第三章 协方差传播率
第三章 协方差传播律
一、 公式汇编
广义传播律
T YY XX T ZZ XX T YZ XX D FD F D KD K D FD K ?=?=??=?220022
002200()()()T YY XX T ZZ XX YZ XX Q F Q F Q K Q K Q F Q K σσσσσσ?=??=??=?T YY XX T ZZ XX YZ XX Q FQ F Q KQ K Q FQ K ?
=??=??=?
独立观测值权倒数
2
22
1122
1111
Z n n
f f f P L P L P L P ?????????=+++ ?
? ??????????
方差与协因数阵
202020XX XX YY YY XY XY
D Q D Q D Q σσσ===22022
020i ii
j jj ji ij
Q Q Q σσσσσσ===
221
00XX XX XX D Q P σσ-==
权
202i i
p σσ=
二、 解题指南
1.观测值及其方差阵 写成向量、矩阵形式
,XX X D
2 按要求写出函数式，对函数式求全微分，写成矩阵形式 函数式
),,2,1(),,,,(21n i X X X f Z n i i ==
全微分
写成矩阵形式：
dZ KdX =
3应用协方差传播律求方差或协方差阵。
T ZZ XX D KD K =
三、 例题讲解
在三角形ABC 中观测三个内角 ，将闭合差平均分配后得到各角值及其方差阵为：
1
23?4010'30"??5005'20"?8944'10"L L L L ????????==?????????
????? ??633363336LL D --????=--????--?? 解：1.观测量 及其方差
123????L L L L ????=???????
? ??633363336LL D --????=--????--?? 2.写出函数式
12
03
3
??sin sin ??sin sin a b L L S S S S L
L
==
线性化
013
2
3
??ln ln ln sin ln sin ??ln ln ln sin ln sin a b
S S L L S S L
L =+-=+-
1133
2
2
3
3
????cot cot ????cot cot a a a b
b
b
dS S L dL S L dL dS S L dL S L dL
=-=-
1
2
3
???,,L
L L 已知边长S0=1500.000m,求Sa 、Sb 的长度及他们的协方差阵 Dss
写成矩阵形式
11
332
33???cot 0cot ???0cot cot ?a a a b b b dL
dS S L S L dS dL dS S L S L dL ??????-??==??????
-???
????????
?
1
313
2
33??cot cot ?0???cot cot ?0a a a b b b S L S L dL dS dS dL dS S L S L dL ρρρ
ρ????-?
?????
?
?==?????
???????-????
???
?133?1146041??09625?dL dL KdL dL ρ????-??==????-????????
3.应用协方差传播律求方差或协方差阵
263311460114604136309620962533645Dss ρ--????
-??????=--???
???-??????----????
2
1.860.770.77 1.32Dss cm -??=??-??
四、练习题
1. 已知观测值1L ，2L 的中误差12σσσ==，120σ=，设11225,2X L Y L L =+=-，
12Z L L =。试求X ，Y ，Z 的中误差。
2. 设有不等精度的独立观测值1L 、2L 及3L ，他们的中误差分别为1σ、2σ及3σ，试求
下列各函数的中误差。
1)、1110F k L L =+ （10,k L 为常数）
2)、23213F L L =-
3)、231231()2
F L L L =+-
3. 设有观测向量[]1
2
331
T L L L L =，其协方差阵为400030002LL D ??
??=??????
分别求下列函数的
的方差：（1）1133F L L =-；（2）2233F L L =
4. 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1mm ，今要求从已知点推算待定点的高
程中误差不大于5cm ，问可以设多少站？
5. 有一角度测4个测回，得中误差为0.42〃，问再增加多少个测回其中误差为0.28〃？
6. 已知观测值向量21
L 的权阵为5224LL P -??
=?
?
-??
，试求观测值的权1L P 和2L P 7. 在某一个三角形中，各个角的中误差分别是4''±、3''±、2''±。求此三角形闭合差的
中误差。
8. 已知一组观测值321,,L L L ，其方差阵是I D LL =?3
3，有函数∑==
3
1
i i
i L
a x 、∑==
3
1
i i
i L
b y 。
求向量???
?
??=y x Z 的方差阵。
9.
已知随机向量13?L 的自协方差阵是?
???
? ??--=210130004LL
D
。求函数向量?
