3.1三角函数

3.1三角函数

一、选择题（每小题6分，共36分）

1.（20132杭州模拟）如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP=θ，则点P 的坐标是( ) (A)(cos θ,sin θ (B)(-cos θ,sin θ) (C)(sin θ,cos θ) (D)(-sin θ,cos θ)

2.（2013

( ) (A)sin2-cos2 (B)cos2-sin2 (C)±(sin2-cos2) (D)sin2+cos2

3.42sin()2sin

3sin

3

33

πππ

-++等于( ) （A ）1 （B ）1

3

（C ）0 （D ）-1

4.函数y=tanx +sinx-|tanx-sinx|在区间（3,22

ππ

）内的图象是

( )

5.已知函数f(x)=sin(2x-6

π

)，若存在a ∈(0,π)，使得f(x+a)=f(x-a)恒成立，则a 的值是( ) (A)6π (B)3π (C)4π (D)2

π

6.（20122合肥模拟）已知角α在第一象限且cos α=3,5

=( ) ()()()()27142A B C D 5555

-

二、填空题（每小题6分，共18分） 7.已知函数f(x)＝s in(ωx+

3

π

)(ω>0)的最小正周期为π，则ω=_______． 8.如果tan α、tan β是方程x 2

-3x-3=0的两根，则tan(α+β)=_______.

9.（20122潮州模拟）已知角α终边上一点P （-4，3），则cos()sin()

2119cos()sin()

22

π

+α-π-αππ-α+α的值为_______. 三、解答题（每小题15分，共30分）

10.（20122芜湖模拟）已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈（0，π），

角β的终边与单位圆交点的横坐标是513-，角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是3

5

，求cos α. 11.已知函数f(x)=2asin(2x-3π)+b 的定义域为［0,2

π

］,函数的最大值为1,最小值为-5,求a 和b 的值.

【探究创新】 （16分）函数

f(x)1cos2x 1.22

+=-- (1)若x ∈［

4π,2

π

］，求函数f(x)的最值及对应的x 的值. (2)若不等式［f(x)-m ］2

＜1在x ∈［4π,2

π］上恒成立，求实数m 的取值范围.

答案解析

1.【解析】选A.由三角函数定义知，点P 的横坐标x=cos θ，纵坐标y=sin θ.

2.【解析】选A.原式

==|sin2-cos2|, ∵sin2>0,cos2<0,∴原式=sin2-cos2. 【变式备选】给出下列各函数值：

①sin(-1 000°)；②cos(-2 200°)；③tan(-10)；

④7sin

cos 10.17tan

9π

ππ 其中符号为负的有( )

（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④ 【解析】选C.sin(-1 000°)=sin80°>0; cos(-2 200°)=cos(-40°)=cos40°>0； tan(-10)=tan(3π-10)<0;

77sin

cos sin 7171010,sin 0,tan 0,1717109tan tan 99

7sin cos 100.17tan

9

πππ-ππ=><πππ

π∴>π

3.【解析】选C.原式=sin 2sin 3sin 333

πππ

--+=0.

4.【解析】选D.当2π

＜x ≤π时，tanx ≤0,sinx ≥0,

∴y=tanx+sinx+tanx-sinx=2tanx ≤0. 当π＜x ＜

32

π

时，tanx ＞0,sinx ＜0， ∴y=tanx+sinx-tanx+sinx=2sinx ＜0,

结合三角函数的图象和性质可知图象为D.

5.【解析】选D.因为函数满足f(x+a)=f(x-a)，所以函数是周期函数，且周期为2a ，2a 22π=

，所以a=2

π

. 【方法技巧】周期函数的理解

(1)周期函数定义中的等式:f(x+T)=f(x )是定义域内的恒等式,即对定义域内的每个x 值都成立,若只是存在个别x 满足等式的常数T 不是周期.

