例6、已知关于x 的方程lg(x 2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a 的取值范围。
分析：原方程可化成lg(x 2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x 2+20x=8x-6a-3>0,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x 2+20x 与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯一交点即可。
解：令T 1：y 1= x 2+20x=（x+10）2
-100, T 2：y 2=8x-6a-3,
则如图所示，T 1的图象为一抛物线，T 2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T 1和T 2在x 轴上有唯一交点，则直线必须位于l 1和l 2之间。（包括l 1但不包括l 2)
当直线为l 1时，直线过点（-20，0）此时纵截距
为-6a-3=160,a=6
163
-
; 当直线为l 2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=2
1-∴a 的范围为
[6163
-
，21-）。
三、 正难则反、逆向思维
例7、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个变量：x 、P,并且是给出了p 的范围要求x 的相应范围，直接从x 的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p 看作自变量，x 看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题。
解：原不等式可化为 (x-1)p+x 2-2x+1>0,令 f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p ∈[-2,2]上恒成立，故有：
方法一：10(2)0x f -?或10
(2)0x f ->??->?
∴x<-1或x>3.
方法二：(2)0(2)0f f ->??>?即?????>->+-0
10
3422
x x x 解得：???-<><>1113x x x x 或或
∴x<-1或x>3.
四、 直接推理、顺理成章
例8、已知5
()62
x f x m m =-+的反函数1()f x -的图像过点（5，2），且在区
间23
(,)4+∞内恒有1()0f x -<，求1()f x -。
解：1()f x - 的图像过点（5，2）()f x ∴的图像过点（2，5）
25(2)652f m m ∴=-+=1
2
m ∴=-或2m =
i) 当12m =时119()()24x f x =-112
1919
()log ()()44f x x x -∴=- , >，又在区
间23(
,)4+∞内恒有1()0f x -<1
2
m ∴= ii)
当2m =时()21x f x =+12()log (1)(1)f x x x -∴=- , >又在区间
23
(
,)4
+∞不能满足恒有1()0f x -<2m ∴≠ 综上所述12m =，112
1919
()log ()()44f x x x -=- , >。
例9、已知数列{}n a 、{}n b 中，112324296n n a a a a n -++++=- ，
2||(3log )3n n a b n =-，求使111
6n
i i
m b =->∑恒成立的m 的最大整数值。
解：由112324296n n a a a a n -++++=- 可知： I ）
当1n =时13a =
II ） 当2n ≥时2123124296(1)n n a a a a n --++++=-- 1
6
,22n n a n -∴=-
≥ 综上有 13,1
6,22
n n n a n - =??
=?-≥??既有3,1(1),2n n b n n n =?=?+≥?
12
111(1)3n
n
i i i b i i ==∴=++∑∑=211151
()1361n i i i n =-+=-
++∑ 又1116n i i m b =->∑min 111116(16)3n n
i i i i
m m m b b ==?<+?<+?<∑∑
111
6n
i i
m b =-∴>
∑
恒成立的m 的最大整数值为2。
五、 借助函数性质、巧架解题桥梁
例10、已知函数()log (1),(1)a f x x a =+>，若函数()y g x =图象上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数()f x 的图象。
（1）写出函数()g x 的的解析式及其定义域；
（2）当[0,1)x ∈时，令()()().F x f x g x =+，若总有()10F x m +-≥成立，求实数m
的取值范围。
解：（1）易求得()log (1),(,1)a g x x x =--∈-∞
（2）分析：由条件容易求出对应函数的解析式1()()()log 1a x
F x f x g x x
+=+=-则原问题可转化为
min
[()1]m F x ≤+，
[0,1)x ∈恒成立。而函数
1()()()log 1a
x
F x f x g x x
+=+=-又具有单调性，则可利用单调性求最值。 解：由题意得当[0,1)x ∈时1()()()log 1a x
F x f x g x x +=+=-，(1)a >。设
1201x x ≤<<2121
212121(1)(1)2()()()log
log[1]0