??? ??=3221L L L Z 的方差阵。
10. 对一个梯形的上底、下底和高分别观测了n 次，一次测量的中误差分别为：σ上、σ下、
σ高，梯形面积的平均值由A =（上底＋下底）×高÷2 决定，试求该平均值的中误差A
σ的计算表达式。
11. 已知观测值向量L ，其协因数阵为单位阵。有如下方程：
L BX V -=， 0=-L B BX B T T ，
L B B B X T T 1)(-=，V L L
+=? 式中：B 为已知的系数阵，B B T
为可逆矩阵。 求（1）协因数阵XX Q 、
L L Q ??；（2）证明V 与X 和L
?均互不相关。
五、思考题
1.误差传播定律是用来解决什么问题的？试述应用误差传播定律解决问题实际步骤。
2.三角形闭合差是真误差？如何由三角形闭合差计算测角中误差？
3.为什么要引进权的概念？权是怎样定义的如何，理解单位权中误差，单位权观测值、
单位权的概念？
4.权有没有单位？举例说明
5.指出水准测量的两种定权公式，式中符号各代表什么意义？
6.导线测量中的观测量是什么？如何定权？
7.协因数传播律与误差传播律有何异同？
8.协因数如何定义的，为什么要引入协因数的概念？
9.方差阵、协因数阵、权阵之间的关系。
方差分析和协方差分析,协变量和控制变量
方差分析和协方差分析,协变量和控制变量 方差分析 方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”或“F检验”，是R.A.Fisher发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。 方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。 假定条件和假设检验? 1. 方差分析的假定条件为：（1）各处理条件下的样本是随机的。（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。 2. 方差分析的假设检验假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ，则K个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。 作用 一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。经过方差分析若拒绝了检验假设，只能说
协方差分析理论与案例
协方差分析理论与案例 假设我们有N 个个体的K 个属性在T 个不同时期的样本观测值，用it y ,it x ，…，N,t=1，…，T,k=1，…，K 表示。一般假定y 的观测值是某随机实验的结果，该实验结果在属性向量x 和参数向量θ下的条件概率分布为(,)f y x θ。使用面板数据的最终目标之一就是利用获取的信息对参数θ进行统计推断，譬如常假设假定的y 是关于x 的线性函数的简单模型。协方差分析检验是识别样本波动源时广泛采用的方法。 方差分析：常指一类特殊的线性假设，这类假设假定随机变量y 的期望值仅与所考察个体所属的类（该类由一个或多个因素决定）有关，但不包括与回归有关的检验。而协方差分析模型具有混合特征，既像回归模型一样包含真正的外生变量，同时又像通常的方差一样允许每个个体的真实关系依赖个体所属的类。 常用来分析定量因素和定性因素影响的线性模型为： *,1,,,1,,it it it it it y x u i N t T αβ'=++=???=??? 从两个方面对回归系数估计量进行检验：首先，回归斜率系数的同质性；其 次，回归截距系数的同质性。检验过程主要有三步： (1) 检验各个个体在不同时期的斜率和截距是否都相等； (2) 检验（各个体或各时期的）回归斜率（向量）是否都相等； (3) 检验各回归截距是否都相等。 显然，如果接受完全同同质性假设（1），则检验步骤中止。但如果拒绝了完全同质性性假设，则（2）将确定回归斜率是否相同。如果没有拒绝斜率系数的同质性假设，则（3）确定回归截距是否相等。（1）是从（2）、（3）分离出来的。 基本思想：在作两组或多组均数1y ，2y ，…，k y 的假设检验前，用线性回归分析方法找出协变量X 与各组Y 之间的数量关系，求得在假定X 相等时修定均数1y '，2y '，…，k y '然后用方差分析比较修正均数间的差别，这就是协方差分析的基本思想。 协方差分析的应用条件：⑴要求各组资料都来自正态总体，且各组的方差相等；（t 检验或方差分析的条件）⑵各组的总体回归系数i β相等，且都不等于0（回归方程检验）。因此，应用协方差分析前，要对资料进行方差齐性检验和回归系数的假设检验（斜率同质性检验），只有满足上述两个条件之后才能应用，否则不宜使用。 ⑴各比较组协变量X 与分析指标Y 存在线性关系（按直线回归分析方法进行判断）。 ⑵各比较组的总体回归系数i β相等，即各直线平行(绘出回归直线，看是否
方差分析(ANOVA)与协方差分析(ANCOVA)
