辽宁省大连市育明高级中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)

辽宁省大连市育明高级中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题

（含解析）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知全集{}

4U x N x =∈≤，集合{}{}1,2,2,4A B ==，则(

)U

A B ?为（ ）

A. {}1

B. {}0,1,2

C. {}1,2,3

D.

{}0,1,2,3

【答案】D 【解析】 【分析】

先计算{}0,1,2,3,4U =，再计算

{}0,1,3U

B =，最后求()U A B ?得到答案.

【详解】{}

{}40,1,2,3,4U x N x =∈≤=,{}0,1,3U

B =,(){}0,1,2,3U A B ?=

故选：D

【点睛】本题考查了集合的混合运算，意在考查学生的计算能力.

2.已知[]{}

2,2,A B x x a =-=≤，若A B A ?=，则实数a 的取值范围为（ ） A. {}

2a a >

B. {}

2a a >-

C. {}

2a a ≥

D.

{}2a a ≤-

【答案】C 【解析】 【分析】 根据A

B A =得到A B ?，再根据范围大小关系得到答案.

【详解】A B A A B ?=∴?

[]{}2,2,A B x x a =-=≤，故2a ≥

故选：C

【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数范围，判断A B ?是解题的关键.

3.命题2

",2"x Z x ?∈<的否定是（ ） A. 2

,2x Z x ?∈≥ B. 2

,2x Z x ?∈≤ C. 2,2x Z x ?∈> D. 2

,2x Z x ?∈≥

【答案】D 【解析】 【分析】

直接根据命题的否定的定义得到答案.

【详解】命题2

",2"x Z x ?∈<的否定是：2

,2x Z x ?∈≥ 故选：D

【点睛】本题考查了命题的否定，属于基础题型. 4.下列四组函数，表示同一函数的是（ ）

A. ()()2

,f x x g x ==

B. ()()f x g x x ==

C. ()()2

,x f x x g x x

==

D. ()()4221

,11

x f x g x x x -==-+

【答案】D 【解析】 【分析】

根据函数的定义域和表达式是否相等依次判断每个选项得到答案.

【详解】A. ()f x x =定义域为R ，()2

g x =定义域为[)0,+∞，不相同，排除；

B. ()f x x =

=，()g x x =，表达式不相同，排除；

C. ()f x x =定义域为R ，()2

x g x x

=定义域为()(),00,-∞?+∞，不相同，排除；

D. ()422111

-==-+x f x x x 定义域为R ，()2

1g x x =-定义域为R ，都相同.

故选：D

【点睛】本题考查了相同函数的判断，确定定义域和表达式是解题的关键.

5.设1

11

2

3

511,,523a b c -

????=== ? ?????

，则（ ） A. a b c << B. a c b << C. c b a <<

D.

b a

c <<

【答案】B 【解析】 【分析】

根据单调性得到1a <，1,1b c >>，再计算1515b c >得到答案. 【详解】0

1

2

11122a

???

=?；110

3

3

33113b -??=??> ?==；01

5155c >==；

15515315153243,5125b c b c b c ====∴>∴> ，即b c a >>

故选：B

【点睛】本题考查了数值的大小比较， 意在考查学生的综合应用能力. 6.下列四个命题，期中真命题的个数是（ ）

①每一个素数都是奇数；②至少有一个等腰三角形不是直角三角形；③2

,0x R x ?∈>；④2x >是0x >的充分不必要条件. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B 【解析】 【分析】

依次判断每个选项的正误：①举反例2不满足；②找出一个等腰三角形即可；③举反例0x =；④根据范围判断正确，据此判断得到答案.

【详解】①每一个素数都是奇数；2是素数但不是奇数，错误；

②至少有一个等腰三角形不是直角三角形；存在非直角的等腰三角形，正确； ③2

,0x R x ?∈>；当0x =时，不成立，错误；

④2x >是0x >的充分不必要条件；2x >可以得到0x >，0x >不能得到2x >，正确. 故选：B

【点睛】本题考查了命题真假判断，意在考查学生的推断能力.

7.函数()()(),00,12

2,0

3x a

x f x a a a x a x ?≥?

=>≠?-+

为R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A. 31,2

?? ??

?

B. 31,

2??

???

C. ()1,2

D. )3,22

???

【答案】A 【解析】 【分析】

根据分段函数为递增函数，满足每一个分段为递增，且间断处满足0

2

3

a a ≥

，计算得到答案. 【详解】()()(),00,12

2,0

3x a x f x a a a x a x ?≥?

