各种性态. 教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解. 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–1 3（1），6（4）（7），9（1） 八、授课记录： 九、授课效果分析：

第一章函数与极限 第一节映射与函数 高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识. 一、集合 1. 集合的概念 集合是数学中的一个最基本的概念．一般地，我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集．组成集合的事物称为该集合的元素．例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等． 通常我们用大写的英文字母A，B，C，…表示集合；用小写的英文字母a，b，c，…表示集合的元素．若a是集合A的元素，则称a属于A，记作a∈A；否则称a不属于A，记 作a?A（或a∈A）． 含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，用?表示；不是有限集也不是空集的集合称为无限集．例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集； 全体实数组成的集合是无限集；方程2x+1=0的实根组成的集合是空集． 集合的表示方法：一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内．例如，所有正整数组成的集合可以表示为N={1，2，…，n，…}．另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质p（x）的元素x所组成的集合A记作 A ={x｜x具有性质p（x）}． 例如，正整数集N也可表示成N={n｜n =1，2，3，…}； 又如A={（x，y）｜2x+2y=1，x，y为实数}表示xOy平面单位圆周上点的集合． 2. 集合的运算 设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A?B （或B?A）；若A?B，且有元素a∈b，但a?A，则说A是B的真子集，记作A?B．对任何集A，规定??A．若A ?B，且B?A，则称集A与B相等，记作A=B．由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集，记作A∪B，即 A∪B={x｜x∈A或x∈B}． 由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作A∩B，即 A∩B={x｜x∈A且x∈B}． 由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作A\B，即 A\B={x｜x∈A但x?B}． 如图1-1所示阴影部分．

函数与映射的概念及其表示方法

函数与映射的概念 ★知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{} A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念 设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为 B A f →: ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 [误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a [正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围 问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 [误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而

函数与映射概念的理解

玩转函数第一招 第1招：函数与映射概念的理解【知识点理解】 ①映射.映射f : A→B 的概念。 对于两个集合A，B 如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任．何．一．个．元素在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括A、B 及f）叫做从集合 A 到集合B的映射. 记作：f：A→B. 对于映射这个概念，应明确以下几点： ①映射中的两个集合A 和B 可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合. ②映射是有方向的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往是不相同的. ③映射要求对集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合 A 中元素的任意性和在集合 B 中对应的元素的唯一性构成了映射的核心. ④映射允许集合B 中的某些元素在集合A 中没有原象，也就是由象组成的集合 C B. ⑤映射允许集合A 中不同的元素在集合B 中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”. 一一映射：设 A ，B 是两个集合，f ：A → B 是从集合 A 到集合 B 的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A 中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且 B 中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从．A．到．B．上．的一一映射. 一一映射既是一对一又是 B 无余的映射. 在理解映射概念时要注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一； ⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。总结：取 元任意性，成象唯一性。 【精准训练】

（1）设f :M→N是集合M到N的映射，下列说法正确的是 A、M中每一个元素在N中必有象 B、N中每一个元素在M中必有原象 C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的 D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）； （2）、若从集合A 到集合B 的映射 f满足 B 中的任何一个元素在 A中都有原象，则称映射 f 为从集合 A 到集合 B 的满射，现集合 A 中有 3 个元素，集合 B 中有 2 个元素，则从集合 A 到集合 B 的满射 f 的个数是： A 、 5 B 、6 C、 8 D、 9 （答：B ）（3）点（a,b）在映射f的作用下的象是（a-b,a+b），则在f作用下点（3,1）的原象为点 _______ （答：（2，－1））； （4）a、b为实数，集合M{b ,1}, N ={a,0}, f : x→ x表示把集合M中的元素x映射到集合N中a 仍为x，则a +b= A、1 B、0 C、－1 D、±1 （5）若A = {1,2,3,4}，B ={a,b,c}，a,b,c R，则A到B的映射有个，B到A的 映射有个，A到B的函数有个（答：81,64,81）； （6）设集合M={-1,0,1},N={1,2,3,4,5}，映射f :M→ N满足条件“对任意的x M，x+ f（x）是奇数”，这样的映射f有_____ 个（答：12）； （7）设f :x→ x2是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则A B一定是_______ （答： 或{1}）. 8）、已知集合A = {1, 2,3} ，B={-1,0,1}，则满足条件f（3）=f（1）+f（2）的映射f : A→ B的个数是（）（A）2 （B）4 （C）5 （D）7 （9）、从集合A={1,2,3}到B={3,4}的映射f : A→ B中满足条件f（3）= 3个数是（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D）6 （10）、已知集合A={1,2,3}，在A→ A的映射中满足条件f（3）=3，f（2）=1个数是（） （11）、．A={1，2，3，4，5，}，B={6，7，8，}从集合A到B的映射中满足f（1）≤f （2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有（） A、27 B、9 C、21 D、12 解：（1）当一个不等号也没有时，（即与B中的一个元素对应），则f有C13个