方差分析(ANOVA)与协方差分析(ANCOVA) 第5章方差分析(ANOVA)与协方差分析(ANCOVA) ——野外竞争试验 Deborah E.Goldberg Samuel M.Scheiner 5.1 引言 自从达尔文时期，竞争就占据了生态理论的中心，关于竞争的实验在许多来自许多不同环境的多生物种之间开展过(Jackson,1981综述; Connell,1984; Schoener，1984; Hairston，1989; Gurevitch，1992)。有各种各样的竞争实验，而本章的重点则放在怎样为具体的竞争问题选择适当的实验设计和统计分析。这类选择取决于所研究问题及系统的许多方面。对于大多数我们所给出的设计、基本的统计方法、方差分析(ANOVA)和协方差分析(ANCOVA)在实验设计与分析的教科书中也有详尽描述，我们在这里就不像本书其他章节那样提供详细的统计细节。对于ANOVA的基本介绍见第四章。虽然我们着重于竞争，但许多观点对其他类型的种间关系实验同样有效，如捕食者—猎物关系或者互惠共生关系。 5.2 关于竞争的生态问题 我们可以提出关于竞争的最简单问题莫过于竞争是否在野外存在，要回答这个问题，就必须利用实验处理，使潜在竞争者们的绝对多度可被控制，同时检验处理中存在低多度潜在竞争者时物种是否可能生长的更好。这类多度处理之间生长的差异即是竞争的量纲(或促进facilitation的量纲如果在较高多度下生长较佳)。在任何野外竞争调查中，发现是否存在竞争是重要的第一步，但是，就其本身而言，并没有什么意义。多数关于竞争的重要问题包括竞争强度的比较以及随之而来的实
协方差分析
协方差分析 某城市教育局在一次对全市初中一年级至高中三年级学生的调查研究中想要考察身心发展对学习成绩的影响，研究者手机了各学校初一年级至高三年级学生的学业成绩以及相关身心发展量表得分，在分析时以学生所在年级来代表年龄差异，但是由于男同学与女同学的身心发展存在差异，因此需要在结果中排除性别因素，然而无法在收集数据时只收集男同学的数据或收集女同学的数据，那么该如何排除性别因素对结果的影响呢？ 在实验设计中，考虑到实际的实验情形，无法一一排除某些会影响实验结果的无关变量（干扰变量），为了排除这些不能在实验处理中所操作的变量，而其结果又会影响因变量，可以通过“统计控制”的方法来弥补实验控制的不足，为了提高实验研究的内在效率，必须将可能干扰实验结果的无关变量加以控制，不致产生严重的系统性误差。控制系统误差的方法有很多，例如以随机的方式将被试分配至不同群体；将系统误差加入实验设计，使其变成一个自变量；尽可能控制可控制的系统误差如光纤亮度、噪音等。 实验研究的优点众所周知，即其严密的逻辑性以及可以良好的控制误差，但是让一个标准的实验设计走出实验室，在社会科学领域实施通常比较困难。因此在社会科学领域中经常实施的是准实验设计，在准实验设计中无法使用实验控制法来完全控制无关的干扰变量，故经常增加实验内在效度的方法——统计控制法，最常用的便是协方差分析（analysis of covariance，ANCOV A）。 顾名思义，协方差分析是方差分析的一种，它也包括自变量与因变量，同方差分析，因变量为连续变量且需要满足方差分析关于因变量的假设条件，自变量为分类变量。不同的是，并不是实验所关注的自变量却为研究者进行控制的一类变量被加入分析，它们被称为“协变量”（covariate），要注意，协变量是连续变量。 1.协方差分析的假设 协方差分析的基本假设与方差分析相同，包括变量的正态性、观测值独立、方差齐性等，此外还有三个重要的假设： 1)因变量与协方差之间直线关系； 2)所测量的协变量不应有误差，如果选用的是多项的量表，应有高的内部一致性信度或重 测信度，α系数最好大于0.80。这一假设若被违反会造成犯一类错误的概率上升，降低统计检验力。 3)“组内回归系数同质性”（homogeneity of with in rgression），各实验处理组中一举 协变量（X）预测因变量（Y）的回归线的回归系数要相等，即斜率相等，各条回归线平行。如果斜率不等则不宜直接进行协方差分析。 2.协方差分析的方差分解 方差分析的原理是将因变量的总方差分解成自变量效果（组间）与误差效果（组内）两个部分，再进行F检验。协方差使用的也是这样的方差分析思路，将因变量的总方差先行分割为协变量可解释部分与不可解释部分，不可解释的部分再由方差分析原理进行拆解。协方差分析的方差拆解如下： 3.协方差分析的步骤 协方差分析结合了回归分析与方差分析的方法，计算方法比较复杂，由于涉及回归分析的基本思路，因此一下内容也许需要在阅读了本章第六部分“一元线性回归分析”后理解得更加透彻。 以单因素协方差分析为例说明协方差分析的步骤： 1)协方差分析的准备 （B：组间；W：组内；T：总和；n：组内样本容量；k：组间容量；x：协变量；y：因变量）
第4章方差分析
第四章方差分析 方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）是将待分析资料的总变异剖分为不同的变异来源，以获得不同变异来源的总体方差的估计值。通过F检验，完成多个样本平均数之间的差异显著性检验（即多重比较），若处理效应为随机模型时，则进行方差组分的估计。 4.1 方差分析的SAS过程 用于方差分析的主要过程有方差分析（ANOVA）和广义线性模型(GLM)。对于无缺省（缺值、缺组等）资料，或称平衡资料，一般采用（ANOVA）过程，对缺省资料（非平衡资料）应采用（GLM）过程。事实上根据效应模型的不同，还有VARCOME（方差组分）过程,MIXED（混合模型）过程等。 4.1.1 ANOVA过程 1. 名词解释 自变量与依变量在方差分析中，自变量可称为独立变量、定性变量（Qualitative Variale）、分类变量（Classiflcation Variable）或类别变量（Categorcal Variable），相当于因素处理、水平变量。依变量又称反应变量（Response Variable），相当于观察值变量。 实验效应方差分析的目的是找出对依变量产生的实验效应，这种效应可分为3种：主效应，常以自变量的英文字母表示，如A、B等。互作效应，常以星号联接自变量表示，如A*B。嵌套效应，以小括号表示，如A（B）表示A效应嵌套在B效应之内。 2 语句说明： CLASS指令必须出现在MODEL指令之前，如选用TEST、MANOVA指令，则它们必须出现在MODEL指令之后。MEANS、TEST及MANOVA等指令可重复使用，其他指令则只能出现一次。
