第3节稳定性、收敛性和误差估计
算法的误差与稳定性
实验名称： 实验一 算法的误差与稳定性 指导教师： 数值分析实验组 实验时数： 2 实验设备：安装了Matlab 、C ++、VF 软件的计算机 实验日期：2014年 月 日 实验地点： 第五教学楼北802或902 实验目的： 掌握舍入误差的概念，理解数值稳定性。 实验准备： 1. 在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容； 2. 需要一台准备安装Windows XP Professional 操作系统和装有数学软件的计算机。 实验内容及要求 B 题 舍入误差在数值计算中是一个很重要的概念，在实际计算中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果，因此，选取数值稳定性的算法，在数值计算中是十分重要的。 对0,1,2,,20n = 计算定积分 1 10d -=?n x n y x e x 分别采用下面两个递推公式进行计算，并比较实验结果分析出哪个算法是稳定，并给出具体原因。 递推公式（1）11(1,2,,20)n n y ny n -=-= ； 递推公式（2）11(20,19,,1)n n y y n n --== 。 说明：实验过程应包括对问题的简要分析、求解方法、求解步骤、程序及其必要的图表等内容。 实验过程： 本实验所选题为B 题 实验分析： 方案1 1(1,2,3....20)n n y ny n =-=当=0时1 11001x y e dx e --==-?递推公式为 1101(1,2,,20)1n n y ny n y e --=-=???=-?? 方案2 11(20,19,,1)n n y y n n --= = 当0 粗大误差四种判别准则的比较 粗大误差是指在测量过程中,偶尔产生的某些不应有的反常因素造成的测量数值超出正常测量误差范围的小概率误差。含有粗大误差的数据会干扰对实验结果的分析,甚至歪曲实验结果。若不按统计的原理剔除异常值,而把一些包含较大正常误差但不属于异常值的数据舍弃或保留一些包含较小粗大误差的异常值,就会错估了仪器的精确等级。因此,系统检验测量数据是否含有粗大误差是保证原始数据的可靠及其有关计算的准确的前提。排除异常数据有四种较常用的准则,分别是拉伊达准则、格拉布斯准则、肖维勒准则和狄克逊准则。每种判别准则都有其处理方法,导致用不同准则对异常值判别的结果有时会不一致。目前异常值的剔除还没有统一的准则,本文综合判别粗大误差四种方法的特点,系统归纳各种准则的应用,以便更好地发现和判别含有粗大误差的数据。 1.四种判别粗大误差准则的特点 1.1拉伊达准则 拉伊达准则[4]是以三倍测量列的标准偏差为极限取舍标准,其给定的置信概率为99.73%,该准则适用于测量次数n>10或预先经大量重复测量已统计出其标准误差σ的情况。Xi为服从正态分布的等精度测量值,可先求得它们的算术平均值X、残差vi和标准偏差σ。 若|Xi- X|>3σ,则可疑值Xi含有粗大误差,应舍弃; 若|Xi- X|≤3σ,则可疑值Xi为正常值,应保留。 把可疑值舍弃后再重新算出除去这个值的其他测量值的平均值和标准偏差,然后继续使用判别依据判断,依此类推。 1.2格拉布斯准则 格拉布斯准则适用于测量次数较少的情况(n<100),通常取置信概率为95%,对样本中仅混入一个异常值的情况判别效率最高。其判别方法如下: 先将呈正态分布的等精度多次测量的样本按从小到大排列,统计临界系数G(a,n)的值为G0, 然后分别计算出G1、Gn:G1=( X-X1)/σ,Gn=(Xn- X)/σ (1) 若G1≥Gn且G1>G0,则X1应予以剔除; 若Gn≥G1且Gn>G0,则Xn应予以剔除; 若G1 误差与不确定度的概念比较 实验教学中关于误差和不确定度的区别和联系，是学生感到难以理解并准确掌握的概念之一，本文将对此比较总结如下。 1误差和不确定度的定义 1.1 误差的概念 各被测量量在实验当时条件下均有不依人的意志为转移的真实大小，此值被称为被测量的真值。即真值就是被测量量所具有的、客观的真实数值。然而实际测量时，总是由具体的观测者，通过一定的测量方法，使用一定的测量仪器和在一定的测量环境中进行的。由于受到观测者的操作和观察能力，测量方法的近似性，测量仪器的分辨力和准确性，测量环境的波动等因素的影响，其测量结果和客观的真值之间总有一定的差异。测量结果与真值的差为测量值的误差，即 测量值(x)-真值(a)=误差(ε) 在实验中通常要处理的来源于测量值的误差有两类：偶然误差和系统误差。 对于偶然误差，有算术平均值作为被测量真值的最佳估计值，相应的误差有标准偏差s ，它的定义为 1)(12 --=∑=n x x s n i i ------------------------------(1) 式中n 为测量值的个数。