=>≠?-+

为R 上的增函数 则满足：01202

3a a a a

?

?>?->???≥?

解得3

12a <≤

故选：A

【点睛】本题考查了分段函数的单调性，忽略掉间断处的大小关系是容易发生的错误. 8.若函数()()()()f x x a x b a b =-->的图像如图所示，则()x

g x a b -=+的图像可能是

（ ）

A. B.

C. D.

【答案】C 【解析】 【分析】

根据函数图像判断得到1,10a b >-<<，再根据函数的平移法则得到答案. 【详解】根据函数()()()()f x x a x b a b =-->的图像知：1,10a b >-<<

()1x

x

g x a b b a -??

=+=+ ???

，根据函数平移法则知：C 满足条件

故选：C

【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的对于函数图像的应用能力.

9.定义在()0,∞+上的增函数()f x ，满足对于任意正实数,x y 恒有()()()f xy f x f y =+，且()31f =，则不等式()()82f x f x +-<的解集是（ ） A. ()1,9- B. ()0,8 C. ()8,9 D. ()0,9

【答案】C 【解析】 【分析】

根据条件先计算(9)2(3)2f f ==，再化简得到((8))(9)f x x f -<，根据函数的单调性和定义域计算得到答案.

【详解】()()()f xy f x f y =+且()31f =，取3x y ==则(9)2(3)2f f ==

()()82f x f x +-<化简为((8))(9)f x x f -<

根据函数的单调性和定义域得到：080(8)9x x x x >??

->??-

解得89x <<

故选：C

【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式，忽略定义域是容易发生的错误.

10.已知函数()()2f x x a a a R =-+∈，满足()6f x ≤的解集为{}

23x x -≤≤，若存在实数n 使22n n f m f ??

??

≤+-

? ?????

成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. )2,∞?-+? B. )2,∞?+?

C. ](

,2∞--

D. ](

,2∞-

【答案】A 【解析】 【分析】

根据不等式的解得到1a =，化简得到11m n n ≥----，利用绝对值不等式得到

112n n ----≥-得到答案.

【详解】函数()()2f x x a a a R =-+∈，满足()6f x ≤的解集为{}

23x x -≤≤

26x a a -≤-解集为{}33x a x -≤≤对比知：1a = ()211f x x =-+

存在实数n 使22n n f m f ??

??

≤+-

? ?????成立，即22n n f f m ????

--≤ ? ?????

即11m n n ≥---- ，11112n n n n ----≥----=-，当1n ≥时等号成立. 故2m ≥- 故选：A

【点睛】本题考查了不等式的存在性问题，转化为函数的最值是解题的关键. 11.函数()(

)

2

1

2122

x x x

x f x x +++?=

?在)](

2019,00,2019?-??上的最大值为M ，最小值为N ，

则M N +=（ ）

A. 4038

B. 4

C. 2

D. 0

【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到()(

)

2

2122

x x

f x x +=

+?，设(

)

2

21()2

x x

g x x +=

?判断为奇函数，则

max min ()()4M m g x g x +=++，根据奇函数性质得到答案.

【详解】()()

()

2

2

1

2

122

1

22

2

x

x x

x

x

x f x x x +++?+=

=

+??

设(

)

2

21()2

x x

g x x +=

?则(

)(

)

2

2

2121()()2

2

x x x

x

g x g x x x --++-=

==--?-?，为奇函数.

()max max ()2f x g x =+，()min min ()2f x g x =+

即max min ()()44M m g x g x +=++= 故选：B

【点睛】本题考查了函数的

最大最小值，构造()

2

2

1

()2

x

x

g x x +=

?判断为奇函数是解题的关键.

12.定义域为R 的偶函数()f x ，当0x ≥时，()2

5,021611,22x

x x f x x ?≤≤??

=????+> ????

?，若关于x 的方程()()()()2

0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不等的实数根，则a 的取值范围为（ ）

A. 5,12??

-

- ???

B. 59,24??

-

- ???

C. 599,,1244????

-

-?-- ? ?????

D. 9,14??-- ???

【答案】C 【解析】 【分析】

根据偶函数画出函数图像，得到()f x m =的根的个数情况，根据

()()()()20,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不等的实数根得到12

514

54

m m ?

<

?=??

或 2151401

m m ?

<<

??

?<≤?，再根据韦达定理得到答案. 【详解】当0x ≥时，()2

5,0216

11,22x

x x f x x ?≤≤??=????+> ????

