三角函数、三角恒等变形 知识要点
高中数学第三章-三角函数、三角恒等变形、解三角
形
三角函数、三角恒等变形 知识要点
1.终边相同的角的集合：
①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：
{}Z k k ∈+?=,360|αββ
②终边在x 轴上的角的集合： {}
Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{
}
Z k k ∈+?=,90180|
ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{
}
Z k k ∈?=,90|
ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}
Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}
Z k k ∈-?=,45180| ββ
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 1rad ＝π
180°≈57.30°=57°18ˊ．1°＝180
π≈0.01745（rad ）
3、弧长公式：r l
?=||α. 扇形面积公式：21
1||22
s lr r α==?扇形
4、三角函数定义（略）
5、三角函数在各象限的符号：
正切、余切
余弦、正割
正弦、余割
6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT
7、商的关系: αααt a n c o s
s i n =
αα
αc o t s i n c o s
= 平方关系：1c o s s i n 22
=+αα
SIN \COS 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
8、诱导公式： 2
k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限”
三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一
个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函
数名不变，符号看象限
三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限
9、和差角公式
①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β
αβ
αβαtg tg tg tg tg ?±=
± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=±
10、二倍角公式：(含万能公式)
①θ
θ
θθθ212cos sin 22sin tg tg +=
=
②θ
θ
θθθθθ222
2
2
2
11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=
③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2
θθ+=
10、半角公式：（符号的选择由
2
θ
所在的象限确定） ①2cos 12
sin θθ
-±
= ②2
cos 12sin 2θ
θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12
cos 2
θθ
+=
⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2
cos 2cos 12θθ=+ ⑦2
sin
2
cos )2
sin 2
(cos sin 12θ
θθθθ±=±=±
⑧θ
θ
θθθθθ
sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12
-=+=+-±
=tg
11.积化和差公式：
[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=
[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2
1
sin sin
12.和差化积公式：
①2
cos 2
sin 2sin sin βαβαβα-+=+ ②2
sin 2
cos 2sin sin βαβαβα-+=-
③2
cos
2
cos
2cos cos β
αβ
αβα-+=+ ④2
sin
2
sin
2cos cos β
αβ
αβα-+-=-
42675cos 15sin 00-=
=, 4
2
615cos 75sin +==o o , 3275cot 15tan -==o o , 3215cot 75tan +==o o
★三角函数化简：)
sin(
cos
sin2
2?
θ
θ
θ+
+
=
+
=b
a
b
a
y（其中辅助角?与点（a,b）
在同一象限，且
a
b
tg=
?）
例1:求函数sin
y x x
=+的周期，最大值和最小值．
解：1
sin2sin2sin
23
y x x x x x
π
????
==+=+
? ?
???
??
，
所以函数的周期
2
2
T
π
π
ω
==，最大值为２，最小值为2-．
例2求函数1
c o s
2
)
3
2
s in(
)
3
2
s in(
)
(2-
+
-
+
+
=x
x
x
x
f
π
π
的最小正周期，及在区间
?
?
?
??
?
-
4
,
4
π
π
上的最大值和最小值。
解：1
cos
2
)
3
2
sin(
)
3
2
sin(
)
(2-
+
-
+
+
=x
x
x
x
f
π
π
x
x
x
x
x2
cos
3
sin
2
cos
3
cos
2
sin
3
sin
2
cos
3
cos
2
sin+
?
-
?
+
?
+
?
=
π
π
π
π
)
4
2
sin(
2
2
cos
2
sin
π
+
=
+
=x
x
x
所以，函数的最小正周期为ππ==
22T 。?????
?-4,4π
π上的最大值为2，最小值为1-。 练习：(本题满分12分)(08·陕西文)已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x
2.(1)求函数f (x )的最
小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ???
?x ＋π
3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由． [解析] (1)∵f (x )＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin ????x 2＋π3，∴f (x )的最小正周期T ＝2π
1
2＝4π. 当sin ????x 2＋π3＝－1时，f (x )取得最小值－2；当sin ????x 2＋π
3＝1时，f (x )取得最大值2. (2)由(1)知f (x )＝2sin ????x 2＋π3，又g (x )＝f ????x ＋π
3， ∴g (x )＝2sin ????12????x ＋π3＋π3＝2sin ????x 2＋π2＝2cos x 2
. ∵g (－x )＝2cos ????－x 2＝2cos x
2＝g (x )，且定义域为R ，∴函数g (x )是偶函数． ★函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω） 振幅A ，周期T=
ω
π
2, 频率f=
T
1
, 相位?ω+?x ，初相? 练习1：5.函数)sin(?ω+=x y 的部分图象如右图，则ω，?A.,24ω?ππ== B.,36ω?ππ==
C.5,44ω?ππ==
D.,44
ω?ππ
==
练习2：( (本题满分12分)(09·陕西文)已知函数f (x )????其中A >0，ω>0，0<φ<π2的周期为π，且图象上一个最低点为M ???