对于算术平均值的标准偏差，用来表示算术平均值的偶然误差，表达式为 n s x s /)(=------------------------------------(2) 二者的统计意义是，标准偏差小的测量值，其可靠性较高。 对于系统误差，不能用统计的方法评定不确定度，首先要对实验理论分析或对比分析之后，可以得知其系统误差的来源，并可采取一定的措施去削减系统误差。例如由于天平左右臂长不完全相同导致的系统误差，可将物体放在天平左盘、右盘上各称一次取平均去消除，而对于单摆周期与振幅有关，缩小振幅可以减小此项系统误差，在测量要求更高时，可根据理论分析得出的修正公式去补正。 1.2 不确定度的概念 测量不确定度则是评定作为测量质量指标的此量值范围，即对测量结果残存误差的评估。设测量值为x ，其测量不确定度为u ，则真值可能在量值范围(x-u ，x+u)之中，显然此量值范围越窄，即测量 不确定度越小，用测量值表示真值的可靠性就越高。 不确定度也有两类：A 类标准不确定度和B 类不确定度。 由于偶然效应，A 类标准不确定度用统计方法来评定，其就取为平均值的标准偏差，即(2)式，也可写为 n s x s x u A /)()(==-------------------------(3) B 类评定的标准不确定度为 u(x)=Δ/3--------------------------------------(4) (4)式又称为仪器的标准误差。该式是根据仪器误差概率密度函数遵从均匀分布规律，由数学计算所得。 式中Δ为极限误差或仪器误差，是在规定的使用条件下，正确使用仪器时，仪器的示值和被测量真值之间可能出现的最大误差，其可以从下列几种情况中获得：国家计量技术规范；计量仪器说明书或检定书；仪器准确度等级；仪器分度值或经验(粗略估计)等。 2 二者的比较 不同类型的误差中究竟如何来区分误差和不确定度，表达式等方面有何不同，仍然有很多教材没有说明清楚。1993年，国际标准化组织颁布了《测量不确定度表达指南》(UGM)，1999年，国家技术监督局颁布了《测量不确定度的评定与表示》 (JJF1059-1999)。这两个文件的颁布，标志着我国各技术领域 在不确 残差与误差的区别 误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似性，都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。 误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，误差越大则表示测量越不准确。误差分为两类：系统误差与随机误差。其中，系统误差与测量方案有关，通过改进测量方案可以避免系统误差。随机误差与观测者，测量工具，被观测物体的性质有关，只能尽量减小，却不能避免。 残差――与预测有关，残差大小可以衡量预测的准确性。残差越大表示预测越不准确。残差与数据本身的分布特性，回归方程的选择有关。 随机误差项Ut反映除自变量外其他各种微小因素对因变量的影响。它是Y t 与未知的总体回归线之间的纵向距离，是不可直接观测的。 残差e t 是Yt 与按照回归方程计算的Yt 的差额，它是Yt 与样本回归线之间的纵向距离，当根据样本观测值拟合出样本回归线之后，可以计算et 的具体数值。利用残差可以对随机误差项的方差进行估计。 随机误差是方程假设的，而残差是原值与拟合值的差。实践中人 们经常用残差去估计这个随机误差项。 意义不一样哈，残差一般只的是在计算近似值过程中某一步与真实值得差值，而误差指的的是最终近似值与真实值得差值 残差就是回归所得的估计值与真值（实际值）之间的误差；修正的R square就是剔出了数据量影响后的R2 3.4.3 测量不确定度评定方法 参考公式及其详解参考：https://www.wendangku.net/doc/f514256141.html,/sfzx/sy3.doc ISO发布的“测量不确定度表示指南”是测量数据处理和测量结果不确定度表达的规范，由于在评定不确定度之前，要求测得值为最佳值，故必须作系统误差的修正和粗大误差（异常值）的剔除。最终评定出来的测量不确定度是测量结果中无法修正的部分。 测量不确定度评定总的过程如图3－3所示的流程。具体的方法还要有各个环节的计算。 图3-3 测量不确定度评定流程图 1、标准不确定度的A类评定 此法是通过对等精度多次重复测量所得数据进行统计分析评定的，正如前面介绍的随机误差的处理过程，标准不确定度u(xi)＝s(xi)，是用单次测量结果的标准不确定度算出： （3-20） 其单次测量结果的标准不确定度可用贝塞尔法求得，即： = （3-21） 其实，单次测量结果的标准不确定度还有如下求法： ①最大残差法：= ，系数如表3-2所示。 表3-2 最大残差法系数 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 1.