(2)每个周期函数的定义域是一个无限集,其周期有无穷多个,对于周期函数y=f(x),T 是周期,则kT(k ∈Z,k ≠0)也是周期，但并非所有周期函数都有最小正周期. 6.【解析】选C.角α是第一象限角且cos α=3,5∴sin α=4,5

21cos2sin2cos 2cos 2sin cos 142cos 2sin .

cos 5

+α+α=αα+αα==α+α=α 7．【解析】T=2π

ω

=π，所以ω=2. 答案：2

8.【解题指南】利用根与系数的关系得到tan α＋tan β，tan α2tan β的值，代入公式即可.

【解析】由根与系数的关系得tan α+tan β=3， tan α2tan β=-3,∴tan(α+β)=33.134

=+ 答案：

34

9.【解题指南】利用三角函数定义求出tan α的值，将原式化简后代入即可. 【解析】

y 3tan ,x 4

α=

=- cos()sin()

sin sin 32tan .119sin cos 4cos()sin()22π

+α-π-α-αα∴==α=-ππ-αα-α+α

答案：3

4

-[]

10.【解析】由题意，得cos β=513

-

， ∴β∈（2

π

，

π），∴sin β12.13

=

又∵sin （α+β）=3

5

，∴α+β∈（0，π），∴α∈（0，2

π）， ∴sin αcos β+cos αsin β=35

，

即5123

sin cos .13135

-

α+α= ① 又∵sin 2

α+cos 2

α=1， ② 由①②组成方程组及α∈（0，2π），解得cos α=56

.65

11.【解析】∵0≤x ≤

2

π

, 22x ,333

sin(2x )1,

3ππ∴-

≤-≤ππ≤-≤

由题意知a ≠0,

若a>0,

则2a b 1,b 5+=???+=-??

解得a 12b 23?=-??

=-+?? 若a<0,

则2a b 5

,b 1

+=-???+=??

解得a 12b 19?=-+??=-??

综上可知

或

【探究创新】 【解题指南】（1）先利用所学公式把f(x)变换成f(x )=Asin(ωx+φ)+b 的形式.利用x 所给范围，求得最值及对应x 的值；（2）利用不等式变换转化成函数恒成立问题求解. 【解析】

(1)f(x)1cos2x 11cos2x 1sin(2x )1,2226

+π

=--=--=-- ∵x ∈［

4π,2π］,∴52x ,366πππ

≤-≤ 当2x 62ππ-=时，即x=3π

时，f(x)max =0,

当2x 566ππ-=时，即x=2π时，f(x)min =-1.2

(2)方法一：∵［f(x)-m ］2

＜1?f(x)-1＜m ＜f(x)+1(x ∈［4π,2

π

］), ∴m ＞f(x)max -1且m ＜f(x)min +1 故m 的范围为（-1，

1

2

）. 方法二：∵［f(x)-m ］2

＜1?m-1＜f(x)＜m+1, ∴m-1＜-12且m+1＞0,故-1＜m ＜12

,

综上m的取值范围是(-1, 1

2 ).

三角函数恒等变换(整理)

高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换 1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且θ=∠A 若 AO m AC B C AB C B 2sin cos sin cos =+则=m （ ） A ．θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定 2.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ?∈，有 D l x ∈+，且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题： ①函数x x f -=2 )(为R 上的1高调函数； ②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数； ③如果定义域为),1[+∞-的函数2 )(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是),2[+∞； ④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数. 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<

4. 在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b a b 2sin 2sin log log ,22<>， bc a c b 3222+=+,若0

三角函数图像之解析

三角函数解之分析 考纲要求: （1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于,A ω与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定A 的值，再根据对称轴对称中心的距离确定T ，进而求出ω，最后再通过代入一个特殊点，并根据?的范围确定?。 （2）求?时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的?值唯一，不会出现多解的情况。如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题。 基础知识回顾: 在有关三角函数的解答题中，凡涉及到()()sin f x A x ω?=+的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得,,A ω?得到，本讲主要介绍求解()sin y A x ω?=+解析式的一些技巧和方法 1．“五点法”作图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个点，作图的一般步骤为： (1)定点：如下表所示． (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y ＝Asin (ωx ＋φ)在一个周期内的图象． (3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝Asin (ωx ＋φ)在R 上的图象． 2．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象的两种途径

