复习用

练习1 位置矢量位移速度加速度

一、填空题

1、一质点在某参照系中的初始位置为k .i .r

01030+=，初始速度为0v 20j = ，则初始时

刻其位置矢量与速度间夹角为。

(位矢在x -z 平面，速度在y 方向。（矢量点乘）)

2、在表达式t

r lim v t ??=→?

0中，位置矢量是；位移矢量是。

3、有一质点作直线运动，运动方程为)(25.43

2

SI t t x -=，则第2秒内的平均速度为；第2秒末的瞬间速度为，第2秒内的路程为。

(解法参阅本节例题。质点在第二秒内有折返运动！因而位移的大小和路程不能相等)

答案π/2 r r ?

-0.5ms -1 -6ms -12.25m

二、计算题

1、一物体悬挂在弹簧下做竖直振动，其加速度为ky a -=，式中k 为常量，y 是以平衡位置为原点所测得的坐标，假定振动的物体在坐标0y 处的速度为0v ，求速度v 与坐标y 的函数关系式。

解：根据加速度的定义

dv dv dy dv a v ky dt dy dt dy

=

===-， 于是有

v

y

v y vdv k ydy =-?

?

积分并整理得

v =

2、某做直线运动质点的运动规律为t kv dt

dv

2-=，

式中k 为常数，当0t =时，初速度为0v ，求该质点在任意时刻t 的速度。 解：由

t kv dt

dv

2-=得 200v

t v dv

k tdt v =-?? 积分得

20

111=+2kt v v

3、如图1.1所示，某人用绳拉一高台上的小车在地面上以匀速v 奔跑，设绳端与小车的高度差为h ，求小车的速度及加速度。

图1.1

解：车的速度等于水平段绳子移动的速度。设滑轮到人间的绳长为l ，则车的速度

1dl v dt =

人的速度：

dx v dt

=

x 和l 间满足关系：

222l x h =+

两边对t 求导得：

dl dx l

x dt dt

= 则有

1dl v dt

=

=

()

2

23/222dv h a v x h ===+11dt

x

O

练习2 自然坐标系圆周运动的角量描述

一、填空题

1、质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小为；平均速率大小为。

2、一质点在平面上作曲线运动，其速率v 与路程S 的关系为)(12SI S v +=，则其切向加速度以路程S 来表示的表达式为=t a _______(SI)．

3、在一个转动的齿轮上，一个齿尖Ｐ沿半径为R 的圆周运动，其路程S 随时间的规律为

202

1

bt t v S +=，其中0v 和b 都是正的常量，则t 时刻齿尖Ｐ的速度大小为____________，

加速度大小为______________。

答案：1，0, 2πR/t 2，2S(1+S 2) 3, v 0+bt

二、计算题

1、质点沿半径m 1.0R =的圆周运动，其角坐标与时间的关系为)(SI t 423+=θ，求当切向加速度的大小为总加速度大小的一半时质点的角位置θ。 解：

212d t dt θω=

=, 24d t dt

ω

α== 法向加速度

()2

22120.1n a R t ω==?

240.1a R t τα=

=?

a

=0.1=

由题意有

1

240.10.12

a R t τα==?=

解得：

3t =

或者由图得4

24144n a t a t τ

==3

t =

则

342t +=θ=3.15 rad

2、半径m 2R =的飞轮作加速转动时，轮边缘上一点的运动方程为)SI (t 1.0S 3

=，求当此点的速率s /m 30v =时的切向加速度与法向加速度的大小。 解：由20.330ds

v t dt

=

==得 t=10s 。 则

20.66m s dv

a t dt

τ-=

==? 224

20.3450m s 2

n v t a R -?===?

3、一质点在y x -平面内作曲线运动，其运动学方程为)SI (t y ,t x 3

==。求： （1）初始时刻的速率； （2）s 2t =时加速度的大小；

（3）s 1t =时切向和法向加速度的大小。 解：(1)

1x dx v dt =

=，23y dy

v t dt

== t=0时

1v ===ms -2.