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 ②极差法：居于服从正态分布的测量数据，其中，最大值与最小值之差称为极差。= ，系数如表3-3所示。 表3-3 极差法系数 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 1.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.47 3.74 第一章 误差分析与误差的传播 一、判断题： 1.舍入误差是模型准确值与用数值方法求得的准确值产生的误差。 ( ?) 2. 用1-2 2 x 近似表示cos x 产生舍入误差。 (? ) 3. 任给实数a 及向量x ，则||||||||x x a a =。 (?) 二、填空题： 1.设* 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则* x 有(3)位有效数字。 2. * x 的相对误差的 1 2 倍。 3. 为了使计算 3 2)1(6)1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写 为 ，为了减少舍入误差，应将表达式 1999 2001-改写为 。 （1 1 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ， 199920012+；） 4. 7 22 , 141.3,142.3分别作为π的近似值有 , , 位有效数字。（4 ,3 ,3；） 5. π的近似值3.1428是准确到 近似值。答： 2 10- 6. 取 3.142x =作为 3.141592654x =┅的近似值，则x 有 位有效数字.答：4 7. 近似值* 0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； *x 的相对误差的( 3 1)倍； 9. 计算方法主要研究( )误差和( )误差；（截断，舍入） 10.近似数x*=0.0310,有（ ）位有数数字。解：3位 11. 按四舍五入原则数 2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为 和 。（ 2.7183 和 8.0000） 12. 、，则A 的谱半径 ＝ ，A 的＝ （ ） 11.计算取，利用（ ）式计算误差最小。 专业 序号 姓名 日期 实验1算法的数值稳定性实验 【实验目的】 1．掌握用MATLAB 语言的编程训练，初步体验算法的软件实现； 2．通过对稳定算法和不稳定算法的结果分析、比较，深入理解算法的数值稳定性及其重要性。 【实验内容】 1．计算积分 ()dx a x x I n ?+=1 0)(n (n=0,1,2......，10) 其中a 为参数，分别对a=0.05及a=15按下列两种方案计算，列出其结果，并对其可靠性，说明原因。 2．方案一 用递推公式 n aI I n 11n + -=- (n=1,2,......,10) 递推初值可由积分直接得)1(0a a In I += 3. 方案二 用递推公式 )1(11-n n I a I n +-= (n=N,N-1,......,1) 根据估计式 ()()() 11111+<<++n a I n a n 当1n a +≥n 或 ()()n 1111≤<++n I n a 当1 n n a 0+<≤ 取递推初值为 ()()()()11212])1(1111[21N +++=++++≈N a a a N a N a I 当1 a +≥N N 或 ()()]1111[21N N a I N +++= 当1a 0+< ≤N N 计算中取N=13开始 【解】:手工分析怎样求解这题。 【计算机求解】:怎样设计程序？流程图？变量说明？能否将某算法设计成具有形式参数的函数形式？ 【程序如下】: % myexp1_1.m --- 算法的数值稳定性实验 % 见 P11 实验课题(一) % function try_stable global n a N = 20; % 计算 N 个值 a =0.05;%或者a=15 % %-------------------------------------------- 误差及其表示方法 误差——分析结果与真实值之间的差值( > 真实值为正，< 真实值为负) 一. 误差的分类 1. 系统误差（systermaticerror ）——可定误差（determinateerror） （1）方法误差：拟定的分析方法本身不十分完善所造成； 如：反应不能定量完成；有副反应发生；滴定终点与化学计量点不一致；干扰组分存在等。 （2）仪器误差：主要是仪器本身不够准确或未经校准引起的； 如：量器（容量平、滴定管等）和仪表刻度不准。 （3）试剂误差：由于世纪不纯和蒸馏水中含有微量杂质所引起； （4）操作误差：主要指在正常操作情况下，由于分析工作者掌握操作规程与控制条件不当所引起的。如滴定管读数总是偏高或偏低。 特性：重复出现、恒定不变（一定条件下）、单向性、大小可测出并校正，故有称为可定误差。可以用对照试验、空白试验、校正仪器等办法加以校正。 2. 随机误差(randomerror)——不可定误差（indeterminateerror） 产生原因与系统误差不同，它是由于某些偶然的因素所引起的。 如：测定时环境的温度、湿度和气压的微小波动，以其性能的微小变化等。 特性：有时正、有时负，有时大、有时小，难控制（方向大小不固定，似无规律） 但在消除系统误差后，在同样条件下进行多次测定，则可发现其分布也是服从一定规律（统计学正态分布），可用统计学方法来处理 系统误差——可检定和校正 偶然误差——可控制 只有校正了系统误差和控制了偶然误差，测定结果才可靠。 二. 准确度与精密度 （一）准确度与误差（accuracy and error） 准确度：测量值（x）与公认真值（m）之间的符合程度。 它说明测定结果的可靠性，用误差值来量度： 绝对误差 = 个别测得值 - 真实值 (1) 但绝对误差不能完全地说明测定的准确度，即它没有与被测物质的质量联系起来。如果被称量物质的质量分别为1g和0.1g，称量的绝对误差同样是0.0001g，则其含义就不同了，故分析结果的准确度常用相对误差（RE%）表示： (2) （RE%）反映了误差在真实值中所占的比例，用来比较在各种情况下测定结果的准确度比较合理。 （二）精密度与偏差（precision and deviation） 精密度：是在受控条件下多次测定结果的相互符合程度，表达了测定结果的重复性和再现性。用偏差表示： 1. 偏差 绝对偏差：(3) 相对偏差：(4) 2. 平均偏差 当测定为无限多次，实际上〉30次时： 第五章误差传播定律 第五章误差传播定律 5.1误差的来源和分类（板书） 经过前面几章的学习，我们掌握了测量的基本工作—测角、量距、测高差的理论和方法。那么在这些工作中，我们通过测量得到的数据是否就是真实值呢？当然不是，因为在测量工作中，误差总是无处不在的。在我们的每一次观测中，都包含多种误差存在，因此这一章我们来学习测量中误差的特点及其规律。 一、定义： 观测值与真值之间的差值，记为： = ? Li X i- x为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值。Li为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值。i?为观测误差，即真误差。 二、误差的来源 1、测量仪器 一是仪器本身的精度是有限的，不论精度多高的仪器，观测结果总是达不到真值的。二是仪器在装配、使用的过程中，仪器部件老化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差，如水 准仪的水准管轴不平行视准轴，使得水准管气泡居中后，视线并不水平。水准尺刻划不均匀使得读数不准确。又如经纬仪的视准轴误差、横轴误差、竖盘指标差都是仪器本身的误差。 2、观测者 是由于观测者自身的因素所带来的误差，如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测量的结果。如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。 3、外界条件 测量工作都是在一定的外界环境下进行的。例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结果带来影响。 上述三项合称为观测条件 a.等精度观测：在若干次观测中，观测条件相同 b.不等精度观测 测量误差的分类 根据测量误差表现形式不同，误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。 《计算方法与分析》实验报告 实验一、误差分析 一、上机前的准备工作 1、复习和掌握与本次实验有关的教学内容。 2、根据本次实验要求，在纸上编写算法及上机的程序，并经过人工模拟运行检验，减少不必要的错误，提高上机效率。切忌不编程序、不作人工检查就进行程序输入，这只能使上机调试的难度增加，甚至可能带来学习自信心的下降，影响后续课程的学习。 二、上机实验步骤 1、启动开发环境； 2、建立源程序文件，输入源程序； 3、编译产生目标程序，连接生成可执行程序，运行程序，输出结果； 4、对数值计算结果进行误差分析，讨论数值算法的收敛性与稳定性； 5、整理实验报告。 三、实验报告 实验报告是记录实验工作全过程的技术文档，实验报告的撰写是科学技术工作的一个组成部分。