函数与映射

制作人：ＬＨＨ 函数与映射 1.函数的概念 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个（任意性）元素x ，在集合B 中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y 和它对应，这样的对应叫做集合A 到集合B 的一个函数（三性缺一不可） 函数的本质：建立在两个非空数集上的特殊对应 这种“特殊对应”有何特点：1).可以是“一对一” 2).可以是“多对一” 3).不能“一对多” 4). A 中不能有剩余元素 5).B 中可以有剩余元素 判断两个函数相同：只看定义域和对应法则 2.映射的概念 一般地，设A 、B 是两个集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）。 思考：映射与函数区别与联系？ 函数——建立在两个非空数集上的特殊对应 映射——建立在两个非空集合上的特殊对应 1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射． 2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数． 3）映射与函数都是特殊的对应 思考：映射有“三性”： ①“有序性”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ②“存在性”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都存在元素和它对应； ③“唯一性”：对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中和它对应的元素是唯一的. 3.用映射定义函数 (1).函数的定义：如果A 、B 都是非空数集，那末A 到B 的映射f :A → B 就叫做A → B 的函数。记作：y=f (x ). （2）定义域：原象集合A 叫做函数y =f (x)的定义域。 （3）值域：象的集合C 叫做函数y =f (x)的值域。 定义：给定一个集合A 到集合B 的映射，且a ∈A ， b ∈B 。如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。 给定映射f ：A →B 。则集合A 中任何一个元素在集合B 中都有唯一的象，而集合B 中的元素在集合A 中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。 问题1：下图中的（1）（2）所示的映射有什么特点？ 答：发现规律：（1）对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象， 我们把这样的映射称为单射。 （2）集合B 中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射。 )(B C

3.映射函数的定义

映射函数的定义 1．设是集合A 到集合B 的映射，且集合B 中的每一个元素都有原象，若，则等于（ ） A ．{0} B ．{2} C ．{0,2} D ．{-2,0} 2．下列各对应中,构成映射的是 （ ） 3．设集合A ＝B ＝{(,),}x y x R y R ∈∈，从A 到B 的映射在映射下，B 中的元素为（4，2）对应的A 中元素为 （ ） A ．（4，2） B ．（1，3） C ． （3,1） D ．（6,2） 4．设集合和集合都是自然数集合，映射,把集合中的元素映射到集合中的元素 ,则在映射下，象20的原象是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 5．设A={|02x x ≤≤}, B={y | 0≤y ≤3 }, 下列各图中不能表示从集合A 到B 的映射是( ) A ． B ． C ． D ． :||f x x →{2,0,2}A =-A B ) ,(),(:y x y x y x f -+→

6．下列图像表示函数图像的是（） y x y x y x y x A B C D 7．下列图像中，是函数图像的是（） A. (1) (2) B.(2) (3) C.(2)(4) D.(1) (3) 8．下列各图像中，不可能 ．．．是函数 ()x f y=的图像的有几个（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9．集合A 中含有2个元素，集合A到集合A可构成个不同的映射. 10．已知集合Ａ＝｛１，２，３，４｝，Ｂ＝｛－１，－２｝，设映射ｆ：Ａ→Ｂ， 如果集合Ｂ中的元素都是Ａ中元素在ｆ下的象，那么这样的映射有 _________________________个． o x y ① o y x ② o y x ③ o y x ④ 试卷第2页，总2页

