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北师大版3.2.1 函数的单调性与导数导学案 (1)

北师大版3.2.1  函数的单调性与导数导学案 (1)
北师大版3.2.1  函数的单调性与导数导学案 (1)

安边中学高三年级上学期数学学科导学稿执笔人:王广青总第16课时

复合函数的求导法则(导案)

当堂检测 1.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1)4 x x y = ; (2)1ln 1ln x y x -=+. (3)2(251)x y x x e =-+?; (4)sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解: (1)''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====, '1ln 44x x y -=。 (2)''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ (3)'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?, '2(24)x y x x e =--?。 (4)''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+

简单复合函数求导

简单复合函数的导数 一、基础知识梳理: (一)常用的求导公式 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1 7.()log ,'()(0,1); ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则 (二)复合函数的求导数公式 若u=u(x),v=v(x)在x 处可导,则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' =''+'='?'±'='± (三)复合函数求导法则 1、二重复合:若)(u f y =, )(x u φ= 且)(x u φ=在点x 处可导。 则)()('?'='x u f y φ 2、多次复合函数求导法则类推 二、典型例题分析: 例1、求下列函数的导数; 1)、3 (23)y x =- 2)、ln(51)y x =+

练习:求下列函数的导数 1)、2 (23)y x =+ 2)、3 (13)y x =- 例2、求下列函数的导数; 1)、1 31 y x = - 2)、cos(12)y x =- 练习:求导数; 1)、1ln y x = 2)、2x y e = 3)、求曲线sin 2y x =在点P (,0π)处的切线方程。 例题3 已知(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1f f g g ==== ,根据下列条件 求(5)h 及'(5)h 1)、()3()2()h x f x g x =+ 2)、 ()()()1h x f x g x =+ 3)、()2 ()() f x h x g x +=

《3.3.1函数的单调性与导数》教学案

3.3.1《函数的单调性与导数》教学案 教学目标: 1.了解可导函数的单调性与其导数的关系; 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,对多项式函数一般不超过三次; 教学重点: 利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点: 利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程: 一.创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用. 二.新课讲授 1.问题:图3.3-1(1),它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像,图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 通过观察图像,我们可以发现: (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,即()h t 是增函数.相应地,'()()0v t h t =>. (2) 从最高点到入水,运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少,即()h t 是减 函数.相应地,'()()0v t h t =<. 2.函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系. 如图3.3-3,导数'0()f x 表示函数()f x 在 点00(,)x y 处的切线的斜率. 在0x x =处,'0()0f x >,切线是“左下右上”式的,

1.3.1函数的单调性与导数教案

§1.3.1函数的单调性与导数 【教学目标】 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法。 【教学重点】利用导数判断函数单调性。 【教学难点】利用导数判断函数单调性。 【内容分析】 以前,我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1,x 2∈I ,且当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2),那么函数f (x )就是区间I 上的增函数. 对于任意的两个数x 1,x 2∈I ,且当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。 在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。 【教学过程】 一、复习引入 1. 常见函数的导数公式: 0'=C ;1)'(-=n n nx x ;x x cos )'(sin =;x x sin )'(cos -=. 2.法则1 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±. 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=. 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? . 3.复合函数的导数:设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x ),函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u ),则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数,且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x ). 4.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代. 5.对数函数的导数: x x )'(ln = e x x a a log 1 )'(log =. 6.指数函数的导数:x x e e =)'(; a a a x x ln )'(=. 二、讲解新课 1. 函数的导数与函数的单调性的关系: 我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数 342+-=x x y 的图像 可以看到: 在区间(2,∞+)内,切线的斜率为正,函数y=f(x) 的 y =f (x )=x 2-4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2,+∞) 增函数 正 >0 (-∞,2) 减函数 负 <0 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A