(1)(1)(1)(1)
x x x x F x F x x x x x +--∴-==+>-+-+21()()F x F x ∴>。∴当[0,1)x ∈，(1)a >时函数1()()()log 1a
x
F x f x g x x
+=+=-为增函数；所以当[0,1)x ∈时， ()()().F x f x g x =+，若总有()10F x m +-≥成立
min min [()1]()1(0)1
1m F x F x F ?≤+=+=+=1m ∴≤。
例11、若f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数，求α的值。
解：由题得：f(-x)=f(x)对一切x ∈R 恒成立， ∴sin(-x+α)+cos(-x-α)=sin(x+α)+cos(x-α) 即sin(x+α)+sin(x-α)=cos(x+α)-cos(x-α)
2sinx 〃cos α=-2sinx 〃sin α
∴sinx(sin α+cos α)=0对一切x ∈R 恒成立．．．
， ∴ sin α+cos α=0。
∴α=k 4
π
π-.（k ∈Z)
2 主参换位法
某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。 例4：若对于任意a (]1,1-∈，函数
()()a x a x x f 2442-+-=的
值恒大于0，求x 的取值范围。
分析：此题若把它看成x 的二次函数，由于a, x 都要变，则函数的最小值
很难求出，思路受阻。若视a 为主元，则给解题带来转机。 解： 设 ()()4422+-+-=x x a x a g ，把它看成关于a 的直线，
由题意知，直线恒在横轴下方。 所以
()01≥-g ()01>g
解得： 1例 5： 对于（0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的取值范围。
分析： 一般的思路是求x 的表达式，利用条件求m 的取值范围。但求x 的表达式时，
两边必须除以有关m 的式子，涉及对m 讨论，显得麻烦。 解： 若设()()()()()m x m x m x x f 212122-+-=---=，把它看成是关于x 的直
线，由题意知直线恒在x 的轴的下方。所以 ()00≤f ()03≤f 解得：
52
1
≤≤m 4 数形结合法
例9：若不等式0log 32<-x x a 在??
? ??∈31,0x 内恒成立，求实数a 的取
值范围。
解： 由题意知 ： x x a log 32< 在??
? ??∈31,0x 内恒成立。
在同一坐标系内分别作出2
3x y = 和 x y a l o g =的图象
因为??
? ??∈31,0x 时，x y a log =的图象位于函数2
3x y =的图象上方， 当 a> 1时，显见不成立。 故 0x y a log =的图象必须过点??
?
??31,31
或在这个点的上方，则： 3
131log ≥a ∴ 27
1
≥
a ② 由 ①，② 知 ：
127
1
<≤a ∴ a 的取值范围为??
?
?
??1,271
2、有解问题
2.1有解问题与二次不等式联系
例4、不等式2
20kx k +-<有解，求k 的取值范围。
解：不等式2
20kx k +-<有解
2(1)2k x ?+<有
解22
1k x ?<
+有解
2m a x 22
1k x ??
?<= ?+??，
所以(2)k ∈-∞，
。 2.2有解问题与绝对值不等式联系 例5、对于不等式
21x x a
-++<，存在实数x ，使此不等式成立的实数a 的集合是
M ；对于任意[05]x ∈，
，使此不等式恒成立的实数a 的集合为N ，求集合M N ，． 解：由
21(1)()213(12)21(2).x x f x x x x x x -+<-??
=-++=-??->?
，
，
≤≤
又()a f x >有解
min ()3a f x ?>=，
所以
{3}
M a a =>．
令()g x 21[05]()
x x x a g x =-++∈>，，，恒成立
max ()(5)9a g x g ?>==．
所以
{9}
N a a =>．
2.3有解问题与导数联系
例6、（06年湖北）设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e
x
-3,x ∈R 的一个极值点.
(1)求a 与b 的关系（用a 表示b ），并求f(x)的的单调区间；
（2）设a>0，g(x)=x
e
a ??? ??+4252，若存在S 1，S 2∈[0，4]，使得|f(S 1)-g(S 2
)|<1成立，求a 的取值范围.
解析：（1）x
e a b x a x x
f --+-+-='32])2([)(，由)3(f '=0得b=-2a-3.
故f(x)=(x 2+ax-2a-3)x
e
-3
因为)(x f '=-[x 2+(a-2)x-3a-3] x e -3=-(x-3)(x+a+1) x e -3.
由)(x f '=0得：x 1=3，x 2==-a-1. 由于x=3是f(x)的极值点，故x 1≠x 2，即a≠-4.
当a<-4时，x 1a 上为减函数.
当a>-4时，x 1>x 2，故f(x)在(]1,--∞-a ?上为减函数，在[-a-1，3]上为增函数，在[)+∞,3?
上为减函数.
(2)由题意，存在S 1，S 2∈[0，4]，使得|f(S 1)-g(S 2)|<1成立，即不等式|f(S 1)-g(S 2)|<1在S 1，S 2∈[0，4]上有解.
于是问题转化为|f(S 1)-g(S 2)|min <1，由于两个不同自变量取值的任意性，因此首先要求出f(S 1)和g(S 2)在[0，4]上值域.
