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全国高考大纲版数学(理)试卷及答案【精校版】

普通高等学校统一考试（大纲）

理科

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设103i

z i

+，则z 的共轭复数为（）

A ．13i -+

B ．13i --

C ．13i +

D ．13i - 【答案】D ．

2.设集合2

{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =I （）

A ．(0,4]

B ．[0,4)

C ．[1,0)-

D ．(1,0]- 【答案】B.

3.设sin33,cos55,tan35,a b c =?=?=?则（）

A ．a b c >>

B ．b c a >>

C ．c b a >>

D ．c a b >> 【答案】C ．

4.若向量,a b r r 满足：()()

1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥r r r r r r r 则b =r

（）

A ．2

C ．1

D ．2

【答案】B ．

5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）

A ．60种

B ．70种

C ．75种

D ．150种【答案】C ．

6.已知椭圆C ：22

221x y a b

+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的

直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ?的周长为C 的方程为（）

A ．

22132x y += B ．22

13x y += C ．221128x y += D ．221124

x y += 【答案】A ． 7.曲线1

x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于

（）

A ．2e

B ．e

C ．2

D ．1 【答案】C ．

21cos AF F ∠=（）

A ．

B ．13

C ．4

D ．3

【答案】A ．

10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3 【答案】C ．

11.已知二面角l αβ--为60?，AB α?，AB l ⊥，A 为垂足，CD β?，C l ∈，

135ACD ∠=?，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为

（）

A ．

14 B

．4 C

．4 D ．1

【答案】B.

12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（）

A ．()y g x =

B ．()y g x =-

C ．()y g x =-

D ．()y g x =-- 【答案】D.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

15．直线1l 和2l 是圆2

2x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的

正切值等于 . 【答案】

． 16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62

ππ

是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1

tan 3

A =，

求B .

解：由题设和正弦定理得

3sin cos 2sin cos ,3tan cos 2sin .tan ,cos 2sin ,3

A C C A A C C A C C =\==

\=Q ()()1tan tan tan ,tan tan 180tan 1,2tan tan 1

A C C

B A

C A C A C +轾\=\=?+=-+==-臌-又0180,135B B

<癨??．

18. （本小题满分12分）

等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设1

n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故

450,0,a a ≥≤于是1030,1040d d +≥+≤，解得10

d -＃-

，因此3d =-，故

()

10103n n =-．

19.

（本小题满分12分）

如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，0

90ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.

（I ）证明：11AC A B ⊥；

（II ）设直线1AA 与平面11BCC B ，求二面角1A AB C --的大小.

解：解法一：（I ）1A D ^平面ABC ，1A D ì平面11AAC C ，故平面11AAC C ^平面ABC ．又BC AC ^，

BC \^平面11AAC C ．连结1AC ，∵侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC ^，由三垂线定理得11AC A B ^；（II ）BC ^平面11,AAC C BC ì平面11BCC B ，故平面11AAC C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1A E

为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，1A E

．∵1

AC 为1ACC D的角平分线，故11A D A E ==．作

解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．由题设知1A D 与z 轴平行，z 轴在平面11AAC C 内．（

）

设

()

1,0,A a c ，由题设有()()2,2,0,0,0,1,0,a A B ￡则

()()()()()11112,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,.

AB AC AA a c AC AC AA a c BA a c =-=-=-=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r

由

AA =u u u r 得2

，即2240a a c -+=（①）．于是

2211

1140,AC BA a a c AC A B ?-+=\^u u u u r u u u r ．

（II ）设平面11BCC B 的法向量(),,,

m x y z =u r

则1,,

m CB m BB ^^u r u u u r u r u u u r

即

0,0m CB

m BB ??u r u u u r u r u u u r ．()0,1,0,CB =u u u r

()112,0,,BB AA a c ==-u u u r u u u r

故0y =，且

()20

a x cz -+=．令

x c =，则()

2,,0,2z a m c a =-=-u r

，

点

到

平

面

BCC B 的

距

离

为

cos ,CA m CA m CA

c m

×?==u u u r u r u u u r u r u u u r u r ．又依题设，点A 到平面1

1BCC B

的距离为

c \=

3a =（舍去）或1

a =．于是(11,0,AA =-u u u r

．设平面1ABA 的

法向量(),,n p q r =r ，则1,n AA n AB ^^r u u u r r u

u u r ，即1

0,0,0n AA n AB

p ??\-+=r u u u r r u u u r

，故且

20p q -+

=．令

p =则1,

q r =

n =

．又()0,0,1p =u r

为平面ABC 的

r u r

，∴二面角1A AB C --的大小为1

arccos 4．

人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人需使用设备的概率；

（II ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.

