高考数学一轮总复习 3-1导数的概念及运算

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 3-1导数的概念及运算课

后强化作业 新人教A 版

基础巩固强化

一、选择题

1．(文)(2012·烟台调研)设曲线y ＝x ＋1

x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则

a 等于( )

A ．2

B ．－2

C ．－12

D.12

[答案] B

[解析] ∵f ′(x )＝(x －1)－(x ＋1)(x －1)2

＝－2

(x －1)2， ∴f ′(3)＝－12，由条件知，－1

2×(－a )＝－1，

∴a ＝－2.

(理)(2012·山西省联合模拟)曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( )

A ．2

B ．－2 C.1

2 D ．－12

[答案] A

[解析] ∵y ′＝1＋ln x ，∴y ′|x ＝e ＝1＋lne ＝2， ∴－1

a

×2＝－1，∴a ＝2，选A.

2．(2013·河北教学质量监测)若函数f (x )＝2x ＋ln x ，且f ′(a )＝0，则2a ln2a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－ln2 D ．ln2

[答案] B

[解析] f ′(x )＝2x ln2＋1x ，由f ′(a )＝2a ln2＋1a ＝0，得2a ln2＝－1

a ，则a ·2a ·ln2＝－1，

即2a ln2a ＝－1.

3．(2013·乌鲁木齐一中月考)已知点P 在曲线y ＝4

e x ＋1上，α为曲线在P 处的切线的倾

斜角，则α的取值范围为( )

A ．[0，π

4

)

B ．[π4，π2

)

C ．(π2，3π4]

D ．[3π

4

，π)

[答案] D

[解析] y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x

e 2x ＋2e x ＋1

＝－4

e x

＋1e x ＋2

≥－1，故－1≤tan α<0，

又α∈[0，π)，所以3π

4

≤α<π.

4．(文)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－1

2x ＋ln x 相切，则b 的值为( )

A ．－2

B ．－1

C ．－1

2

D ．1

[答案] B

[解析] 设切点(a ，－12a ＋ln a )，y ′＝－12＋1

x

，

∴－12＋1a ＝12，a ＝1，故切点(1，－12)在直线y ＝12x ＋b 上，有－12＝1

2＋b ，∴b ＝－1.

(理)已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )

A ．A >

B >

C B ．A >C >B C ．B >A >C

D ．C >B >A [答案] A

[解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a ，表

示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C .

5．(文)若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第二象限，则函数f ′(x )的图象是( )

[答案] C

[解析] 由题意可知????

－b 2

，4c －b 2

4在第二象限，

∴???

－b

2<0，

4c －b 2

4>0.

∴b >0，又f ′(x )＝2x ＋b ，故选C.

(理)(2013·山东东营一模)设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )

[答案] C

[解析] 根据题意得g (x )＝cos x ，∴y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数． 又x ＝0时，y ＝0，故选C.

6．(2013·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a

等于( )

A ．－1或－25

64

B ．－1或－3

8

C ．－74或－2564

D ．－74

或7

[答案] A

[解析] 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 2

0(x －x 0)，

即y ＝3x 20x －2x 3

0，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0

＝32

， 当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－25

64

；

当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋15

4

x －9相切可得a ＝－1，所以选A.

本题常犯的错误是，不对点(1,0)的位置作出判断，直接由y ＝x 3，得出y ′|x ＝1＝3，再由y ＝ax 2＋154x －9，得y ′|x ＝1＝2a ＋154＝3求出a ＝－3

8

，错选B.

二、填空题

7．(文)(2013·广东理，10)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.

[答案] －1

[解析] y ′＝k ＋1

x ，y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，

∴k ＝－1.

(理)(2013·湖北黄冈一模)已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________.

[答案] －120

[解析] f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)(x －4x )(x －5)]′， ∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.

8．(文)(2013·广州一模)已知函数f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f (π4)＝________.

[答案] 0

[解析] 由条件知，f ′(x )＝f ′(π

2)cos x －sin x .