《数值分析》实验报告包括下列要求： 1、实验原理； 2、实验内容和要求； 3、数值算法描述，包括数据输入、数据处理和数据输出； 4、算法的实现 （1）给出具体的计算实例， （2）经调试正确的源程序清单， （3）对具体的数值例子给出数值结果； 5、计算结果的误差分析，算法的收敛性与稳定性的讨论； 6、实验心得。 误差分析 误差问题是数值分析的基础，又是数值分析中一个困难的课题。在实际计算中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。因此，选取算法时注重分析舍入误差的影响，在实际计算中是十分重要的。同时，由于在数值求解过程中用有限的过程代替无限的过程会产生截断误差，因此算法的好坏会影响到数值结果的精度。 一、实验目的 1、通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令； 2、通过上机计算，了解误差、绝对误差、误差界、相对误差界的有关概念； 3、 通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。 二、算法实例 例 1.1 用差商h a f h a f a f ) ()()(-+≈ '求x x f ln )(=在3=x 处导数的近似值。取 1.0=h ，1000.0=h ，h =0.000 000 000 000 001和h =0.000 000 000 000 000 1分别用MATLAB 软件计算，取十五位数字计算。 解： 在MATLAB 工作窗口输入下面程序 >>a=3;h=0.1;y=log(a+h)-log(a);yx=y/h 运行后得 yx = 0.32789822822991. 将此程序中h 改为0.000 1，运行后得 yx = 0.33332777790385. 后者比前者好。再取h = 0.000 000 000 000 001，运行后得 yx = 0.44408920985006， 不如前者好。取h = 0.000 000 000 000 000 1，运行后得 yx = 0， 算出的结果反而毫无价值。 例1.2 分别求方程组b AX =在下列情况时的解，其中A ??? ? ??=01.11 11 . （1）???? ??=22b ; （2）??? ? ??=01.22b . 解： （1） 首先将方程组b AX =化为同解方程b A X 1-=，然后在MATLAB 工 第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下 实验一：误差传播与算法稳定性 一：实验内容 考虑一个简单由积分定义的序列： 显然0,1,2,.n I n >=L 当n=1时，1 110 1/x I xe dx e -==? 。而对于2n ≥时，利用分步积分 易得： 另一方面，我们有1 1 1 1/(1)n x n n I x e dx x dx n -= ≤=+? ?。 由以上递推关系，我们可以得到计算序列{}n I 的两种方法。 (Ⅰ) 11/I e =，111/,n 1,2,3,..n n I I -=-=? (Ⅱ) 0N E =, 11,,1,2,,3,2n n E E n N N N n --= =--L 二：实验要求及实验结果 （1） 分别用算法(Ⅰ)、(Ⅱ)计算，并且在计算机中分别采用5位、6位和7位有效数字， 请判断哪种算法能给出更精确的结果。 实验过程： ⅰ）编写MA TLAB 程序如下： a= input ('请输入有效位数a:'); %设定有效数字位数 syms n In In=vpa((exp(-1)),a) %vpa 设定结果有效数字 for n=2:10; In=vpa((1-n*In),a) %循环计算 End 运行文件，输入有效数字a 分别为5位、6位和7位，得到运算结果如下表格所示： ⅱ）编写MA TLAB 程序如下： function In=NO1B b= input ('请输入有效位数b:'); syms n En En=vpa(0,b) for n=10:-1:2; En=vpa(((1-En)/n),b) End 由以上两种算法所得到的数据可知，对算法11/I e =，111/,n 1,2,3,..n n I I -=-=?从8I 开始，结果变得无规律，各个有效位数计算结果都不一样，这是因为随着计算的n 增大，误差会越来越大。而对0N E =, 11,,1,2,,3,2n n E E n N N N n --= =--L ，5位、6位和7位结果相近，随着有效数字位数的增加，结果越来越精确。 （2） 两种算法的优劣，与你第一感觉是否吻合。请从理论上证明你的实验得出的结果， 解释实验得到的结果，算法(Ⅰ)中的计算误差为1e ，由1I 递推计算N I 的误差为n e ；算法(Ⅱ)中的N I 计算误差为N ε，由N I 向前递推计算n I （n N <）的误差为n ε。