2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中高三12月联考理科数学试卷

2021年湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中高三12月联考

理科数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知R b a ∈、，则复数 i a b +是虚数的充分必要条件是 （ ） A ．0ab ≠ B ．0a ≠ C ．0b ≠ D ．0a =且0b ≠

2．函数

2

()34lg(1)f x x x x =-+++-的定义域是（ ） A ．[-1，4] B ．

(]1,4- C ．[1，4] D ．(]1,4

3．已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a ，a ∈A}，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5

5．已知函数()f x 是R 上的奇函数,且在区间[0,)+∞上单调递增,若

255(sin

),(cos ),(tan )777

a f

b f

c f πππ

===,则 （ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c << 6．由直线1,22

y y ==，曲线1

y x =及y 轴所围成的封闭图形的面积是( )

A ．2ln 2

B ．2ln 21-

C ．1ln 22

D ．5

4

7．已知点G F E 、、分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱111DD CC AA 、、的中点，点P Q N M 、、、分别在线段11B C BE AG DF 、、、上．以P Q N M 、、、为顶点的

三棱锥P MNQ -的俯视图不可能是（ ）

8．运行如下图所示的程序，如果输入的n 是6，那么输出的p 是 （ ）

A ．120

B ．720

C ．1440

D ．5040 9．函数()()2sin f x x ωφ=+（0,0ωφπ>≤≤）的部分图象如图所示，其中,A B 两点之间的距离为5，则()f x 的递增区间是（ ）

A ．[]()61,62k k k Z -+∈

B ．[]

()64,61k k k Z --∈ C ．[]()31,32k k k Z -+∈

D ．[]

()34,31k k k Z --∈

10．已知(1,0)A ，曲线:C e ax y =恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP ?的最小值为2，则a

= （ ）．

A ．2-

B ．-1

C ．2

D ．1

二、填空题

11．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，,112a a -=,934a a -=则=+54a a 。 12．若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足2

1

31+=

，

则MA MB ? = ． 13．在ABC ?中，若()

ac B b c a ?=

?-+3tan 2

22，则角B= 。

14．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x 2

，若对任意x ∈[a ，a+2]，

不等式f （x+a ）≥f （3x+1）恒成立，则实数a 的取值范围是 ．

三、双空题

15．对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P ．

（1）下列函数中具有性质P 的有__________．

①()2f x x =-+ ②()sin ([0,2π])f x x x =∈ ③1

(),((0,))f x x x x

-+

∈+∞ ④()ln(1)f x x =+ （2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是__________．

四、解答题

16．在ΔABC 中，已知A =π

4,cosB =

2√55

.

（1）求cosC 的值；

（2）若BC =2√5,D 为AB 的中点，求CD 的长.

17．（本题满分12分）在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为x 、y ，设O 为坐标原点，点P 的坐标为(2,)x x y --，记2

OP ξ=．

（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望． 18．如图，三角形ABC 和梯形

所在的平面互相垂直，AB BC ⊥，

,//2AF AC AF CE ⊥，G 是线段BF 上一点，2AB AF BC ===.

（Ⅰ）当GB GF =时，求证：//EG 平面ABC ； （Ⅰ）求二面角E BF A --的正弦值；

（Ⅰ）是否存在点G 满足BF ⊥平面AEG ？并说明理由.

19．已知椭圆:C 22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦距为31(,)22A ．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知:1l y kx =-，是否存在k 使得点A 关于l 的对称点B （不同于点A ）在椭圆

C 上？若存在求出此时直线l 的方程，若不存在说明理由．

20．（本题满分14分）

已知函数f(x)=xlnx +mx(m ∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为2. （Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅰ）设g(x)=

f(x)?x x?1

,讨论g(x)的单调性;

（Ⅰ）已知m,n ∈N ?且m >n >1,证明:√n m

√

m n >n

m

21．已知函数2()sin f x x x =，各项均不相等的有限项数列{}n x 的各项i x 满足1i x ≤.令1

1

()()n n

i

i

i i F n x f x ===

?∑∑，3n ≥且n ∈N ，例如：

123123(3)()(()()())F x x x f x f x f x =++?++.

（Ⅰ）若

，数列

的前n 项和为S n ，求S 19的值；

（Ⅰ）试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由.