3．函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的物理意义 当函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[)0，＋∞表示一个振动量时，A 叫做振幅，T ＝2π ω 叫做 周期，f ＝1 T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相． 应用举例: 类型一、确定三角函数的解析式和振幅、初相、相位 【例1】 【山东省乐陵市第一中学2019届高三一轮复习检测试题】函数 的部分图象如图所示，则将 的图象向右平移个单位后，得 到的图象的解析式为 A ． 2x B ． 2x C ． D ． 【答案】D

三角函数与三角变形

三角函数与三角变形 一. 本周教学内容： 专题复习“三角函数与三角变形” 二. 重点与难点： 1. 三角函数的图象与性质； 2. 同角三角函数的差不多关系式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和积互化公式等三角公式的应用。 三. 要点综述： 1. 三角函数是一类重要的初等函数，因其在复数（如复数的三角形式）解析几何（如直线的倾斜角，参数方程，极坐标），立体几何（如两条异面直线成角，直线与平面的成角，二面角）中有着广泛的应用，因此对三角函数与三角变形要有足够的认识。 2. 三角函数的周期性，以及y=sinx ，y=cosx 的有界性是试题经常考查的重要内容。要把握形如y=Asin(ωx+?)或y=Acos(ωx+?)的函数的周期的求法；灵活应用y=sinx ，y=cosx 的有界性研究某些类型的三角函数的最值（或值域）问题。 3. 三角恒等式的证明因其技巧性较强，一度成为数学的难点，近些年的高考试题对这类题目的考查在减少，要求有所降低，但我们应该充分重视三角变形，因为其中表达了对三角公式的运用能力，专门表达了事物之间互相联系，互相转化的辩证思想。 4. 基于上述几点理由，建议同学们在复习这部分内容时，做到“立足课本，落实三基；重视基础，抓好常规”即复习时以中低档题目为主，注意求值化简题以及求取值范畴的习题，另外，注意充分利用单位圆，三角函数图象研究问题。 【典型例题分析与解答】 例1. 已知，且，则的值为 sin cos cos sin θθπθπ θθ?= <<-1842 分析：联想与的关系式：cos sin sin cos (cos sin )sin cos θθθθθθθθ±±=±2 12 可知，欲求的值，不妨先求的值，另外，应注意到，当 cos sin (cos sin )θθθθ--2π θπ θθθθ4 2 0<< >-<时，，故sin cos cos sin 解：(cos sin )sin cos θθθθ-=-=-?=2 12121834 而 π θπ 42 << ∴-

三角函数化一公式例题解析

三角函数化一公式解析 一、化一公式 三角函数化一公式是指如下的三角函数公式： )cos()sin(cos sin 2222θ?-+=++=+x b a x b a x b x a ， 其中 2 2sin cos b a a += =θ?，2 2cos sin b a b += =θ?， θ?、 完美地融入直角梯形中。 如果0=ab ，则公式显然成立。不妨假设0≠ab ，则 []), sin( cos sin sin cos cos sin cos sin 2222222 222???++=++=? ?????++++=+x b a x x b a x b a b x b a a b a x b x a 同理可得 )cos(cos sin 22θ-+=+x b a x b x a 。 二、公式的应用 化一公式把含有两个三角函数x sin 、x cos 的线性问题转化成了只含一个三角函数式的问题，从而方便了利用三角函数的有关性质解决最值、单调区间、图象对称轴、对称中心、三角方程、三角不等式、图象变换等方面的有关问题。这些问题均是三角函数的基本问题，但学生往往难以掌握。下面举例说明化一公式的应用及其注意事项。