?，()f x 为偶函数 画出函数图像，如图所示：

根据图像知： 当5

4

m >时：()f x m =无解； 当5

4m =

时：()f x m =有2个根； 当5

14

m <<时：()f x m =有4个根；

当01m <≤时：()f x m =有2个根； 当0m =时：()f x m =有1个根； 当0m <时：()f x m =无解；

()()

()()2

0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不等的实数根

1()f x m =和()212()f x m m m =<满足：12

514

54m m ?

<

或2151401m m ?<

12

514

5

4m m ?

<

?=??

则满足：1295594224m m a a <+=-<∴-<<- 2151401m m ?

<<

??

?<≤?

则满足： 12991144m m a a <+=-<∴-<<- 综上所述：599,,1244a ????

∈--?-- ? ?????

故选：C

【点睛】本题考查了函数的零点问题，意在考查学生对于函数图像，韦达定理，不等式的综合应用能力.

第Ⅱ卷（共60分）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13.计算： （1）()10.5

3

3

14

2580.116

927--????

?+÷-= ? ???

??

________________； （2）若13x x -+=，则112

2

22

x x

x x

--+=+__________.

【答案】 (1). 54-

【解析】 【分析】

①直接计算得到答案. ②根据1

3x x

-+=

解得112

2

x x

-

+=22

7x x -+=，代入计算得到答案.

【详解】①()1

0.5

33

14

25815250.116

109278334--????

???+÷-=?+÷-=- ? ? ???

??

??

②1

3x x -+=，易知0x >

，则11112222

2125x x x x x x ---??=++=∴+= ???

+

()

2

221

27x x x x --++-==故112

2

2257

x x x x -

-+=+

【点睛】本题考查了化简求值，意在考查学生的计算能力.

14.函数()f x 的定义域为()3,1-，则()211y f x =+-的定义域为_____________. 【答案】()2,0- 【解析】 【分析】

根据抽象函数的定义域法则得到不等式3211x -<+<，计算得到答案. 【详解】函数()f x 的定义域为()3,1-

则()211y f x =+-的定义域满足：3211x -<+<解得20x -<< 故答案为：()2,0-

【点睛】本题考查了抽象函数的定义域，意在考查学生对于抽象函数定义域的掌握情况. 15.已知a>0，b>0，ab -（a ＋b ）＝1，求a ＋b 的最小值 ． 【答案】

【解析】

试题分析：根据基本关系式

，所以原式转化为不等式就是

，设，所以，解得，所以最小值

是．

考点：基本不等式求最值

16.下列四个命题，其中真命题的序号是_______________.

（1）2

2

22

y x x =++得最小值为2；

（2）0,0a b >>且a b ≠，则3322a b ab a b +>+恒成立； （3）0,0,0a b c >>>a b c a b c

≥

（4）2

2

110,0,max ,,a b h a b a b ??>>=+????

，其中{}max ,,x y z 表示,,x y z 三数中最大

的

一

个数，则h

. 【答案】（2）（3）（4） 【解析】 【分析】

依次判断每个选项的正误：（1）等号成立的条件不满足；（2）两式相减恒大于0；（3）利用均

值不等式再累加得到证明；（4）a b ≤，根据范围大小得到分段函数求在最值，判断得到答案.

【详解】（1

）2y =≥

=

，即21x =-时成立，错误；

（2）0,0a b >>且a

b ，则()()2

33220a b ab a b a b a b +=+-->-，

故3322a b ab a b +>+恒成立，正确； （3）0,0,0

a b c >>

>≥≥+≥

≥a b c ==时等号成立，正确； （4）不妨设a b ≤，则2

2

22

2

11

11max ,,max ,max ,2h a b a b a a b

a

a

??????=+=+≥????????????

2

22,1max ,21,a a a a a a a

?>??

??==?????

，故当a b ==时，h

，正确.

故答案为：（2）（3）（4）

【点睛】本题考查了不等式的综合应用，意在考查学生对于不等式的应用能力. 三、解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知集合{

}{

}

2

2

320,20A x x x B x x mx =-+==++=，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数m 的值.

【答案】m -<<【解析】 【分析】

解得{}1,2A =，根据条件得到B A ，讨论B =?，{}1B =，{}2B =三种情况计算得到答

案.

【详解】{}{}{}

2

2

3201,2,20A x x x B x x mx =-+===++=

“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，故B A

当B =?时：280m m -<∴-< 当{}1B =时：根据韦达定理：112?=不成立； 当{}2B =时：根据韦达定理：222?=不成立.