Ⅰ存在数列{}n x 使得()0F n =；Ⅰ如果数列{}n x 是等差数列，则()0F n >； Ⅰ如果数列{}n x 是等比数列，则()0F n >.

参考答案

1．C

【解析】

试题分析：由复数的分类可得b≠0，表示虚数，故选C 考点：本题考查充分条件、必要条件、充要条件

点评：解决本题的关键是掌握虚数的定义

2．D

【解析】

试题分析：由题意可知

2340

10

x x

x

?-++≥

?

->

?

，解得14

x

<≤，故函数的定义域为（1,4]

考点：本题考查函数的定义域

点评：解决本题的关键是掌握常见函数的定义域，二次根式则被开方数大于等于0，对数函数，则真数大于0

3．C

【解析】

试题分析：由题意可知B={0,2,4,6}，则A∩B={0,2}，则A∩B中有2个元素

考点：本题考查集合的交集运算，元素和集合关系

点评：解决本题的关键是求出集合B

4．A

【解析】

试题分析：由题意可知a3?a1=2d=4?d=2?a n=2n?1,S k+2?S k=a k+1+a k+2= 36，

Ⅰ，解得k=8

考点：本题考查等差数列的通项公式

点评：解决本题的关键是由S k+2?S k=36，得出a k+1+a k+2=36

5．B

【解析】

试题分析：∵f（x）是R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，

∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，∵

255

sin0,cos0,tan0

777

πππ

><<，∴a>0,b<0,c<0，

又∵

53274π

ππ

，∴5353cos cos tan tan 17474ππππ>=<=- ， ∴552tan

cos sin 7

77f f f πππ???

??

?

<< ?

?

??

??

??

?

，即c

点评：解决本题的关键是根据函数奇偶性和单调性之间的关系，结合三角函数的性质 6．A 【解析】

根据题意可知面积为：2

12

11ln 2ln 2ln 22S dx x

==-=? 7．C 【解析】

试题分析：由P 、M 、N 、Q 四点在俯视图中它们分别在BC 、CD 、DA 、AB 上，先考察形状，再考察俯视图中的实虚线，可判断C 不可能，

因为正三角形且当中无虚线，说明有两个顶点投到底面上重合了， 只能是Q 、N 投射到点A 或者M 、N 投射到点D ， 此时俯视图不可能是正三角形．故选：C 考点：本题考查三视图

点评：解决本题的关键是熟练掌握正投影的画法 8．B 【解析】

试题分析：由题意：第一次循环：p=1，k=2；第二次循环：p=2，k=3；第三次循环：p=6，k=4；第四次循环：p=24，k=5；第五次循环：p=120，k=6；第六次循环：p=720，k=7；不满足条件，退出循环．故选B ． 考点：此题考查循环结构

点评：解决本题的关键是弄清循环次数 9．B 【解析】

试题分析：由勾股定理可得，A 点的横坐标为－1，所以周期6,3

T π

ω==

.将A 点的坐标代

入得：52sin() 2.0,3

6π

π??π?-

+=≤≤∴=

.由5222362

k x k ππππππ-≤+≤+得：6461()k x k k Z -≤≤-∈，所以选B.