1、三角函数最值问题 例1、求函数 R x x x x x f ∈+=),cos (sin sin 2)( 的最大值。 解析：142sin 212cos 2sin cos sin 2sin 2)cos (sin sin 22+?? ? ? ?-=+-=+=+πx x x x x x x x x 。 于是，函数的最大值是12+。 例2、求函数 R x x x x f ∈??? ? ? ++??? ??+=,94sin 59sin 3)(ππ 的最大值和最小值。 解析： ) sin(7 )sin(94sin 59sin 394cos 59cos 3 cos 94sin 59sin 3sin 94cos 59cos 394sin 59sin 32 2 ??ππππππππππ+=+??? ??++??? ? ? +=??? ?? ++??? ??+=??? ??++??? ??+x x x x x x 因此，该函数的最大值和最小值分别是7、-7。 例3、已知函数 R x x a x x f ∈++=,4cos sin 2)(

三角函数公式大全(很详细)

高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义

图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式

3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是

三角函数教材分析解读

第一章 三角函数教材分析 三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础 本章教学时间约用16课时，具体分配如下(仅供参考)： 1.1任意角和弧度制 约2课时 1.2 任意角的三角函数 约3课时 1.3 三角函数的诱导公式 约2课时 1.4 三角函数的图象和性质约4课时 1.5 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象 约2课时 1.6 三角函数模型的简单应用 约2课时 小结与复习 约1课时 一、 内容与要求 (一)本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、以及三角函数的图象和性质和三角函数模型的简单应用 (二)章头引言安排了一个天体运动问题——地球与月亮、月亮的圆缺和农历日期的周期对应的规律 第一大节是“任意角和弧度制”教科书首先推广了角的概念，介绍了弧度制，和换算关系等； 第二大节是“任意角的三角函数”，由锐角三角函数直接推广到任意角(都用坐标定义)，然后导出同角三角函数的两个基本关系式 第三大节是“三角函数的诱导公式” 能够通过诱导公式化简和计算. 第四大节是“三角函数的图象和性质”x y sin = ，x ∈ [0,π2]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动2 π个单位长度，得到余弦曲线接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了正弦函数的简图的画法，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质 第五大节是“函数y=Asin(ωx+φ) 的图象” 通过图像研究性质. 第六大节是“三角函数模型的简单应用” 三角函数是描述现实世界中周期现象的一种数学模型. (三)本章的教学要求是： 1．使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算 2．使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式 3．使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力 4．三角函数是描述现实世界中周期现象的一种数学模型，初步掌握其实际应用方法

三角函数恒等变换练习题与答案详解

两角和与差的正弦、余弦、正切 1. 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换;2?利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2?灵活使用（正用、逆用、变形用）两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键? 知识点回顾 1 ?两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos( a—0)= cos acos0+ sin ocsin0(C a- 0 cos( a+ 0)= cos. acos _ 0— sin__ asin_ 0(C a+ 0 sin( a—0 = sin a cos0- cos ocsin (S a—0 sin( a+ 0 = sin a cos0+ cos ocsin0(S a+ 0 tan a—tan 卩 tan( a—? ；(T a—0 1 + tan atan 卩 tan a+ tan 卩 tan(%+ ? = (T a + 0 1 —tan %tan 0 2 ?二倍角公式 sin 2 a= 2sin ： cos：； cos 2 a= cos2a—sin2a= 2cos 2a—1 = 1 —2sin2a； 2ta n a tan 2 a= . 1 —tan a 3 ?在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等?如 T a±0可变形为 tan a± tan 0= tan( a± 0(1? tan_ %tan_ 0, tan a+ tan 0 tan a—tan 0 tan %tan 0= 1 —= —1. tan a+ 0 tan a—0 4 ? 函数f( a= a cos a+ b sin a(a, b 为常数),可以化为f( a = \i a2+ b2sin( a+ 0)或f( %)='：：：［a2+