因为a>0，则-a-1<0，由（1）知：f(x)在[0，3]递增；在[3，4]递减. 故f(x)在[0，4]上
的值域为[min{f(0),f(4)},f(3)]=[-(2a+3)e 3,a+6]，而g(x)=x e a ??? ?
?+4252在[0，4]上显然为增函数，其值域???
??
???? ??++422425,425e a ?a 因为2
2251(6)()0,42a a a +
-+=-≥故225
64
a a +≥+ |f(S 1)-g(S 2)|min
=2
25(6)4
a a +-+，从而解2
30,01)6(425
2<
?><+-+
a ?a a a 得.
故a 的取值范围为??? ?
?23,0??
。 假若问题变成：“对任意的S 1，S 2∈[0，4]，使得|f(S 1)-g(S 2)|<1都成立，求a 的取值范围.”则可将其转化为|f(S 1)-g(S 2)|max <1。
点评：函数、不等式、导数既是研究的对象，又是决问题的工具. 本题从函数的极值
概念入手，借助导数求函数的单调区间，进而求出函数 闭区间上的值域，再处理不等式有解问题。这里传统知识与现代方法交互作用，交相辉映，对考生灵活运用知识解决问题的能力是一个极好的考查。
3、恒成立与有解的区别
恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团。
（1）不等式f(x)k 在x ∈I 时恒成立?k ?x f ,)(min >?x ∈I. 或f(x)的下界大于或等于k ； （4）不等式f(x)>k 在x ∈I 时有解?k ?x f ,)(max >?x ∈I. 或f(x)的上界大于k ； 解决恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。
例7、已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2+4x ，其中k 为实数。 （1）对任意x ∈[-3，3]，都有f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围； （2）存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；
（3）对任意x 1、x 2∈[-3，3]，都有f （x 1)≤g(x 2)，求k 的取值范围。 解析：（1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x 2-3x 2-12x+k ，问题转化为x ∈[-3，3]时，h(x)≥0恒成立，故h min (x)≥0.令h′ (x)=6x 2-6x-12=0，得x= -1或2。
由h(-1)=7+k ，h(2)=-20+k ，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故h min (x)=-45+k ，由k-45≥0，得k≥45. （2）据题意：存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)≥0在x ∈[-3，3]有解，故h max (x)≥0，由（1）知h max （x ）=k+7，于是得k≥-7。
（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x 1，x 2∈[-3，3]，都有f （x 1)≤g(x 2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x 1，x 2的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：
]3,3[,)()(min max ??x ?x g x f -∈≤，由g′(x)=6x 2+10x+4=0，得x=-32
或-1，易得
21)3()(min -=-=g x g ，又f(x)=8(x+1)2-8-k ，]3,3[?
x -∈. 故.120)3()(max k f x f -==令
120-k≤-21，得k≥141。
点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。
参考文献：
1、张世林郭东风. 与时俱进的不等式恒成立与有解问题[J]. -数学爱好者(高考版) .山
西省期刊协会
2、代学奎. 区别“有解”与“恒成立”[EB]数学中国。
学而思高中数学恒成立与有解问题
【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是 _ ． 【例2】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例3】 设函数2()1f x x =-，对任意23x ??∈+∞????，，24()(1)4()x f m f x f x f m m ?? --+ ??? ≤恒 成立，则实数m 的取值范围是 ． 典例分析 恒成立与有解问题
【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ） A ．0a > B ．1 8 a >- C ．18a > D ．0a < 【例5】 已知不等式 ()11112 log 112 2123 a a n n n +++ >-+++对于一切大于1的自然数n 都成立，试求实数a 的取值范围. 【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______． 【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．4a <- C ．40a -<< D ．40a -<≤
【例8】 若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范围． 【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ??? ，成立，则a 的最小值为（ ） A ．0 B ．2- C ．5 2 - D ．3- 【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．(] [)14-∞-+∞，， B ．(] [)25-∞-+∞，， C ．[12]， D ．(][)12-∞∞， ， 【例11】 对任意[11]a ∈-，， 函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围为 ．
有解无解恒成立问题的处理