简单复合函数的导数

简单复合函数的导数 1. 函数f(x)=cos(?2x)的导函数是( ) A.2cos2x B.?2cos2x C.2sin2x D.?2sin2x 2. 已知函数f(x)=e2x+1?3x,则f′(0)=( ) A.0 B.?2 C.2e?3 D.e?3 3. 设函数f(x)=?cos x?x4的导函数为g(x),则|g(x)|的图象大致是( ) A. B. C. D. 4. 设f(x)=sin x cos x,则f(x)在点(π 6,f(π 6 ))处的切线的斜率为( ) A.1 2B.√3 2 C.?1 2 D.?√3 2 5. 函数f(x)=ln x x ,则f′(e)值为( ) A.0 B.1 C.1 e D.1 e2 6. 若函数f(x)=(2x?x2)e x的导数为f′(x),则f′(x)=() A.2(x+1)e x B.(2?x2)e x C.(2+x?x2)e x D.2(x?1)e x 7. 已知函数f(x)=x3?2x2+x?3,则f′(2)=( ) A.?1 B.5 C.4 D.3 8. 已知函数,则的导函数() A. B. C. D. 9. 函数y=x2sin x的导函数为________. 10. 函数f(x)的导数为f′(x),且f(x)=x2+2f′(0)x+tan x,则f′(0)+f(0)=________. 11. 设函数f(x)=x2+1 e x . (1)求f(x)的导数f′(x);

(2)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程. 12. 求下列函数的导数: (1)f(x)=x3+6x?2 ; x (2)f(x)=cos x ; e x x. (3)f(x)=(x?1)2log 2 13. 已知函数f(x)=(2x?1)2+5x. (1)求f′(x); (2)求曲线y=f(x)在点(2,19)处的切线方程.14. 分别求下列函数的导数. (1)y=e x ; x (2)y=(2x2?1)(2x+1)+2sin x?cos x.

1.3.1函数的单调性与导数教案

1.3.1函数的单调性与导数教案 谷城一中杨超 教学目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点:探索函数的单调性与导数的关系,求单调区间. 教学难点:利用导数判断函数的单调性 教学过程 一.回顾与思考 1、函数单调性的定义是什么? 2、判断函数的单调性有哪些方法?比如判断y=x2的单调性,如何进行?(分别用定义法、图像法完成) 3、函数x =怎么判断单调性呢?还有其他方法吗? 22+ x y ln 二.新知探究函数的单调性与导数之间的关系 【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个Array基本的了解.函数的单调性与函数的导数一样都是反 映函数变化情况的,那么函数的单调性与函数的导数 是否有着某种内在的联系呢? 【思考】如图(1),它表示跳水运动中高度h随 时间t变化的函数2 =-++的图像,图 h t t t () 4.9 6.510 (2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函 数' ==-+的图像.运动员从起跳到最 v t h t t ()()9.8 6.5 高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 【引导】随着时间的变化,运动员离水面的高度的变化有什么趋势?是逐渐增大还是逐步减小? 【探究】通过观察图像,我们可以发现: (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即() h t是增函数.相应地,' =>. v t h t ()()0 Array(2)从最高点到入水,运动员离水面的 高h随时间t的增加而减少,即() h t是减函 数.相应地' v t h t ()()0 =<, 【思考】导数的几何意义是函数在该点 处的切线的斜率,函数图象上每个点处的切 线的斜率都是变化的,那么函数的单调性与

数学选择性必修二 第五章 5.2.3 简单复合函数的导数

5.2.3简单复合函数的导数 学习目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则. 知识点复合函数的导数 1.复合函数的概念 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)). 思考函数y=log2(x+1)是由哪些函数复合而成的? 答案函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1两个函数复合而成的. 2.复合函数的求导法则 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=y′u·u′x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 1.y=cos 3x由函数y=cos u,u=3x复合而成.(√) 2.函数f(x)=sin(2x)的导数为f′(x)=cos 2x.(×) 3.函数f(x)=e2x-1的导数为f′(x)=2e2x-1.(√) 一、求复合函数的导数 例1求下列函数的导数: (1)y=1 (1-3x)4 ; (2)y=cos(x2); (3)y=log2(2x+1); (4)y=e3x+2. 解(1)令u=1-3x,则y=1 u4=u -4, 所以y′u=-4u-5,u′x=-3. 所以y′x=y′u·u′x=12u-5= 12 (1-3x)5 .

