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充分条件与必要条件-点拨精品资料

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学科:数学

教学内容:充分条件与必要条件

【基础知识精讲】

1.对充要条件的理解

对于命题“若p则q”,即p是条件,q为结论.

(1)如果已知p⇒q,我们就说p是q的充分条件,q是p的必要条件.

例如,“若x=y,x2=y2”是一个真命题,可写成

x=y⇒x2=y2

“x=y”是“x2=y2”的充分条件,

“x2=y2”是“x=y”的必要条件.

(2)如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作

p⇔q.

这时,p既是q的充分条件,又是q的必要条件,我们就说p是q的充分必要条件,简称充要条件.

例如,命题p:x+2是无理数,

命题q:x是无理数.

由于“x+2是无理数”⇔“x是无理数”,所以p是q的充要条件.

2.从逻辑推理关系上看

充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念,主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的下列关系:

①若p⇒q,但q p,则p是q的充分但不必要条件;

②若q⇒p,但p q,则p是q的必要但不充分条件;

③若p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件;

④若p⇒q,且┒p⇒┒q,则p是q的充要条件;

⑤若p p,且q p,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.

3.从集合与集合之间关系上看

若条件p以集合A的形式出现,结论q以集合B的形式出现,则

①若A⊆B,则p是q的充分条件;

②若A⊇B,则p是q的必要条件;

③若A=B,则p是q的充要条件;

④若A⊇/B,且A⊆/B,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.

从集合的观点来判断充要条件的思考方法,可以进一步加深对充要条件的理解.

4.应用充分条件,必要条件,充要条件时须注意的问题.

(1)充分而不必要条件,必要而不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件,反映了条件p和结论q之间的因果关系,在结合具体问题进行判断时,要注意以下几点:

①确定条件是什么,结论是什么;

②尝试从条件推结论,结论推条件;

③确立条件是结论的什么条件;

④要证明命题的条件是主要的,就既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立,证

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