2π3，－2.
(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈????0，π
12时，求f (x )的最值． [解析] (1)由最低点为M ????2π
3，－2得A ＝2， 由T ＝π得ω＝2πT ＝2π
π
＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．
由点M ????2π3，－2在图象上得2sin ????4π3＋φ＝－2即sin ????4π
3＋φ＝－1， ∴4π3＋φ＝2k π－π2即φ＝2k π－11π
6
，k ∈Z ， 又φ∈????0，π2，∴k ＝1，∴φ＝π
6
，∴f (x )＝2sin ????2x ＋π6.
(2)∵x ∈????0，π12，∴2x ＋π6∈????π6，π3，∴当2x ＋π6＝π
6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1； 当2x ＋π6＝π3，即x ＝π
12时，f (x )取得最大值 3.
★ 三角函数五点作图法：令?ω+x 依次为ππππ
2,2
3,
,2
0 求出x 与y ，依点()y x ,作图
例3：已知函数)3
2sin(3π
+=x y ，用五点法作出函数在一个周期内的简图；并指出其减区
间，对称轴和对称中心。 3
2π+x
0 2π π
23π π2 x 6
π
-
12π 3π 127π 65π y
3
3-
减区间：)(127,12
Z k k k ∈??
?
+
??
?+
πππ
π 对称轴：)(12
2Z k k x ∈+=
π
π 对称中心))(0,6
2(
Z k k ∈-π
π
★三角函数的图象变换（振幅变换、周期变换和相位变换）．
由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A 替换y ）
由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω
倍，得到y ＝sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx
替换x)
由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x)
由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ）
由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。
变换一：
1
0)0)
||sin sin()sin()sin x )
y x y x y x y A ??ω
??ω?ω?><=????????→=+→=+???????→=+横坐标变为原来的倍
向左（或向右（平移个单位
纵坐标不变
纵坐标变为原来的A 倍
横坐标不变
（
变换二：
1
0)0)
|| sin sin
sin()sin x)
y x y x
y x y A
??
ω
?
ω
ω
ω?ω?
><
=???????→=????????→=+???????→=+
横坐标变为原来的倍
向左（或向右（
纵坐标不变平移个单位
纵坐标变为原来的A倍
横坐标不变
（
三角函数知识点归纳
第一章：三角函数 §、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ. §、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l = α. 3、弧长公式：R R n l απ== 180 . 4、扇形面积公式：lR R n S 2 1 3602== π. §、任意角的三角函数 y =α αcos ,sin 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么： 2、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点，那么： （设r = sin y r α= ，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、 特殊角 . 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：α α αcos sin tan = . 3、 倒数关系：tan cot 1αα= §、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈） 1、 诱导公式一：、 诱导公式二： ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+（其中：Z k ∈）
3、诱导公式三： 4、诱导公式四： ()()(). tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- ()()(). tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=- 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=??? ??-=??? ??- .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=?? ? ??+=??? ??+ §、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中 心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-1202 2 π π ππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）. §、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象： 3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.
三角函数恒等变换(整理)
高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换 1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且θ=∠A 若 AO m AC B C AB C B 2sin cos sin cos =+则=m （ ） A ．θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定 2.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ?∈，有 D l x ∈+，且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题： ①函数x x f -=2 )(为R 上的1高调函数； ②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数； ③如果定义域为),1[+∞-的函数2 )(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是),2[+∞； ④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数. 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30< 4. 在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b a b 2sin 2sin log log ,22<>， bc a c b 3222+=+,若0 ★高中三角函数部分总结 1.任意角的三角函数定义： 设α为任意一个角，点),(y x P 是该角终边上的任意一点（异于原点），),(y x P 到原点的距离为22y x r += ，则： )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值： sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值 3.同角三角函数公式： αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式： （1）)(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα （2）;tan )tan(,cos )cos( ,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ （3）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- （函数名称不变，符号看象限） 三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 １．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< 三角函数题型分类总结 一．求值 1、sin330?= tan690° = o 585sin = 2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12 cos 13 α= ，则sin α= （2）（09北京文）若4 sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . （3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12 cot 5 A =- ，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) (07陕西) 已知sin ,5 α= 则44sin cos αα-= . (2)（04全国文）设(0,)2 π α∈，若3sin 5α= )4 π α+= . （3）（06福建）已知3( ,),sin ,25π απα∈=则tan()4 π α+= 4（07重庆）下列各式中，值为 2 3 的是( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5. (1)(07福建) sin15cos75cos15sin105+o o o o = (2)（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167o o o o += 。 （3）sin163sin 223sin 253sin 313+=o o o o 。 6.(1) 若sin θ＋cos θ＝ 1 5 ，则sin 2θ= （2）已知3 sin()45 x π-=，则sin 2x 的值为 (3) 若2tan =α ,则 α αα αcos sin cos sin -+= 7. （08北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 8．（07浙江） 已知cos( )2 π ?+= ，且||2 π ?<，则tan ?＝ 9. 若 cos 2π2sin 4αα=- ?? - ? ? ?cos sin αα+= 《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 三角函数知识点总结 1.角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2.象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同?2()k k αθπ=+∈Z 4.α与2 α的终边关系：例题：若α是第二象限角，则 2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式R l S ?=2 1 6.任意角的三角函数的定义： 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离 是0r = >，那么sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 ^ 7.三角函数在各象限的符号 8.特殊角的三角函数值： ， 9.同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 1cos sin 2 2 =+αα （2）商数关系：α α αcos sin tan = （3）倒数关系：1cot tan =?αα … 例题：已知 11tan tan -=-αα，则α αααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2 ++ααα＝_____。 10.三角函数诱导公式(主要作用：简化角，方便化简计算) (1)απαsin )2sin(=+k (2)ααsin )sin(-=- απαcos )2cos(=+k ααcos )cos(=- απαtan )2tan(=+k ααtan )tan(-=- (3)（ 2 k πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数） 符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）. 诱导公式运用步骤：(1)负角变正角，再写成)20(2πααπ<≤+k ； 、 (2)转化为锐角三角函数。 常用重要结论：①若πβα=+，则βαsin sin =，βαcos cos -=； ②若2 πβα=+，则βαcos sin =，βαsin cos =。 §6.3 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 【复习目标】 1．掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式； 2．能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 3．能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明． 【双基诊断】 （以下巩固公式） 1、163°223°253°313°等于 （ ） A.－2 1 B.2 1 C.－ 2 3 D. 2 3 2、在△中，已知2，那么△一定是 （ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 3、??-?70sin 20sin 10cos 2的值是 （ ） A.2 1 B. 2 3 C. 3 D.2 4、已知α－β=2 1，α－β=3 1，则（α－β）. 5、已知5 3sin ),,2 (=∈αππα，则=+)4 tan(πα 。 6、若 t =+)sin(απ，其中α是第二象限的角，则 =-)cos(απ 。 7、化简 1tan151tan15 +-等于 （ ） ()A () B () C 3 () D 1 8、(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ ） ()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 16 9、已知α和（4 π－α）是方程2 0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 （ ） B.2 10、0015tan 75tan += 。 11、设14°14°，16°16°， 6 6，则a 、b 、c 的大小关系是 （ ） ＜b ＜c ＜c ＜b ＜c ＜a ＜a ＜c 12、△中，若2a ，60°，则. 13、f （x ）= x x x x cos sin 1cos sin ++的值域为 （ ） A.（－3 －1，－1）∪（－1， 3 －1） B. （21 3-- ，2 13-） C.［2 1 2--，－1］∪（－1， 2 12-） D. ［21 2-- ，2 12-］ 14、已知∈（0，2 π），β∈（2 π，π），（α+β）=65 33，β=－ 13 5 ，则α. 15、下列各式中，值为2 1的是 ( ) 15°15° B.2 2 12 π－ 1 C. 2 30cos 1? + D. ? -?5.22tan 15.22tan 2 16、已知2θ 2θ3 32，那么θ的值为，2θ的值为. 17、=000080cos 60cos 40cos 20cos 。 1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角： 与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合：{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合：3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数 考点二、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=o ；18010.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=o o o o ； 要点诠释： 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc r y α= 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线. 3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限内的符号： 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2 2 1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α==o L ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号. 三角函数知识点 考点1、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=；180 10.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=； 考点2、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记22r OP x y ==+ 则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α= 2. 三角函数值在各个象限内的符号：(一全二正弦，三切四余弦) 考点3、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系： 1cos sin 2 2 =+αα 2. 商数关系： α α αcos sin tan = 考点4、诱导公式“奇变偶不变，符号看象限” sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .πααπααπαα+=-+=-+= sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .αααααα-=--=-=- sin()sin ,cos()cos ,tan()tan . πααπααπαα-=-=--=- sin()cos , 2 cos()sin .2π ααπαα-=-= sin()cos ,2cos()sin .2πααπαα+=+=-3sin()cos ,23cos()sin .2πααπαα-=--=- 3sin()cos , 2 3cos()sin . 