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排列组合问题经典题型

排列组合问题经典题型与通用方法

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（）

A 、60种

B 、48种

C 、36种

D 、24种

2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）

A 、1440种

B 、3600种

C 、4820种

D 、4800种

例3.已知集合{1,2,3,,19,20}A = ，集合1234{,,,}B a a a a =，且B A ?，若||1(,1,2,3,4)i j a a i j -≠

=，

则满足条件的集合B 有多少个？

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

例4.（1）A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（）

A 、24种

B 、60种

C 、90种

D 、120种

（2）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）

A 、210种

B 、300种

C 、464种

D 、600种

4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例5.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）

A 、6种

B 、9种

C 、11种

D 、23种

5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

例6.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，

不同的选法种数是（）

A 、1260种

B 、2025种

C 、2520种

D 、5040种

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）

A 、4

4C C C

种

B 、44412843

C C C 种 C 、4431283

C C A 种

D 、444

12843

C C C A 种

6.全员分配问题分组法:

例7.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）

A 、480种

B 、240种

C 、120种

D 、96种

7.名额分配问题隔板法:

例8：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

例9.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

8.限制条件的分配问题分类法:

例10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是

A．152 B. 126 C. 90 D. 54

9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。例11 （1）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

（2）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？例12. 电子表10点20分08秒时，显示的数字是10:20:08，那么，从8点到10点内，电子表6个数码均不相同的情况有多少种?

10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式

?=+-?

()()()()

n A B n A n B n A B

例13.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

例14.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

例15.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）

A、36种

B、120种

C、720种

D、1440种

（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

例16.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）A、140种B、80种C、70种D、35种

14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 例17.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要从中选4人进行混合双打训练，有多少种不同的选法？

15.几何问题:

例18.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）

A、70种

B、64种

C、58种

D、52种

（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）

A、150种

B、147种

C、144种

D、141种

（3）记正方体的各条棱的中点构成的集合为M，则过且仅过集合M的三个点的平面有多少个？

（4）正方体8个顶点可连成多少对异面直线？

16.圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分，下列n 个普通排列：

12323411,,,;,,,,,;,,,n n n n a a a a a a a a a a a - 在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n

个元素的圆排列数有!n n

种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的1n -元素全排列.

例19.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有n

m 种方法. 例20.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:

例21. 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据

需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法有（） A ．5种

B ．6种

C ．7种

D ．8种

例22．从1到100的一百个自然数中，每次取出两个数，使其和大于100，这样的取法共有多少种？

20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例23.（1）30030能被多少个不同偶数整除？

（2）设12,,,n a a a 是由1,2,,n 的一个排列，把排在i a 的左边且比i a 小的数的个数称为i a 的顺序数

(1,2,,)i n = 。如在排列6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0. 则在由1,2,,8 这

八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2、7的顺序数为3、5的顺序数为3的不同排列的种数为多少？

21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.

例24.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到B 的最短路径有多少种？

22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题（贺卡问题，信封问题）记住公式即可

瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用A 、B 、C……表示写着n 位友人名字的信封，a 、b 、c……表示n 份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把a 错装进B 里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：

（1）b 装入A 里，这时每种错装的其余部分都与A 、B 、a 、b 无关，应有f(n-2)种错装法。

（2）b 装入A 、B 之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a 之外的）n －1个信纸b 、c……装入（除B 以外的）n －1个信封A 、C……，显然这时装错的方法有f(n-1)种。

总之在a 装入B 的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a 装入C ，装入D……的n －2种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此得到一个递推公式： f(n)=(n-1) ?[f(n-1)+f(n-2)]，分别带入n=2、3、4等可推得结果。也可用迭代法推导出一般公式： 1111()![1(1)]1!2!3!!