(2)

0x x dv a dt ==，6y y dv a t dt

==

t=2时

2612m s y a a t -===?

（3）s t 1=时，2

a =6m s -?

25.69m s dv a dt τ-=

==?

21.9m s n a -==?

练习3 牛顿运动定律及力学中的守恒定律

一、填空题

1、一质量为m 的质点沿x 轴正向运动，假设该质点通过坐标为x 处的速度为kx(k 为正常量)，则此时作用于该质点上的力F =，该质点0x x =点出发运动到1x x =所经历的时间t ?=。

解：v kx =，2()dv d

F m

m kx mkv dt x d k t

m ==== dx dx

v kx kdt dt x

=

=?=， 尽而有1100

10101ln x t x t x

dx kdt t x t t k x =??=-=??

2、两相互作用的物体A 和B ，无摩擦地在一条水平直线上运动，物体A 的动量是时间的函数，表达式为bt P P A -=0，式中0P 、b 分别为正常数，t 是时间，在下列两种情况下，写出物体B 的动量作为时间的函数表达式：

（1）开始时，若B 静止，则=1B P 。 （2）开始时，若B 的动量为则 ,0P -2B P 。 解：A 、B 组成的系统动量守恒，

①t = 0 时，000A p p bt p =-=，00B p =. 此时有：A0B00p p p +=，其后仍有：B10A p p p += 所以B10A 00()p p p p p bt bt =-=--= ②t = 0 时，B00p p =-，

此时有：A0B00p p +=，其后仍有：B 0A p p += 则：B2A 00p t p p b -=+-=

3、一人造地球卫星绕地球在椭圆轨道上运动，近地点为A ，远地点为B ，A 、B 两点距地心分别为1r 、2r ，设卫星质量为m ，地球质量为M ，万有引力常数为G ，则卫星在A 、B 两点的势能之差PA PB E E -=；卫星在A 、B 两点的动能之差KA KB E E -=。

解：12

,PA PB mM mM

E G

E G r r =-=-，则 12112

211

()PB PA E E G r mM r r r GmM r r -=-=-

系统机械能守恒，则21

kB kA mM mM

E G E G r r -=-，于是有

1212

21kB kA mM mM

r E E G

G GmM r r r r r --=-= 4．（补充）一物体质量为2kg ，在合外力)SI (i )t (F

23+=作用下，从静止出发沿水平X

轴作直线运动，则当t =1s ，物体的速度V

=。 解：由动量定理有：

1

(32)0t dt mv +=-?，由此得结果。

5. （补充）如图，一质点在n 个力的作用下，沿半径为R 的圆周运动，其中一个力是恒力0F

，

方向始终沿x 轴正向，即i F F

00=，当质点从A 点沿逆时针方向走过3/4圆周到达B

点时，所作的功为。

解：由x y F dr F dx F dy ?=+

，则 2

1

000(0)x x A F dx F F R R ==--=-?）

6．（补充）光滑水平面上有二物体21m m 和，如图，在水平恒力F 作用下，从静止开始共同

前时了一段距离s ，以地面为参照系，在此过程中12m m 对所作的功为。 解：动能定理：2121

()2

Fs m m v =

+。 设m 2对m 1的作用为f ，则

2112

11

2m F f m v m s s m =

=+）

二、计算题

1、质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力大小与速度成正比，比例系数为K ，忽略子弹重力，求：

（1）子弹射入沙土后，速度与时间的关系； （2）子弹射入沙土的最大深度。 解：（1）根据题意有

dv

f kv m

dt

=-= 所以有

00v

t

v dv k dt v m =-??

积分得

0ln

v k t v m

=- 即

0k

t m

v v e

-=

（2）当在沙子中停止运动时，达到最大距离，因而有

dv dv dx dv f kv m

m mv dt dx dt dx

=-=== 所以有

0x

v m dx dv k

=-

?