考点：正弦型函数的图象及其单调性. 10．D 【解析】

试题分析：由题意可知，因为0 1e =，所以B （0，1）

，因为2AB =，由AB AP ?的几

何意义，以及AB AP ? 的最小值为2，可得AP 在AB ，所以此时P ，B 重合．这说明曲线C ：ax

y e

=在点B （0，1）处的切线与AB 垂直，∴

()()00ax f x y ae f a e '''==?=? ，所以01a e ?= ，所以a=1

考点：本题考查指数函数的图像与性质；平面向量数量积的运算 点评：解决本题的关键是熟练掌握两个向量的数量积的定义以及几何意义 11．27 【解析】

试题分析：因为数列{n a }是各项均为正数的等比数列， 所以公比q ＞0，

由21431,9a a a a =-=-，得21431,9a a a a +=+= ， 则()2

4321a a a a q +=+，解得q=3，

所以()453427a a a a q +=+=， 考点：本题考查等比数列的通项公式

点评：解决本题的关键是注意整体代换的计算技巧 12．2

9

-

【解析】

试

题

分

析

：

∵

11

32

CM CB CA

=+ ，∴

1121

,2332

MA CA CM CA CB MB CB CM CB CA =-=-=-=- ，

∴22112

429

MA MB CA CA CB CB ?=-+?- ，∵△ABC 是边长为1的等边三角形，

∴11224499

MA MB ?=-

+-=- 考点：本题考查平面向量的基本定理及其意义

点评：解决本题的关键是利用向量的三角形法则，用,CA CB 表示出,MA MB ,掌握向量的数量积的运算 13．

23

3

π

π或

【解析】

试题分析：由余弦定理得2222cos a c b ac B +-= ，所以2cos B =

，所以

()sin 0,B B π=

∈ ， 所以B=

23

3

π

π或

考点：本题考查余弦定理，同角三角函数之间的基本关系 点评：解决本题的关键是掌握余弦定理，灵活应用 14．(],5-∞- 【解析】

试题分析：∵当x≥0时，f （x ）=2x ，∴此时函数f （x ）单调递增， ∵f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴函数f （x ）在R 上单调递增，

若对任意x ∈[a ，a+2]，不等式f （x+a ）≥f（3x+1）恒成立， 则x+a≥3x+1恒成立， 即a≥2x+1恒成立， ∵x ∈[a ，a+2]，

∴()max 21x + =2（a+2）+1=2a+5， 即a≥2a+5， 解得a≤-5，

考点：本题考查函数奇偶性的性质；函数单调性的性质

点评：解决本题的关键是掌握函数奇偶性和单调性的性质，把不等式恒成立问题转化为求函

数的最值问题 15．（1）ⅠⅠ（2）0a a e ≤-或

【解析】

试题分析：（1）在 x≠0时，f （x ）=1

x

有解，即函数具有性质P ，

令-1

x

=

，即2210x -+-=

ⅠⅠ=8-8=0，故方程有一个非0实根，故f （x ）=-具有性质P ； f （x ）=sinx （xⅠ[0，2π]）的图象与y=1

x

有交点， 故sinx=

1

x 有解，故f （x ）=sinx （xⅠ[0，2π]）具有性质P ； 令x+1x =1

x

，此方程无解，

故f （x ）=x+1

x

，（xⅠ（0，+∞））不具有性质P ；

综上所述，具有性质P 的函数有：ⅠⅠ，

（2）f （x ）=alnx 具有性质P ，显然a≠0，方程 xlnx=1

a

有根， Ⅰg （x ）=xlnx 的值域[1e

-，+∞） Ⅰ

11a e

≥- 解之可得：a ＞0或 a≤-e ． 考点：本题考查方程和函数的综合

点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大． 16．（1）?√10

10

（2）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）在三角形中，，再求出sinB ，代入

即得；（Ⅰ）由（Ⅰ）可得，再由正弦定理

得BC

sinA =AB

sinC ，解得

．在ΔBCD 中，用余弦定理可求得

.

试题解析：（Ⅰ）

且B ∈(0°,180°)，Ⅰ

2分

4分

6分

（Ⅰ）由（Ⅰ）可得8分

由正弦定理得

BC

sinA

=

AB sinC

，即，解得． 10分

在ΔBCD 中，

，所以12分

考点：1、三角恒等变换；2、解三角形. 17．（Ⅰ）随机变量ξ的最大值为5，概率2

9

； （Ⅱ）

期望为2 【解析】

试题分析：（Ⅰ）∵x 、y 可能的取值为1、2、3， 1分 ∴21,2x y x

-≤-≤，

∴()()2

2

25x x y ξ=-+-≤，且当x=1,y=3或x=3,y=1时，ξ=5． 因此，随机变量ξ的最大值为5 3分 有放回摸两球的所有情况有3×3=9种∴()2

59

P ξ== 6分 （Ⅱ）ξ的所有取值为0,1,2,5．

∵ξ=0时，x=2,y=2这一种情况．

ξ=1时，有x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3四种情况，

ξ=2时，有x=1,y=2或x=3,y=2两种情况．

∴()()()142

0,1,2999

P P P ξξξ==

==== 8分 则随机变量ξ的分布列为： 10分

因此，数学期望为

1422

012529999

E ξ=?+?+?+?= 12分

考点：本题考查离散型随机变量期望与方差，古典概型的概率

点评：本题考查随机变量ξ的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题

18．（Ⅰ）见解析；（Ⅰ；（Ⅰ）不存在点G ，理由见解析 【解析】

试题分析：（Ⅰ）取AB 中点D ，易得四边形GDCE 是平行四边形，从而//CD EG .由线面平行的判定定理可得//EG 平面ABC .

