密云县2011—2012学年度第一学期期末考试试卷
初三数学
学校 姓名 班级 考号
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
下面各题均有四个选项,其中只有一个..是符合题目要求的. 1.如果
53
2x =,那么x 的值是 A .152 B .215 C .103 D . 310
2.如图,在Rt △ABC 中, ∠C =90?,AB =5,AC =3,则sin B 的值是
A .
3
5 B .45
C .53
D .54
3.把只有颜色不同的1个白球和2个红球装入一个不透明的口袋里搅匀,从中随机地摸
出1个球后放回搅匀,再次随机地摸出1个球,两次都摸到红球的概率为
A .
12 B .13 C .19 D .4
9
4.已知点(1,)A m 与点B (3,)n 都在反比例函数x
y 3
=(0)x >的图象上,则m 与n 的关系是
A .m n >
B .m n <
C .m n =
D .不能确定 5.将抛物线2
3y x =向右平移2个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是
A .2
3(2)y x =+ B .2
3(2)y x =- C .2
32y x =- D .2
32y x =+
6.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,AD =2DB ,△ABC 的面积为36,则△ADE 的面积为
A .81
B .54
C .24
D .16
7.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,给出以下结论:
①因为a >0,所以函数y 有最大值; ②该函数图象关于直线1x =-对称; ③当2x =-时,函数y 的值大于0;
④当31x x =-=或时,函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是
A .1
B .2
C .3
D .4
8.如图,点A 、B 、C 、D 为⊙O 的四等分点,动点P 从圆心O 出发,沿线段 OC CD
--线段DO 的路线作匀速运动.设运动时间为t 秒,∠APB 的度数为y 度,则下列图象中表示y 与t 的函数关系最恰当的是
二、填空题(本题共16分,每小题4分) 9
.已知tan α=α是 ?.
10.如图,将⊙O 沿着弦AB 翻折,劣弧恰好经过圆心O ,若⊙O 的半径为4,则弦
AB 的长度等于__ . 11.如图,⊙O 的半径为2,1C 是函数212y x =
的图象,
2C 是函数21
2
y x =-的图象,3C 是函数y
的图象,则阴影部分的面积是 .
12.如图,已知Rt △ABC 中,AC =6,BC = 8,过直角顶点C 作1CA ⊥AB ,垂足为1A ,再过1A 作
11
AC ⊥BC ,垂足为1C ,过1C 作12C A ⊥AB ,垂足为2A ,再过2A 作22A C ⊥BC ,垂足为2C ,…,这样一直做下去,得到了一组线段1CA ,11AC ,12C A ,…,则1
CA = ,1
n n n n C A A C +(其中n 为正整数)= .
三、解答题(本题共30分,每小题5分) 13.计算:tan 452cos30sin 60+-
.
14.已知:如图,∠1=∠2,AB ?AC=AD ?AE .
求证:∠C =∠E .
15.用配方法将二次函数223y x x =--化为k h x a y +-=2)(的 形式(其中k h , 为常数),写出这个二次函数图象的顶点坐标 和对称轴方程,并在直角坐标系中画出他的示意图.
16.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,45A ∠= ,BD 为⊙O 的直径, 且2BD =,连结CD .求BC 的长.
17.已知:如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,EF ∥AB . 试判断AD BF
DB FC
=成立吗?并说明理由.
18.如图,在△ABC 中,∠B =90°,5
cos 7
A =
,D 是AB 上的一点,
连结DC ,若∠BDC =60°,BD =.试求AC 的长.
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19.在学校秋季田径运动会4×100米接力比赛时,用抽签的方法安排跑道,初三年
级(1)、(2)、(3)三个班恰好分在一组.
(1)请利用树状图列举出这三个班排在第一、第二道可能出现的所有结果; (2)求(1)、(2)班恰好依次..排在第一、第二道的概率.