如果在上述两算法中都假定后面的计算不再引入其它误差，试给出n e 与1e 的关系和 n ε与N ε的关系。 ⅰ）** 11|||||(1)(1)|n n n n n e I I nI nI --=-=---11(1)!||n n |e |n e -===-L 。 ⅱ）因为* 1111||(1)(1)||N N N N I I N N N εε-= ---=由此类推，对n 实验中误差分析 余干县第三中学胡叶兰 测薄透镜焦距是少数几个在初中，高中，大学都有的物理实验之一。 其实验要求也随着物理数学知识的增加不断提高。误差分析就是其中的重要项目。本文就以中学物理实验要求对测薄凸透镜焦距实验误差进行分析。 一：系统误差 1像差我们在测薄透镜焦距时，通常把实验光具组看成是理想光具组，即同心光束经凸透镜折射后仍为同心光束，像与物在几何上完全相似。而实际上只有近轴的单色光才能近似达到这个要求。所以像差不可避免。 2.实验装置误差在实验装置上物平面与读数点的近似共面，透镜光心与读数点的近似共面，刻度尺刻度的不均匀及薄透镜的近似等都会引成系统误差。 二：偶然误差 测薄透镜焦距实验中的偶然误差主要来源于实验中对成像清晰度的 判断和刻度尺的读数。对于同一实验方法中上述偶然误差可用左右逼近法和多次测量求平均值来减小，但不同的实验方法其偶然误差大小也不同。以下就测薄凸透镜焦距的三种常用方法做具体分析. 1.自准法（平面镜法） 在光源前面加一光栏（最好再加一滤色片，使光源近似为单色光源）, 被照亮的三角形作为物，在凸透镜的另一侧放上平面镜，并调整使物 屏、凸透镜、平面镜三者共轴，采用左右逼近读数法，反复移动透镜的位置，使平面镜反射回来的光在物屏上形成一清晰的、与物等大的倒立实像，记下凸透镜的坐标和物屏的坐标，x= 即为凸透镜的焦距f. 2.物距像距法(透镜公式法) 将自准法实验装置中的平面镜取下换上像屏，调节并使它们共轴，置物屏、凸透镜于u>f某一位置，移动像屏使像屏出现清晰的倒立的实像，测出物距u和像距v,代入凸透镜公式 1/u+ 1/v = 1/f, 即f = uv/( u + v). 3.共轭法 将物屏与像屏位置固定，使它们之间的距离1> 4 f,凸透镜置 于物屏与像屏之间，并调节使它们共轴，移动凸透镜，当像屏上分别出现放大和缩小清晰像时，记下凸透镜在这两个位置的坐标，读出两坐标之间的距离d和物屏与像屏间的距离1, 代入透镜成像公式，有f=(l 2-d 2)/4 1. 4.根据三种测量方法的结果表达式和误差理论写出对应的误差表达式自准法的绝对误差为S =Sx. ( / u)Su + ( 物距像距法的绝对误差为S v)Sv 误差传播与算法稳定性计算方法 计算方法实验报告(一) 班级:软件03 姓 名:王彬学号:10161043 (一)误差传播与算法稳定性实验一一、实验 问题已知积分具有递推关系: 试在4位十进制计算机上利用两种算法计算积分，，……，。算法一:令=0.1542,计算，i=1,2,……,7; 算法二:令=0，计算， i=11,10,……,1; 哪种算法准,为什么, 二、问题的分析(描述算法的步骤等) 本题是一个递推公式的算法，由于个数较少，我们可以利用数组的下标索引便于 计算，给数组的第一个元素或者第二个元素辅以初值，然后利用递推公式写出式 子计算即可～三、程序设计 FirstMatrix=MatrixForm[{{0,0,0,0, 0,0,0,0}}] SecondMatrix=MatrixForm[{{0,0,0,0, 0,0,0,0, 0,0,0,0}}] FirstMatrix[[1,1,1]]=0.1542 For[i=2,i?8,i++,FirstMatrix[[1,1,i]] =1/(i-1) -6*FirstMatrix[[1,1,i-1]] ] SecondMatrix[[1,1,12]]=0 For[i=11,i?1,i--,SecondMatrix[[1,1,i]]=(1/(6*i))(1-i*SecondMatrix[[1,1,i+1]]) ] 四、计算结果 FirstMatrix: SecondMatrix: ( ) 五、结果分 析有结果可以看出第二种算法的各个数字都在按照规律变化，而运用第一种算 法由于系数的关系使得每一次计算误差都在扩大，因此计算时应选择第二种算法。六、实验的总结与体会这道题深刻的说明了使用一个正确算法的重 误差反向传播（Error Back Propagation, BP）算法 1、BP算法的基本思想是，学习过程由信号的正向传播与误差的反向传播两个过程组成。 1）正向传播：输入样本－>输入层－>各隐层（处理）－>输出层 注1：若输出层实际输出与期望输出（教师信号）不符，则转入2）（误差反向传播过程） 2）误差反向传播：输出误差（某种形式）－>隐层（逐层）－>输入层其主要目的是通过将输出误差反传，将误差分摊给各层所有单元，从而获得各层单元的误差信号，进而修正各单元的权值（其过程，是一个权值调整的过程）。 