有解无解恒成立与双变量问题的处理 宜章一中 吴 斌 “有解无解恒成立与双变量问题”是高中阶段的非常常见的一类函数问题，如何求解困扰了很多学生，那么遇到这类问题的常规思路与方法是什么呢？现例说几种问题的常规解法： 一．“有解”问题： 1° ()k x f ≤有解()k x f ≤?min ； 2° ()k x f ≥有解()k x f ≥?max ； 3° ()k x f =有解()x f k ∈?的值域； 例1、①已知函数()12+-=ax x x f 在]2,1[∈x 有零点，求实数a 的取值范围； ②已知不等式012≥+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围； ③已知不等式012≤+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围． 分析：①()x x a x f 10+=?=，而]25,2[1∈+x x ，则]2 5,2[∈a ； ②x x a 1+≤有解25)1(max =+≤?x x a ；即：2 5≤a ； ③x x a 1+≥有解2)1(min =+≥?x x a ；即：2≥a ． 二．“无解”问题： 1° ()k x f ≤无解()k x f >?min ； 2° ()k x f ≥无解()k x f ?x x a ；即：2 5>a ． 三．“恒成立”问题： ()k x f ≤恒成立()k x f ≤?max ；()k x f ≥恒成立()k x f ≥?min ； 例3、函数()ax e x x f x +?=在区间]2,1[上单调递增，求实数a 的取值范围． 分析：即()0'≥+?+=a e x e x f x x 在]2,1[∈x 恒成立；
不等式有解和恒成立问题
不等式有解和恒成立问题 Prepared on 24 November 2020
不等式有解和恒成立问题 知识点的罗列，文字不宜太多，简洁明了最好） ? 知识点一：不等式恒成立问题 ? 知识点二：不等式有解问题 分析该知识点在中高考中的体现，包含但不仅限于：考察分值、考察题型（单选、填空、解答题）、考察方式：考场难度、和哪些知识点在一起考察，参考中高考真题) 含参不等式的恒成立与有解问题是高考与会考考察不等式的一个重点内容，也是常考的内容，难度中等偏上，考察综合性较强，该知识点在填空选择解答题里都有涉及，经常和函数的最值问题在一起考察，需要同学对典型函数的值域求法有熟悉的掌握。 注意题目的答案，不要展示给学生看，这里答案和解析是帮助老师自己分析的) 一、不等式有解问题 例题：当m 为何值时，2211223 x mx x x +-<-+对任意的x ∈R 都成立 解法1：二次函数法： 移项、通分得： 又22230x x -+>恒成立，故知：2(2)40x m x -++>恒成立。 所以：2(2)160m ?=+-<，得到62m -<< 解法2：分离参数法： 注意到2(2)40x m x -++>恒成立，从而有：224mx x x <-+恒成立，那么： 注意到，在上式中我们用到了这样一个性质： 总结：解决恒成立问题的方法:二次函数法和分离参数法 变式练习：（初三或者高三学生必须选取学生错题或者学生所在地区的中高考真题或者当地的统考题目） 【试题来源】（上海2016杨浦二模卷） 【题目】设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，若b x g a x g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>?-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】：因为b x g a x g x f +++= )()1()(是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a . )1 321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增.
数学中的恒成立与有解问题
数学中的恒成立与有解问题 一、恒成立问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 常用方法 1、分离变量法； 2、数形结合法； 3、利用函数的性质； 4、变更主元等； 1、由二次函数的性质求参数的取值范围 例题1.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立,求实数a 的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解 解析：当0a =时,不等式220x +>解集不为R ,故0a =不满足题意; 当0a ≠时,要使原不等式解集为R ,只需202420 a a >??-? 综上,所求实数a 的取值范围为1 (,)2 +∞ 2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围 例题2：已知二次函数满足(0)1f =，而且(1)()2f x f x x +-=，请解决下列问题 （1） 求二次函数的解析式。 （2） 若()2f x x m >+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。 解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围. 解析：(1)设2 ()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =,故2 ()1f x ax bx =++. ∵(1)()2f x f x x +-= ∴2 2 (1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++= 即22ax a b x ++=,所以22,0a a b =+=,解得1,1a b ==- ∴2 ()1f x x x =-+ (2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立,即231m x x <-+在[1,1]-恒成立. 令2235 ()31()2 4 g x x x x =-+=-- ,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最小值为(1)1g =-.所以m 的取值范围是(,1)-∞-. 规律总结：()m f x ≤对一切x R ∈恒成立,则min [()]m f x ≤;()m f x ≥对一切x R ∈恒成立,则max [()]m f x ≥；注 意参数的端点值能否取到需检验。 二、有解问题 3、方程的有解问题 例题3：题干与例题2相同 （1） 同例题2. （2）若()2f x x m =+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。 解题思路：先分离系数,再由二次函数值域确定取值范围. 解析：(1)解法同例题2 (2)由(1)知2 12x x x m -+=+在[1,1]-恒成立,即2 31m x x =-+在[1,1]-恒成立. 令2235 ()31()24 g x x x x =-+=-- ,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最大值为 (1)5g -=，最小值为(1)1g =-，所以m 的取值范围是[]1,5-。 规律总结：若方程()m f x =在某个区间上有解只需求出()f x 在区间上的值域A 使m A ∈。 4、不等式的有解问题 例题4题干与例题2相同 （1） 同例题2.