n f n n n =?-

+-+??????+- 例25.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要

求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

例26、5位同学原来坐成一排，现让他们重新坐，则至多有两位同学坐在其原来的位置的不同的坐法是多

少？

23.多人传球问题：（构造递推关系）例27、12,,,n a a a （3n ≥）n 个人传球，第一次由1a 开始传球，可传给其他任何一个人，第二次由拿

球者再传给其他任何一个人，如此继续，则第k 次球仍回到1a 的手中的传球方法种数是多少？

24.上台阶问题：

例28、10级台阶，某人可一步跨一级，也可跨两级，也可跨三级。（1）他6步就可上完台阶的方法数是多少？（2）他上完台阶的方法总数是多少？

25.方程的正整数解的个数问题：（隔板法）

例29.方程12n x x x k +++= （,*k n N ∈，k n ≥）的正整数解有多少个？有多少非负整数解个？例30. 将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中。（1）若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？（2）若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？

（3）若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？

26.配对（配凑）问题：

例31. 5双相异的鞋共10只，现随机地取出6只，恰好能配成2双鞋的取法是多少？

例32. 50名选手参加乒乓球淘汰赛比赛,需要打多少场才能产生冠军? 淘汰赛比赛规则是:要淘汰1名选手必

须进行1场比赛;反之,每进行1场比赛则淘汰1名选手。

例33. 有11名翻译人员，其中5名是英语翻译人员，4名是日语翻译人员，另2人英、日语均精通。现从

中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，则有多少种不同的选派方式？

27.染色问题：

例34. 把圆分成10个不相等的扇形,并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色,但不允许相邻的扇形有相同的

颜色,问共有多少种染色法?

例35.在如图所示的六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，

要求相邻空格不同色，请问一共有多少种涂法？

例36. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现

要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有多少种？（变式：若要栽种5种颜色的花？）

1 2 3 4 5 6

排列组合问题经典题型答案

1.解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4

424A =种，答案：D . 2.解析：除甲乙外，其余5个排列数为5

5A 种，再用甲乙去插6个空位有2

6A 种，不同的排法种数是

52563600A A =种，选B .

3. 易知1234,,,a a a a 互不相等且不相邻，则有4

172380C =。

4.解析：（1）B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即

51602

A =种，选

B . （2）按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有5

5A 个，11311311313

43333323333

,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B （

651()3002

A A -=种） 5.解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选

B . 6.解析：（1）先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外

的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .

（2）答案：A . 7.（1）2

4336C A =

（2）2

454240C A =，答案：B .

8.解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为

6984C =种.

9.解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯3

5C 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.

说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决. 10.

11.解析：（1）解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A = 共有14个元素,不能被7整除的

数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A = 共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有2

14C ，

从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有211

1414861295C C C +=种. （2）解析：将{}1,2,3,100I = 分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A = ；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B = ，能被4除余2的数集{}2,6,,98C = ，能被4除余3的数集

{}3,7,11,99D = ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个

数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有

2112252525251225C C C C ++=种.

12. 解：（1）08：a b ：c d ,其中a 、c 位可填1,2，3,4,5；b 、d 位可填1,2,3,4,5,6,7,9. （2）09：a b ：c d ,其中a 、c 位可填1,2，3,4,5；b 、d 位可填1,2,3,4,5,6,7,8. 先填a 、c ，再填b 、d ，共2

5621200A A =

13.解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

()()()()n I n A n B n A B --+?43326554252A A A A =--+=种.

14.解析：老师在中间三个位置上选一个有13A 种，4名同学在其余4个位置上有4

4A 种方法；所以共有

143472A A =种。.

15.解析：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共6

6720A =种，选C .

（2）解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有2

4A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有1

4A 种，其余5个元素任排5个位置上有5

5A 种，故共有1

4455760A A A =种排法. 16.解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有3

94570C C C --=种,选.C

解析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有2

545470C C C C +=台,选C .

17.解析：（1）先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有2

4C 种，再排：在四个盒中每次排3个有3

4A 种，故共有2

44144C A =种.

（2）先取男女运动员各2名，有2

54C C 种，这四名运动员混和双打练习有2

2A 中排法，故共有2

542120C C A =种.

18.解析：（1）正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成4

8C 四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有4

81258C -=个.

（2）解析：10个点中任取4个点共有4

10C 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为4

6C ，四个面共有464C 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是4

106436141C C ---=种.

（3）56个。814622656+??+??=。

①一个面内取GH 两点，另一个点取F 时，即8个角；

②一个面内取GH 两点，另一个点取K 时，226??=24个；

③一个面内取HI 两点，那另一个点只能取A 或C ，226??=24个

（4）因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有4

81258C -=个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.