PROC ANOV A选项串中：⑴DA TA=输入数据集名称，指明对它执行ANOV A分析。⑵MANOV A 要求将含一个或一个以上依变量遗漏数据的观察值剔除。⑶OUTPUT=(含分析结果的)输出文件名称，包括平方和(SS)，F检验值，以及各效应的显著程度。 CLASS变量名称串指明自变量，自变量可以是数值的或文字的。 MODEL指令定义分析所用的线性数学模型(见表6—1)，删除号（/）后的选项：⑴NOUNI：不印出单变量方差分析的结果，适用于多变量的方差分析。⑵INT：要求SAS把线性模型内的截距（即资料的总平均数）当成一个参数，同时对这个截距作是否为零的假设检验。 MEANS指令前半部要求算出某些自变量（或互作）中各组的平均数，后半部（删除号后）共有24个选项，前17个选项分别对MEANS指令中所列的主效应平均数进行多种方法的多重比较。这些选项有：⑴BON：修正最小显著差异t检验。⑵DUNCAN：邓肯多重范围检验，即邓肯氏新复极差法。⑶DUNNETT（控制组组名）：邓尼特控制差异检验。它是依据t分布由各组平均数与控制组（指定组如对照组）进行比较，采用双尾检验。⑷DUNNETTL（控制组组名）：邓尼特小于控制均数检验。与控制组平均数的比较，采用单尾检验，临界值订在t分布的下端。⑸DUNNETTU（控制组组名）：邓尼特大于控制均数检验。与控制组平均数的比较，采用单尾检验，临界值订在t分布的上端。⑹GABRIEL：贵博氏多重比较。⑺REGWF：R—E—G—W多重F检验。⑻REGWQ：R—E—G—W多种t检验。⑼SCHEFFE：执行沙菲氏(Scheffe)的多重比较检验。⑽SIDAK：Sidak调整T检验。⑾SUM（或⑿GTI）：Sidak独立样本t检验。当两组样本含量不等时为哈氏（Hochberg）的GTI 检验。⒀SNK：纽曼—库尔多重范围检验，即q检验。⒁T（或⒂LSD）：配对t检验或费歇尔最小显著差异检验。⒃TUKEY：图基固定极差检验。⒄W ALLER：娃尔—邓肯K—比率t检验。以上17种检验法最常用的为⑵、⑶、⑸、⒀、⒁。其它主要选项还有⒅ALPHA=P：界定检验的显著水准。内设值为P=0.05。当上面选项与选项⑵并用时，P值必须是0.10、0.05、0.01三者之一。与上面其他检验选项时，P可以是0.0001与0.9999间任何的值。⒆LINES：将显著性检验的平均数，由大到小排列。若某一对平均数之间无显著差异，则将它们印在同一行上，并以虚线将它们与其他有显著差异的平均数分开。当选用⑵、⑺、⑻、⒀或⒄等检验时，此选项会自动被包括在内，否则，必须附加此选项。⒇CLM：效应的各组平均数以置信区间方式表示。此项必须与⑴、⑹、⑼、⑽、⑾、⒁、⒂等联用。(21)CLDIFF：与(20)相仿，选用⑵、⑺、⑻、⒀、⒄时，附加此选项，将以置信区间方式显示各组平均数。(22)E=效应名称：它界定各显著检验的分母，缺省时以误差项的均方自动成为分母。 FREQ指令指明该变量值为各观察值重复出现的次数。 TEST指令用来指定F检验的分子与分母，H=分子，E=分母；一般而言，系统自动采用误差项的均方作为F检验的分母。但对于随机模型等，可选此项。 MANOV A指令主要用于执行多变量(多元)方差分析。 BY指令用于把数据文件分成几个小文件，然后逐一进行ANOV A分析，但文件内的数据必须先按照BY变量串的值做由小到大的重新排列。此步骤可籍PROC SORT达成。 以上指令中MODEL指令至关重要，同一资料，分析结果依模型不同而异。常用的模型定义语句有：MODEL Y=A；单因素方差分析，MODEL Y=A B两因素主效应模型，MODEL Y=A B A*B两因素带互作模型，MODEL Y=A B(A)嵌套（NESTED）模型用
23. 协方差分析
23. 协方差分析 一、基本原理 1. 基本思想 在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。这种影响的变量称为协变量（一般是连续变量）。 例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。 协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。 协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。 协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。 当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上
的协变量时，称为多元协方差分析。 2. 协方差分析需要满足的条件 （1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差； （2）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数（即各回归线的斜率）是相同的，且不等于0，即各组的回归线是非水平的平行线。否则，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设； （3） 自变量与协变量相互独立，若协方差受自变量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除； （4）各样本来自具有相同方差σ2的正态分布总体，即要求各组方差齐性。 二、协方差理论 1. 观测值=均值+分组变量影响+协变量影响+随机误差. 即 ()ij i ij ij y u t x x βε=++-+ （1） 其中，X 为所有协变量的平均值。 注：在方差分析中，协变量影响是包含在随机误差中的，在协方差分析中需要分离出来。 用协变量进行修正，得到修正后的y ij (adj)为 (adj)()ij ij ij i ij y y x x u t βε=--=++