? 积分得最大深度为

0m x v k

=

2、如图3.1所示，质量为M 的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动，一质量为m 的小球水

平向右飞行，以速度1V （对地）与滑块斜面相碰，碰后竖直向上弹起，速率为2V

（对地）。

若碰撞时间为t ?，试求此过程中滑块对地的平均作用力和滑块速度增量的大小。

解：以M 和 m 为系统，外力（重力、地面支持力） 均沿竖直方向，故水平方向动量守恒。 竖直方向：应用质点系动量定理

系统动量增量：Δp y =（mV2 + 0 ）-（0 + 0） 合外力的冲量：（N – Mg – mg ）Δt 图3.1 二者相等，解得

N = mV2 / Δt + Mg + mg

由牛顿第三定律可知，滑块对地平均作用力为：mV2 / Δt + Mg + mg ，方向竖直向下。 水平方向：设滑块碰撞前后速度分别为v 和u ，应用动量守恒定律 mV1 + Mv = Mu

解得速度增量的大小 Δv = u – v = （m/M ）V1。 3、质量为kg 100.23

-?的子弹，其出口速率为s /m 300。设子弹在枪筒中前进时所受的

力x 9

8000

400F -

=（其中x 为子弹在枪筒中行进的距离）

；开始时，子弹位于0x =处，求枪筒的长度。

解：设枪筒长度为l 。根据动能定理

20080001400092l

l

A Fdx x dx mv ?

?==-=- ???

??

解得：l = 0.45m

练习4 刚体的定轴转动（I ）

一、填空题

1、以恒定角加速度转动的圆盘，如果在某一时刻的角速度为)/(s rad 201πω=，再转60转后角速度为)/(s rad 302πω=，则角加速度=β， 转过上述60转所需的时间=?t 。

解：匀变速圆周运动，则2

2212ωωβθ-=?，602θπ?=?，可求225

6.54/12

rad s βπ=

≈ 由21t ωωβ-=?得，Δt=4.8s 。

2、如图4.1所示，一长为L 的轻质细杆，两端分别固定质量m 和m 2的小球，此系统在竖直平面内可绕过中点O 且与杆垂直的水平光滑固定轴（O 轴）转动。开始时杆与水平成0

60，处于静止状态，无初转速地释放以后，杆球这一刚体系统绕O 轴转动，系统绕O 轴的转动惯量图4.1

J =。释放后，当杆转到水平位置时，刚体受到的合外力矩M =；角加速度β=。

解：根据转动惯量的定义得：22

232224

L L J m m mL ????

=+= ? ?????

两小球对于O 点的力矩方向相反，2222

L L L

M mg

mg mg =-= 根据转动定律：M J β=得，2/3g M J L

β==

。 3、半径为cm 15、质量kg 70.0的光盘从静止开始转动，在s 5.1内达到min /rev 3.33n =的转速，则在此s 5.1时间内施加于光盘的转动力矩为。

解：21

0.0078752

J MR =

=，/ 2.3236t βω== 0.00183M J β=≈Nm

4．(补充)如右图所示的匀质大圆盘，质量为M ，半径为R ，对于过圆心O 点且垂直于盘面

的转轴的转动惯量为

22

1

MR 。如果在大圆盘中挖去图示的一个小圆盘，其质量为m ，半径为r ，且2r =R 。已知挖去的小圆盘相对于过O 点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为2

2

3mr ，

则挖去小圆盘后剩余部分对于过O 点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为。

解：根据平行轴定理：

2213

22

MR mr J =+ 2213

22

J MR mr =

- 二、计算题

1、质量为kg 3的质点位于m 8y ,m 3x ==处时速度为)s /m (j 6i 5v

-=，作用于质

点上的力大小为N 7，沿负x 方向，求以原点为参考点，质点此时的角动量和所受的力矩。 解：角动量和力矩的定义

)Nm (k 56M )s /kgm (k 174L 2

=-=，

2、如图4.2所示，边长为a 的正方边形的顶点，分别固定六个质点，每个质点的质量都为m ，求正六边形：

（1）对OX 、OY 、OZ 轴的转动惯量； （2）对OS 轴的转动惯量。

解：转动惯量的定义。

几何问题，先求每点到各轴的距离

2

z 2y 2x ma 12J ma 9J ma 3J ===，，；

2s ma 5.4J =图4.2

3、如图4.3所示，A 、B 为两个相同的定滑轮，A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且Mg F =，设A 、B 两滑轮的角加速度分别为A β、B β，不计滑轮与转轴的摩擦，比较两个滑轮的角加速度的大小。