综上所述：m -<<【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，忽略掉空集的情况是容易发生的错误. 18.二次函数()f x 满足()()()()2,12,01f x f x f f +=-==. （1）求()f x 的解析式；

（2）解关于x 的不等式()()()2

321f x ax a x a R <-+-+∈.

【答案】（1）2

()21f x x x =-++；（2）详见解析。 【解析】 【分析】

（1）设二次函数为2

()f x ax bx c =++，代入数据计算得到答案. （2）化简得到2

(1)(021)a x a x -+-<，讨论a 的取值范围得到答案.

【详解】（1）设二次函数为2

()f x ax bx c =++

()011f c =∴=；()1221f a b c a b =∴++=∴+=； ()()2(2)(0)1420f x f x f f a b +=-∴==∴+=

解得：1,2,1a b c =-== ，2

()21f x x x =-++

（2）()()()2

321f x ax a x a R <-+-+∈即()2

2

12123a x x x a x <-+--+++

化简得到：2

(1)(021)a x a x -+-< 当10a ->即1a >时：211)10(a a x x a -??-+

???<-解得：21

01

a x a --<<-； 当10a -=即1a =时：代入得到0x <； 当10a -<即1a <时： ①当

112a <<时：211)10(a a x x a -?

?-+ ???

<-解得211a x a ->--或0x <； ②当12a =时：得到2

012

0x x <∴≠-； ③当12a <

时：211)10(a a x x a -??-+ ??

?<-解得：211a x a -<-

-或0x >. 综上所述：

()1,a ∈+∞时：21,01a x a -??∈-

?-??

；

1a =时：(),0x ∈-∞；

1,12a ??

∈ ???

时：()21,0,1a x a -??∈-∞?-

+∞ ?-??； 1

2

a =

时：()(),00,x ∈-∞+∞；

1,2a ??∈-∞ ???时：()21,0,1a x a -?

?∈-∞-?+∞ ?-??

【点睛】本题考查了二次函数的解析式，分类讨论解不等式，意在考查学生的分类求解的能力.

19.已知定义域为R 的奇函数()f x ，且0x >时()2

2f x x x

=+

. （1）求0x ≤时()f x 的解析式； （2）求证：()f x 在[

)1,∞+上为增函数；

（3）解关于x 的不等式(

)(

)

264323x

x x

f f +>+?+.

【答案】（1）()20,02,0x f x x x x =??

=?-+

；（2）详见解析；（3）{}0}x x <

【解析】 【

分析】

（1）先计算(0)0f =，再设0x <，0x ->代入函数化简得到答案. （2）设121x x ≤<，计算()()212121122()f x f x x x x x x x ?-==-+-

?

???

判断为正得到证明. （3）得到不等式264323x x x +>+?+，设2x t =，化简得到2230t t +-<计算得到答案. 【详解】（1）已知定义域为R 的奇函数()f x ，则(0)0f =

当0x <时，0x ->则()2

2f x x x =-

-，()()2

2f x f x x x

=--=+- 综上所述：()20,0

2,0x f x x x x =??

=?-+

（2）设121x x ≤<，则()()2

222212*********

22()f x f x x x x x x x x x ??-=-+

-=- ??-?

+ ()2121122x x x x x x =-+-??

??

?

121x x ≤<故210x x ->，212x x +>，

1222x x <，故()21211220x x x x x x ??

> -??

?-+ 即()21()f x f x >函数单调递增. （3）266,43233x

x

x

+>+?+>，

根据（2）知：(

)(

)

264323x

x x

f f +>+?+得到：264323x x x +>+?+ 设2x t =，则2633t t t +>++ 即223031t t t +-<∴-<<，即321x -<< 解得0x <.

不等式的解集为{}0}x x <.

【点睛】本题考查了利用奇函数性质求解析式，函数单调性证明，利用函数单调性解不等

式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

20.已知我国华为公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万只还需另投入16万元.设公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为()R x 万元，且

24006,(040)

()740040000(40)x x R x x x

x -<≤??

=?->??.

(Ⅰ)写出年利润W (万元）关于年产量x (万只）的函数的解析式；

(Ⅱ)当年产量为多少万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大？并求出最大利润.

【答案】(Ⅰ) 2638440(040)

40000

167360(40)x x x W x x x ?-+-<≤?

=?-

-+>??

