新人教A版高中数学《二维形式的柯西不等式》word教案

选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式 姓名

☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题

?知识情景：

1. 柯西主要贡献简介：

柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定

了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值

定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.

2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，

则 .

当且仅当 时, 等号成立.

变式10. 若,,,a b c d R ∈，则||2

222bd ac d c b a ++?+或bd ac d c b a ++?+2222；

变式20. 若,,,a b c d R ∈，

；

变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：

3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i i

a b R ∈(=i 1,2,…,n )，

则： .

当且仅当 时, 等号成立.

(若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).

变式10. 设,0(1,2,

,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i n

i i

i

b a b a 212

)( . 当且仅当 时, 等号成立.

变式20. 设0(1,2,

,),i i a b i n ?>= 则：∑∑∑≥=i

i i n

i i i b a a b a 2

1)

(.

当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 变式30. (积分形式)设)(x f 与)(x g 都在],[b a 可积，

则dx x g dx x f dx x g x f b

a b a b a )()()()(222

????≤??

????，

当且仅当)()(x g t x f ?=时,等号成立.

如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重

要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面

都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！

☆ 柯西不等式的应用：

例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值

例2 在实数集内 解方程222

94

862439

x y z x y y ?++=

???-+-=?

例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接

圆

的半径， ≤

例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

例5 (证明不等式)设,121+>>>>n n a a a a

求证:

01

1111

113221>-+-++-+-++a a a a a a a a n n n

选修4-5练习 §3.1.2

柯西不等式(3) 姓名

1、已知12,,,n a a a R +∈，求证：222212121

()n n a a a a a a n

++

+≤++

+

2、已知,,,a b c d 是不全相等的正数，求证：2222a b c d ab bc cd da +++>+++

3、已知222231,

x y z x y z ++=++求的最小值.

4

、

设

12n ,x ,x R ,

x +∈

12n x x 1,

x +++=且 求证：

22212

12x 1

1x 111

n n x x x x n +++≥

++++

5、已知实数,,,,a b c d e 满足8a b c d e ++++=, 22222

16,a b c d e ++++= 求e 的取值范围.

6、已知,,,x y z R +∈ 且1,x y z ++= 求证：149

36x y z

++≥

7、已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 222

3

3

3

3

a b c a b c ++++≥

8、解方程组 ???42222222

9

6()()486

x y z x w x x y z w w y z ++=+=+++++=

9、若n 是不小于2的正整数，试证：

41111117234

2122

n n <-+-++

-<-。

参考答案:

一般形式的柯西不等式： 设n

为大于

1的自然数，

,i i a b R

∈(=i 1,2,…,n )，

则

：

21

1

2

1

2)(∑∑∑===≥n

i i i n i i

n

i i

b a b

a ，

其中等号当且仅当

n

n a b a b a b === 22

11时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ). 等号成立当且仅当)1(n i a b i i ≤≤=λ 柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的

不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便

地解决一些中学数学中的有关问题。

例1 解：由柯西不等式得，有 ()()2222111236236b c d b c d ??

++++≥++ ???

即()2222236b c d b c d ++≥++ 由条件可得， ()2

253a a -≥-

解得，12a ≤≤

==

时等号成立， 代入11

1,,36b c d ==

=时， max 2a = 21

1,,33

b c d ===时 min 1a =

例2解：由柯西不等式，得

(

)()()()222

222286248624x y z x y y ??++-++-≥-+-?

?

①

(

)()()22222

28624x y z

??++-++-??()2964364144394

=?++?= 又()22

862439x y y -+-=. (

)()()()222222286248624x y z x y z ??++-++-=-+-?

?

即不等式①中只有等号成立.