函数恒成立存在性与有解问题
函数恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象 上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 例题讲解： 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，求实数b 的取值范围． 3、已知两函数2 )(x x f =，m x g x -?? ? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实 数m 的取值范围为 题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)
恒成立与有解问题
【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的 取值范围是 _ ． 【例2】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例3】 设 函数 2()1 f x x =-，对任意 23x ??∈+∞???? ，， 典例分析 恒成立与有解问题
24()(1)4()x f m f x f x f m m ?? --+ ??? ≤恒成立，则实数 m 的取值范围 是 ． 【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ） A ．0a > B ．18 a >- C ．18 a > D ．0a < 【例5】 已知不等式 ()11112 log 112 2123 a a n n n +++ >-+++对于一切大于1的自然数n 都成立，试求实数a 的取值范围.
【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围 是______． 【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．4a <- C ．40a -<< D ．40a -<≤
【例8】 若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范 围． 【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ??? ，成立，则a 的最小值为（ ） A ．0 B ．2- C ． 5 2 - D ．3- 【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值 范围为（ ） A ．(][)14-∞-+∞，， B ．(][)25-∞-+∞，， C ．[12]， D ．(][)12-∞∞， ， 【例11】 对任意[11]a ∈-， ，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围为 ．
恒成立问题与有解问题的区别
恒成立与有解 1恒成立问题与一次函数联系 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 ⅰ）???>>0)(0m f a 或ⅱ）???><0)(0n f a 亦可合并定成???>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有? ? ?<<0)(0 )(n f m f 例1、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。 分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。 略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有： ???>>-)2(0)2(f f 即????? >->+-0103422 x x x 解得：???-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 2恒成立问题与二次函数联系 若二次函数y=ax 2 +bx+c=0(a ≠0)大于0恒成立，则有? ? ?00a ，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。 例2、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。 分析：题目中要证明f(x)≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞)时恒大于0的问题。 解：设F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a. ⅰ)当?=4（a-1)(a+2)<0时，即-2高中数学不等式恒成立与有解问题
高中数学不等式恒成立与有解问题 不等式恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容. 它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，随着中学数学引进导数，它为我们更广泛、更深入地研究函数、不等式提供了强有力的工具. 在近几年的高考试题中，涉及不等式恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。 其中，特别是一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立与有解问题，将新增内容与传统知识有机融合，用初等方法难以处理，而利用导数来解，思路明确，过程简捷流畅，淡化繁难的技巧，它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法，而且还考查极限、导数等新增内容的掌握和灵活运用. 它常与思想方法紧密结合，体现能力立意的原则，带有时代特征，突出了高考试题与时俱进的改革方向. 因此，越来越受到高考命题者的青睐. 下面通过一些典型实例作一剖析. 1．不等式恒成立与有解的区别 不等式恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团. （1）不等式f(x)k 在x ∈I 时恒成立? k ?x f ,)(min >?x ∈I. 或f(x)的下界大于或等于k ； （4）不等式f(x)>k 在x ∈I 时有解? k ?x f ,)(max >?x ∈I. 或f(x)的上界大于k ； 解决不等式恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等. 例1 已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2+4x ，其中k 为实数. （1）对任意x ∈[-3，3]，都有f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围； （2）存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围； （3）对任意x 1x 2∈[-3，3]，都有f （x 1)≤g(x 2)，求k 的取值范围. 解析 （1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x 2-3x 2-12x+k ，问题转化为x ∈[-3，3]时，h(x)≥0恒成立，故h min (x)≥0.令h′ (x)=6x 2-6x-12=0，得x= -1或2. 由h(-1)=7+k ，h(2)=-20+k ，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故h min (x)=-45+k ，由k-45≥0，得k≥45. （2）据题意：存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)≥0在x ∈[-3，3]有解，故h max (x)≥0，由（1）知h max （x ）=k+7，于是得k≥-7. （3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x 1x 2∈[-3，3]，都有f （x 1)≤g(x 2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x 1，x 2的取值在 [-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：