方差分析和回归分析的区别与联系
一、方差分析和回归分析的区别与联系？（以双变量为例） 联系： 1、概念上的相似性 回归分析是为了分析变量间的因果关系，研究自变量X取不同值时，因变量平均值Y的变化。运用回归分析方法，可以从变量的总偏差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差（解释掉误差）和未被解释掉的误差（剩余误差）； 方差分析是为了分析或检验总体间的均值是否有所不同。通过对样本中自变量X取不同值时所对应的因变量Y均值的比较，推论到总体变量间是否存在关系。运用方差分析，也可以从变量的总离差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差和未被自变量解释掉的误差。因此两种分析在概念上所具有的相似性是显而易见的。 2、统计分析步骤的相似性 回归分析在确定自变量X是否为因变量Y的影响因素时，从分析步骤上先对X和Y进行相关分析，然后建立变量间的回归模型。最后再进行参数的统计显着性检验或对回归模型的统计显着性进行检验。 方差分析在确定X是否是Y的影响因素时，是先从样本所的数据的分析入手，然后考察数据模型，最后对样本均值是否相等进行显着性检验。二者在分析步骤上也具有相似性。 3、假设条件具有一定的相似性 回归分析有五个基本假定，分别是：自变量可以是随机变量也可以是非随机变量；X与Y之间存在的非确定性的相关关系，要求Y的所有子总体，其方差都相等；子总体均值在一条直线上；随机变量Y i是统计独立的，即Y1的数值不影响Y2的数值，各Y值之间都没有关系；Y 值的每一个子总体都满足正态分布。 方差分析的基本假定有：等方差性（总体中自变量的每一取值所对应因变量Y i的分布都具有相同方差）；Y i的分布为正态分布。 二者在假设条件上存在着相同。 4、在总离差平方和中的分解形式和逻辑上的相似性 回归分析中，TSS=RSS+RSSR，而在方差分析中，TSS=RSS+BSS。二者均是以已解释掉的误差与未被解释掉的误差之和为总离差平方和。 5、确定影响因素上的相似性 为简化分析起见,我们假设只有一个自变量X影响因变量Y。在回归分析中,要确定X是否是Y 的影响因素,就要看当X已知时,对Y的总偏差有无影响。如果X不是影响Y的因素,等同于只知变数Y的数据列一样,此时用Y去估计每个丫的值,所犯的错误(即偏差)为最小。如果因素X 是影响Y的因素,那么当已知X值后 6、在统计显着性检验上具有相似性 回归分析的总显着性检验,是一种用R2测量回归的全部解释功效的检验。检验RSSR*(N-2)/RSS，方差分析的显着性检验是一种根据样本数据提取信息所进行的显着性检验。它也是通过F检验进行的。 区别： 1、研究变量的分析点不同 回归分析法既研究变量Y又研究变量X并在此基础上集中研究变量Y与X的函数关系,得到的是在不独立的情况下自变量与因变量之间的更加精确的回归函数式,也即判断相关关系的类型，因此需建立模型并估计参数。方差分析法集中研究变量Y的值及其变差而变量X值仅用来把Y值划分为子群或组,得到的是自变量(因素)对总量Ｙ是否具有显着影响的整体判断，因此不需要建立模型和估计参数。
SPSS学习系列23. 协方差分析
23. 协方差分析 （一）原理 一、基本思想 在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。这种影响的变量称为协变量（一般是连续变量）。 例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。 协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。 协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。 协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。 当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上
的协变量时，称为多元协方差分析。 二、协方差分析需要满足的条件 （1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差； （2）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数（即各回归线的斜率）是相同的，且不等于0，即各组的回归线是非水平的平行线。否则，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设； （3）自变量与协变量相互独立，若协方差受自变量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除； （4）各样本来自具有相同方差σ2的正态分布总体，即要求各组方差齐性。 三、基本理论 1. 观测值=均值+分组变量影响+协变量影响+随机误差. 即 ()ij i ij ij y u t x x βε=++-+（1） 其中，X 为所有协变量的平均值。 注：在方差分析中，协变量影响是包含在随机误差中的，在协方差分析中需要分离出来。 用协变量进行修正，得到修正后的y ij (adj)为 (adj)()ij ij ij i ij y y x x u t βε=--=++ 就可以对y ij (adj)做方差分析了。关键问题是求出回归系数β.