注2：权值调整的过程，也就是网络的学习训练过程（学习也就是这么的由来，权值调整）。 2、BP算法实现步骤（软件）： 1）初始化 2）输入训练样本对，计算各层输出 3）计算网络输出误差 4）计算各层误差信号 5）调整各层权值 6）检查网络总误差是否达到精度要求 满足，则训练结束；不满足，则返回步骤2） 3、多层感知器（基于BP算法）的主要能力： 1）非线性映射：足够多样本－>学习训练 能学习和存储大量输入－输出模式映射关系。只要能提供足够多的样本模式对供BP网络进行学习训练，它便能完成由n维输入空间到m维输出空间的非线性映射。 2）泛化：输入新样本（训练是未有）－>完成正确的输入、输出映射3）容错：个别样本误差不能左右对权矩阵的调整 4、标准BP算法的缺陷： 1）易形成局部极小（属贪婪算法，局部最优)而得不到全局最优； 2）训练次数多使得学习效率低下，收敛速度慢（需做大量运算）； 3）隐节点的选取缺乏理论支持； 4）训练时学习新样本有遗忘旧样本趋势。 注3：改进算法—增加动量项、自适应调整学习速率（这个似乎不错)及引入陡度因子 BP算法基本介绍 含有隐层的多层前馈网络能大大提高神经网络的分类能力，但长期以来没有提出解决权值调整问题的游戏算法。1986年，Rumelhart和McCelland 领导的科学家小组在《Parallel Distributed Processing》一书中，对具 一、百度百科上方差是这样定义的： （variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。 看这么一段文字可能有些绕，那就先从公式入手， 对于一组随机变量或者统计数据，其期望值我们由E(X)表示，即随机变量或统计数据的均值， 然后对各个数据与均值的差的平方求和，最后对它们再求期望值就得到了方差公式。 这个公式描述了随机变量或统计数据与均值的偏离程度。 二、方差与标准差之间的关系就比较简单了 根号里的内容就是我们刚提到的 那么问题来了，既然有了方差来描述变量与均值的偏离程度，那又搞出来个标准差干什么呢？ 发现没有，方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的，虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度，但是处理结果是不符合我们的直观思维的。 举个例子：一个班级里有60个学生，平均成绩是70分，标准差是9，方差是81，成绩服从正态分布，那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分，通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为0.6826，即约等于下图中的34.2%*2 三、均方差、均方误差又是什么？ 标准差（Standard Deviation），中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差（mean squared error，均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近），标准差是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。 从上面定义我们可以得到以下几点： 1、均方差就是标准差，标准差就是均方差 2、均方误差不同于均方误差 3、均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数 举个例子：我们要测量房间里的温度，很遗憾我们的温度计精度不高，所以就需要测量5次，得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是x，数据与真实值的误差 e=x-xi 那么均方误差MSE= 总的来说，均方差是数据序列与均值的关系，而均方误差是数据序列与真实值之间的关系，所以我们只需要搞清楚真实值和均值之间的关系就行了。 第一节 测量与误差 一、测量 所谓测量就是利用科学仪器用某一度量单位将待测量的大小表示出来，也就是说测量就是将待测量与选作标准的同类量进行比较，得出倍数值，称该标准量为单位，倍数值为数值．因此，一个物理量的测量值应由数值和单位两部分组成，缺一不可．按测量方法进行分类，测量可分为直接测量和间接测量两大类． 可以用测量仪器或仪表直接读出测量值的测量称为直接测量，如用米尺测长度，用温度计测温度，用电表测电流、电压等都是直接测量，所得的物理量如长度、温度、电流、电压等称为直接测量值；有些物理量很难进行直接测量，而需依据待测量和某几个直接测量值的 函数关系求出，这样的测量称为间接测量，如单摆法测重力加速度g 时， 224L g T π=，T （周期）、L （摆长）是直接测量值，而g 是间接测量值． 