解：设滑轮的半径为R ,转动惯量为J 。使用大小等于mg ，方向向下的力拉绳子时,滑轮产生的角加速度为B mgR

J

β=

。 绳下段挂一质量为m 的物体时，若设绳子此时的拉力为T ，则

对物体有：A mg T m R β-= 对滑轮有：A TR J β= 此时滑轮产生的角加速度为

2

A mgR

J mR β=

+

比较可知，B A ββ<. 图4.3

练习5 刚体的定轴转动（II ）

一、填空题

1、一根均匀米尺，被钉子在60厘米刻度处钉在墙上，使其可以在竖直平面内自由转动。先用手使米尺保持水平，然后由静止释放，则刚释放时米尺的角加速度大小为，米尺到竖直位置的角速度大小为。

解：设米尺线密度为ρ，则两端对钉子所在处的合力矩 M=0.6ρg*0.3 – 0.4ρg*0.2=0.8ρg 两端对于钉子所在处的转动惯量为

J=1/3*0.6ρ*0.62+1/3*0.4ρ*0.42=1/3*0.28ρ 则β=M/J=15/14g=10.5rad.s -2.

重力的总功：A=ρ*0.6g*0.3-ρ*0.4g*0.2=0.1ρg 根据动能定理：A=1/2J w 2

得 4.58/ω=≈rad s

2、质量分别为m 和m 2两质点，用一长为l 的轻质细杆相连，系统绕通过杆且与杆垂直的轴O 转动，已知O 轴离质量为m 2的质点的距离为

3

l

，而质量为m 的质点的线速率为v 且与杆垂直，则系统对转轴的角动量（动量矩）大小为。 解：圆周运动角动量J=rmv ，则两只点对O 点的角动量为 L=2/3l*mv+1/3l*2m*v/2=mlv

3、个质量为m 的小虫，在有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘边缘上，沿逆时针方向爬行，它相对于地面的速率为v ，此时圆盘正沿顺时针方向转动，相对于地面的角速率为0ω，设圆盘的半径为R ，对中心轴的转动惯量为J ，若小虫停止爬行，则圆盘的角速度为。 解：虫与水平圆盘作为一定轴转动系统，虫与水平圆盘之间的相互作用力为内力，沿竖直轴方向不受外力矩作用，故系统的角动量守恒.

虫停止爬行后，和盘一起运动。题中各速度都是相对轴的，而虫和盘的角动量方向相反，因而有

J w 0-Rmv=(J+mR 2)w

则

2

ωω-=

+o J mvR

J mR

二、计算题

1、如图5.1所示，有质量为3m ，半径为R 的定滑轮及质量为21m ,m 的A 、B 物块，若B 与桌面摩擦可忽略，且滑轮可视为匀质圆盘，求A 、B 物块的加速度和绳子的张力。

图5.1

解: 分别以m 1、m 2和滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对m 1、m 2运用牛顿定律，有