∴f ′(π

2)＝－1，∴f (x )＝－sin x ＋cos x ，

∴f (π

4

)＝0.

(理)(2013·江西理，13)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. [答案] 2

[解析] ∵f (e x )＝x ＋e x ， ∴f (x )＝x ＋ln x ，f ′(x )＝1＋1x ，

∴f ′(1)＝1＋1＝2.

9．(2013·贵阳一模)曲线y ＝ln x 在与x 轴交点处的切线方程为________． [答案] x －y －1＝0

[解析] 由y ＝ln x 得，y ′＝1

x ，∴y ′|x ＝1＝1，∴曲线y ＝ln x 在与x 轴交点(1,0)处的切

线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.

三、解答题

10．(文)已知曲线y ＝13x 3＋4

3

.

(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程． [解析] y ＝13x 3＋4

3，则y ′＝x 2.

(1)由题意可知点P (2,4)为切点， y ′|x ＝2＝22＝4，

所以曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)由题意可知点P (2,4)不一定为切点，故设切点为(x 0，13x 30＋4

3)， y ′|x ＝x 0＝x 20，

曲线过点P (2,4)的切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)， 所以4－(13x 30＋43

)＝x 20(2－x 0)， x 30－3x 20＋4＝0?(x 30＋1)－3(x 20－1)＝0?(x 0＋1)(x 20－4x 0＋4)＝0.

解得x 0＝－1或x 0＝2， 即切点为(－1,1)或(2,4)．

所以曲线过点P (2,4)的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.

(理)(2014·高州月考)设函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴交点为P ，且曲线在P 点处的切线方程为12x －y －4＝0. 若函数在x ＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.

[解析] ∵y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴的交点为P (0，d )，

又曲线在点P 处的切线方程为y ＝12x －4，P 点坐标适合方程，从而d ＝－4； 又切线斜率k ＝12，故在x ＝0处的导数y ′|x ＝0＝12而y ′|x ＝0＝c ，从而c ＝12； 又函数在x ＝2处取得极值0，所以

????? y ′|x ＝2＝0，f (2)＝0.即?????

12a ＋4b ＋12＝0，8a ＋4b ＋20＝0.

解得a ＝2，b ＝－9，

所以所求函数解析式为y ＝2x 3－9x 2＋12x －4.

能力拓展提升

一、选择题

11．(文)(2013·宁波期末)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )

A ．0

B ．26

C ．29

D ．212

[答案] D

[解析] ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，

∴f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′， ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.

(理)(2013·武汉中学月考)已知曲线f (x )＝x n ＋

1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )

在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2013x 1＋log 2013x 2＋…＋log 2013x 2012的值为( )

A ．1

B ．－1

C ．2013

D ．－2013

[答案] B

[解析] f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1

，

∴x 1·x 2·…·x 2012＝12×23×34×…×20112012×20122013＝1

2013，则log 2013x 1＋log 2013x 2＋…＋

log 2013x 2012＝log 2013(x 1·x 2·…·x 2012)＝log 2013

1

2013

＝－1. 12．(2013·山东理，11)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2

＝1的右焦

点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )

A.3

16

B.38

C.233

D.433

[答案] D

[解析] 由已知抛物线x 2

＝2py (p >0)的焦点为A (0，p 2)，双曲线x 23

－y 2

＝1的右焦点为

B (2,0)，渐近线方程为y ＝±3

3

x .

设M (x 0，y 0)，则y 0＝x 20

2p ，

由k MA ＝k AB 得x 202p －

p 2x 0＝p 2

－2

，(1)

由y ＝x 22p 知，y ′＝x p ，则y ′|x ＝x 0＝x 0p ＝3

3，

代入(1)式中消去x 0并解之得p ＝433

.

