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三棱锥的外接球问题

三棱锥的外接球问题

三棱锥的外接球问题是一类重要的题型,学生往往感到困难,本文

从三棱锥的题型出发,进行归类总结,使学生全面掌握这些方法,提高解决这类题的能力。

1有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ,球心在公共斜边的中点处

C1.在矩形ABCD 中,AB =4,BC =3,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --,则四面体ABCD 的外接球的体积为

A. π12125

B.π9125

C.π6125

D.π3

125

B2.三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,且SA AC SB BC ====,4SC =,则该球的

体积为

三棱锥的外接球问题

A

2563π B 32

3

π C 16π D 64π D3.在三棱锥ABC S -中,22,====⊥SC SA BC AB BC AB ,,二面角B AC S --的余弦值是

三棱锥的外接球问题

C B A S ,,,都在同一球面上,则该球的表面积是 A .68 B .π6 C .π24

D .6π

A4.在平面四边形ABCD 中,1AB AD CD ===,BD =BD CD ⊥,将其沿对角线BD 折成四面体'

A BCD -,使平面'

A BD ⊥平面BCD ,若四面体'

三棱锥的外接球问题

A BCD -顶点都在同一个球面上,则该球的体积为

A

2 B 3π C 3

三棱锥的外接球问题

三棱锥的外接球问题

D 2π 15. 设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ,从直线l 出发的两个半平面βα,截球O 的两个截面圆的半径

分别为1和3,二面角βα--l 的平面角为2

π

,则球O 的表面积为 . 16π

5.平行四边形ABCD 中,AB ·BD =0,沿BD 将四边形折起成直二面角A 一BD -C ,且4=,

三棱锥的外接球问题

三棱锥的外接球问题

则三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为( )

A .

2π B .4

π C .π4 D .2π

试题分析:0AB BD ?= ,所以AB BD ⊥,因为ABCD 为平行四边形,所以,CD BD AB CD ⊥=

.因为

A BD C --为直二面角,所以⊥面ABD 面CBD ,因为= 面ABD 面CBD BD ,?A

B 面ABD ,AB BD ⊥,所以⊥AB 面CBD .因为?B

C 面CB

D ,所以AB BC ⊥.分析可知三棱锥A BCD -的外接球的球心为AC 的中

点.因为

2222

2

22

2

()24A C A B B C A B C D B D

A B

C D =+=++=+=,

所以2AC =.则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1,表面积为4π.故C 正确.

题型 等腰四面体的外接球 补成长方体,长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱

1.在三棱锥A BCD -中,6,5AB CD AC BD AD BC ======,则该三棱锥的外接球的表面积为

____________π43

题型 直角四面体的外接球 补成长方体,长方体对角线长为球的直径