解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，0,1,2i =；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．（I ）122D A B C A B A B C =??+?+??，又

()()()()220.6,0.4,0.5,0,1,2.i

i P B P C P A C i P D ===?=∴=

()()()()()()()()()()()()1221221220.31.

P A B C A B A B C P A B C P A B P A B C P A P B P C P A P B P A P B P C ??+?+??=??+?+??=++=（II ）X 的可能取值为0，1，2，3，4．

()()()()()()()200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==??==-??-=，

()()

()()()()()()()()()

00100110.60.5P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==??+??+??=++=?()()()()()()22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4P X P A B C ?-+-??+-???-===??=

()()()()()()()(220.50.60.40.06,340.25,210P A P B P C P X P D P X P X P X =??===-====-=()()()13410.060.250.250.060.38.P X P X P X -=-=-==----=

∴数学期望

()()()()()00112233440.2520.3830.25

40.06

EX P X

P X

=?+?+?+?+?=+???

21. （本小题满分12分）

已知抛物线C ：2

2(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5

||||4

QF PQ =. （I ）求C 的方程；

（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，l

，代入22y px =，得0x =，解得2p =-（舍去）或故可设l 的方程为x my =+则124,y y m +=

124y y =-．故AB 的中点为()()221221,2,41D m m AB y m +=-=+．又l ￠的斜率

为,m l ￠-\的方程为21

23x y m m

=-++．将上式代入24y x =，并整理得()224

4230y y m m +

-+=．

设()()3344,,,,M x y B x y 则()234344,423y y y y m m

+=-=-+．故MN

的中点为(22342

2412223,,m E m MN y m

+骣÷?++-=-=÷?÷?桫由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12

AE BE MN ==，从而

222

11,44

AB DE MN +=即()()()2

2222

4121224122m m m m m m m ++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．

22. （本小题满分12分）

函数()()()ln 11ax

f x x a x a

=+-

>+. （I ）讨论()f x 的单调性；

（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：

+22

n a n n <≤

+. 解：（I ）()f x 的定义域为()()()()()

221,,1x x a a f x x x a ??--??'-+∞=++．（i ）当12a <<时，若()

21,2x a a ∈--，则()()0,f x f x '>在()

21,2a a --上是增函数；若()

22,0,x a a ∈-则()()0,f x f x '<在

()2

2,0a

a -上是减函数；若

()0,,x ∈+∞则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数．

（ii ）当2a =时,()()

0,0f x f x ⅱ?成立当且仅当()0,x f x =在()1,-+?上是增函数．

（iii ）当2a >时，若()1,0x ?，则()()0,f x f x '>在是()1,0-上是增函数；若

()()0,f x f x '<在()20,2a a -上是减函数；若()22,x a a ∈-+∞，()

22,a a -+∞上是增函数．

2时，()f x 在()1,-+?是增函数．当()0,x ??时，()()00f x f >=，

)0．又由（I ）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数；当()