方差分析和相关分析与回归分析
《统计学》实验五 一、实验名称：方差分析 二、实验日期： 2010年12月3日 三、实验地点：经济管理系实验室 四、实验目的和要求 目的：培养学生利用EXCEL进行数据处理的能力，熟练掌握利用EXCEL 进行方差分析，对方差分析结果进行分析 要求：就本专业相关问题收集一定数量的数据，用EXCEL进行方差分析 五、实验仪器、设备和材料：个人电脑（人/台），EXCEL 软件 六、实验过程 （一）问题与数据 消费者与产品生产者、销售者或服务的提供者之间经常发生纠纷。当分生纠纷后，消费者常常会向消费者协会投诉。为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。其中零售业抽取7家、旅游业抽取6家、航空公司抽取5家、家电制造业抽取5家。具体数据如下： 取显著性水平α=0.05，检验行业不同是否会导致消费者投诉的显著性差异？（二）实验步骤 1、进行假设 2、将数据拷贝到EXCEL表格中 3、选择“工具——数据分析——单因素方差分析”，得到如下结果：
（三）实验结果分析：由以上结果可知：F>F crit=3.4066或P-value=0.0387657<0.05,拒绝原假设，表明行业对消费者投诉有着显著差异。 实验心得体会 在这学习之前我们只学习了简单的方差计算，现在运用计算机进行方差分析，可以做出更多的比较。通过使用计算机可以很快的计算出组间和组内的各种数值，便于我们进行比较分析。
《统计学》实验六 一、实验名称：相关分析与回归分析 二、实验日期： 2010年12月3日 三、实验地点：经济管理系实验室 四、实验目的和要求 目的：培养学生利用EXCEL进行数据处理的能力，熟练掌握EXCEL绘制散点图，计算相关系数，拟合线性回归方程，拟合简单的非线性回归方程，利用回归方程进行预测。 要求：就本专业相关问题收集一定数量的数据，用EXCEL进行相关回归分析（计算相关系数，一元线性回归分析，一元线性回归预测） 五、实验仪器、设备和材料：个人电脑（人/台），EXCEL 软件 六、实验过程 （一）问题与数据 10个学生每天用于学习英语的时间和期末考试的成绩的数据如下表所示。要求， (1)绘制学习英语的时间和期末考试的成绩的散点图，判断2者之间的关系 形态 (2)计算学习英语的时间和期末考试的成绩的线性相关系数 （3）用学习英语的时间作自变量，期末考试成绩作因变量，求出估计的回归方程。 （4）求每天学习英语的时间为150分钟时，销售额95%的置信区间和预测区间。 学生时间（分钟）成绩（分） A 120 85 B 60 65 C 100 76 D 70 71 E 80 74 F 60 65 G 30 54 H 40 60 I 50 62
第三章 协方差传播律 使用
第三章 协方差传播律 一、 公式汇编 广义传播律 T YY XX T ZZ XX T YZ XX D FD F D KD K D FD K ?=?=??=?220022 002200()()()T YY XX T ZZ XX YZ XX Q F Q F Q K Q K Q F Q K σσσσσσ?=??=??=?T YY XX T ZZ XX YZ XX Q FQ F Q KQ K Q FQ K ? =??=??=? 独立观测值权倒数 2 2211221111Z n n f f f P L P L P L P ?????????=+++ ? ? ?????????? 方差与协因数阵 202020XX XX YY YY XY XY D Q D Q D Q σσσ===22022 020i ii j jj ji ij Q Q Q σσσσσσ=== 2 210 XX XX XX D Q P σσ-== 权2 02i i p σσ= 二、 解题指南 1.观测值及其方差阵 写成向量、矩阵形式 ,XX X D 2 按要求写出函数式，对函数式求全微分，写成矩阵形式 函数式 ),,2,1(),,,,(21n i X X X f Z n i i == 全微分 写成矩阵形式： dZ KdX =
3应用协方差传播律求方差或协方差阵。 T ZZ XX D KD K = 三、 例题讲解 在三角形ABC 中观测三个内角 ，将闭合差平均分配后得到各角值及其方差阵为： 1 23?4010'30"??5005'20"?8944'10"L L L L ????????==?????????????? ??633363336LL D --????=--????--?? 解：1.观测量 及其方差 123????L L L L ????=??????? ? ??633363336LL D --????=--????--?? 2.写出函数式 1 2 3 3 ??sin sin ??sin sin a b L L S S S S L L == 线性化 013 2 3 ??ln ln ln sin ln sin ??ln ln ln sin ln sin a b S S L L S S L L =+-=+- 11332 2 3 3 ????cot cot ????cot cot a a a b b b dS S L dL S L dL dS S L dL S L dL =-=- 写成矩阵形式 11 332 33???cot 0cot ???0cot cot ?a a a b b b dL dS S L S L dS dL dS S L S L dL ??????-??==?????? -??????? ????? 1 313 2 33??cot cot ?0???cot cot ?0a a a b b b S L S L dL dS dS dL dS S L S L dL ρρρ ρ????-? ????? ? ?==????? ???????-???? ??? ?133?1146041??09625?dL dL KdL dL ρ????-??==????-???????? 3.应用协方差传播律求方差或协方差阵 263311460114604136309620962533645Dss ρ--???? -??????=--??????-??????----???? 1 2 3 ???,,L L L 已知边长S0=1500.000m,求Sa 、Sb 的长度及他们的协方差阵 Dss
方差分析和回归分析的区别与联系
方差分析和回归分析的区 别与联系 Prepared on 22 November 2020
