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重庆梁平2019年秋高2020届高三(上)一诊理科数学试题+答案_PDF压缩

2019年秋高三(上)期末测试卷

理科数学

理科数学测试卷共4页。满分150分。考试时间120分钟。注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1．设复数z 满足13i z z +=，则||z =

．

2．已知集合2

{|280}A x Z x x =∈+-<，2

{|}B x x A =∈，则B 中元素个数为

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

3．函数2log ||

()2

x f x -=的图象大致是

4．已知a R ∈，则“12a <

”是“1

>”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的

中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①样本数据落在区间[300500)，的频率为0.45；②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元．其中正确结论的个数为A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

年收入（万元）

频率/组距

0.002

0.00150.0010.0005

200300400500600700800O

y x

y y

O O O B

6．某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名

次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有

A ．36种

B ．54种

C ．58种

D ．72种

7．已知平面非零向量a ，b 满足：(4)(2)a b a b +⊥- ，a 在b 方向上的投影为1||2

b - ，则a 与b 夹角的余弦值为

．3

B ．23

C ．13

D ．16

8．已知非零实数a b ，满足||1a b >+，则下列不等关系不一定成立的是

A ．2

a b >+B ．1

b +>C ．2

4a b

>D ．|

|1a

b b

>+9．孙子定理在世界古代数学史上具有相当高的

地位，它给出了寻找共同余数的整数问题的一般解法．右图是某同学为寻找共同余数为

2的整数n 而设计的程序框图，若执行该程

序框图，则输出的结果为A ．29B ．30C ．31D ．32

10．已知AB 是圆22:1O x y +=的任意一条直径，点P 在直线20(0)x y a a +-=>上运动，若PA PB ?

的最小

值为4，则实数a 的值为A ．2

B ．4

C ．5

D ．6

11．已知双曲线22

22:1(00)x y C a b a b

-=>>，的左焦点为(0)F c -，，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于

A B ，两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(20)P c ，，则双曲线C 的离心率为

．

D ．2

12．关于函数()sin 2|sin |f x x x =?有下述四个结论：

①()f x 的图象关于点(02π

）

对称②()f x 的最大值为

③()f x 在区间()33

ππ

-，上单调递增

④()f x 是周期函数且最小正周期为π

其中所有正确结论的编号是A ．①②

B ．①③

C ．①④

D ．②④

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．甲乙两队正在角逐排球联赛的冠军，在刚刚结束的前三局比赛中，甲队2胜1负暂时领先，若规定先胜三局

者即为本次联赛冠军，已知两队在每局比赛中获胜的概率均为1

，且各局比赛结果相互独立，则甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为

．

14．已知7

0127(1)mx a a x a x a x -=+++???+，若435a =，则实数m =．

15．已知tan 2tan 6

αβαβπ+=

=，，则sin()αβ-=．

16．已知数列{}n a 满足1cos(1)3n n a a n n +=+π+，则数列{}n a 的前40项和为

．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必

须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）

已知函数21

()cos sin 2

f x x x x =

．（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；

（2）在ABC ?中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，M 为BC 边上一点，3BM MC =，若()1f A =，

2b =，3c =，求AM ．

18．（12分）

某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗的种植．工作小组根据市场前景重点考察了A B C ，，三种景观树苗，经引种试验后发现，引种树苗A 的自然成活率为0.8，引种树苗

B C 、的自然成活率均为0.75．

（1）若引种树苗A B C ，，各一棵，求至少自然成活2棵的概率；

（2）已知引种一棵树苗B 需花费100元，引种后没有自然成活的树苗B 中有80%的树苗可经过人工栽培技

术处理，每棵需花费50元，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．引种后自然成活的树苗

B 及经人工栽培技术处理后成活的树苗B 在后期（成活后至长成可出售的小树）的培养过程中每棵均

需再花费200元．记引种一棵树苗B 的总花费为X 元，求随机变量X 的分布列及数学期望．

19．（12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

2n n S a n =+．

（1）证明：数列{23}n a n --是等比数列；（2）设2n n b n a =-，证明：

121112

n b b b +++< ．20．（12分）

已知圆2

:4O x y +=与x 轴的正半轴交于点A ，过圆O 上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，线段PQ 的中点的轨迹记为曲线Γ，设过原点O 且异于两坐标轴的直线与曲线Γ交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一个交点为M ，直线AC 与圆O 的另一个交点为N ，设直线AB ，AC 的斜率分别为12k k ，．

（1）求12k k ?的值；（2）判断

||||

AB AC AM AN +

是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由．21．（12分）

已知函数()e (2)x

f x x =-，()ln

g x x x =-．（1）求函数()()y f x g x =+的最小值；

（2）设函数()()()h x f x ag x =-（0a ≠）

，讨论函数()h x 的零点个数．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2

8cos 6sin 110ρρθρθ---=．

（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα

=+??