13．(2013·潍南二模)若曲线f (x )＝13ax 3＋1

2

bx 2＋cx ＋d (a ，b ，c >0)上存在斜率为0的切线，

则f ′(1)b

－1的取值范围是( )

A ．(1，＋∞)

B ．[1，＋∞)

C ．(2，＋∞)

D ．[2，＋∞)

[答案] A

[解析] 因为函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数f (x )图象上不存在斜率为0的切线，也就是f ′(x )＝0无解，故Δ＝b 2－4ac <0，即ac >b 2

4，所以a ＋c b ≥2ac

b >

2b 24

b ＝1，即f ′(1)b －1＝

a ＋c

b

的取值范围是(1，＋∞)．

14．(文)已知函数f (x )＝x p ＋qx ＋r ，f (1)＝6，f ′(1)＝5，f ′(0)＝3，a n ＝1

f (n )，n ∈N ＋，

则数列{a n }的前n 项和是( )

A.n n ＋1

B.n

n ＋2 C.n ＋12n ＋4 D.n 2n ＋4

[答案] D

[解析] ∵f ′(x )＝px p －

1＋q ，由条件知

????

? 1＋q ＋r ＝6，p ＋q ＝5，q ＝3.

∴????

?

p ＝2，q ＝3，r ＝2.

∴f (x )＝x 2＋3x ＋2.

∴a n ＝1f (n )＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1

n ＋2

∴{a n }的前n 项和为

S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝????12－13＋????13－14＋…＋????1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4.

(理)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α、β、γ，则α、β、γ的大小关系为( )

A ．α>β>γ

B ．β>α>γ

C ．γ>α>β

D ．β>γ>α

[答案] C

[解析] 由g (x )＝g ′(x )得，x ＝1，∴α＝1，由h (x )＝h ′(x )得，ln(x ＋1)＝1

x ＋1

，故知1

由φ(x )＝φ′(x )得，x 3－1＝3x 2，∴x 2(x －3)＝1，

∴x >3，故γ>3，∴γ>α>β. [点评] 对于ln(x ＋1)＝1x ＋1，假如0

>1矛盾；假如x ＋1≥2，则

1x ＋1≤12，即ln(x ＋1)≤1

2，∴x ＋1≤e ，∴x ≤e －1与x ≥－1矛盾．

二、填空题

15．(文)若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． [答案] (－∞，0)

[解析] 由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1

x

＝

0?a ＝－1

3x

3(x >0)?a ∈(－∞，0)．

(理)设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则φ＝________. [答案] π

6

[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， 由条件知cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)

＝2sin ????π6－3x －φ＝－2sin ????3x ＋φ－π6为奇函数，且0<φ<π，∴φ＝π6. 三、解答题

16．求下列函数的导数： (1)y ＝15x 5－4

3x 3＋3x 2＋2；

(2)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ； (4)y ＝ln x x 2＋1；

(5)y ＝x cos x －sin x ； (6)(理)y ＝cos 32x ＋e x ； (7)(理)y ＝lg 1－x 2.

[解析] 可利用导数公式和导数运算法则求导． (1)y ′＝????15x 5′－????4

3x 3′＋(3x 2)′＋(2)′ ＝x 4－4x 2＋6x .

(2)∵y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ， ∴y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4，

或y ′＝(3x 3－4x )′(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′

＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·2 ＝24x 3＋9x 2－16x －4.

(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e)′

＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x ln3·e x ＋3x e x －2x ln2 ＝(ln3＋1)·(3e)x －2x ln2.

(4)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x ·(x 2＋1)′(x 2＋1)2

＝1x ·(x 2＋1)－ln x ·2x (x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2·ln x x (x 2＋1)2

.

(5)y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . (6)(理)y ′＝3cos 22x ·(cos2x )′＋e x ＝－6sin2x ·cos 22x ＋e x .

(7)(理)y ′＝????12lg (1－x 2)′＝12·lge 1－x 2·(1－x 2

)′ ＝x lge x 2－1

.