19.解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有44A 种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式5

242768?=种不同站法.说明：从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m n

A m

种不同排法.

20.解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有6

7种不同方案.

21. 解析：C 。设购买软件x 片、磁盘y 盒，则3,26070500,x y x y x y N ≥≥??

+≤??∈?

，所以3,2,3,4x y ==；4x =，2,3,4y =；

5,2x y ==。故共7种。

22. 解析：2(1249)502500++++= (包括两个数不同和相同的情形！)

23.解析：（1）先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为

01234555555532C C C C C C +++++=个（或51232?=）.

（2）分析知7必排在8之后，5必排在7之后. 且8的前面只有2个数，8、7之间只有一个小于7的数，6或在7之前，或在7、5之间，或在5之后。

第一种情况：6在7之前，形如：##8#7#5# ，14

3472C A =；第2种情况： 6在7、5之间，形如：##8#765# ，4

424A =；第3种情况：6在5之后，形如：##8#75## ，14

2448C A =

所以共144种。 24.解析：（1）因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有4

10C 个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有4

10210C =个.

（2）解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A 到B 最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有4

735C =种.

25.解析：从5个球中取出2个与盒子对号有2

5C 种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为2

5220C =种.

26.解：错排问题，分类解决：0

555(5)(4)(3)109C f C f C f ++=

27. 解析：设第k 次球仍回到1a 的手中的传球方法种数是k a ，则120,1a a n ==-，且1

1(1)k k k a n a --=-

-，

所以1

111(1)[(1)]k k k k a n a n n n

---?-=--?-(1)(1)(1)k k k n n a n -+-?-?=（*k N ∈）。

28. 解析：（1）设跨1级、2级、3级的步数分别为,,x y z ，则62310x y z x y z ++=??++=?，解得2,3,44,2,00,1,2

x y z =??

=??=?

，故

方法数为2

663615601590C C C C ++=++= （2）设上完

级台阶的方法数为()f n ，则(1)

1,(2)2,f f f ===，且

()(1)(2)(f n f n f n f n n

=-+-+-≥， (4)7,(5)13,(6)24,(7)44,(8)81,(9)149,(10)274f f f f f f f ∴=======

29．解析：11n k C --；1

1n k n C -+-

30．解析：（1）4

193876C =；（2）4

24C ；（3）先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0,1,2,3,4个球，再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，则4

9126C =

31. 解析：222

532120C C ??= 32. 解析：49.

33. 解析：4

474264253512030185C C C C C C C C ++=++=

34. 解析：前9个扇形依次染色并不难,但第10个扇形既与第九个相邻也与第1个相邻,这两个扇形颜色可能相同也可能不相同,所以直接用记数原理有困难,但建立递推关系并不难．设将圆分成n 个不相等的扇形时,满足题设的染法有

种．依次记n 个扇形为s 1,…s n .显然a 1=3.当n=2时，

先对s 1染色，有3种方法；s 1染色后再对s 2染色，有2种方法，故a 2=6.当n≥3时，我们依次对s 1,s 2,…s n 染色．对s 1染色，有3种方法，对s 1染色后再对s 2染色有2种方法，同样的对s 3,s 4…,s n 分别有2种方法，

由乘法原理共有3·2 n-1种染色方法．但这样做s n 与s 1有可能同色．即在3·2 n-1种染色方法中包含了s n 与s 1同色的染色方法．对于s n 与s 1同色的情形，拆去s n 与s 1的边界使s n 与s 1合并，便得到将圆分为n-1个扇形时同色不相邻的染色方法，这样的情况有a n-1种．故a n =3·2 n-1-a n-1 (n≥3)．所以36a =，n≥3时，

22(1)n n n a =+?-，∴a 10=210+2=1026．

35.解：由题意，红黄蓝三种颜色，每种颜色恰好涂了两次，分为两类：第一类可按一下步骤进行：

第1步：涂第一格，有3种方法；第2步：涂第二格，有2种方法；

第3步：用与第一格不同的颜色涂第三格，有1种方法；第4步：第四格可以涂与第三格颜色不同的，有2种方法。第5步：用不同的两色涂剩下的两格，有2种方法；所以有3*2*1*2*2＝24种第二类可按一下步骤进行：