(2)令u =x 2,则y =cos u , 所以y ′x =y ′u ·u ′x =-sin u ·2x =-2x sin(x 2). (3)设y =log 2u ,u =2x +1, 则y x ′=y u ′u x ′=2u ln 2=2 (2x +1)ln 2. (4)设y =e u ,u =3x +2, 则y x ′=(e u )′·(3x +2)′ =3e u =3e 3x + 2. 反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点:①分解的函数通常为基本初等函数;②求导时分清是对哪个变量求导;③计算结果尽量简洁. 跟踪训练1 求下列函数的导数: (1)y = 1 1-2x ; (2)y =5log 2(1-x ); (3)y =sin ????2x +π3. 解 (1)() 12 =12,y x -- 设y =12 u -,u =1-2x , 则y ′x =()1212u 'x '?? - ???- ()32212u -?? -? ??? =- ()32 =12x .- - (2)函数y =5log 2(1-x )可看作函数y =5log 2u 和u =1-x 的复合函数, 所以y ′x =y ′u ·u ′x =5(log 2u )′·(1-x )′ = -5u ln 2=5 (x -1)ln 2 .

函数单调性与导数教案

3.3.1函数的单调性与导数 【三维目标】 知识与技能:1.探索函数的单调性与导数的关系 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间 过程与方法:1.通过本节的学习,掌握用导数研究单调性的方法 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形 结合思想、转化思想。 情感态度与价值观:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,培养学生的探索精神,引导学生养成自主学习的学习习惯。 【教学重点难点】 教学重点:探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点:探索函数的单调性与导数的关系。 【教学方法】问题启发式 【教学过程】 一.复习回顾 复习 1:导数的几何意义 复习2:函数单调性的定义,判断单调性的方法,(图像法,定义法) 问题提出:判断y=x 2 的单调性,如何进行?(分别用图像法,定义法完成) 那么如何判断();,0,sin )(π∈-=x x x x f 的单调性呢?引导学生图像法,定义去尝试发觉有困难,引出课题:板书课题:函数的单调性与导数 二.新知探究 探究任务一:函数单调性与其导数的关系: 问题1:如图(1)表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数105.69.4)(2 ++-=t t t h 的图像,图(2)表示高台跳水运动员的速度5.68.9)(')(+-==t t h t V h 的图像. 通过观察图像, 运动员从起跳到最高点,以及从最高点 到入水这两段时间的运动状态有什么区别?此时你能发 现)(')(t h t h 和这两个函数图像有什么联系吗? 启发: 函数)(t h 在(0,a)上位增函数, 函数)('t h 在(0,a)

3.1导数导学案

导数的概念及运算 一、预习案 (一)高考解读 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数,通过图像直观地理解导数的几何意义,会求在某点和过某点的切线方程。 (二)知识清单 2、求导法则 ①运算 (1)=±' )]()([x g x f 。 (2)=?')]()([x g x f 。 (3)=?? ????' )()(x g x f 。 ②复合函数的导数:设)(x v u =在x 处可导,)(u f y =在点u 处可导, 则复合函数)]([x v f 在点x 处可导,且=)('x f 。 (三)预期效果及存在困惑

二、导学案 (一)完成《新亮剑(红色)》第50页查缺补漏。 (二)高考类型 考点一、导数运算 1、已知函数ax x x x f +=sin )(,且1)2 ('=π f ,则a 的值等于( ) A.0 B.1 C.2 D.4 2、函数)(x f 的定义域是R ,2)0(=f ,对任意1)()(,'>+∈x f x f R x ,则不等式1)(+>?x x e x f e 的解集为 考点二、导数几何意义的应用 3、已知函数454)(23-+-=x x x x f 。 (1)求曲线)(x f 在点))2(,2(f 处的切线方程; (2)求经过点)2,2(-A 的曲线)(x f 的切线方程。 练习: 1(2018课标I )设函数ax x a x x f +-+=23)1()(。若)(x f 为奇函数,则曲线)(x f y =在)0,0(处的切线方程为( ) A. x y 2-= B.x y -= C.x y 2= D.x y =