111m g T m a -=

22T m a =

对滑轮运用转动定律，有

21231

2

T R T R m R β-=

又， a R β=

联立以上4个方程，得

1123

2m g

a m m m =

++111111

123

1

2

m g

T m g m a m g m m m m =-=-++

122

123

1

2

m g

T m m m m =++

2、一轻弹簧与一均匀细棒如图连接，已知弹簧的倔强系数1

40-?=m N k ，细棒的质量为

kg m 5=；当00=θ时，弹簧无伸长，求00=θ的位置上细棒至少应具有多少角速度ω，

才能转动到水平位置？

解：以细棒、地球和弹簧作为研究系统，则系统的机械能守恒。 以棒转在水平位置时的重力势能为零势能点，则开始转动时，弹簧的弹性势能为0，系统的机械能为

221111cos02262E J mg m mg ωω=

+=+ 转至水平位置时，只有弹性势能，系统的机械能为

21

2

E k s =

? 根据题意得，弹簧原长0.5m ，转到水平位置时，长度为1.8m ，则 Δs=1.3m 。于是有图5.2

22111

622

m mg k s ω+=? 由此解得

3.34ω=rad/s

3、如图5.3所示，宽为l 、质量为M 的均匀薄板可绕oo ′轴转动，有一质量为m 的小球以速度0v 在薄板边缘与板垂直相碰，若碰撞是完全弹性的，求碰后板的角速度和球的速度。 解：板和球构成系统，作为研究对象。撞击的过程中，合外力的力矩为0，内力和外力作功均为0，系统的机械能及角动量守恒，则有

板对轴OO ’的转动惯量为2

13

J Ml =

，设小球弹回来的速度为v ， 0mv l mvl J w =-+

2220111

222

mv mv J w =+ 解得

l

m 3M mv 60)(+=

ω，0v M m 3M

m 3v +-=

图5.3

练习6 相对论运动学（I ）

一、填空题

1、宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过t ?（飞船上的钟）时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长度为（即飞船上的人测量的飞船长度）： c.Δt 。

2、已知惯性系S ′相对于惯性系S 系以0.5c 的匀速度沿x 轴的负方向运动，若从S ′系的坐标原点O ′沿x 轴正方向发出一光波，则S 系中测得此光波的波速为 c 。

3、在惯性系S 中，有两事件发生于同一地点，且第二事件比第一事件晚发生2=?t 秒钟，而在另一惯性系S ′中，观测第二事件比第一事件晚发生3='?t 秒钟，那么在S ′中发生两

二、填空题

1、甲地与乙地直线相距1200km ，在某一时刻从两地同时向对方飞出直航班机，现有一艘飞船从甲地到乙地方向在高空掠过，速率恒为u=0.999c 。求宇航员测得： （1

）两班机发出的时间间隔； （2）哪一班机先启航？

解：甲地为原点，甲地到乙地为正方向 由洛仑兹变换得

2'v

t x t ?-??=

Δt=0，Δx=x 乙地-x 甲地=1200km

，带入上式得

3220.9990120010'v c t x t ?-?-???=

==-0.0894s Δt ’<0, 乙地先起飞。

2、S′系相对S 系运动的速率为0.6c ，S 系中测得一事件发生s 102t 7

1-?=，m 50x 1=处，

第二事件发生在s 103t 7

2-?=，m 10x 2=处，求S′系中的观察者测得两事件发生的时间

间隔和空间间隔。 解：

2

1x x ''-=

=

7

72.5m -=

=-

2

'v t x t ?-??=

7

70.6100.4 2.2510s ---?=?

3、在惯性系 K 中，有两个事件同时发生在 x 轴上相距1000m 的两点,而在另一惯性系K’(沿 x 轴方向相对于K 系运动) 中测得这两个事件发生的地点相距 2000m 。求在 K’系中测得这两个事件的时间间隔。

解：根据题意，Δt=0，Δx=1000m ，Δx'=2000m 。

由'x ?=

代入数值，可得

2

u =

。 所以

2'u t x t ?-??=

51000

210s

12c -== = 5.77×10-6 s

练习7 相对论运动学（II ）

一、填空题

1、在S 系中的x 轴上相距为△x 处有两只同步的钟A 和B ，读数相同，在S ′系的x ′轴上也有一只同样的钟A ′，若S ′系相对于S 系的运动速度为v ，沿x 轴方向且当A ′与A 相遇时，刚好两钟的读数均为零，那么，当A ′钟与B 钟相遇时，在S 系中B 钟的读数是

x v ?；此时在S ′系中A ′钟的读数是

2、μ子是一种基本粒子，在相对于μ子静止的坐标系中测得其寿命为s 10260-?=τ，如果μ子相对于地球的速度为c 9880v .=（c 为真空中光速），则在地球坐标系中测出的μ子的寿命=τ 1.29×10-5ms -1。