高中数学 三角函数：正弦、余弦、正切

三角函数：正弦、余弦、正切 (一)复习指导 1．能画出y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π ]的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等) 3．理解正切函数在区间)2 π ,2π(- 的单调性． (二)基础知识 1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0， 3,, ,22 2 π π ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 2、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域：都是[]1,1-，对s i n y x =， 当()22x k k Z π π=+∈时，y 取最大值1； 当() 322 x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取 最小值－1。 （3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2 π；②()sin()f x A x ω?=+和 ()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2|| T πω= 。 （4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线 ()2x k k Z π π=+ ∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z π π?? + ∈ ?? ?，对称轴是直线 ()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴 的交点）。 （5）单调性： ()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ? ?++∈??? ?单调递减； cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ 3、正切函数tan y x =的图象和性质： （1）定义域：{|,}2 x x k k Z π π≠+∈。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？ （2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x = cos x +的周期为 2 π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ =-+=-+，|tan |y x =的周期不变； （4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π?? ??? ()k Z ∈，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心 有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。 （5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ?? -++∈ ??? 内都是增函数。但要注意在整个定义域上不 具有单调性。如下图：

求三角函数解析式的方法

求三角函数解析式常用的方法 三角函数是高中数学的一个重点,而三角函数图象与性质又是其中的难点,学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。现就几道例题谈谈常用的求解方法。 1 利用五点法，逆求函数解析式 例1．右图所示的曲线是)sin(?ω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式． 解:由22y -≤≤，得A=2 已知第二个点(,2)12π和第五个点5(,0)6π 35346124T πππ=-= T π∴= 2ω= 把(,2)12π代入，2122ππφ?+=得3π?= 所以y=)3 2sin(2π+x 点评：由图像确定解析式，观察图像的特征，形助数寻找“五点法”中的整体点，从而确定初相?。 2 利用图像平移，选准变换过程切入求解 例2下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ） A ．sin 6y x π??=+ ??? B.sin 26y x π??=- ?? ? C.cos 43y x π??=- ??? D.cos 26y x π??=- ?? ? 解：从图象看出，41T =1264πππ+=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin 2x 向左平移了6 π个单位，即sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236x x x ππππ+=-++=-，故选择答案D 。 点评：数形结合，由图像确定周期和初相位后，选准图像平移变换过程切入， 如本题y=sin 2x 向左平移了6 π个单位进行验证化简是求解的关键。对于利用图象的变换来求解函数的解析式，一定要清楚每一种变换对,,A ω?的影响，注重整体变量观念的应用。 3 特殊化赋值法求解

三角函数公式总结)

高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -

sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA = a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-

三角函数 正切、余切图象及其性质

正切、余切函数图象和性质反三角函数[知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象 由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质 由图象可得: y=tanx y=cotx 定义域值域R R 单调性在上单增(k∈Z) 在上单减(k∈Z) 周期性T=π T=π 对称性10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无 注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的.

3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数. y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数. y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数. 2．反三角函数的图象 由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象. 注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是 （2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）. （3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和. （4）y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π. 四、反三角函数的性质由图象，有 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域[-1,1] [-1,1] R R 值域[0, π] (0, π) 单调性在[-1，1]上单增在[-1，1]上单减在R上单增在R上单减对称性10对称中心（0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无10对称中心 （0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无周期性无无无无 另外: 1．三角的反三角运算 arcsin(sinx)=x(x∈)arccos(cosx)=x (x∈[0, π]) arctan(tanx)=x(x∈)arccot(cotx)=x(x∈(0, π)) 2．反三角的三角运算 sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1])cos(arccosx)=x (x∈[-1,1])