=?，

（t 为参数，0πα<≤），点(10)P ，，直线l 交曲线C 于A B

，两点，求||||PA PB +的取值范围．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

已知不等式|2|||1x x m ---≤对任意x R ∈成立，记实数m 的最小值为0m ．（1）求0m ；

（2）已知实数a b c ，，满足：02a b c m ++=，2

a b c ++=

，求c 的最大值．

2019年秋高三(上)期末测试卷

理科数学参考答案

一、选择题1～6AADBDB

7～12DDDCDC

第6题解析：1

33354C C A =.

第7题解析：设两向量夹角为θ，则有2

11cos 22

a b a b b θ=-??=- ，

2222(4)(2)28903a b a b a a b b a b a b +?-=+?-=-=?= ，

所以211

2cos 6b a b a b a b

θ-?===-?? .

第8题解析：2

||12||11a b a b b b >+?>++>+，A 一定成立；1

||1122

b a b b +>++?>≥，B 一定成

立；又2

12||b b +≥，故2

4||4a b b >≥，C 一定成立；令53a b ==，

，即可推得D 不一定成立.第9题解析：依次代值即可.

第10题解析：22()()||||1PA PB PO OA PO OB PO OA OB PO ?=+?+=+?=- ，由题得||OP

，

即点O

5a ==.

第11题解析：设线段AB 的中点坐标为00()x y ，，则有0

00001

3221

2y x c c x y c y x c

?=?+??==?

?=-?-? ，由点差法可得：

002210x y a b -?=，即2213

a b

=，2c a ∴=，2e =.第12题解析：①()sin(2)sin ()f x x x f x π-=-?=-，所以成立.

②因为()sin(2)sin ()f x x x f x -=-?=-，所以该函数为奇函数，

不妨设0x π≤≤，则2

()2sin cos 2(1cos )cos f x x x x x ==-，令cos [11]t x =∈-，，则3

()2()f x t t =-，令为()g t ，则有2

'()26g t t =-，

则():(1)()(1)3333

g t --

↓-↑↓，，，，，

又39

g =

，所以最大值不为3

4.③当(0)3

x π

∈，时，1cos (1)2

t x =∈，，由②知，()g t 在该区间内有增有减，故不单调.④()sin 2|sin |()f x x x f x +π=?-=，故该函数为周期函数，若T <π，则()sin(22)sin()()f x T x T x T f x +=+?+≠，故该函数最小正周期为π.

二、填空题13．

14．1

±15．

16．1260

第14题解析：4

4447()35351a C m m m =-==?=±.

第15题解析：tan 2tan sin cos 2cos sin αβαβαβ=?=，

又11sin()sin cos cos sin 3cos sin cos sin 26

αβαβαβαβαβ+=+==?=则1

sin()sin cos cos sin cos sin 6

αβαβαβαβ-=-==

.第16题解析：研究奇数项有：135733a a a a +=+=， ……，相邻两个奇数项之和为3；

研究偶数项有：246815,39a a a a +=+=，相邻两个偶数项之和构成等差数列；所以前40项的和为109

31015102412602

??+?+

?=.三、解答题17．（12分）

解：（1）1cos 21()2sin(2)2226

x f x x x T -π=

+-=-?=π.………3分令22226263

k x k k x k πππππ

+π<-<+π?-+π<<+π，所以增区间为()()63k k k Z ππ

+π+π∈，；………6分（2）()sin(2)16

f A A A ππ

=-=?=

，………8分22213163[69]441616

AM AB AC AM AB AB AC AC =+?=+?+= ，

所以37

AM =

.………12分

18．（12分）

解：（1）设事件D 为：引种三种树苗，至少自然成活2棵；

则()0.80.750.2520.20.750.750.80.750.750.8625P D =???+??+??=；………5分

（2）X 的可能取值为：100150300350，，， .