从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

8624x y z

==

-- 它与862439x y y -+-=联立，可得613x =- 926y = 18

13

z =-

例3证明：由柯西不等式得，

=111

a b c

≤++记S 为ABC 的面积，则

22

42abc abc

ax by cz S R R

++===

≤

=≤

故不等式成立。

例4 证明：由柯西不等式，得()[]()[]

11111222222=-+-+≤-+-b b a a a b b a

当且仅当a b a

b

2211-=-时，上式取等号，

,1122b a ab -?-=∴ (

)(),112

2

2

2b a

b a --=

于是 12

2

=+b a 。

例5 分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：

(),11

1113221

11>??????-++-+-?-++n n n a a a a a a a a

证明：为了运用柯西不等式，我们将11+-n a a 写成

()()()1322111++-++-+-=-n n n a a a a a a a a 于是

()()()[].

11

1121322113221>≥???

?

??

-++-+-?-++-+-++n a a a a a a a a a a a a n n n n 即(),111111

111

1132211322111++++->-++-+-∴>????

??

-++-+-?-n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a

故

.01

1111

113221>-+-++-+-++a a a a a a a a n n n

我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。

练习 1．证：22222221212(111)()(111)n n a a a a a a ++

+++

+≥?+?+

+?

∴ 22

221212()()n n n a a a a a a +++≥++

+

∴

2222

12121()n n

a a a a a a n

+++≤+++ 2、22222222

22222222222:()() ()

,,,,()() a a c d b c d a ab bc cd da a b c d

a b c d b c d a

a b c d ab bc cd da b c d ab bc cd da

++++++≥+++∴===∴+++>++++++>+++证明是不全相等的正数不成立即

3．

2222222222222:()(123)(23)1

1

14113,,12314714

1

14

x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++++≥++=∴++≥

=====++解当且仅当即时

取最小值

4

、222

12

1222

12

1212

2

n n 12

22n 12:(1)()

111 (1x 11)(11x )1x 11 1x )()1

1n n

n n

n n

x x x n x x x x x x x x x x x x x x x +?++++++=++++++?++

+++≥++++++?=+++=

+证明

5

．2222

2

22

222

222

2:

4(a ) (1111)() (a b c d)4(16)(8),644641616

5160,05

b c d a b c d e e e e e

e e e +++=++++++≥+++-≥--≥-+∴-≥≤≤

解即即故

6． 2

222:149149()()3611,,,,

49632

.

x y z x y z x y z

x y z x y z ++=++++≥======证法一用柯西不等式

当且仅当即时等号成立

:149149

()()()494914()()()14461236

111

2,3,,,,632

x y z x y z x y z x y z x y z

y x z x z y

x y x z y z

y x z x x y z ++=++++++++=++++++≥+++======证法二代入法当且仅当即时等号成立

7．证明：利用柯西不等式

()

2

313131

2

2

22222222a

b c

a a

b b

c c ??++=++ ???

[]222333222a b c a b c ??

????????≤++++ ? ? ??????????? ()()2

333a b c a b c =++++

()1a b c ++=

又因为 222a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上222

a b c ++ 得：()()

2223a b c a b c ++≤++

()()()2

2223332223a b c a b c a b c ++≤++?++

故222

3

3

3

3

a b c a b c ++++≥

8. 解：原方程组可化为

486

))((6

922222=+++=+=++w x z y x w x z y x

运用柯西不等式得273

9)(2

22

2

=≥++z y x , 182

62

2

2

=≥+w x 两式相乘，得(

)()

48622

2

22≥+?++w x

z

y x

当且仅当x=y=z=w=3时取等号。

故原方程组的解为x=y=z=w=3.

9、证明：证明：

11111111

111

11(1)2()234

212234

224

2n n n n

-+-++

-=++++

+

-+++- 111

122n n n

=

+++++ 所以求证式等价于

411

1712

22

n n n <+++

<++

由柯西不等式有2111

(

)[(1)(2)2]12

2n n n n n n n

+++

+++++>++

于是：

211124112

2(1)(2)27

3n n n n n n n

n

+++>

=

≥

++++++

++

又由柯西不等式有

22222

2

111

11

1(111)(

12

2(1)(2)

(2)n n n

n n n +++

<++++++

++++

(21)22

n <+

+

==

-