0,3x ?时，()()00f x f <=，即()()3ln 1033

x x x +<<<+．下面用数学归纳法证明23

n a n n

++．（i ）当1n =时，由已知12

a <=，故结论成立；

（ii ）假设当n k =时结论成立，即

k a k k

++．当1n k =+时，()()1123

223322ln 1ln 1,ln 1ln 123

232

3232

k k k k k k a a a a k k k k k k ++创

骣骣++鼢珑=+>+>==+?<=鼢珑鼢珑桫桫++++++++，即当1n k =+时有23

k a k k

++，结论成立．根据（i ）、（ii ）知对任何n N *?结论都成立．

高考理科数学考试大纲

理科数学 Ⅰ．考核目标与要求根据普通高等学校对新生文化素质的要求,依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列2和系列4的内容,确定理工类高考数学科考试内容. 一、知识要求知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. 1.了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解,知道、识别,模仿,会求、会解等. 2.理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述,说明,表达,推测、想象,比较、判别,初步应用等. 3.掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、解决问题等. 二、能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 1.空间想象能力：能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志. 2.抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象概括能力是对具体的、生动的实例,经过分析提炼,发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或做出新的判断.

上海高考数学考试大纲

上海高考数学考试大纲附录：教材章节目录一、考试性质上海市数学科高考的指导思想是有助于高等学校选拔新生，有助于中学实施素质教育和对学生创新精神与实践能力的培养。它是2012年全日制高中阶段毕业生和具有同等学力的考生报考理工农医类、文史类各专业的选拔性考试。考试应具有较高的信度和效度，适当的难度和区分度。高等学校根据学生成绩，按计划、全面衡量，择优录取。二、考试目标考察学生的数学基本知识和基本技能、逻辑思维能力、运算能力、空间想象力、分析问题与解决问题的能力以及数学探究与创新能力。三、行为目标 1. 数学基本知识和基本技能 1.1 理解或掌握初等数学中有关数与运算、方程与代数、函数与分析、数据与概率统计、图形与几何的基本知识。

1.2 领会几何、对应、函数、算法、数学建模、概率、统计以及化归、数形结合、分类讨论、分解与组合等基本数学思想，掌握坐标法、参数法、逻辑划分和等价转换等基本数学方法。 1.3 能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理；掌握数学阅读、表达以及文字语言、图形语言、符号语言之间进行转换的基本技能，会使用函数型计算器进行有关计算。 2. 逻辑思维能力 2.1 能从数学的角度有条理地思考问题。2.2 具有对数学问题或资料进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力。 2.3 会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点。 2.4 会正确而简明的表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性。 3. 运算能力 3.1 理解数和式的有关算理。

浙江省高中数学高考考纲

2019年浙江省高中数学高考考纲一、三角函数、解三角形 1．了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算． 2．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质，了解三角函数的周期性．3．理解同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式． 4．了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义，掌握y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． 5．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式．6．掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明． 7．掌握正弦定理、余弦定理及其应用．二、立体几何 1．了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征． 2．了解简单组合体，了解中心投影、平行投影的含义． 3．了解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体．会用斜二测画法画出它们的直观图． 4．会计算柱、锥、台、球的表面积和体积． 5．了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义．掌握如下可以作为推理依据的公理和定理．公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 6．理解空间线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理． (1)判定定理： ①平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ②一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ③一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直； ④一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． (2)性质定理：

2019年高考数学考纲与考试说明解读

2019年高考数学考纲与考试说明解读专题一：函数、极限与导数的综合问题（一）不等式、函数与导数部分考查特点分析与建议

全国课标卷考查内容分析（考什么）（一）结论：考查的核心知识为:函数的概念、函数的性质、函数的图象、导数的应用函数的概念：函数的定义域、值域、解析式（分段函数）; 函数的性质：函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性; 函数的图象：包含显性与隐性；导数的应用：导数的概念及其几何意义;利用导数求单调区间、极值、最值与零点；结合函数的单调性解不等式或证明不等式、求参数范围．（二）试题题型结构：全国卷基本上是2道选择题或填空题、1道解答题，共3道题.分值为22分．（三）试题难度定位：全国卷对函数与导数的考查难度相对稳定，选择、填空题中，有一道为中等难度，另一道作为选择、填空的“压轴题”进行考查；解答题均放置于“压轴”位置．小题考点可总结为八类：（1）分段函数；（2）函数的性质；（3）基本函数；（4）函数图像；（5）方程的根（函数的零点）；（6）函数的最值；（7）导数及其应用；（8）定积分。解答题主要是利用导数处理函数、方程和不等式等问题，有一定的难度，往往放在解答题的后面两道题中的一个．纵观近几年全国新课标高考题，常见的考点可分为六个方面：（1）变量的取值范围问题；（2）证明不等式的问题；（3）方程的根（函数的零点）问题；（4）函数的最值与极值问题；（5）导数的几何意义问题；（6）存在性问题。