一、方差分析和回归分析的区别与联系（以双变量为例） 联系： 1、概念上的相似性 回归分析是为了分析变量间的因果关系，研究自变量X取不同值时，因变量平均值Y的变化。运用回归分析方法，可以从变量的总偏差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差（解释掉误差）和未被解释掉的误差（剩余误差）； 方差分析是为了分析或检验总体间的均值是否有所不同。通过对样本中自变量X取不同值时所对应的因变量Y均值的比较，推论到总体变量间是否存在关系。运用方差分析，也可以从变量的总离差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差和未被自变量解释掉的误差。因此两种分析在概念上所具有的相似性是显而易见的。 2、统计分析步骤的相似性 回归分析在确定自变量X是否为因变量Y的影响因素时，从分析步骤上先对X 和Y进行相关分析，然后建立变量间的回归模型。最后再进行参数的统计显着性检验或对回归模型的统计显着性进行检验。 方差分析在确定X是否是Y的影响因素时，是先从样本所的数据的分析入手，然后考察数据模型，最后对样本均值是否相等进行显着性检验。二者在分析步骤上也具有相似性。 3、假设条件具有一定的相似性 回归分析有五个基本假定，分别是：自变量可以是随机变量也可以是非随机变量；X与Y之间存在的非确定性的相关关系，要求Y的所有子总体，其方差都相等；子总体均值在一条直线上；随机变量Y i是统计独立的，即Y1的数值不
影响Y2的数值，各Y值之间都没有关系；Y值的每一个子总体都满足正态分布。 方差分析的基本假定有：等方差性（总体中自变量的每一取值所对应因变量Y i 的分布都具有相同方差）；Y i的分布为正态分布。 二者在假设条件上存在着相同。 4、在总离差平方和中的分解形式和逻辑上的相似性 回归分析中，TSS=RSS+RSSR，而在方差分析中，TSS=RSS+BSS。二者均是以已解释掉的误差与未被解释掉的误差之和为总离差平方和。 5、确定影响因素上的相似性 为简化分析起见,我们假设只有一个自变量X影响因变量Y。在回归分析中,要确定X是否是Y的影响因素,就要看当X已知时,对Y的总偏差有无影响。如果X不是影响Y的因素,等同于只知变数Y的数据列一样,此时用Y去估计每个丫的值,所犯的错误(即偏差)为最小。如果因素X是影响Y的因素,那么当已知X 值后 6、在统计显着性检验上具有相似性 回归分析的总显着性检验,是一种用R2测量回归的全部解释功效的检验。检验RSSR*(N-2)/RSS， 方差分析的显着性检验是一种根据样本数据提取信息所进行的显着性检验。它也是通过F检验进行的。 区别： 1、研究变量的分析点不同
方差分析与协方差分析
方差分析 方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”或“F检验”，是R.A.Fisher发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。 方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。 方差分析的作用 一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。 经过方差分析若拒绝了检验假设，只能说明多个样本总体均数不相等或不全相等。若要得到各组均数间更详细的信息，应在方差分析的基础上进行多个样本均数的两两比较。 方差分析的分类及举例
一、单因素方差分析 （一）单因素方差分析概念理解步骤 是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生 了显著影响。这里，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差分析。 例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇女的生育率，研究学历对工资收入的影响等。这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。 单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入；控制变量分别为施肥量、地区、学历。 单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。方差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分，用数学形式表述为：SST=S SA+SSE。 单因素方差分析的第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。 （二）单因素方差分析原理总结 容易理解：在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方和所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起
方差分析与协方差分析
方差分析 方差分析（Aｎalysis of Ｖａriaｎcｅ，简称AＮＯVA)，又称“变异数分析”或“F检验”，是Ｒ.A.Fiｓher发明的,用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类,一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。 方差分析是从观测变量的方差入手,研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。 方差分析的作用 一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素,各因素之间的交互作用,以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。 经过方差分析若拒绝了检验假设，只能说明多个样本总体均数不相等或不全相等。若要得到各组均数间更详细的信息,应在方差分析的基础上进行多个样本均数的两两比较。 方差分析的分类及举例
一、单因素方差分析 （一)单因素方差分析概念理解步骤 是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。这里,由于仅研究单个因素对观测变量的影响,因此称为单因素方差分析。 例如,分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇女的生育率，研究学历对工资收入的影响等。这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。 单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入；控制变量分别为施肥量、地区、学历。 单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。方差分析认为:观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分,用数学形式表述为:SST＝S ＳA＋SＳE。 单因素方差分析的第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例,推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。 (二）单因素方差分析原理总结 容易理解:在观测变量总离差平方和中,如果组间离差平方和 所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的,
方差分析与回归分析