………7分

则有：(100)(10.75)0.20.05P X ==-?=，………8分

(150)(10.75)0.80.20.04P X ==-??=，………9分(300)0.75P X ==，………10分

(350)(10.75)0.80.8=0.16P X ==-??，………11分

所以其分布列如下：

X 100150300350P

0.05

0.04

0.75

0.16

()292E X =.

………12分

19．（12分）

解：（1）当2n ≥时，由2112

12221232[2(1)3]2(1)n n n n n n n n S a n a a n a n a n S a n ----?=+?=-+?--=---?=+-?，令1111211n S a a =?=+?=-，令23n n c a n =--，则112360c a =--=-≠，故{}n c 为等比数列；………6分

（2）1

322332323n n n n n n n c c a n b -=?=-??=+-??=?-，………8分

1111211

3(21)3232

n n n b -=

n n -?-

20．（12分）

解：（1）设线段PQ 中点为()D x y ，，则(2)P x y ，，代入圆方程即得D 点轨迹方程为2214

x y +=（0y ≠）

，设00()B x y ，，则00()C x y --，，且

20014

x y +=，

则20200

0122200001142244

4x y y y k k x x x x --=

?===------；………4分（2）分别设直线AB ，AC 为12x m y =+，22x m y =+，且1212

4m m k k =

=-，122

111222

124(4)4044

4B x m y m m y m y y x y m =+??++=?=-?+=+?，………5分122

111222

24(1)4041M x m y m m y m y y x y m =+??++=?=-?+=+?，………6分同理可得：211

22221144164416

C N

m m m y y m m m =-

==+++，，………8分所以22112211116

,44(4)B C M N AB AC y m y m AM y m AN y m ++====

++，………10分所以212

152054(4)4

AB AC m AM AN m ++==+.………12分21．（12分）

解：（1）令1

1()()()()e (1)(1)(1)(e )01x

x f x g x x x x x x

??'=+?=-+-=-+>?>，

所以():(01)(1)x ?↓+∞↑，，，，所以min ()(1)1e x ??==-；………4分

（2）1

()101g x x x

'=-

>?>， ():(01)(1)g x ↓+∞↑，，，，所以()(1)10g x g =>≥.所以e (2)

()0()ln x x h x a s x x x

-=?=

=-，………6分因为2

e (1)(ln 1)

()(ln )x x x x x s x x x ---+'=

-，令22(1)(2)()ln 1()x x k x x x k x x x +-'=--+?=，所以():(02)(2)k x ↓+∞↑，，，，所以()(2)2ln 20k x k =->≥，所以():(01)(1)s x ↓+∞↑，，，，………8分

又因为0()0x s x +

→→，，()x s x →+∞→+∞，

，且(1)e s =-，………9分所以，当e a <-时，()h x 有0个零点；当e a =-或0a >时，()h x 有1个零点；当e 0a -<<时，

()h x 有2个零点.………12分

22．（10分）

解：（1）2

:(4)(3)36C x y -+-=；………3分

（2）将直线参数方程与圆C 方程联立得：2

6(sin cos )180t t αα-+-=，36sin 21080α?=+>，

记其两根为12t t ，，则12126(sin cos )18t t t t αα+=+=-，，………6分

所以21||||||PA PB t t +=-=，………9分

又[0)α∈π，

，sin 2[11]α∈-，

，||||12]PA PB ∴+∈，其中，4απ=

时取到最大值12，3

α=π

时取到最小值.………10分23．

（10分）解：（1）由绝对值不等式知，|2||||(2)()||2|x x m x x m m ------=-≤，当x m =时等号成立，

由题知|2|1m -≤，即13m ≤≤，01m ∴=；………5分

（2）222

12316a b c

a b c +=-???+=-??

，由柯西不等式得2

()(11)()a b a b +++≥，………7分故2232(

)(12)16c c --≥，即(41)(125)0c c --≤，即15

412

c ≤≤，又2223016a b c +=-≥

，44

c -

≤≤，综上，c 的最大值为5

12.……10分