第3讲：映射与函数(学生用书).docx

（聚焦2008）第3讲：映射与函数 一、知识梳理 」 「定义域 =＞函砖=＞ 函数的三要素｛对应法则 ? 「列表丄值域 函数的表示方法解析法（公式法） I 图像法 重点：（1）映射的概念；（2）函数的概念； （3）函数的表示法。 难点：（1）对函数概念的 正确理解；（2）求有特殊要求的映射的个数。 二、考点解读与例题分析 （一）止确理解映射的概念 映射是指两个非空集合A 、B ZI'可的一种特殊对应，理解映射要注意 以下几点： （1） 映射具有方向性，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射截然不同。 （2） “任何、唯一”：对于A 中任何一个元素，在B 中都有它在“f ，下 的 唯一的像，而B 中可以有元素在A 中没有原像； （3） “两允许两不允许S 允许集合B 是有剩余元素，不允许集合A 中 有剩余元素，允许多对一，不允许一对多。 【例1】下列对应是否为从A 到B 的映射？能否构成函数？ （1） ---------------------------------- A=R, B=R? f ： x~^y= ； 兀+ 1 、 1 1 1 （2） A =｛al-aEN ｝, B=｛blb=-, neN ｝, f ： a-＞b=-； 2 n a （3） A =｛平而a 内的矩形｝, B=｛平面CI 内的圆｝, f ：作矩形的外接 圆。 （—）知I 框圉 （射映）竝代衣=函数映定叉 A 传统定义（对应） 一般映射＜=映射＜C （像与原像） （二）重点难点

(二)函数的有关概念 (1)传统定义：若在某变化过程中有两个变量X、y,并且对于x在某个范鬧内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记为y= (x)。 (2)近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。其实质是定义域(一个非空数集)、对应法则和值域(切一个非空数集)。 (3)函数的表示法 列表法、解析式法、图像法 (4)常见函数 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、常数函数(y=c, c为常数)。 (5)相同的函数是指定义域和对应则法则都相同的函数，但对应法则可以有多种不同的表现形式，例如： fi (x) =1x1与f2 (x) 对应法则fi：对自变量取绝对值；对应 法则f2：对变量平方再开方，但两个对应法则是相同的。 【例2】试判断下列各组函数中，是否表示同一隨数？ (1)f(X)= , g (x) = ; |X| 「1，xNO (2) f (x)= ------- 与g (x) =5 ； x I —1, x<0 (3)f(X)=2"如2卄1 , g (x) = ( 2“呱)2n-l； (4) f (x)=頁厶 + 1 , g (x) =^Jx2 + x； (5) f (x) =x2—2x— 1, g (x) = t2—2t— lo