考点：题型1 函数的概念例1 有以下判断： ①f (x )＝|x | x 与g (x )＝? ?? ?? 1 x －x 表示同一函数； ②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2 －2t ＋1是同一函数； ④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ? ?? ??f ? ????12＝0. 其中正确判断的序号是________. 题型2 函数的概念、性质、图象和零点（2017年全国新课标Ⅰ卷理科第8题）例 2、已知函数()() 211 2x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A. 12- B. 13 C. 1 2 D. 1 C 【解析】函数()f x 的零点满足() 211 2e e x x x x a --+-=-+，设()1 1 e e x x g x --+=+，则()()211 1 1 1 1 1e 1 e e e e e x x x x x x g x ---+----=-=- = '，当()0g x '=时， 1x =；当1x <时， ()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时， ()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为 ()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和 ()ag x -有一个交点，即21a -?=-，解得1 2 a = .故选C. 例3、（2012理科）（10）已知函数 1 ()ln(1)f x x x =+-；则() y f x =

高考文科数学考试大纲

20XX年高考文科数考试大纲(新课标) 二、考试范围与要求本部分包括必考内容和选考内容两部分。必考内容为《课程标准》的必修内容和选修系列Ⅰ的内容；选考内容为《课程标准》的选修系列4的“几何证明选讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”等3个专题。（一）必考内容与要求 1.集合（1）集合的含义与表示（2）集合间的基本关系（3）集合的基本运算 2．函胜概念与基本初等函效Ⅰ（指致函做、对数函致、幂函数) （1）函数（2）指数函数(3)对数函数（4）冥函数(5)函数与方程(6)函数模型及其应用 3.立体几何初步 ①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构. (2)点、直线、平面之间的位工关系 ①理解空间直先、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推 ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。理解以下判定定理. ③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空空间图形的位置关系的简单命题。 4．平面解析几何初步 (2)圆与方程（3）空间直角坐标系 5.算法初步 6.统计 (1)随机抽样(2)用样本估计总体(3)变量的相关性 7.概率 (1)事件与概率 (2)古典概型 (3)随机数与几何概型 8.基本初等函数Ⅱ（三角函数）（1）任意角的概念、弧度制（2）三角函数 9.平面向. (I)平面向量的实际背景及基本概念（2）向量的线性运算（3）平面向量的基本定理及坐标表示 (4)平面向量的数量积 (5)向量的应用 10.三角恒等变换 (1)和与差的三角函数公式 ①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.

上海高中高考数学知识点总结(大全)

上海高中高考数学知识点总结（大全）一、集合与常用逻辑 1．集合概念元素：互异性、无序性 2．集合运算全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且并集：}{B x A x x B A ∈∈=?或补集：}{A x U x x A C U ?∈=且 3．集合关系空集A ?φ 子集B A ?:任意B x A x ∈? ∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ?则q ? 逆否命题：若q ?则p ? 原命题?逆否命题否命题?逆命题 5．充分必要条件 p 是q 的充分条件：q P ? p 是q 的必要条件：q P ? p 是q 的充要条件：p ?q 6．复合命题的真值 ①q 真（假）?“q ?”假（真） ②p 、q 同真?“p ∧q ”真 ③p 、q 都假?“p ∨q ”假 7.全称命题、存在性命题的否定 ?∈M, p(x ）否定为: ?∈M, )(X p ? ?∈M, p(x ）否定为: ?∈M, )(X p ? 二、不等式

1．一元二次不等式解法若0>a ，02 =++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则 02<++c bx ax 解集),(βα 02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα 注：若0a 情况 2．其它不等式解法—转化 a x a a x <<-?a x a x >或a x - 0) () (>x g x f ?0)()(>x g x f ?>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1） ?>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()() >