考研数学一20年完整真题
1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x =_____________时,函数2x
y x =?取得极小值.
(2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是_____________.
1
x =
(3)与两直线 1y t =-+及121
111
x y z +++==
都平行且过原点的平面方程为_____________.
2z t =+
(4)设L 为取正向的圆周2
2
9,x y +=则曲线积分2
(22)(4)L
xy y dx x
x dy -+-? =
_____________.
(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量
(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________.
二、(本题满分8分)
求正的常数a 与,b 使等式2
01lim
1sin x x bx x →=-?成立.
三、(本题满分7分)
(1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求
,.u v x x
???? (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014????
=??????
A 求矩阵.B
四、(本题满分8分)
求微分方程2
6(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >
五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设2
()()
lim
1,()
x a
f x f a x a →-=--则在x a =处 (A)()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B)()f x 取得极大值 (C)()f x 取得极小值
(D)()f x 的导数不存在
(2)设()f x 为已知连续函数0
,(),s t I t f tx dx =?
其中0,0,t s >>则I 的值
(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t 和x (C)依赖于t 、x ,不依赖于s
(D)依赖于s ,不依赖于t
(3)设常数0,k >则级数2
1
(1)n
n k n
n ∞
=+-∑ (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛
(D)散敛性与k 的取值有关
(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*
||A 等于 (A)a
(B)
1a
(C)1n a -
(D)n a
六、（本题满分10分） 求幂级数
1
1
12n n
n x n ∞
-=∑ 的收敛域，并求其和函数.
七、（本题满分10分） 求曲面积分
2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑
=++--??
其中∑
是由曲线13
()0z y f x x ?=≤≤?=?=??
绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y
轴正向的夹角恒大于.2
π
八、（本题满分10分）
设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间
(0,1)内,且()f x '≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x =
九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组
1
23423423412340221(3)2321
x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=-
有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________.
(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.
(3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为221
(),x x f x -+-=则X 的数学期望为
____________,X 的方差为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为
()X f x = 10 01x ≤≤其它,()Y f y = e 0
y - 0
0y y >≤,
求2Z X Y =+的概率密度函数.
1988年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求幂级数1
(3)3n
n
n x n ∞
=-∑的收敛域. (2)设2
()e ,[()]1x f x f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义域. (3)设∑为曲面2
2
2
1x y z ++=的外侧,计算曲面积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑
=
++??
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (1)若21()lim (1),tx x f t t x
→∞
=+则()f t '= _____________.
(2)设()f x 连续且
31
(),x f t dt x -=?
则(7)f =_____________.
(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x = 2
2x
1001
x x -<≤<≤,则的傅里
叶()Fourier 级数在1x =处收敛于_____________.
(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _____________.
三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设()f x 可导且01
(),2f x '=则0x ?→时,()f x 在0x 处的微分dy 是 (A)与x ?等价的无穷小 (B)与x ?同阶的无穷小 (C)比x ?低阶的无穷小
(D)比x ?高阶的无穷小
(2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数
()f x 在点0x 处
(A)取得极大值
(B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加
(D)某邻域内单调减少
(3)设空间区域22222222
12:,0,:,0,0,0,
x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则
(A)1
2
4xdv dv ΩΩ=??????
(B)1
2
4ydv ydv ΩΩ=??????
(C)
1
2
4zdv zdv ΩΩ=??????
(D)
1
2
4xyzdv xyzdv ΩΩ=??????
(4)设幂级数
1
(1)
n
n n a x ∞
=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处 (A)条件收敛
(B)绝对收敛
(C)发散
(D)收敛性不能确定
(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα (B)12,,,s ααα 中任意两个向量均线性无关
(C)12,,,s ααα 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)12,,,s ααα 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示
四、(本题满分6分)
设()(),x y
u yf xg y x
=+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求222.u u x y
x x y ??+???
五、(本题满分8分)
设函数()y y x =满足微分方程322e ,x
y y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线
21y x x =--在该点处的切线重合,求函数().y y x =
六、（本题满分9分）
设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2
(0k
k r >为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M
沿直线y =
自(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点
A 对质点M 的引力所作的功.
七、（本题满分6分）
已知,=AP BP 其中100100000,210,001211????
????==-????????-????
B P 求5
,.A A
八、（本题满分8分）
已知矩阵20000101x ????=??????A 与20000001y ??
??=????-??
B 相似. (1)求x 与.y
(2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P
九、（本题满分9分）
设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x '>证明:在(,)a b 内存在唯一
的,ξ使曲线()y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围平面图形面积2S 的3倍.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于
19
,27
则事件A 在一次试验中出现的概率是____________. (2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于
6
5
”的概率为____________. (3)设随机变量X 服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知
22
(),(2.5)0.9938,u x
x du φφ-
==?
则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X 的概率密度函数为2
1
(),(1)
X f x x π=-
求随机变量1Y =-度函数().Y f y
1989年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知(3)2,f '=则0
(3)(3)
lim
2h f h f h
→--= _____________.