函数与映射的概念主要知识梳理

函数与映射的概念知识梳理第 1 页 共 1 页 函数与映射的概念主要知识梳理 ●函数的基本概念： 1、函数的定义：设B A ,是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从A 到B 的一个函数。 ①关键词：非空的数集、任意性、唯一性 ②作用：判断一个对应是否是函数 2、函数的三要素： 定义域A 、值域(?B)、对应法则f （定义域和对应法则最为关键） 作用：判断两函数是否是同一函数的依据（只要判断定义域和对应法则是否相同即可） ●函数的表示方法： 解析式法，列表法，图像法 ●分段函数与复合函数 分段函数：? ??∈∈=)()()()()(21D x x h D x x g x f ，复合函数：))((x g f y = ●映射的概念 1、定义：设设B A ,是非空集合，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ， 在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从A 到B 的一个映射。 ①关键词：非空集合、任意性、唯一性 ②作用：判断一个对应是否是映射 2、映射的三要素： 原象集A 、象集(?B)、对应法则f 作用：判断两映射是否是同一映射的依据（只要判断原象集和对应法则是否相同即可） 3、函数是特殊的映射； ●反函数 1、概念; 设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，由()y f x =求出()x y ?=.如果对于C 中 每个y 值，在A 中都有唯一的值和它对应，那么()x y ?=为以y 为自变量的函数，叫做()y f x =的反函数，记作1()y f x -=，（x C ∈） 2、存在反函数的条件：函数()y f x =在定义域内单调（一 一映射） 3、求反函数的一般步骤： （1）求原函数的值域； （2）反解，由()y f x =解出)(y x ?=； （3）写出反函数的解析式1()y f x -=（互换,x y ），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）. 4、互为反函数的两个函数具有如下性质： （1）反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域； （2）互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单调性；它们的图象关于x y = 对称； （3）?=b a f )(a b f =-)(1 ●常见的思想方法 1、主要思想: ①数形结合:-------树形图 ②分类讨论：①按象的个数分类；②按原象个数分类； ③按对应关系（一对一、多对一，不能一对多）分类. 2、易错易混点 ①映射B A f →:与函数的定义).(x f y =-----A 中元素的任意性和B 中元素的唯一性? ②一个映射与某一对应的值. ③定义域与原象集以及与集合A 的关系. 值域与象集以及集合B 的关系. 3、主要题型: ①判断映射与函数； ②知原象、象、对应法则三者中的任意二个求余下一个； ③求映射与函数的个数.(注意分类讨论、注意和排列组合知识的综合应用)

第2讲 函数与映射的概念js

第二讲 函数与映射的概念 ★知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{} A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念 设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为 B A f →: ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 [误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a [正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围 问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域

高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.1映射与函数(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 课时授课计划 课次序号：01 一、课题：§1.1 映射与函数 二、课型：新授课 三、目的要求：1.了解集合与映射的有关概念； 2.理解函数的概念，了解函数的四种特性； 3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念； 4.熟悉基本初等函数的性质及其图形； 5.会建立简单实际问题的函数关系式． 四、教学重点：函数的概念，函数的各种性态. 教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解. 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导 委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业

大学出版社． 七、作业：习题1–1 3（1），6（4）（7），9（1） 八、授课记录： 九、授课效果分析： 第一章函数与极限 第一节映射与函数 高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解 函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识. 一、集合 1. 集合的概念 集合是数学中的一个最基本的概念．一般地，我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集．组成集合的事物称为该集合的元素．例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等． 通常我们用大写的英文字母A，B，C，…表示集合；用小写的英文字母a，b，c，…表示集合的元素．若a是集合A的元素，

则称a属于A，记作a∈A；否则称a不属于A，记作a?A（或a∈A）．含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，用?表示；不是有限集也不是空集的集合称为无限集．例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集；全体实数组成的集合是无限集；方程2x10的实根组成的集合是空集．集合的表示方法：一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内．例如，所有正整数组成的集合可以表示为N{1，2，…，n，…}．另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质p（x）的元素x所组成的集合A 记作 A {x｜x具有性质p（x）}． 例如，正整数集N也可表示成N{n｜n 1，2，3，…}； 又如A{（x，y）｜2x2y1，x，y为实数}表示xOy 平面单位圆周上点的集合． 2. 集合的运算 设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A?B（或B?A）；若A?B，且有元素a∈b，但a?A，则说A是B的真子集，记作A?B．对任何集A，规定??A．若A ?B，且B?A，则称集A与B相等，记作A B．由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集，记作A∪B，即 A∪B{x｜x∈A或x∈B}．由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作A∩B，即 A∩B{x｜x∈A且x∈B}．由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作A\B，即 A\B{x｜x∈A但x?B}．如图11所示阴影部分．