2.(2017·威海质检)已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y =f (x )相切,则直线l 的方程为( ) A.x +y -1=0 B.x -y -1=0 C.x +y +1=0 D.x -y +1=0 课堂总结: 三、巩固案 1.(2016北京节选)设函数bx xe x f x a +=-)(,曲线)(x f y =在))2(,2(f 处的切线方程为4)1(+-=x e y ,求b a ,的值。 2.(2015全国II )设函数)('x f 是奇函数)(x f 的导函数,0)1(=-f ,当 0>x 时,0)()('<-x f x xf ,解不等式0)(>x f 。

函数的单调性与导数教学设计

《函数的单调性与导数》教学设计 教材分析 1、内容分析 导数是微积分的核心概念之一,是高中数学教材新增知识,在研究函数性质时有独到之处,体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用,是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解,又为研究函数的极值和最值打下了基础. 由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义,并会用定义判定函数在给定区间上的单调性.通过本节课的学习应使学生体验到,用导数判断函数的单调性比用定义要简捷的多(尤其对于三次和三次以上的多项式函数,或图像难以画出的函数而言),充分展示了导数的优越性. 2、学情分析 在必修一中,学生学习了单调函数的定义,并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性,在前几节,学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则,已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识. 用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而对大部分函数而言,变形环节是非常繁琐,甚至是无法做到的,并且不清楚“给定区间”是如何给出的,这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间,以此来激发学生的学习兴趣. 教学目标 依据新课标纲要和学生已有的认知基础和本节的知识特点,我制定了以下教学目标: 1、知识与技能目标: 借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系;培养学生的观察能力、归纳能力,增强数形结合的思维意识.

2、过程与方法目标: 会判断具体函数在给定区间上的单调性;会求具体函数的单调区间. 3、情感、态度与价值观目标: 通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,引导学生养成自主学习的学习习惯。 教学重点、难点 教学重点:1、利用导数判断函数的单调性. 2、会求不超过三次的多项式的单调区间。 教学难点:1、函数的单调性与导数的关系 2、提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力. 教学重难点的解决方法 通过问题激发学生求知欲,使学生主动参与教学实践活动,在教师的指导下发现、分析和解决问题;通过几何画板的动态演示,使抽象的知识直观化、形象化,以促进学生的理解. 教法设计: 1、自主探究法:让学生自己发现问题,自己归纳总结,自己评析解题对错,从而提高学生的参与意识和数学表达能力. 2、比较法:对同一个问题,采用不同的方法,从中体会导数法的优越性. 教学媒体 根据本节课的教学要求及学生学习的需要,我对本节课的教学媒体设计如下 1:多媒体辅助教学:制作直观,有效地多媒体课件,可以节省课堂时间,也给学生直观认识和感觉; 2:投影仪的辅助教学:利用投影把学生的解题过程及方法及时展示,可以提高学生学习数学的兴趣. 课型:新授课 教学过程 教学过程设计意图

高三数学复习教案:简单复合函数的导数

高三数学复习教案:简单复合函数的导数 【高考要求】:简单复合函数的导数(B). 【学习目标】:1.了解复合函数的概念,理解复合函数的求导法则,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数. 2.会用复合函数的导数研究函数图像或曲线的特征. 3.会用复合函数的导数研究函数的单调性、极值、最值. 【知识复习与自学质疑】 1.复合函数的求导法则是什么? 2.(1)若,则 ________.(2)若,则 _____.(3)若,则 ___________.(4)若,则 ___________. 3.函数在区间_____________________________上是增函数, 在区间__________________________上是减函数. 4.函数的单调性是_________________________________________. 5.函数的极大值是___________. 6.函数的值,最小值分别是______,_________. 【例题精讲】 1. 求下列函数的导数(1) ;(2) . 2.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同,求的值. 【矫正反馈】 1.与曲线在点处的切线垂直的一条直线是___________________. 2.函数的极大值点是_______,极小值点是__________.