2 πααπαα+=-+= 考点5、三角函数的图象和性质 名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,}2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值 域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 单调增区间: [2,2]22 k k π π ππ- +(k Z ∈) 单调减区间: 3[2,2]2 2 k k π π ππ+ + k Z ∈) 单调增区间: [2,2]k k πππ-(k Z ∈) 单调减区间: [2,2]k k πππ+(k Z ∈) 单调增区间： (,)22 k k π π ππ- +(k Z ∈) 周期性 2T π= 2T π= T π= 对 称 性 对称中心: (,0)k π,k Z ∈ 对称轴: 2 x k π π=+ ，k Z ∈ 对称中心:(,0)2 k π π+ ,k Z ∈ 对称轴: x k π=, k Z ∈ 对称中心:( ,0)2 k π ,k Z ∈ 对称轴：无 最 值 2,2x k k z π π=+ ∈时，max 1y =； 32,2 x k k z π π=+∈时，min 1y =- 2,x k k z π=∈时，max 1y =； 2,x k k z ππ=+∈，min 1y =- 无 考点6、“五点法”作图 三角函数恒等变换 一、三角函数的诱导公式 1、下列各角的终边与角α的终边的关系 角 2k π+α(k ∈Z) π+α -α 图示 与α角终边的关系 相同 关于原点对称 关于x 轴对称 角 π-α 2π -α 2 π +α 图示 与α角终边的关系 关于y 轴对称 关于直线y=x 对称 2、六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k π+α (k ∈Z) π+α -α π-α 2 π -α 2 π +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α - cos α cos α - cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α - tan α - tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变， 符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。 二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 . sinα= 2 2tan 2 1tan 2 α α + , cosα= 2 2 1tan 2 1tan 2 α α - + 3、形如asinα+bcosα的化简 asinα+bcosα=22 a b +sin(α+β).其中cosβ= 22 a a b + ,sinβ= 22 b a b +三、简单的三角恒等变换 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= 第 1 页 共 1 页 三角函数知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正， 第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α =MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 《三角函数》 【知识网络】 应用 弧长公式同角三角函数诱导应用计算与化简 的基本关系式公式证明恒等式 应用 任意角的概念角度制与任意角的三角函数的应用已知三角函 图像和性质数值求角 弧度制三角函数 和角公式应用 倍角公式 应用 差角公式 应用 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为k 360 k Z x 轴上角：k 180 k Z y 轴上角：90k 180k Z 3、第一象限角：0 k 36090k 360 k Z 第二象限角：90k 360180k 360k Z 第三象限角：180k 360270k 360k Z 第四象限角：270k 360360k 360k Z 4、区分第一象限角、锐角以及小于90 的角 第一象限角：0 k 36090 k 360 k Z 锐角：090小于90的角：90 5、若 为第二象限角，那么 为第几象限角？ 2 2k 2k k 2 k 2 4 2 k 0, 4 , k 1, 5 3 , 2 4 2 所以 在第一、三象限 2 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为 1弧度的圆心角，记作 1rad . 7、角度与弧度的转化： 1 0.01745 1 180 57.30 57 18 180 8、角度与弧度对应表： 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 360 弧度 2 3 5 2 6 4 3 2 3 4 6 9、弧长与面积计算公式 弧长： l R ；面积： S 1 l R 1 R 2 ，注意：这里的 均为弧度制 . 2 2 二、任意角的三角函数 P (x, y) 1、正弦： sin y x y ；余弦 cos ；正切 tan x r r r 其中 x, y 为角 终边上任意点坐标， r x 2 y 2 . 2、三角函数值对应表： 度 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 2 3 5 3 2 6 4 3 2 3 4 6 2 sin 1 2 3 1 3 2 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cos 3 2 1 0 1 2 3 0 1 2 1 1 2 2 2 2 2 tan 3 1 3 无 3 1 3 0 无 3 3 3、三角函数在各象限中的符号 三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 三角函数 知识要点 三角函数 1. ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）： ②终边在x轴上的角的集合： ③终边在y轴上的角的集合： ④终边在坐标轴上的角的集合： ⑤终边在y=x轴上的角的集合： ⑥终边在轴上的角的集合： ⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系： ⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系： ⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系： ⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系： 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 弧度与角度互换公式： 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ ≈0.01745（rad） 3、弧长公式：. 扇形面积公式： 4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 ； ； ； ； ；. . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： 三角函数 定义域 sinx cosx tanx cotx secx cscx 8、同角三角函数的基本关系式： 9、诱导公式： “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 公式组六 （二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 ,,,. 上递增（减），则在上递减（增）. ②与的周期是. ③或（）的周期. 的周期为2（，如图，翻折无效）. ④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）. ⑤当·；·. ⑥与是同一函数,而是偶函数，则 . ⑦函数在上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的]. ⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：） 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域 §04. 三角函数 知识要点 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系： ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360± +=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝ π180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745 （rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在 α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y = αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \COS 1、 2、3、4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域16. 几个重要结论: 三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得???=+=，1 cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 52sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=?? ?????==x x x x 2．求 ) 330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(ο ο ο οοο----的值． 解：原式 ) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο οοοοο 3．若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求sin x cos x 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，?????? ?=-=?? ? ????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =103 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，高中部分三角函数知识点总结
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