考纲要求

1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．

3．能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1

x 的导数．

4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 补充说明

1．注意一个区别——曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点；走出一个误区——直线与曲线相切不一定仅有一个公共点，除切点外还可以有其他公共点．

2．准确理解导数及其几何意义

思考题 函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x ＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由.

[解析] f (x )＝?

????

x ＋x 2

(x ≥0)，

－x －x 2

(x <0).的图象如图所示，显然在点x ＝0处曲线的切线不存在，

故f (x )在x ＝0处导数不存在．

3．注意f ′(x 0)与(f (x 0))′的区别，f ′(x 0)是f ′(x )在x ＝x 0时的函数值，而(f (x 0))′＝0. 备选习题

1．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 [答案] C

[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a (x ＋b 2a )2－b 24a ，顶点(－b 2a ，－b 2

4a )在第三象限，

故选C.

2．已知y ＝tan x ，x ∈????0，π

2，当y ′＝2时，x 等于( ) A.π

3 B.2

3π C.π4 D.π6

[答案] C

[解析] y ′＝(tan x )′＝????sin x cos x ′＝cos 2

x ＋sin 2

x cos 2x ＝1cos 2x ＝2，∴cos 2

x ＝12，∴cos x ＝±22， ∵x ∈????0，π2，∴x ＝π

4

. 3．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1

f (n )

}的前n 项和为S n ，则S 2014的值为( )

A.20122013

B.20132014

C.20142015

D.20112012 [答案] C

[解析] ∵f (x )＝x 2＋bx ，∴f ′(x )＝2x ＋b ， 由条件知f ′(1)＝3，∴b ＝1.

∴f (x )＝x 2＋x ，∴1f (n )＝1n 2＋n ＝1n －1

n ＋1，

∴S n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1

n ＋1)

＝n n ＋1

， ∴S 2014＝2014

2015

.

4．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )

[答案] A

[解析] ∵f (x )＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ，

∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，排除C ； ∵f ′(0)＝1，排除D ；

由f ′????π2＝－π

2

<0，f ′(2π)＝1>0，排除B ，故选A. 5．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角

[答案] C

[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π

4)<0，故倾斜角为钝

角，选C.

6．(2013·大连模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )

A ．1 B. 2 C.2

2

D. 3 [答案] B

[解析] 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0

＝2x 0－1

x 0＝1.

得x 0＝1或x 0＝－1

2(舍)．

∴P 点坐标(1,1)．

∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|

1＋1

＝ 2.

7．(2013·黄山三校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________.

[答案] 6

[解析] f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)，将x ＝2代入得f ′(2)＝12＋2f ′(2)，即f ′(2)＝－12， 故f ′(x )＝6x －24，所以f ′(5)＝6.

8．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列

????

??a n n ＋1的前n 项和是________． [答案] 2n ＋

1－2

[解析] ∵y ＝x n (1－x )，∴y ′＝(x n )′(1－x )＋(1－x )′·x n ＝n ·x n －

1(1－x )－x n .

f ′(2)＝－n ·2n －

1－2n ＝(－n －2)·2n －

1.

在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n . ∴切线方程为y ＋2n ＝(－n －2)·2n －

1(x －2)．

令x ＝0得，y ＝(n ＋1)·2n ， ∴a n ＝(n ＋1)·2n ，

∴数列????

??a n n ＋1的前n 项和为2(2n

－1)2－1＝2n ＋1－2.

9．(2013·宁波四中月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π

2)上不是凸函数的是________(把你

认为正确的序号都填上)．

①f (x )＝sin x ＋cos x; ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1; ④f (x )＝x e x . [答案] ①②③

[解析] 对于①，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin(x ＋π

4)<0在区间(0，

π2)上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x >0)，f ″(x )＝－1x 2<0在区间(0，π

2)上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间(0，π

2

)上恒小于0.故①②③为凸函数．④中，f ′(x )＝e x ＋

π

x e x，f″(x)＝2e x＋x e x＝e x(x＋2)>0在区间(0，

2)上恒成立，故④中函数不是凸函数．