(不好解)3.设曲线在点处的切线斜率为 ,若 ,则函数的周期是 ____________. 4.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直, 为原点,且 ,则的面积为______________. 5.曲线上的点到直线的最短距离是___________. 【迁移应用】 1.设 , , 若存有 ,使得 ,求的取值范围. 2.已知 , ,若对任意都有 ,试求的取值范围.

123简单复合函数的导数江苏省扬州市苏教版高中数学选修2-2导学案

1.2.3 简单复合函数的导数 1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则. 2.能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如f (ax +b )的导数). 一、知识回顾 函数的和、差、积、商的求导法则 设两个函数分别为f (x )和g (x ) 两个函数的和的导数 [f (x )+g (x )]′= 两个函数的差的导数 [f (x )-g (x )]′= 常数与一个函数的乘积的导数 [C ·f (x )]′= (C 为常数) 两个函数的积的导数 [f (x )·g (x )]′= 两个函数的商的导数 [f (x )g (x ) ]′= (g (x )≠0) 二、知识探究 1.复合函数的概念 由基本初等函数复合而成的函数,称为复合函数. cos()cos 44y x y u u x 如由及复合而成. 32 21(1)(2)(31)(3)sin (4)sin 2y x y x x y x x y x 思考:下列哪些函数可以由两个基本初等函数复合得到? 2.复合函数的求导法则 2 (2)(31)(4)sin 2y x y x 思考:下列这些复合函数可以借助于已有的知识求出导函数吗? 2(2)(31),6(31) (4)sin 2,2cos 2y x y x y x y x 思考:对照下列复合函数的复合形式,发现规律.

ln(2)x u x y y u y x 对于猜想,尝试对函数求导进行验证 若y =f (u ),u =ax +b ,则y x ′= ,即y x ′= . 其中y x ′,y u ′分别表示y 关于 的导数及y 关于 的导数. 三、知识应用 (1)ln(51)(2)cos(12) y x y x 例1:求下列函数的导数 31(1)(23)(2)31y x y x 例2:求下列函数的导数 四、当堂训练 1.指出下列函数的复合关系: (1)y =(a +bx n )m ;(2)y =(x 2+4x )3; (3)y =e2+x 2;(4)y =2sin(2-x 2). 2.求下列函数的导数. (1)y =(2x +3)2; (2)y =e -2x ; (3)y =sin (πx +φ)(其中π,φ均为常数).

高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.3 简单复合函数的导数习题 苏教版选修2-2

1.2.3 简单复合函数的导数 明目标、知重点 1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax+b)的导数). 1.复合函数的概念 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)). 2.复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数之间的关系为y x′=y u′·u x′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积. 探究点一复合函数的定义 思考1 观察函数y=2x cos x及y=ln(x+2)的结构特点,说明它们分别是由哪些基本函数组成的? 答y=2x cos x是由u=2x及v=cos x相乘得到的;而y=ln(x+2)是由u=x+2与y=ln u(x>-2)经过“复合”得到的,即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数,所以y=ln(x+2)称为复合函数. 思考2 对一个复合函数,怎样判断函数的复合关系? 答复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程.在分析时可以从外向里出发,先根据最外层的主体函数结构找出y=f(u);再根据内层的主体函数结构找出函数u=g(x),函数y=f(u)和u=g(x)复合而成函数y=f(g(x)). 思考3 在复合函数中,内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系? 答A?B. 小结要特别注意两个函数的积与复合函数的区别,对于复合函数,要掌握引入中间变量,将其分拆成几个基本初等函数的方法. 例1 指出下列函数是怎样复合而成的: (1)y=(3+5x)2;(2)y=log3(x2-2x+5); (3)y=cos 3x. 解(1)y=(3+5x)2是由函数y=u2,u=3+5x复合而成的; (2)y=log3(x2-2x+5)是由函数y=log3u,u=x2-2x+5复合而成的;