20.如图,小磊周末到公园放风筝,风筝飞到C 处时的线长为20米, 此时小磊正好站在A 处,牵引底端B 离地面1.5米.假设测得 60CBD ∠=
,求此时风筝离地面的大约高度(结果精确到1米,
1.414
1.732≈).
21.已知:如图,⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于E, BC
BD =, BF ⊥AB 与弦AD 的延长线相交于点F . (1)求证:CD ∥BF ;
(2)连结BC ,若6AD =
,tan 3
C =,求⊙O 的半径 及弦C
D 的长.
22.密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物,是美国最高的独自挺立的纪念碑,
如图.拱门的地面宽度为200米,两侧距地面高150米处各有一个观光窗,两窗的水平距离为100米,求拱门的最大高度.
五、解答题(本题共22分,第23小题7分,第24小题7分,第25小题8分) 23. 已知二次函数22(21)y x m x m m =--+-(m 是常数,且0m ≠).
(1)证明:不论m 取何值时,该二次函数图象总与x 轴
有两个交点;
(2)设与x 轴两个交点的横坐标分别为1x ,2x (其中
1x >2x ),若y 是关于m 的函数,且1
2
1x x y -
=,结合函数的图象回答:当自变量m 的取值满足什么条件时,y ≤2.
24. 已知:如图,AB 是⊙O 的直径,点E 是OA 上任意一点,过点E 作弦CD AB ⊥,点F 是 BC
上任一点,连结AF 交CE 于H ,连结AC 、CF 、BD 、OD .
(1)求证:ACH AFC △∽△;
(2)猜想:AH AF ?与AE AB ?的数量关系,并证明你的猜想; (3)试探究:当点E 位于何处时,△AEC 的面积与△BOD 的面积之
比为1:2?并加以证明.
25.在平面直角坐标系xoy 中,以点A (3,0)为圆心,5为半径的圆与x 轴相交于点B 、C (点B
在点C 的左边),与y 轴相交于点D 、M (点D 在点M 的下方). (1)求以直线x =3为对称轴,且经过D 、C 两点的抛物线的解析式; (2)若E 为直线x =3上的任一点,则在抛物线上是否存在
这样的点F ,使得以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平 行四边形?若存在,求出点F 的坐标;若不存在,说明理由.
13.密云县2011-2012学年度第一学期期末考试
初三数学试卷参考答案及评分标准
阅卷须知:
1.一律用红钢笔或红圆珠笔批阅.
2.为了阅卷方便,解答题中的推导步骤写得较为详细,考生只要写明主要过程即可.若考生的解法与本解法不同,正确者可参照评分标准参考给分.
二、填空题(本题共4道小题,每小题4分,共16分)
9.60; 10. 11.53π; 12.244,55
. 三、解答题(本题共30分,每小题5分) 13.计算:tan 452cos30sin 60+- .
解:tan 452cos30sin 60+-
=12+ 3分
=1+--------------------------------------------------------------------------- 4分
=1).--------------------------------------------------------------- 5分 14.证明:在△ABE 和△ADC 中,
∵ AB ?AC=AD ?AE
∴ AB AD =AE
AC
----------------------------------------------------------------2分
又∵ ∠1=∠2, -------------------------------------------------------------------3分 ∴ △ABE ∽△ADC (两对应边成比例,夹角相等的两三角形相似)--4分 ∴ ∠C =∠E . ---------------------------------------------------------------------- 5分
(说明:不填写理由扣1分.) 15.解:2
23y x x =--
2
(1)4x =--. ------------------------------------------------------------------- 2分 顶点坐标为(1,4-). --------------------------------------------------------------- 3分 对称轴方程为 1x =. --------------------------------------------------------------- 4分 图象(略).------------------------------------------------------------------------------ 5分
16.解:在⊙O 中,∵45A ∠=
, 45D ∠=
.----------------------------------------------1分 ∵BD 为⊙O 的直径, 90BCD ∠=
. ---------------------------------------------2分 ∴ △BCD 是等腰直角三角形.∴sin 45BC BD =?