关于函数恒成立问题的解题
恒成立问题 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． C 、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略 1、一次函数型 若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷． 给定一次函数() (0)y f x ax b a ==+≠，若()y f x =在[, ]m n 恒有()0f x >，则等价于：()0()0f m f n >??>?；同理，若在[, ]m n 恒有()0f x <，则等价于：()0()0f m f n +恒成立的x 的取值围． 解：原不等式转化为：2(1)210x a x x -+-+>在2a ≤时恒成立， 设2()(1)21f a x a x x =-+-+，则()f a 在[2, 2]-上恒大于0， 故有：(2)0(2)0f f ->??>?即2243010 x x x ?-+>??->??，解得：3111x x x x ><-?或或； ∴1x <-或3x >，即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)． 2、二次函数型 例4．若函数()f x =R ，数a 的取值围． 解：由题意可知，当x R ∈时，222(1)(1)01 a x a x a -+-+≥+恒成立， ①当210a -=且10a +≠时，1a =；此时，222(1)(1)101a x a x a -+-+ =≥+，适合；
恒成立和有解
恒成立和有解 一 复习上次课内容： 1. 有界二次函数的最值的求解： 2.函数x a x x f +=)(的性质。 二 梳理知识 恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团。 （1）不等式f(x)k 在x ∈I 时恒成立? k ?x f ,)(min >?x ∈I. 或f(x)的下界大于或等于k ； （4）不等式f(x)>k 在x ∈I 时有解? k ?x f ,)(max >?x ∈I. 或f(x)的上界大于k ； 三 典型例题 例1. 已知对于任意的a ∈[-1,1]，函数f (x )=ax 2 +(2a -4)x +3-a >0 恒成立，求x 的取值范围. 例2.已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 例3.已知偶函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，若)3()1(->+x f ax f 在]2,1[∈x 上恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
例4.当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)22p+x 恒成立的x 的取值范围。 2.若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。 3.对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2 >-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。
不等式有解和恒成立问题
不等式有解和恒成立问题 知识点的罗列，文字不宜太多，简洁明了最好） ? 知识点一：不等式恒成立问题 ? 知识点二：不等式有解问题 分析该知识点在中高考中的体现，包含但不仅限于：考察分值、考察题型（单选、填空、解答题）、考察方式：考场难度、和哪些知识点在一起考察，参考中高考真题) 含参不等式的恒成立与有解问题是高考与会考考察不等式的一个重点内容，也是常考的内容，难度中等偏上，考察综合性较强，该知识点在填空选择解答题里都有涉及，经常和函数的最值问题在一起考察，需要同学对典型函数的值域求法有熟悉的掌握。 注意题目的答案，不要展示给学生看，这里答案和解析是帮助老师自己分析的) 一、不等式有解问题 例题：当m 为何值时，2211223 x mx x x +-<-+对任意的x ∈R 都成立？ 解法1：二次函数法： 移项、通分得： 22(2)40223 x m x x x -++>-+ 又22230x x -+>恒成立，故知：2(2)40x m x -++>恒成立。 所以：2(2)160m ?=+-<，得到62m -<< 解法2：分离参数法： 注意到2(2)40x m x -++>恒成立，从而有：224mx x x <-+恒成立，那么： 0044min 24222,062442,0max 2426x x m x m x x x x m m x x m x x x >????????-<+-<>+---=-???????? 注意到，在上式中我们用到了这样一个性质：
()() ()()max ()min ()x A x A m f x m f x x A m f x m f x ∈∈><∈??><对于任意成立R 总结：解决恒成立问题的方法:二次函数法和分离参数法 变式练习：（初三或者高三学生必须选取学生错题或者学生所在地区的中高考真题或者当地的统考题目） 【试题来源】（上海2016杨浦二模卷） 【题目】设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，若b x g a x g x f +++=)()1()(是实数集上的奇函数，且0))(2()1)((>?-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】：因为b x g a x g x f +++= )()1()(是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a . )1 321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>?-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ?-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-?>-x g k f x h f ， 又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-?>-x g k x h 即23132-?>-x x k 对任意的R x ∈都成立， 即x x k 313+ <对任意的R x ∈都成立，2数学中的恒成立与有解问题
数学中的恒成立与有解 问题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