第八章方差分析与回归分析 §1单因素试验的方差分析 试验指标：研究对象的某种特征。 例各人的收入。 因素：与试验指标相关的条件。 例各人的学历，专业，工作经历等与工资有关的特征。 因素水平：因素所在的状态 例学历是因素，而高中，大学，研究生等，就是学历因素水平；数学，物理等就是专业的水平。 问题：各因素水平对试验指标有无显着的差异？ 单因素试验方差分析模型 假设 1）影响试验指标的因素只有一个，为A ，其水平有r 个：1,,r A A ； 2）每个水平i A 下，试验指标是一个总体i X 。各个总体的抽样过程是独立的。 3）2~(,)i i i X N μσ，且22i j σσ=。 问题：分析水平对指标的影响是否相同 1）对每个总体抽样得到样本{,1}ij i X j n ≤≤，由其检验假设： 原假设0:i j H μμ=，,i j ?；备选假设：1:i j H μμ≠，,i j ?； 2）如果拒绝原假设，则对未知参数21,,,r μμσ进行参数估计。 注 1）接受假设即认为：各个水平之间没有显着差异，反之则有显着差异。 2）在水平只有两个时，问题就是双正态总体的均值假设检验问题和参数估计问题。 检验方法 数据结构式：ij i ij i ij X μεμδε=+=++，偏差2 ~(0,)ij N εσ是相互独立的，1 1r i i i n n μμ==∑。不难验证， 1 0r i k δ ==∑。 各类样本均值 水平i A 的样本均值：1 1 i n i ij j i X X n == ∑； 水平总样本均值：11111i n r r ij i i i j i X X n X n n =====∑∑∑，1 r i i n n ==∑； 偏差平方和与效应 组间偏差平方和： 2 221 1 ()r r A i i i i i i S n X X n X nX ===-=-∑∑；（衡量由不同水平产生的差异） 组内偏差平方和：
SPSS教程02(带图)_协方差分析_chenxy
简单教程02 1.相关配套数据已经上传百度文库： 2.配套软件SPSS 17.0 已经上传百度文库； 百度文库搜索“SPSS简单教程配套数据及软件_chenxy” 百度云盘链接； 3 协方差分析 (2) 3.1 单因素协方差分析 (2) 3.2 双因素协方差分析 (8) 3.2.1 无交互作用的协方差分析 (8) 3.2.2 有交互作用的协方差分析 (11)
3 协方差分析 课程内容： 协方差分析 这种不是在试验中控制某个因素，而是在试验后对该因素的影响进行估计，并对试验指标的值作出调整的方法称为统计控制 以统计控制为目的，利用线性回归消除混杂因素的影响后再进行的方差分析，称为协方差分析； 所需要统计控制的一个或多个因素，称为协变量； 1.自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量； 2.对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差； 3.协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违 背这一假设； 4.协变量的回归系数是相同的。在分类变量形成的各组中，协变量的回归系数（即各回归 线的斜率）必须是相等的，即各组的回归线是平行线。如果违背了这一假设，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设。 5.自变量与协变量是直角关系，即互不相关，它们之间没有交互作用。如果协方差受自变 量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除。 分类变量：以班级将学生分类班级即为分类变量 定距变量：刻度级变量定距定比 连续变量：可以用小数表示的变量 协方差分析：将回归分析与方差分析相结合的一种分析方法 3.1 单因素协方差分析 判断是否需要做协方差分析 1）对自变量做单因素方差分析 2）对自变量和因变量做相关分析 方差齐性检验和回归系数的假设检验（斜率同质性检验），只有满足上述条件后才能应用，否则不宜适用 操作步骤1 （数据见文件20151022_单因素协方差分析） 1.在Variable View 窗口定义变量 肥料（nominal 并设定标签值1~3 肥料A~C ） 第一年产量（Scale） 第二年产量（Scale） （判断需不需要做协方差分析） 操作步骤1 ： 先对第一年产量为协变量进行单因素协方差分析： Analyze -> Compare Means -> one-way ANOVA
协方差传播率
第三章 协方差传播律 一、 公式汇编 广义传播律 T YY XX T ZZ XX T YZ XX D FD F D KD K D FD K ?=?=??=?220022 002200()()()T YY XX T ZZ XX YZ XX Q F Q F Q K Q K Q F Q K σσσσσσ?=??=??=?T YY XX T ZZ XX YZ XX Q FQ F Q KQ K Q FQ K ? =??=??=? 独立观测值权倒数 2 22 1122 1111 Z n n f f f P L P L P L P ?????????=+++ ? ? ?????????? 方差与协因数阵 202020XX XX YY YY XY XY D Q D Q D Q σσσ===22022 020i ii j jj ji ij Q Q Q σσσσσσ=== 221 00XX XX XX D Q P σσ-== 权 202i i p σσ= 二、 解题指南 1.观测值及其方差阵 写成向量、矩阵形式 ,XX X D 2 按要求写出函数式，对函数式求全微分，写成矩阵形式 函数式
),,2,1(),,,,(21n i X X X f Z n i i == 全微分 写成矩阵形式： dZ KdX = 3应用协方差传播律求方差或协方差阵。 T ZZ XX D KD K = 三、 例题讲解 在三角形ABC 中观测三个内角 ，将闭合差平均分配后得到各角值及其方差阵为： 1 23?4010'30"??5005'20"?8944'10"L L L L ????????==????????? ????? ??633363336LL D --????=--????--?? 解：1.观测量 及其方差 123????L L L L ????=??????? ? ??633363336LL D --????=--????--?? 2.写出函数式 12 3 3 ??sin sin ??sin sin a b L L S S S S L L == 线性化 013 2 3 ??ln ln ln sin ln sin ??ln ln ln sin ln sin a b S S L L S S L L =+-=+- 1133 2 2 3 3 ????cot cot ????cot cot a a a b b b dS S L dL S L dL dS S L dL S L dL =-=- 1 2 3 ???,,L L L 已知边长S0=1500.000m,求Sa 、Sb 的长度及他们的协方差阵 Dss