.---------------------------4分
∵2BD =, ∴22
BC =?=---------------------------------------------5分 17.答:
AD BF
DB FC
=
成立.----------------------------------------------------------------------- 2分 理由:在△ABC 中,
∵ DE ∥BC ,∴ EC AE DB AD =.--------------------------------------------------------3分
∵ EF ∥AB ,∴EC AE FC BF =.--------------------------------------------------------- 4分
∴ FC
BF DB AD =.------------------------------------------------------------------------- 5分
18.解:在△ABC 中,∠B =90°,5cos 7A =
,∴5
7
AB AC =. 设 5,7AB x AC x ==.-------------------------------------------------------------- 1分
由勾股定理 得BC =.----------------------------------------------------------2分
在Rt △DBC 中,∵∠BDC =60°,BD =
∴tan60BC BD =?==
------------------------------------------3分
∴ =.解得 2x =.-------------------------------------------------------4分 ∴ 714AC x ==.--------------------------------------------------------------------------5分
四、解答题(本题共20分,每小题5分) 19.解:(1)树状图列举所有可能出现的结果:
(2) ∵ 所有可能出现的结果有6个, 且每个结果发生的可能性相等,其中(1)、(2)
班恰好依次..排在第一、第二道的结果只有1个, ∴ (12
P 、班恰好依次排在第一、第二道)=6
1
.------------------------------------------ 5分
20.解:依题意得,90CDB BAE ABD AED ∠=∠=∠=∠=?,
∴四边形ABDE 是矩形 ,∴ 1.5.DE AB == --------------------------------- 1分 在Rt BDC △中,sin ,CD CBD BC
∠=
---------------------------------------------- 2分
又∵ 20BC = ,60CBD ∠=
,
∴ sin 6020CD BC =??== . ----------------------------------------- 3分
∴ 1.517.3 1.519CE CD DE =+=≈+≈ . ------------------------------ 4分 答:此时风筝离地面的高度大约19米 . -------------------------------------------------- 5分
21.(1)证明:∵直径AB 平分 CD
, ∴AB ⊥CD . --------------------------------------------1分
∵BF ⊥AB ,
∴CD ∥BF . --------------------------------------------2分 (2)连结BD .
∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB =90°.
在Rt △ADB 中,tan BD
A AD
=
.
在⊙O 中,∵ A C ∠=∠. ∴
tan tan BD A C AD ===
.
又6AD =,∴ 633
BD AD =
== --------------------------- 3分 在Rt △ADB 中, 由勾股定理 得8AB =.
∴⊙O 的半径为 1
42
AB =. ----------------------------------------------------- 4分 在Rt △ADB 中,∵DE AB ⊥,∴AB DE AD BD ?=?.
∴DE =
=.
∵直径AB 平分 CD
,∴2CD DE ==-------------------------------------- 5分
22. 解:解法一:如图所示建立平面直角坐标系. --------------------------- 1分
此时,抛物线与x 轴的交点为C (100,0)-,D (100,0).
设这条抛物线的解析式为(100)(100)y a x x =-+.---------------------- 2分
∵ 抛物线经过点B (50,150), 可得 150(50100)(50100)a =-+ . 解得 50
1
-
=a . ------------------------- 3分
∴ )100)(100(50
1
+--
=x x y . 即 抛物线的解析式为 2
120050
y x =-+.--------------------------- 4分 顶点坐标是(0,200)
∴ 拱门的最大高度为200米. -------------------------------------- 5分
解法二:如图所示建立平面直角坐标系. -------------------------------- 1分
设这条抛物线的解析式为2ax y =.--------------------------------- 2分
设拱门的最大高度为h 米,则抛物线经过点).,100
(),150,50(h D h B -+- 可得 2
2
100,15050.h a h a ?-=??-+=??
解得,.
200501?????
=-=h a .----------------------- 4分
∴ 拱门的最大高度为200米.-------------------------------------- 5分
五、解答题(本题共22分,第23小题7分,第24小题7分,第25小题8分) 23.解:(1)由题意有2
2
[(21)]4()1m m m ?=----=>0.