数学中的恒成立与有解问题 一、恒成立问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 常用方法 1、分离变量法； 2、数形结合法； 3、利用函数的性质； 4、变更主元等； 1、由二次函数的性质求参数的取值范围 例题1.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立,求实数a 的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解 解析：当0a =时,不等式220x +>解集不为R ,故0a =不满足题意; 当0a ≠时,要使原不等式解集为R ,只需202420 a a >??-? 综上,所求实数a 的取值范围为1 (,)2 +∞ 2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围 例题2：已知二次函数满足(0)1f =，而且(1)()2f x f x x +-=，请解决下列问题 （1） 求二次函数的解析式。 （2） 若()2f x x m >+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。 解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围. 解析：(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =,故2()1f x ax bx =++. ∵(1)()2f x f x x +-= ∴22(1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++= 即22ax a b x ++=,所以22,0a a b =+=,解得1,1a b ==- ∴2()1f x x x =-+ (2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立,即231m x x <-+在[1,1]-恒成立. 令2235 ()31()24 g x x x x =-+=--,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最小值 为(1)1g =-.所以m 的取值范围是(,1)-∞-. 规律总结：()m f x ≤对一切x R ∈恒成立,则min [()]m f x ≤;()m f x ≥对一切x R ∈恒成立,则 max [()]m f x ≥；注意参数的端点值能否取到需检验。 二、有解问题 3、方程的有解问题 例题3：题干与例题2相同 （1） 同例题2. （2）若()2f x x m =+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。 解题思路：先分离系数,再由二次函数值域确定取值范围. 解析：(1)解法同例题2 (2)由(1)知212x x x m -+=+在[1,1]-恒成立,即231m x x =-+在[1,1]-恒成立. 令2235 ()31()24 g x x x x =-+=--,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最大值 为(1)5g -=，最小值为(1)1g =-，所以m 的取值范围是[]1,5-。
恒成立问题及有解问题的区别.doc
恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活 跃的知识点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在 同一套试题中甚至有几道这方面的题目。本文就恒成立与有解问题做一比较。 1、恒成立问题 恒成立问题与一次函数联系 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a 上述结论等价于 ≠ 0), 若y=f(x) 在 [m,n] 内恒有f(x)>0 ，则根据函数的图象（直线）可得 a 0 a 0 f (m) 0 ⅰ） f (m) 0 或ⅱ） f (n) 0 亦可合并定成 f (n) 0 f (m) 0 同理，若在 [m,n] 内恒有 f(x)<0 ，则有 f (n) 0 例 1、对于满足 |p| 2 的所有实数 p, 求使不等式 x2+px+1>2p+x 恒成立的 x 的取值范围。 分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 P, 关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将 p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2 ， 2] 内关于 p 的一次函数大于0 恒成立的问题。 略解：不等式即 (x-1)p+x 2-2x+1>0, 设 f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1, 则 f(p) 在 [-2,2] 上恒大于 0，故有： f ( 2) 0 x2 4x 3 0 x 或 x 1 3 f (2) x 2 1 0 x 或 x 1 即解得： 1 ∴x<-1 或 x>3. 恒成立问题与二次函数联系 a 0 2 恒成立，则有0 ，若是二次函数在指定区间上的恒成立 若二次函数 y=ax +bx+c=0(a ≠ 0) 大于 0 问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。 例 2、设 f(x)=x 2-2ax+2, 当 x [-1,+ ) 时，都有 f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围。 分析：题目中要证明f(x) a 恒成立，若把 a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+) 时恒大于 0 的问题。 解：设 F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a. ⅰ ) 当=4（ a-1)(a+2)<0 时，即 -2数学中的恒成立与有解问题
数学中的恒成立与有解问题 求二次函数的解析式。 若f(x) 2x m 在区间［1,1］上恒成立，求m 的取值范围 解题思路：先分离系数，再由二次函数最值确定取值范围 . 2 解析：⑴设f (x) ax bx c(a 0) .由 f (0) 1得c 2 1,故 f(x) ax bx 1 ??? f (x 1) f (x) 2x a(x 1)2 b(x 1) 1 (ax 2 bx 1) 2x 即2ax a b 2x ,所以 2a 2,a b 0,解得a 1,b 1 二 f(x) x x 1 5 ,则g(x)在［1,1］上单调递减.所以g(x)在［1,1］上的最小值为g(1) 4 所以m 的取值范围是(，1). 规律总结：m f(x)对一切x R 恒成立，则m ［f(x)］min ;m f (x)对一切x R 恒成立，则m ［f (x)］max ；注 意参 数的端点值能否取到需检验。 二、有解问题 3、方程的有解问题 例题3:题干与例题 2相同 同例题2. (2)若f(x) 2x m 在区间［1,1］上恒成立，求m 的取值范围 、恒成立问题 若不等式 f x A 在区间 D 上恒成立 ，则等价于在区间 D 上 f x min A 若不等式 f x B 在区间 D 上恒成立 ，则等价于在区间 D 上 f x max B 常用方法 1、分离变量法； 2、数形结合法； 3、 利用函数的性质； 4、变更主元等； 1、由二次函数的性质求参数的取值范围 2 例题1.若关于X 的不等式ax 2x 2 0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解 解析：当a 0时,不等式2x 2 0解集不为 0不满足题意； a 当a 0时,要使原不等式解集为 R ,只需 … 22 2a ，解得a - 0 2 1 综上，所求实数a 的取值范围为(一，) 2 2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围 例题2 :已知二次函数满足 f (0) 1，而且f (x 1) f(x) 2x ，请解决下列问题 2 ⑵由⑴知x x 1 2x m 在［1,1］恒成立，即m 2 x 3x 1在［1,1］恒成立. 令 g(x) x 2 3x 1 (x 3)2 2