第1步：涂第一格，有3种方法；第2步：涂第二格，有2种方法；

第3步：用与第一格相同的颜色涂第三格，有1种方法；第4步：第四格只能用没有用过的颜色涂，有种方法。

第5步：第五格只能用涂第二格的颜色，第六格只能用涂第四格的颜色，有1种方法；所以有3*2*1*1*1＝6种所以，共有24+6＝30种涂法。

36.解析:注意4种颜色的花都有种上。3

4(1112)120A +++= （变式：3

532[(32)2]960A C C ++?=）

计数原理与排列组合经典题型

计数原理与排列组合题型解题方法总结计数原理一、知识精讲 1、分类计数原理： 2、分步计数原理：特别注意:两个原理的共同点：把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。不同点：如果完成一件事情共有n类办法，这n类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理。分类时应不重不漏（即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类）如果完成一件事情需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后，相互依存，缺一不可。 3、排列 (1)排列定义,排列数 (2)排列数公式: (3)全排列列: 4.组合 (1)组合的定义,排列与组合的区别; (2)组合数公式: (3)组合数的性质二、.典例解析题型1:计数原理例1.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。 A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;

③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有。例2（1）如图为一电路图，从A 到B 共有条不同的线路可通电。例3: 把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？例4、某城在中心广场造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 ________ 种.(以数字作答) 例5、四面体的顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，问共有多少种不同的取法？例6、（1）电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? （2）三边均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是 D C B A

排列组合典型例题(带详细答案)

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？例2三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？例77名同学排队照相． (1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？

(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ (3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？例8计算下列各题： (1) 215 A ； (2) 66 A ； (3) 1 1 11------?n n m n m n m n A A A ；例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队，限定a 要排在b 的前面（a 与b 可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法．例10 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？例11 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（）．例13 用5,4,3,2,1，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）．例14 用543210、、、、、共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重复数字的3位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型与通用方法 1. 相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列例1. A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 A,B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（） A 、60 种 B 、48 种 C 、36 种 D 、24 种 2. 相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端 ? 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A 、1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种 3. 定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在A 的右边（A, B 可以不相邻）那么不同的排法有（） 4. 标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成 ? 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A 、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种 5. 有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法例5.（ 1 ）有甲乙丙三项任务，甲需 2人承担，乙丙各需一人承担，从 10人中选出4人承担这三项任务, 不同的选法种数是（） A 、1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 6. 全员分配问题分组法：例6.（ 1）4名优秀学生全部保送到 3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种? A 、24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、 120 种 4人，则不同的分配方案有（ 4 4 4 C 12C 8C 4 种 4 4 3C 12C 8C C 、 C 12C 8 A 3 种

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注：若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。（43．排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；（3）．相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。（5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。（8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题：均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题：定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合（一）典型分类讲解一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有6 7种不同的排法练习题： 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

排列组合问题经典题型解析含答案

4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A 、44412 8 4 C C C 种 B 、44412 8 4 3C C C 种 C 、44312 8 3 C C A 种 D 、 4441284 33 C C C A 种

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定：组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注：若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

高考排列组合典型例题

高考排列组合典型例题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

排列组合典型例题例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A 个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439 =+=??+A A A A 个．解法2：当个位数上排“0”时，同解一有39A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：)(283914 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 22961792504)(28391439 =+=-?+A A A A 个．

高中排列组合知识点汇总和典型例题[全]

排列组合典型例题

典型例题一例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有3 A个； 9 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，

则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有2 8181 4 A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 179250428181439=+=??+A A A A 个．解法2：当个位数上排“0”时，同解一有3 9 A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：) (28391 4 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 1792504)(28391439=+=-?+A A A A 个．解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 2 81 515A A A ??个干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 2 81414A A A ??个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有

高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)