∴ 不论m 取何值时,该二次函数图象总与x 轴有两个交点.----------2分
(2)令0y =,解关于x 的一元二次方程22
(21)0x m x m m --+-=,
得 x m =或1x m =-.
∵ 1x >2x ,∴1x m =,21x m =-.
∴m
m m x x y 111112=--=-
=. 画出m
y 1
=与2y =的图象.如图, 由图象可得,当m ≥2
1
或m <0时,y ≤2.----------------------------------7分
24.(1)证明:∵ 弦CD ⊥直径AB 于点E , ∴ AD AC =.
∴ ∠ACD =∠AFC . 又 ∵ ∠CAH =∠FAC ,
∴ △ACH ∽△AFC (两角对应相等的两个三角形相似).--------------1分 (2)猜想:AH ·AF =AE ·AB .
证明:连结FB .
∵ AB 为直径,∴ ∠AFB =90°. 又∵ AB ⊥CD 于点E ,∴ ∠AEH =90°.
∴AEH AFB ∠=∠. ∵ ∠EAH =∠FAB , ∴ △AHE ∽△ABF . ∴ AF
AB AE
AH =.
∴ AH ·AF =AE ·AB .------------------------------------------------- -----3分 (3)答:当点E 位于OA 的中点(或1
2
AE OA =
)时,△AEC 的面积与△BOD 的面积之比为1:2 .
证明:设 △AEC 的面积为1S ,△BOD 的面积为2S .
∵ 弦CD ⊥直径AB 于点E , ∴ 1S =CE AE ?2
1,2S =DE BO ?21
.
∵E 位于OA 的中点,∴2OA AE =.
又AB 是⊙O 的直径,∴ 2OB OA AE ==.
∴12
1
21222
AE CE
S CE S DE AE DE ??==
??. 又 由垂径定理知 CE =ED ,∴ 1212
S S =.
∴ 当点E 位于OA 的中点时,△AEC 的面积与△BOD 的面
积之比为1:2 . -------------------------------------------------7分
25. 解:(1)如图,∵ 圆以点A (3,0)为圆心,5为半径, ∴ 根据圆的对称性可知 B (-2,0),C (8,0).
连结AD .
在Rt △AOD 中,∠AOD =90°,OA =3,AD =5, ∴ OD =4.
∴ 点D 的坐标为(0,-4).
设抛物线的解析式为2
4y ax bx =+-,
又 ∵抛物线经过点C (8,0),且对称轴为3x =,
∴ 3264840.b a a b ?-=???+-=?, 解得 1,43.2
a b ?=????=-?? ∴所求的抛物线的解析式为 42
3
412--=
x x y .---------------------------------2分 (2)存在符合条件的点F ,使得以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形.
分两种情况.
Ⅰ:当BC 为平行四边形的一边时,
必有 EF ∥BC ,且EF =BC =10. ∴ 由抛物线的对称性可知,
存在平行四边形1BCEF 和平行四边形2CBEF .如(图1). ∵E 点在抛物线的对称轴上,∴设点E 为(3,e ),且e >0.
则F 1(-7,t ),F 2(13,t ).
将点F 1、F 2分别代入抛物线的解析式,解得 75
4
t =. ∴F 点的坐标为)4
75
,
7(1-F 或)475,13(2F .
Ⅱ:当BC 为平行四边形的对角线时,
必有AE =AF ,如(图2).
∵ 点F 在抛物线上,∴ 点F 必为抛物线的顶点.
由22131254(3)4244y x x x =--=--,
知抛物线的顶点坐标是(3,25
4
-). ∴此时F 点的坐标为)4
25
,3(3-
F . ∴ 在抛物线上存在点F ,使得以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形.
满足条件的点F 的坐标分别为:)475,7(1-F ,)475,13(2F ,)4
25
,3(3-F .
---------------------------------------------------- 8分