一函数与映射的基本概念

一、函数与映射的基本概念 一、基本概念 1．函数的定义： 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称这样的对应“f :A →B ”为从集合A 到B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合C={y|y = f （x ）,x ∈A }叫做函数的值域)(B C ?. 函数符号y =f (x )表示“y 是x 的函数”，或简记为f (x )．这里的“f ”即对应法则，它确定了y 与x 的对应关系．从函数概念看，“定义域、值域和对应法则”是构成函数的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随之确定． 2、对应法则 是指y 与x 的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程（形式），即由x 求出y 的运算过程，一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果（本质），即y 的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同的。例如：x x x y x y ++=+=2 2 cos sin 1与的对应法则是相同的。 3、同一个函数 两个函数当且仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件． 4、变换字母 在函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数 本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，g （t ）= t 2+1，都表示同一函数. 5、区间及其表示方法． 区间是数学中常用的表示数集的术语与符号．设b a R b a <∈,、， 规定闭区间: [a ，b ]={}b x a x ≤≤|，开区间:（a ，b ）={}b x a x <<|， 半开半闭区间:（a ，b ]={}b x a x ≤<|，[a ，b ）={}b x a x <≤|． 其中a 、b 分别为区间的左端点、右端点，b -a 为区间长度． 符号+∞读作正无穷大，﹣∞读作负无穷大，它们都不是一个具体的数． 用+∞或-∞作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式． 如：{}a x x a >=+∞|),(，{}}|),(b x x b <=-∞，R =+∞-∞),( 6．映射的概念： 映射是两个集合间的一种特殊的对应关系，即若按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任一元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 和对应法则f ）就叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．在映射f ：A →B 中，若A 中元素a 与B 中元素b 对应，则b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象．因而，映射可以理解为“使A 中任一元素在B 中都有唯一象”的特殊对应（即单值对应）．如果映射f ：A →B 满足①A 中不同元素在B 中有不同的象；②B 中任一元素均有原象，那么这个映射就是A 到B 上的一一映射． 7、映射与函数的关系 函数是映射，但映射不一定是函数。由映射的概念可知，函数本质上是定义在两个非空数集

高等数学-函数与极限-教案

第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系 式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极 限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M. 集合的表示:

列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, ? ? ?, a n }, M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. N +={1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={? ? ?, -n , ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ?B (读作A 包含于B )或B ?A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ?B 且B ?A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ?B 且A ≠B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 且x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B ={x |x ∈A 且x ?B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A ?B =B ?A , A ?B =B ?A ; (2)结合律 (A ?B )?C =A ?(B ?C ), (A ?B )?C =A ?(B ?C ); (3)分配律 (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ), (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ); (4)对偶律 (A ?B )C =A C ?B C , (A ?B )C =A C ?B C .

映射和函数含答案

￥ 第2课时 映射与函数 课时目标 1.了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射.2.知道函数与映射的关系． 1．映射的概念 设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中____________________元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的______．这时，称y 是x 在映射f 作用下的____，记作______，x 称作y 的______． & 2．一一映射 如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的______________，在集合A 中都__________，这时我们说这两个集合的元素之间存在______________，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的___________________________________________． 3．映射与函数 由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是__________． 一、选择题 1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是( ) A ．A 中的每一个元素在B 中必有象 " B ．B 中每一个元素在A 中必有原象 C ．A 中的一个元素在B 中可以有多个象 D ．A 中不同元素的象必不同 2．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( ) 3．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( ) A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝1 3 x ^ C ．f ：x →y ＝2 3 x D ．f ：x →y ＝x 4．设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，象(2,1)的原象是( )

映射的概念分类及与函数的关系

映射的概念分类及与函数的关系 1.映射：对于非空集合A、B，定义从A到B得对应法则f， 对于A中的每一个元素a，按照法则f的作用，在B中都有唯一的元素b与之对应。这就叫做从A到B得一个映射。记作f:A→B。通常把集合A叫做像集（源像），集合B 叫做像。为了理解透彻，对其有两点说明： （1）集合A的遍历性，即集合A中的所有元素都必须参与法则f的作用，也就是说A中没有“剩余” 元素，但是集合B不要求遍历性，B中可以有“剩 余”元素，即B中可以有一部分元素不存在A中 的任何元素与之对应。 （2）对应的唯一性，即对于A中的每一个元素，在法则f作用下，只能对应B中的一个元素，即“一 对一”，如果“一对多”，则不叫做映射，只能叫 做对应。所以可以说映射是对应的一个子集。同 时，“多对一”也是映射所允许的，因为它仍满足 唯一性。 2.单射：对于f:A→B，B中的每一个不“剩余”的元素b在 A中只有一个a与之对应。即除去了“多对一”的情况，但是仍然保留了B中可以有“剩余”元素这一点。 3.满射：集合B中的每一个元素在A中都至少有一个元素与 之对应。即对A、B都要求遍历性，使B中元素也没有“剩