；（Ⅱ）见解析. 【解析】

【详解】试题分析：（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式； （2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．

试题解析：（1）当040x <≤时，()()2

1640638440W xR x x x x =-+=-+-，

当40x >时，()()40000

1640168360W xR x x x x

=-+=-

-+， 所以2638440,04040000168360,40x x x W x x x ?-+-<≤?

=?--+>?

?

.

（2）①当040x <≤时，()2

6326104W x =--+，所以()max 326104W W ==；

②当40x >时，40000

168360W x x

=-

-+，

由于

40000161600x x +≥=， 当且仅当

40000

16x x

=，即()5040,x =∈+∞时，取等号， 所以W 的最大值为6760，

综合①②可知，当50x =时，W 取得最大值为6760. 21.已知函数()()()1

21

42

,21

x x

x x f x m m R g x +-=-?∈=+.

（1）求函数()f x 在区间)1,?+∞?上的最小值；

（2）若存在不相等的实数,a b 同时满足()()()()0,0f a f b g a g b +=+=，求m 的取值范围.

【答案】（1）2m ≥时：()2min f x m =-；2m <时：()min 44f x m =-；（2）1

,2m ??∈∞ ???

【解析】 【分析】

（1）设2(2)x

t t =≥，化简得到函数2

2y t mt =-，讨论对称轴范围2m ≥和2m <两种情况计算得到答案.

（2）根据()()0g a g b +=化简得到0a b +=，代入函数得到11

4422a a

a a m -+-++=+，设 22(2)a a t t -+=>得到函数1

2t y t

=

-，根据函数的单调性得到取值范围. 【详解】（1）()1

42

x

x f x m +=-?，设2(2)x

t t =≥，2

2y t mt =-，对称轴为t m =

当2m ≥时：222

min 2y m m m =-=-；

当2m <时：min 44y m =-.

综上所述：2m ≥时：()2

min f x m =-；2m <时：()min 44f x m =-

（2）()()0g a g b +=，则()()()()

2121

02121212102121

a b a b a b a b --+=∴-+++-=++

化简得到：210a b a b +=∴+=

()()0f a f b +=即1

11111

4442

42

4402222

a b a a

a

b a b a b a a m m m -+++++-++++=-?-?∴==++

设22

(2)a a

t t -+=>则221

22t t m t t

-==-

易知函数12t y t =

-在()2,+∞单调递增，故211222m >-=即1,2m ??

∈∞ ???

【点睛】本题考查了函数的最值问题，求参数的取值范围，意在考查学生对于函数性质和换元法的灵活运用.

22.已知函数()()()1

2,x

f x

g x a a R x

==

+∈. （1）当1a =时，解不等式()()

4f g x >；

（2）若()1,2x ∈时，()()1f x g x -?>恒成立，求a 的取值范围； （3）关于x 的方程

()()

()1

20f ax a f g x ---=在区间()0,3内恰有一解，求a 的取值范围.

【答案】（1）01x <<；（2）7

2a ≥；（3）{}{}5,019a ??∈-∞+?? ??

?

【解析】 【分析】

（1）将1a =代入，得到不等式112

x

+>，计算得到答案.

（2）根据题意得到12x

a x >-

恒成立，设12()x

h x x

=-，根据函数的单调性得到取值范围. （3）化简得到方程2

210(0)ax x x -+=≠，讨论0a =，1a =，1a <三种情况，计算得到答案.

【详解】（1）当1a =时，()()

1

124x

f g x +=>，即

1112001x x x x

-+>∴>∴<< （2）()()112

12x

x f x g x a a x x -??-?=+>∴>- ???

，设12()x

h x x =- ()1,2x ∈时：2x 单调递增；1x

-单调递增.故1

2()x h x x =-在()1,2x ∈单调递增.

故7

(2)2

a h ≥=

（3）()()()120f ax a f g x ---=即2

11120(2)2a a a x

x a ax a x --+-=∴-+=-- 化简得到：2

210(0)ax x x -+=≠，在区间()0,3内恰有一解

当0a =时，方程有解为1

2

x =，满足条件； 当0a ≠时：

当440a ?=-=，1a =时，方程有唯一解为1x =，满足条件； 当440a ?=->，即1a <时

若3x =不是方程的解，则满足：596109

a a -+<∴< 若3x =是方程的解，即596109a a -+=∴=，解得方程为：123

3,5

x x ==，满足； 综上所述：{}{}5,019

a ?

?∈-∞+?? ??

?

【点睛】本题考查了解不等式，恒成立问题，知解的个数求参数，分类讨论是常用的技巧，漏解是容易发生的错误.