(2)设()f x 是连续函数,且1
()2
(),f x x f t dt =+?
则()f x =_____________.
(3)设平面曲线L
为下半圆周y =则曲线积分
22()L
x y ds +?
=_____________.
(4)向量场div u 在点(1,1,0)P 处的散度div u =_____________.
(5)设矩阵300100140,010,003001????????==????????????
A I 则矩阵1
(2)--A I =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)当0x >时,曲线1sin
y x x
= (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线
(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线
(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近
线
(2)已知曲面2
2
4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210,x y z ++-=则点的坐标是
(A)(1,1,2)- (B)(1,1,2)- (C)(1,1,2)
(D)(1,1,2)--
(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是
(A)11223c y c y y ++
(B)1122123()c y c y c c y +-+
(C)1122123(1)c y c y c c y +---
(D)1122123(1)c y c y c c y ++--
(4)设函数2
(),01,f x x x =≤<而1
()sin ,,n
n S x b
n x x π∞
==
-∞<<+∞∑其中
1
02()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==? 则1
()2S -等于
(A)12- (B)14-
(C)14 (D)12
(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中 (A)必有一列元素全为0
(B)必有两列元素对应成比例
(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合
(D)任一列向量是其余列向量的线性
组合
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续二阶偏导数,
求
2.z
x y
???
(2)设曲线积分
2()c
xy dx y x dy ?+?
与路径无关,其中()x ?具有连续的导数,且(0)0,
?=计算
(1,1)
2(0,0)
()xy dx y x dy ?+?
的值.
(3)计算三重积分
(),x z dv Ω
+???
其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.
四、(本题满分6分)
将函数1()arctan 1x
f x x
+=-展为x 的幂级数.
五、(本题满分7分) 设0
()sin ()(),x
f x x x t f t dt =-
-?
其中f 为连续函数,求().f x
六、（本题满分7分）
证明方程0
ln e x x π
=
-?在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根. 七、（本题满分6分）
问λ为何值时,线性方程组
13x x λ+=
123422x x x λ++=+ 1236423x x x λ++=+
有解,并求出解的一般形式.
八、（本题满分8分）
假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)
1
λ
为1-A 的特征值. (2)
λ
A
为A 的伴随矩阵*A 的特征值.
九、（本题满分9分）
设半径为R 的球面∑的球心在定球面2
2
2
2
(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球
面∑在定球面内部的那部分的面积最大?
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,
P B A =则和事件A B 的概率()P A B =____________. (2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,
则它是甲射中的概率为____________.
(3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程2
10x x ξ++=有实根的概率是____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)的正态分布,而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.
1990年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
2
x t
=-+
(1)过点(1,21)
M-且与直线34
y t
=-垂直的平面方程是_____________.
1
z t=-
(2)设a为非零常数,则lim()x
x
x a
x a
→∞
+
-
=_____________.
(3)设函数()
f x=
1
1
1
x
x
≤
>
,则[()]
f f x=_____________.
(4)积分2
22
e y
x
dx dy
-
??的值等于_____________.
(5)已知向量组
1234
(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),
====
αααα
则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设()
f x是连续函数,且e
()(),
x
x
F x f t dt
-
=?则()
F x
'等于
(A)e(e)()
x x
f f x
--
--(B)e(e)()
x x
f f x
--
-+
(C)e(e)()
x x
f f x
---(D)e(e)()
x x
f f x
--+
(2)已知函数()
f x具有任意阶导数,且2
()[()],
f x f x
'=则当n为大于2的正整数时,()
f x的n阶导数()()
n
f x是
(A)1
![()]n
n f x+(B)1
[()]n
n f x+
(C)2
[()]n
f x(D)2
![()]n
n f x
(3)设a为常数,则级数
2
1
sin()
[
n
na
n
∞
=
∑
(A)绝对收敛(B)条件收敛
(C)发散(D)收敛性与a的取值有关
(4)已知()
f x在0
x=的某个邻域内连续,且
()
(0)0,lim2,
1cos
x
f x
f
x
→
==
-
则在点0
x=处
()f x
(A)不可导
(B)可导,且(0)0f '≠ (C)取得极大值
(D)取得极小值
(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是
(A)12
11212()2k k -+++
ββααα (B)12
11212()2k k ++-+
ββααα (C)12
11212()2
k k -+++ββαββ
(D)12
11212()2
k k ++-+ββαββ
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求
1
20ln(1).(2)x dx x +-?
(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求
2.z
x y
??? (3)求微分方程244e x
y y y -'''++=的通解(一般解).
四、(本题满分6分) 求幂级数
(21)n
n n x
∞
=+∑的收敛域,并求其和函数.
五、(本题满分8分) 求曲面积分
2S
I yzdzdx dxdy =+??
其中S 是球面222
4x y z ++=外侧在0z ≥的部分.
六、（本题满分7分）
设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且
()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>
七、（本题满分6分） 设四阶矩阵
1100213401100
213,0011002100010
002-????
????-?
???==????
-????
????