三角函数恒等变形公式

三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数 两角和与差的三角函数: cos( a + 3)=cos a ? cos 3 -sin a ?sin 3 cos( a - 3)=cos a ? cos 3 +sin a ?sin 3 sin( a ±3 )=sin a ? cos 3 ±cos a ? sin 3 tan( a + 3)=(tan a +tan 3 )/(1-tan a ? tan 3 ) tan( a - 3)=(tan a -tan 3 )/(1+tan a ? tan 3 ) 三角和的三角函数： sin( a + 3 +Y )=sin a ? cos 3 ? cos 丫+cos a ? sin 3 ? cos 丫+cos a ? cos 3 ? sin 丫-sin a ? sin 3 ? sin 丫cos( a + 3 + Y )=cos a ? cos 3 ? cos 丫-cos a ? sin 3 ? sin Y -sin a ? cos 3 ? sin 丫-sin a ? sin 3 ? cos 丫 tan( a + 3 + Y )=(tan a +tan 3 +tan 丫-tan a ?tan 3 ? tan 丫)/(1-tan a ? tan 3 -tan 3 ? tan 丫-tan 丫? tan a ) 辅助角公式： Asin a +Bcos a =(A2+B2)A( 1/2)sin( a +t)，其中 si nt=B/(A2+B2)A(1/2) cost=A/(A2+B2)A(1/2) tan t=B/A As in a -Bcos a =(A2+B2)A(1/2)cos( a -t) , tan t=A/B 倍角公式： sin (2 a )=2sin a? cos a :=2/(tan a +cot a ) cos(2 a )=cos2( a )- sin2( a )=2cos2( a )-仁1- 2sin2( a ) tan (2 a )=2tan a/[1- tan2( a )] 三倍角公式： sin (3 a )=3sin a-4sin3( a )=4sin a-sin(60+ a )sin(60- a ) cos(3 a )=4cos3( a )-3cos a =4cos a-cos(60+ a)cos(60- a ) tan(3 a )=tan a ? tan( n /3+a) ? tan( n /3-a) 半角公式： Sin( a /2)= ±V((1 -cos a )/2) cos( a /2)= ±V ((1+cos a )/2) tan( a /2)= ±V ((1 -cos a )/(1+cos a ))=sin a /(1+cos a )=(1-cos a )/sin a 降幕公式 sin2( a )=(1-cos(2 a ))/2=versin(2 a )/2 cos2( a )=(1+cos(2 a ))/2=covers(2 a )/2 tan2( a )=(1-cos(2 a ))/(1+cos(2 a )) 万能公式： sin a =2tan( a /2)/[1+tan2( a /2)] cos a =[1- tan2( a /2)]/[1+tan2( a /2)] tan a =2tan( a /2)/[1- tan2( a /2)] 积化和差公式：

正切三角函数值表

正切函数值表 角度正弦sin 余弦cos 正切tan 0 0 1 1 0.017452406 0.999847695 0.017455065 2 0.034899497 0.999390827 0.034921 3 0.052335956 0.998629535 0.052407779 4 0.069756474 0.9975640 5 0.069926812 5 0.087155743 0.996194698 0.087488664 6 0.104528463 0.994521895 0.105104235 7 0.121869343 0.992546152 0.122784561 8 0.139173101 0.990268069 0.140540835 9 0.156434465 0.987688341 0.15838444 10 0.173648178 0.984807753 0.176326981 11 0.190808995 0.981627183 0.194380309 12 0.207911691 0.978147601 0.212556562 13 0.224951054 0.974370065 0.230868191 14 0.241921896 0.970295726 0.249328003 15 0.258819045 0.965925826 0.267949192 16 0.275637356 0.961261696 0.286745386 17 0.292371705 0.956304756 0.305730681 18 0.309016994 0.951056516 0.324919696 19 0.325568154 0.945518576 0.344327613 20 0.342020143 0.939692621 0.363970234 21 0.35836795 0.933580426 0.383864035 22 0.374606593 0.927183855 0.404026226 23 0.390731128 0.920504853 0.424474816 24 0.406736643 0.913545458 0.445228685 25 0.422618262 0.906307787 0.466307658 26 0.438371147 0.898794046 0.487732589 27 0.4539905 0.891006524 0.509525449 28 0.469471563 0.882947593 0.531709432 29 0.48480962 0.874619707 0.554309051 30 0.5 0.866025404 0.577350269 31 0.515038075 0.857167301 0.600860619 32 0.529919264 0.848048096 0.624869352 33 0.544639035 0.838670568 0.649407593 34 0.559192903 0.829037573 0.674508517 35 0.573576436 0.819152044 0.700207538 36 0.587785252 0.809016994 0.726542528 37 0.601815023 0.79863551 0.75355405 38 0.615661475 0.788010754 0.781285627 39 0.629320391 0.777145961 0.809784033