山东专用2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时作业16不等式恒成立与有解问题含解析
课时作业16 不等式恒成立与有解问题 一、选择题 1．已知函数f (x )＝x 3－2e x 2＋mx －ln x ，若f (x )>x 恒成立，则实数m 的取值范围是( A ) A ．(e 2＋1 e ＋1，＋∞) B ．(0，e 2＋1 e ＋1] C ．(－∞，e 2＋1 e ＋1] D ．(－∞，e 2＋1 e ] 解析：解法1：由f (x )>x 恒成立，得x 3－2e x 2＋mx －ln x >x 恒成立，得x 3－2e x 2＋(m －1)x －ln x >0恒成立，因为x >0，所以两边同时除以x ，得x 2－2e x ＋(m －1)－ln x x >0，则m －1> ln x x －x 2＋2e x 恒成立．令g (x )＝ln x x －x 2 ＋2e x ，则g ′(x )＝1－ln x x 2－2x ＋2e ，当00， 2e －2x >0，所以g ′(x )>0；当x >e 时，1－ln x x 2<0,2e －2x <0，所以g ′(x )<0.所以当x ＝e 时， g (x )max ＝1e ＋e 2，则m －1>1e ＋e 2，所以m >e 2＋1 e ＋1，故选A ． 解法2：由f (x )>x 恒成立，转化为m －1>ln x x －x 2＋2e x 恒成立，则m －1>(ln x x －x 2＋2e x )max ， m 的取值可以趋于＋∞，观察4个选项，发现只有选项A 符合，故选A ． 2．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R .若不等式f (x )≥x 对所有的b ∈(－∞，0]，x ∈(e ，e 2]都成立，则a 的取值范围是( B ) A ．[e ，＋∞) B ．[e 2 2，＋∞) C ．[e 22 ，e 2 ) D ．[e 2，＋∞) 解析：f (x )≥x 对所有的b ∈(－∞，0]，x ∈(e ，e 2]都成立，即a ln x －bx 2≥x ，a ln x －x ≥bx 2 对所有的b ∈(－∞，0]，x ∈(e ，e 2]都成立，因为b ∈(－∞，0]，x ∈(e ，e 2]，所以bx 2的最大值为0，所以a ln x －x ≥0在x ∈(e ，e 2]时恒成立，所以a ≥x ln x 在x ∈(e ，e 2]时恒成立，令g (x )＝x ln x ，x ∈(e ，e 2]，则 g ′(x )＝ln x －1ln 2x >0恒成立，所以g (x )＝x ln x 单调递增，所以当x ＝e 2时，g (x )取 得最大值e 22，所以a ≥e 2 2 ，故选B ． 二、解答题 3．已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)． (1)求函数f (x )的极小值；
函数中存在与恒成立问题
函数中存在与恒成立问题 一、考情分析 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选. 二、经验分享 (1) 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ,（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00>?>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 (3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域． (4) 利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（ D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤: ①将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； ②求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； ③解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围. (5) 对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围. (6) 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.
高中数学恒成立问题与有解问题的区别
恒成立问题与有解问题的区别 山东沂源二中 石玉台（256100） 恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。本文就恒成立与有解问题做一比较。 1、恒成立问题 1.1恒成立问题与一次函数联系 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 ⅰ）???>>0)(0m f a 或ⅱ）???><0)(0n f a 亦可合并定成???>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有? ? ?<<0)(0 )(n f m f 例1、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。 分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。 略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有： ???>>-)2(0)2(f f 即????? >->+-0103422 x x x 解得：???-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 1.2恒成立问题与二次函数联系 若二次函数y=ax 2 +bx+c=0(a ≠0)大于0恒成立，则有? ? ?00a ，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。 例2、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。 分析：题目中要证明f(x)≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞)时恒大于0的问题。 解：设F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a. ⅰ)当?=4（a-1)(a+2)<0时，即-2