余”的。即“满”之意。当然，也允许“多对一”。 4.双射：既单又满谓之双，即“一一对应”，A、B元素皆遍 历，并除去了“多对一”的情况。换句话说，映射f:A→B 反过来（即f:B→A）也是映射。这大概就是“双”的意思吧。其他的类型则不然，所以双射的约束是最严苛的。 5.函数：是映射的一个子集，通常将A和B限定在数集中（对 实际问题也总能够进行数学建模抽象成数域上的函数），集合A和B分别叫做定义域和值域。法则f就抽练为函数表达式。显然，它首先必须是一个满射，即值域不能有“剩余”，如果有了，则它不是函数值，当然集合B就不能叫做值域了。其次，当函数又满足双射的条件时，自然就是所谓的严格单调函数了，或者说反函数存在（当然，函数的分类有许多种，我这样的说法严格来说是不准确的。但是对于高中生，一般处理的是一元连续实函数，故可以按此理解）。 需要说明一点，本人的这些定义并不是教材上的数学语言，故希望学子们先按照课本的严格定义学习，有一定基础时再按我说的加深理解。如有错误与遗漏，敬请大家批评指正并参与讨论

映射以及函数概念总结复习

课次教学计划（教案） 一引入课题 复习初中已经遇到过的对应： 1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应； 2．对于坐标平面任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应； 3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应； 4．某影院的某场电影的每一电影票有唯一确定的座位与它对应； 5．函数的概念． 二新课教学 1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射（mapping） 2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系 （1）开平方； （2）求正弦 （3）求平方； （4）乘以2； 3．什么叫做映射？ 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）． 记作“f：A→B” 说明： （1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述． （2）“都有唯一”什么意思？ 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。 4．例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？ （1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应； （3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的切圆； （4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每个班级都对应班里的学生． 思考： 将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f： B→A是从集合B到集合A的映射吗？

分段函数与映射

1.2.2分段函数及映射（学案） 一、三维目标 （一）、知识与技能 1、理解分段函数与映射的概念，会根据函数的解析式来画图，求函数值； 2、能够根据映射定义判明某种对应关系是否为映射。 （二）、过程与方法 通过对分段函数的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对映射定义的应用，提高学生的推理判断能力。（三）情感态度与价值观 通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，锻炼克服困难的意志，激励学习数学的自信心。 二、教学重点 领会分段函数的实质，明确分段函数是一个函数的意义。 三、教学难点 分段函数的应用及映射定义的应用。 四、教学过程 （一）创设情景，引入新课 引例1、某公共汽车的票价如下：（1）5公里以内（含5公里）票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）。 如果一条线路的总长为30公里。 请回答下列问题： 1.我如果坐车到离起点15公里的地方，票价为多少元？如果坐车到离起点18公里的地方呢？ 2.写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数图像。 1．分段函数的概念 在定义域内_不同区间_ _上，有不同的解析式的函数通常叫做分段函数．

思考 1．分段函数是一个函数还是几个函数？其定义域、值域各是什么？ 【提示】 分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 例题展示 1、画出函数()f x x =的图像。并求：（1）()f 3，（2）()f f 2-???? 2、 解题感悟：(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得． (2)像本题中含有多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． 变式练习：本例（2）中的条件不变，若已知()f x 3=，求x 的值。 已知函数f(x)＝????? x ＋2，x ≤－1x 2，－1