5.简单复合函数的求导法则导学案

主备人: 审核: 包科领导: 年级组长: 使用时间: §5简单复合函数的求导法则 【学习目标】 1、理解复合函数的概念,了解简单复合函数的求导法则; 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。 【重点、难点】 重点:简单复合函数的求导法则; 难点:复合函数的导数。 【使用说明与学法指导】 1、根据学习目标,自学课本内容,限时独立完成导学案; 1、用红笔勾画出疑难点,提交小组讨论; 【自主探究】 1.复合函数 对两个函数)(x f y =和)(x g y =,如果通过变量u ,y 表示成______的函数,我们称这个函数为函数)(x f y =和)(x g y =的复合函数,记作,_________其中为________变量. 2.复合函数的导数 如果函数)(x f 、)(x u 有导数,那么_____='x y 【合作探究】 求下列函数的导数 (1)82)21(x y += (2)33x x y += (3))(cos 2b ax y += (4) )12ln(+-=x y 1、 )ln 1(2x xe y x += (6)x x y -+=11ln 2、曲线x e y x 3cos 2=在)1,0(处的切线与直线l 的距离为5,求直线l 的方程。 3、已知函数2()(2)2x f x ln x a =--,a 为常数。(1)求(3)f '的值;(2)当3x =时,曲线() y f x =在点0(3)y ,处的切线经过点(11)--,,求a 的值。 【巩固提高】 1、求下列函数的导数

(1)y = 2)13(1-x (2)y =21sin2x +sin x (3)y =sin 3(3x +4π) (4)22cos 53sin x x y += 2、已知,)1()(102x x x f ++=求)0()0(f f ' 3、已知曲线23-+=x x y 在点0P 处的切线1l 平行直线014=--y x ,且点0P 在第三象限 (1)求点0P 的坐标 (2)若直线1l l ⊥,且l 也过切点0P ,求直线l 的方程。 【课堂小结】

《函数的单调性与导数》-教学设计

《函数的单调性与导数》-教学设计

《函数的单调性与导数》教学设计 一、设计理念 基于新课标提出的教学要面向全体学生、提倡探究性学习,我倡导“主动参与,乐于探究,交流合作与联系实际”的教学理念,借助多媒体的简洁性、直观性和交互性,注重与现实生活的紧密性,充分调动每位学生的学习热情,建立以“学为主体、教为主导、疑为主轴、动为主线”的教学模式。 二、教学分析 (一)教学内容分析 《函数的单调性与导数》是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2-2第一章《导数及其应用》的内容.本节课主要学习函数的单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;会求函数的单调区间.本节的教学内容属于导数的应用,是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容,学好它既可加深对导数的理解,又可为后面研究函数的极值和最值打好基础. (二)教学对象分析 学生在高一时已经掌握了函数单调性的定义,并会用定义、图像的方法解决函数单调性问题。高二的学生对高中的数学体系已经有了一定的认识,具有了较强的分析问题、解决问题的能力. (三)教学环境分析 针对学生面临的问题和本课的重难点,我决定运用文字、视频、几何画板等多媒体资源进行辅助教学,多媒体教学具有信息量大、直

观性强的特点,能提高教学效率,取得更好的教学效果,因此在多媒体教室授课. 三、教学目标 根据新课标要求和对教材的分析,并结合学生的认知特点,确定如下几个方面为本课的教学目标: (一)知识与技能 1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并会求函数的单调区间; 3.探索三次函数的单调性与系数之间的关系. (二)过程与方法 1.通过对函数单调性与导数关系的探究,让学生经历从具体到抽象,从感性到理性,从特殊到一般的认知过程; 2.培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力和语言的表达能力,领会由特殊到一般,一般到特殊的数学方法,渗透数形结合思想和化归的思想. (三)情感态度价值观 1.通过创设情境,激发学生学习数学的情感,培养其严谨治学的态度; 2.通过在教学过程中让学生多动手、细观察、勤思考、善总结,培养学生的探究精神. 四、教学重难点 对于函数的单调性与导数的关系,学生的认知困难主要体现在:

《1.2.3 简单复合函数的导数》导学案1

《1.2.3简单复合函数的导数》导学案 一、教学目标 1.掌握简单复合函数的导数的推导 2.简单复合函数的导数的应用 二、教学重点:掌握简单复合函数的导数的推导 三、教学难点:简单复合函数的导数的应用 四、教学过程 【基础知识梳理】 1.复合函数的求导数公式 2.根据导数的概念,求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示 3.运算法则 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即: [()()]()().f x g x f x g x '''±=± 法则2:[()]().()Cf x Cf x C ''=为常数

法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数:[()()]()()()().f x g x f x g x f x g x '''=+ 法则4:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即: 2()()()()()[ ]()() f x f x g x f x g x g x g x ''-'= ()0g x ≠其中 4.复合函数: 由几个函数复合而成的函数,叫复合函数.由函数()y f u = 与 ()u x ?= 复合而成的函数一般形式是[()]y f x φ=,其中u 称为中间变量. 【问题探究】 问题1:求函数2(32)y x =-的导数 . 问题2:考察函数sin 2y x =的导数. 【建构数学】 一般地,我们有u =ax +b 时,有若 y =f (u ),u =ax +b ,则'''x u x y y u =?,''x u y y a =?即: ? 对于一般的复合函数,结论也成立 . ? 复合函数的求导法则 ? 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数 ,即'''x u x y y u =? 【数学运用】 例1 试说明下列函数是怎样复合而成的,并求下列函数的导数: 31(1)(23);(2)ln(51);(3);(4)cos(12).31 y x y x y y x x =-=+= =--

5.2.3 简单复合函数的导数

5.2.3简单复合函数的导数 基础过关练 题组一复合函数的求导法则 1.函数y=(2020-8x)3的导数y'=() A.3(2020-8x)2 B.-24x C.-24(2020-8x)2 D.24(2020-8x)2 2.若f(x)=e x ln2x,则f'(x)=() A.e x ln2x+e x 2x B.e x ln2x-e x x C.e x ln2x+e x x D.2e x·1 x 3.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为() A.1 2B.2 3 C.3 4 D.1 4.若函数f(x)=√4x-3,则f'(x)=. 5.函数f(x)=cos2x e x 的导函数f'(x)=. 6.求下列函数的导数. (1)y=x 2 (2x+1) ; (2)y=e-x sin2x; (3)y=ln√2x+1-1; (4)y=cos(-2x)+32x+1. 深度解析

题组二复合函数求导的综合运用 7.曲线f(x)=e4x-x-2在点(0,f(0))处的切线方程是() A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0 C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0 8.某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=√10t,则在时刻t=40min的降雨强度为() A.20mm/min B.400mm/min C.1 2mm/min D.1 4 mm/min 9.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则lim Δx→0f(1-2Δx)-f(1) Δx 的值为() A.10 B.-10 C.-20 D.20 10.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为() A.1 B.2 C.-1 D.-2 11.设函数f(x)在(-∞,+∞)内的导函数为f'(x),若f(ln x)=x+1 x ,则 f(0) f'(0) =() A.2 B.-2 C.1 D.e+1 12.设曲线y=e ax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则 a=. 13.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为. 14.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y 轴交于点(0,6),试确定a的值.

导数导学案

-可编辑修改- §3.1 变化率与导数(1) 学习目标 1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景; 2.会求函数在某一点附近的平均变化率; 学习过程 一、新课导学 问题1:气球膨胀率,求平均膨胀率 吹气球时,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象? 问题2:高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:米)与起跳后的时间t (单位:秒)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 新知:平均变化率:_______________=_______ 试试:设()y f x =,1x 是数轴上的一个定点,在数轴x 上另取一点2x ,1x 与2x 的差记为x ?,即 x ?= 或者2x = ,x ?就 表示从1x 到2x 的变化量或增量,相应地,函数的变 化量或增量记为y ?,即y ?= ;如果它 们的比值y x ??,则上式就表示为 , 此比值就称为平均变化率. 反思:所谓平均变化率也就是 的增量 与 的增量的比值. ※ 典型例题 例1已知函数2 ()f x x =,分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率: (1)[1,1.1]; (2)[1,2] 变式:已知函数2()f x x x =-+的图象上一点 (1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+?-+?,则y x ??= 小结 1.函数()f x 的平均变化率是 2.求函数()f x 的平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量 (2)计算平均变化率 ※ 学习探究二 问题3:计算运动员在49 65 0≤ ≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: ⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什 么问题吗? 新知: 1. 瞬时速度定义:物体在某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度. 2.导数的概念