锐角三角函数的解题技巧

锐角三角函数的解题技巧 一、知识点回忆 (一)锐角的三角函数的意义 1、正切 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA． 2、正弦和余弦 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 3、三角函数：在直角三角形中，锐角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A的三角函数． (二)同角的三角函数之间的关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α=1 (2)商数关系： （三）两角的关系 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．

(四)特殊锐角的三角函数值 (五)锐角三角函数值解法 1、用计算器 求整数度数的锐角三角函数值． 在计算器的面板上涉及三角函数的键有和键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按，则屏幕上就会显示出结果． 例如：计算sin44°． 解： 按键，再依次按键． 则屏幕上显示结果为0.69465837． 求非整数度数的锐角三角函数值． 若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按 和三个键之一，然后再依次按度分秒键，然后按键，则屏幕上就会显示出结果． 2、已知三角函数值，用计算器求角度

已知三角函数值求角度，要用到、键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和键．具体操作步骤是：先按键，再按键之一，再依次按三角函数值，最后按键，则屏幕上就会显示出结果． 值得注意的是：型号不同的计算器的用法可能不同。 （六）直角三角形的解法 解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题： 解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。 掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。 二、重点难点疑点突破 1、（1）sinA和cosA都是一个整体符号，不能看成sin·A或cos·A． (2)是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关． (3)sinA＋sinB≠sin(A＋B)sinA·sinB≠sin(AB) (4)sin2A表示(sinA)2，cos2A=(cosA)2 (5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1 2、同名三角函数值的变化规律 当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大； 余弦三角函数值随着角度的增大而减少． 三、解题方法技巧点拨 1、求锐角三角函数的值 例1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若，求cosB，tanB的值．

三角函数知识点及例题讲解

三角函数知识点 1.特殊角的三角函数值： （1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα == ） 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβ αβαβαβααα αα αβα αβααβα αα αα =±=???→=-↓=-=-±±= ?-↓= - （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-， 2()()αβαβα=+--，22 αβαβ++=?，()( ) 222αββ ααβ+=---等）， (2)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-=与升幂公 式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。如

(； (3)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=? tan sin 42 ππ=== 等），. 。 （4）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ω?=+和 ()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||T π ω=。如 （5）单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ? ?=-+∈??? ?在上单调递增，在 ()32,222k k k Z ππππ??++∈??? ?单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ (6)、形如sin()y A x ω?=+的函数： 1几个物理量：A ―振幅；1 f T =―频率（周期的倒数）； x ω?+― 相位；?―初相； 2函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A 由周 期确定；?由图象上的特殊点确()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2 π?<()f x ＝_____（答：15()2sin()23 f x x π =+）； 3函数sin()y A x ω?=+图象的画法：①“五点法”――设X x ω?=+，令X ＝0，3,,,222 ππ ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 4函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象；②函数()si n y x ?=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ω ，得到函数 ()sin y x ω?=+的图象；③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图象；④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图象。要特别注意，若由 ()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移| |? ω 个单位，如 （1）函数2sin(2)14 y x π =--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？

三角函数恒等变换练习题与答案详解

两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β (T α－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β (T α＋β) 2． 二倍角公式 sin 2α＝ααcos sin 2； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如 T α±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan β tan α－β－1. 4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α －φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．