B C 且矩阵A 满足关系式
1()-''-=A E C B C E
其中E 为四阶单位矩阵1
,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A
八、（本题满分8分）
求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.
九、（本题满分8分）
质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到
点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F
的大小等于点
P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2
π
求变力F 对质点P 所作的功
.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机变量X 的概率密度函数
1()e ,2
x
f x x -=-∞<<+∞
则X 的概率分布函数()F x =____________.
(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.
(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即
2
2e {},0,1,2,,!k P X k k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望
()E Z =____________.
十一、（本题满分6分）
设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z
1991年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设
2
1c o s x t y t
=+=,则22d y dx =_____________.
(2)由方程xyz +
(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微
分dz =_____________.
(3)已知两条直线的方程是1212321:
;:.101211
x y z x y z
l l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.
(4)已知当0x →时123
,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.
(5)设4阶方阵520
02
100,00120011??
???
?=??
-??
??
A 则A 的逆阵1-A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)曲线2
2
1e 1e
x x y --+=
- (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线
(C)仅有铅直渐近线
(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线
(2)若连续函数()f x 满足关系式20
()()ln 2,2
t
f x f dt π
=+?
则()f x 等于 (A)e ln 2x (B)2e ln 2x (C)e ln 2x +
(D)2e ln 2x +
(3)已知级数1
211
1
(1)
2,5,n n n n n a a ∞
∞
--==-==∑∑则级数1
n n a ∞
=∑等于
(A)3 (B)7
(C)8
(D)9
(4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一
象限的部分,则
(cos sin )D
xy x y dxdy +??等于
(A)12cos sin D x ydxdy ??
(B)1
2
D xydxdy ??
(C)1
4
(cos sin )D xy x y dxdy +??
(D)0
(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有 (A)=ACB E (B)=CBA E (C)=BAC E (D)=BCA E
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)
求20
.x π
+
→
(2)设n
是曲面222
236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函
数
u =在点P 处沿方向n 的方向导数.
(3)
2
2
(),x
y z dv Ω
++???其中Ω是由曲线
220
y z x ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面
4z =所围城的立体.
四、(本题满分6分)
过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分
3
(1)(2)L
y dx x y dy +++?的值最小.
五、(本题满分8分)
将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数2
1
1
n n
∞
=∑的和.
六、（本题满分7分）
设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1
2
3
3
()(0),f x dx f =?
证明在(0,1)内存在一
点,c 使()0.f c '=
七、（本题满分8分） 已
知
1234(
1
,0,2,3),(
1,
1,3,5)
a
a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).
b =+β
(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?
(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式. 八、（本题满分6分）
设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1. 九、（本题满分8分）
在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则
{0}P X <=____________.
(2)随机地向半圆0y a <<
为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概
率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于
4
π
的概率为____________.
十一、（本题满分6分）
设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为
(,)f x y =
(22e 0,00 x y x y -+>>其它
求随机变量2Z X Y =+的分布函数.
1992年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设函数()y y x =由方程e cos()0x y
xy ++=确定,则
dy
dx
=_____________.
(2)函数2
2
2ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad M
u =_____________.
(3)设()f x = 2
11x
-+
00x x ππ
-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛
于_____________.
(4)微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =_____________.
(5)设1112121
21212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ?????
?=??
??
??
A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠= 则矩阵A 的秩()r A =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)当1x →时,函数
1
211e 1
x x x ---的极限 (A)等于2 (B)等于0
(C)为∞
(D)不存在但不为∞
(2)级数
1
(1)(1cos )(n
n a
n ∞
=--∑常数0)a >
(A)发散 (B)条件收敛
(C)绝对收敛
(D)收敛性与a 有关
(3)在曲线2
3
,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线 (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条
(D)不存在
(4)设3
2
()3,f x x x x =+则使()
(0)n f 存在的最高阶数n 为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
(5)要使12100,121???? ? ?
== ? ? ? ?-????
ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为
(A)[]212-
(B)201011-??
????
(C)102011-??
?
?-??
(D)011422011-????--??????
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)
求0
x x →
(2)设2
2
(e sin ,),x
z f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求
2.z
x y
??? (3)设()f x =
21x
x -+ 0
0x x ≤>,求31(2).f x dx -?
四、(本题满分6分) 求微分方程323e x
y y y -'''+-=的通解.
五、(本题满分8分) 计算曲面积分3
23232()()(),x
az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑
+++++??其中∑为上半球
面z =
.
六、（本题满分7分）
设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+ 七、（本题满分8分）
在变力F y z i z x j x =++ 的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面
222222
1x y z a b c ++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最
大?并求出W 的最大值.
八、（本题满分7分）
设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: (1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分7分）
设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为
1231111,2,3,149?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????ξξξ又向量12.3??
?= ? ???
β
(1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(n
n A β为自然数).
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知11
()()(),()0,()(),46
P A P B P C P AB P AC P BC ===
===则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________.
(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }X
E X -+=____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2
(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其
中
2
2
()e )
t x
x d t -
-∞
Φ=
.