3、设有宇宙飞船A 和B ，固有长度均为m 100l 0=，沿同一方向匀速飞行，在飞船B 上观测到飞船A 的船头、船尾经过飞船B 船头的时间间隔为s 105

3

7-?，则飞船B 相对于飞船A 的速度大小为 0.984c 。

二、计算题

1、在某地发生两个事件，静止位于该地的甲测得时间间隔为4s ，若相对甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为5s ，求乙相对于甲的运动速度。

解：固有时τ0

=4s ，运动时τ=5s 。由固有时和运动时的关系τ=

v =0.6c

2、一静止长度为0l 的火箭以速度v 相对地面运动，从火箭前端发出一个光信号，对火箭和地面上的观察者来说，光信号从火箭前端到尾端各用多少时间。

解：对火箭上的观察者而言，光传播的距离为l 0，因此，在此人看来，光信号从前端到尾端所用时间为

t=l 0 / c

对地面上的观察者而言，火箭在运动，因而其长度讲变短，其观测到的火箭的长度为

l l =

此即光传播的距离。

考虑到光从火箭前端到尾端的过程中火箭在向前飞行，此人观测到火箭向前飞行的距离为

l '=vt ，因此，光实际传播的距离为l -l '，所以，地面上的人观测到，光信号从前端到尾端所用时间为

'l l t c -== 解得

t =

3、一艘宇宙飞船的船身固有长度为L =90m ，相对于地面以0.8c 的速度在地面观测站的上空飞过。

（1）观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？ （2）宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？

解：（1）飞船相对于观测站在运动，因而观测站测得飞船的长度变短，为

9054m l l ===

则飞过观测站所用的时间为

t=54/(0.8c)=2.25×10-7s

（2）宇航员观测到观测站运动的速度为0.8c ，运动的距离为90m ，则所用时间为

t=90/(0.8c)=3.75×10-7s

练习8 相对论动力学基础

一、填空题

1、将一个静止质量为e m 的电子从静止加速到速率为0.60c(c 为真空中光速)，需作功为0.25m e c 2。

2、（

1）在速度v =

2

c 情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍。 （2

）在速度v 情况下粒子的动能等于它的静止能量。 3、一个粒子的动能等于2010

c m 时，它的速度为

11

c (或0.966c )。 二、计算题

1、一个电子被电压为V 106

的电场加速后，其质量多大？速度多大？

解：电场力作功使电子的动能增加，

ΔE = E k – 0 = qU = e×106 J

即

E k = e×106 J

此时电子的总能量为

E=mc 2 = E k +m 0c 2，

所以

m = （E k +m 0c 2）/c 2 = (1.6×10-19×106)/9×10-16+9.109 × 10-31 = 2.69×10-30kg

由运动质量和静止质量之间的关系m =

得电子的速度为

c v 94.0=m/s

2、一个立方体的静质量为0m ，体积为0V ，当它相对某惯性系S 沿一边长方向以v 匀速运动时，静止在S 中的观察者测得其密度为多少？

解：根据尺缩效应，运动过程中，沿着运动方向长度为

l l =

=

其它方向长度不变，因而体积为

V V =运动质量为

m =

所有密度为

02021m m V

v V c ρ=

=??- ???

3、一电子以0.99c (c 为真空中光速)的速率运动。(电子静止质量m=9.11×10-31 kg )试求： ① 电子的总能量是多少？

② 电子的经典力学的动能与相对论动能之比是多少？

解：312

2

8213(310) 5.8110J E mc --==

=

?=?

电子的静止能量为E 0=m 0c 2=9.11×10-31 ×9×1016=0.82×10-13J 电子的相对论动能为

E k = E - E 0 = 4.99×10-13J

电子的经典动能为 E k1=0.5m 0v 2= 0.5 × 9.11×10-31 × 0.992×9×1016 =4.018×10-14J

二者之比为 8.05×10-2。