排列组合专题复习及经典例题详解

排列组合专题复习及经典例题详解 1.学习目标掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点（1）特殊元素优先安排的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略． 3.难点综合运用解题策略解决问题． 4.学习过程: (1)知识梳理 m种不完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1．分类计数原理（加法原理）：1mm种不同的方法，类型办法中有种不同的方法……在第n同的方法，在第2类办法中有n2N?m?m?...?m 种不同的方法．那么完成这件事共有n12m种不步有个步骤，做第12．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n1mm种不同的方法；那么完成这步有种不同的方法……，做第同的方法，做第2步有n n2N?m?m?...?m种不同的方法．件事共有n12特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏． 3．排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n m?nm?n 时叫做全排列. 时叫做选排列，排列个不同元素中取出m个元素的一个，4．排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同m P. 个元素的排列数，用符号表示元素中取出m n n!?m）?Nmn（m?)...()(1n?2n?m1)??,n、?(?Pnn5．排列数公式： n(n?m)!1mmm?mPPP??排列数具有的性质：nn1?n特别提醒：规定0!=1 1 6．组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合. 7．组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个m C. 个不同元素的组合数，用符号表示不同元素中取出m nm Pn(n?1)(n?2)...(n?m?1)n!mn???C．组合数公式：8 nm)!m!(n?m!mP mmn?mmmm?1C?CC?C?C；②组合数的两个性质：①nnnnn?1特别提醒：排列与组合的联系与区别. 联系：都是从n个不同元素中取出m个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.

排列组合专题复习及经典例题详解

排列组合专题复习及经典例题详解 1. 学习目标掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点（1）特殊元素优先安排的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略． 3.难点综合运用解题策略解决问题． 4.学习过程: (1)知识梳理 1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类型办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法． 2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……，做第n 步有n m 种不同的方法；那么完成这件事共有n m m m N ???=...21种不同的方法．特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏． 3．排列：从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，n m <时叫做选排列，n m =时叫做全排列. 4．排列数：从n 个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示. 5．排列数公式：）、（+∈≤-= +---=N m n n m m n n m n n n n P m n ,)! (!)1)...(2)(1( 排列数具有的性质：11-++=m n m n m n mP P P 特别提醒：规定0!=1

排列组合问题经典题型(含解析)

排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A、 444 1284 C C C 种 B、 444 1284 3C C C 种 C、 443 1283 C C A 种 D、 444 1284 3 3 C C C A种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

排列组合问题经典题型

排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.D C B A ,,,五人并排站成一排，如果B A ,必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有多少种？ 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是多少种？ 3.定序问题等机会法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（B A ,可以不相邻）那么不同的排法有多少种？ 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有多少种？ 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数有多少种？（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有多少种？ 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法有多少种？ 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有多少种？（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ?=+-? 例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？ 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

排列&组合计算公式及经典例题汇总

排列组合公式/排列组合计算公式排列A------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示. A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

c(n,m) 表示. c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝A(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列（Anm(n为下标，m为上标)） Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Ann（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；An1（n为下标1为上标）=n

排列组合专题总结复习及经典例题详解 .docx

排列组合专题复习及经典例题详解 1.学目掌握排列、合的解策略 2.重点（1）特殊元素先安排的策略：（2）合理分与准确分步的策略；（3）排列、合混合先后排的策略；（4）正反、等价化的策略；（5）相捆理的策略；（6）不相插空理的策略． 3.点合运用解策略解决． 4.学程 : (1)知梳理 1．分数原理（加法原理）：完成一件事，有几法，在第一法中有m1种不同的方法，在第 2 法中有m2种不同的方法??在第n 型法中有m n种不同的方法，那么完成件事共有N m1m2... m n种不同的方法． 2．分步数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步，做第 1 步有m1种不同的方法，做第 2 步有m2种不同的方法??，做第n 步有m n种不同的方法；那么完成件事共有 N m1 m2...m n种不同的方法．特提醒：分数原理与“分”有关，要注意“ ”与“ ”之所具有的独立性和并列性；分步数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之具有的相依性和性，用两个原理行正确地分、分步，做到不重复、不漏． 3．排列：从 n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素，按照一定的序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m个元素的一个排列，m n叫做排列，m n 叫做全排列. 4．排列数：从 n 个不同元素中，取出m(m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号P n m表示. 5．排列数公式：P n m n(n1)( n2)...( n m1) (n n!（ m n,n、 m N）m)! 排列数具有的性： P n m1P n m mP n m 1 特别提醒：规定 0!=1