1.3.1 函数的单调性与导数

1.3.1 函数的单调性与导数 知识要点 1,函数的单调性与其导函数的关系:在某个区间(),a b内,如果,那么函数() =在这个区间内单 y f x y f x =在这个区间内单调递增;如果,那么函数() f x在这个区间内为常函数。 调递减;如果恒有,那么函数() 内,这时,函数的图像就比较;反之,函数的图像就比较。 教材拓展 求函数单调区间的步骤与方法: (1) (2) (3) (4) 典型例题

知识点一,求函数的单调区间 例1,求下列函数的单调区间 (1)()3f x x x =- (2)1x y e x =-+ (3)ln y x x =- (4) 12y x = 变式训练1,求函数)0y a =>的单调区间 知识点二,判断函数的单调性 例2,已知a R ∈,讨论函数()2ax f x x e =?的单调区间 变式训练2,已知()()10,11 x x a f x a a a -=>≠+,讨论()f x 的单调性 知识点三,求参数的取值范围 例3,已知函数()()()()3212,f x x a x a a x b a b R =+--++∈ (1)若函数()f x 的图像过原点,且在原点处的切线斜率是3-,求,a b 的值; (2)若函数()f x 在区间()1,1-上不单调,求a 的取值范围。 变式训练3,若函数()325f x ax x x =-+-在R 山单调递增,求a 的取值范围 作业练习

水平基础题 1.函数y =x sin x +cos x ,x ∈(-π,π)的单调增区间是( ) A.? ???-π,-π2和????0,π2 B.????-π2,0和??? ?0,π2 C.? ???-π,-π2和????π2,π D.????-π2,0和??? ?π2,π 2.下列命题成立的是( ) A .若f (x )在(a ,b )内是增函数,则对任何x ∈(a ,b ),都有f ′(x )>0 B .若在(a ,b )内对任何x 都有f ′(x )>0,则f (x )在(a ,b )上是增函数 C .若f (x )在(a ,b )内是单调函数,则f ′(x )必存有 D .若f ′(x )在(a ,b )上都存有,则f (x )必为单调函数 3.(2007·福建理,11)已知对任意实数x ,有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),且x >0时,f ′(x )>0,g ′(x )>0,则x <0时( ) A .f ′(x )>0,g ′(x )>0 B .f ′(x )>0,g ′(x )<0 C .f ′(x )<0,g ′(x )>0 D .f ′(x )<0,g ′(x )<0 4.已知函数f (x )=ax -ln x ,若f (x )>1在区间(1,+∞)内恒成立,实数a 的取值范围为________. 5.设函数f (x )=x 3-3ax 2+3bx 的图象与直线12x +y -1=0相切于点(1,-11). (1)求a 、b 的值; (2)讨论函数f (x )的单调性. 水平提升题 6.f (x )是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf ′(x )+f (x )≤0,对任意正数a 、b ,若a 2f (1) 8.(2010·江西理,12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)=0),则导函数y =S ′(t )的图像大致为 ( ) 9.函数 y =ln(x 2-x -2)的单调递减区间为__________. 10.若函数y =x 3-ax 2+4在(0,2)内单调递减,则实数a 的取值范围是____________. 11.求证:方程x -12 sin x =0只有一个根x =0. 12.已知函数y =ax 与y =-b x 在(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y =ax 3+bx 2+5的单调区间.

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