随着实验技术的进步，很多原来只能间接测量的物理量，现在也可以直接测量，例如电功率、速度等量的测量． 二、误差 1．真值与误差 物理量在客观上有着确定的数值，称为该物理量的真值．由于实验理论的近似性、实验仪器灵敏度和分辨能力的局限性、环境的不稳定性等因素的影响，待测量的真值是不可能测得的，测量结果和真值之间总有一定的差异我们称这种差异为测量误差，测量误差的大小反映了测量结果的准确程度．测量误差可以用绝对误差表示，也可以用相对误差表示． 绝对误差（X ?）=测量值（X ）－真值（0X ） (1-1-1) 相对误差（x E ）=()()% 100?0X 真值绝对误差δ （1-1-2） 测量所得的一切数据，都包含着一定的误差，因此误差存在于一切科学实验过程中，并会因主观因素的影响、客观条件的干扰、实验技术及人们认识程度的不同而不同． 2．误差的分类 根据误差性质和产生原因可将误差分为以下几类 （1）系统误差 在相同的测量条件下多次测量同一物理量，其误差的绝对值和符号保持不变，或在测量条件改变时，按确定的规律变化的误差称为系统误差． 系统误差的来源有以下几个方面： 1）由于测量仪器的不完善、仪器不够精密或安装调试不当，如刻度不准、零点不准、砝码未经校准、天平不等臂等． 2）由于实验理论和实验方法的不完善，所引用的理论与实验条件不符，如在空气中称质量而没有考虑空气浮力的影响，测电压时未考虑电表内阻的影响，标准电池的电动势未作温度修正等． 3）由于实验者缺乏经验、生理或心理特点等所引入的误差．如每个人的习惯和偏向不同，有的人读数偏高，而有的人读数偏低． 多次测量并不能减少系统误差．系统误差的消除或减少是实验技能问题，应尽可能采取各种措施将其降低到最小程度．例如将仪器进行校正，改变实验方法或在计算公式中列入一些修正项以消除某些因素对实验结果的影响，纠正不良的实验习惯等． （2）随机误差 随机误差也被称为偶然误差，它是指在极力消除或修正了一切明显的系统误差之后，在相同的测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号的变化时大时小、时正时负， 数值分析学习报告 邹凡峰1329010062 作为这学期的必修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的很差。 学习数值分析，我们首先得知道一个软件——MATLAB。数值分析所用的语言中，最重要的成分是函数，其一般形式为：Function[a，b，c，……]=fun(d，e，f，……)，对于数值分析这节课，我的理解是：只要学习并掌握好MATLAB，你就已经成功了。 因为学的不是很好对于后面的章节不能很好把握，就只能简单的对第一章中的误差总结下。通过第一章的学习，我们能够初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在第一章中，我们学到的是对数据误差计算，对误差的分析。以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 一．数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。 二．误差知识与算法知识 （1）误差来源 误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值 实验一舍入误差与数值稳定性 用两种不同的顺序计算≈1.644834，分析其误差的变化； 程序： #include 三、算法 流程图： 1）准备：计算f(x)在有根区间[a, b]端点处的值f(a), f(b)。 2）二分：计算f(x)在区间中点c= 2b a 处的函数值f(c)。3）判断 ?若f(c)与f(a)异号，则根位于区间[a, c]内，以c代替b；?若f(c)与f(a)同号，则根位于区间[c, b]内，以c代替a； 四、实验步骤 1）完成二分法的程序设计及录入； 2）完成程序的编译和链接，并进行修改； 3）用书上的例子对程序进行验证，并进行修改； 4）对比估算次数与实际二分次数； 5）输入不同的区间初值a, b，查看二分次数的变化；6）输入不同的误差限，查看二分次数的变化；粗大误差四种判别准则的比较
误差和不确定度的区别和联系
残差与误差的区别.
第一章 误差分析与误差的传播习题及解答
计算方法算法的数值稳定性实验报告
误差及其表示方法
第五章 误差传播定律
计算方法与计算 实验一误差分析
第1章数学建模与误差分析
实验一误差传与算法稳定性
测量凸透镜焦距三种方法的误差比较
误差传播与算法稳定性计算方法
误差反向传播
方差标准差均方差均方误差的区别及意义
误差与偏差
数值分析误差一点总结
计算方法与实习实验报告 舍入误差与数值稳定性