（Ⅰ）因为平面ABC ⊥平面ABC ⊥，平面平面ABC ⊥=AC ，且AF AC ⊥，所

以AF ⊥平面ABC ，以A 为原点，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -.利用空间向量可求出二面角E BF A --的余弦值，从而求出二面角E BF A --的正弦值.

（Ⅰ）利用向量可证明BF 与BF 不垂直，所以不存在点G 满足BF ⊥平面BF ⊥. 试题解析：（Ⅰ）取AB 中点D ，连接,GD CD ， 1分

又GB GF =，所以//2AF GD . 因为//2AF GD ，所以//GD CE , 四边形GDCE 是平行四边形， 2分 所以//CD EG

因为EG ?平面ABC ，EG ?平面ABC 所以//EG 平面ABC . 4分

（Ⅰ）因为平面ABC ⊥平面ABC ⊥，平面

平面ABC ⊥=AC ，

且AF AC ⊥，所以AF ⊥平面ABC ，所以AF AB ⊥，AF AB ⊥5分

因为AF AB ⊥，所以BC ⊥平面ABF .如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -. 则(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(2,2,1)F B C E ， 6分

(0,2,0)BC =是平面ABF 的一个法向量.

设平面ABF 的法向量(,,)x y z =n ，则

0,

{0.

BE BF ?=?=n n ，即20,{

220.y z x z +=-+= 令1y =，则2,2z x =-=-，所以2,2z x =-=-, 所以1

cos ,3

BC BC BC

?=

=

n n n ， 8分 故二面角E BF A --的正弦值为

． 9分.

（Ⅰ）因为(2,0,2)(2,2,1)20BF AE ?=-=-≠，所以BF 与BF 不垂直, 11分 所以不存在点G 满足BF ⊥平面BF ⊥. 12分 考点：1、空间线面的位置关系；2、二面角.

19．（1）2

213

x y +=；

（2）不存在k 【详解】

试题分析：（1）由2c=

22，得

；又点31

(,)22

A 在椭圆:

C 22

22

1(0)x y a b a b +=>>上，.解方程组求出,a b ，即可得椭圆的方程；（2）

当0k =时，直线:1l y =-，可求出点35(,)22

B -，检验知，不在椭圆上；当0k ≠时，可

设直线131:()22AB y x k =--+，即2230x ky k +--=代入2

213

x y +=整理得

222(412)4(3)(3)120k y k k y k +-+++-=，因为1224(3)

412

k k y y k ++=

+，所以

212122

2

4(3)12(3)

(3)()3412412

k k k x x k ky ky k k k +++=+-+=+-=++若,A B 关于直线l 对称，则其中点22

6(3)2(3)

(

,)412412

k k k k k ++++在直线1y kx =-上.所以222(3)6(3)1412412k k k k k k ++=-++，解得1k =因为此时点31

(,)22

A 在直线l 上，

所以对称点B 与点A 重合，不合题意所以不存在k 满足条件.

试题解析：（1）由已知，焦距为2c=又

点31(,)22A 在椭圆:C 22

221(0)x y a b a b

+=>>上，

故，所求椭圆的方程为2

213

x y +=

（2）当0k =时，直线:1l y =-，点35(,)22B -不在椭圆上；

当0k ≠时，可设直线131

:()22

AB y x k =--+，即2230x ky k +--=

代入2

213

x y +=整理得222(412)4(3)(3)120k y k k y k +-+++-=

因为1224(3)

412

k k y y k ++=

+，所以

2121222

4(3)12(3)

(3)()3412412

k k k x x k ky ky k k k +++=+-+=+-=++ 若,A B 关于直线l 对称，则其中点2

26(3)2(3)

(

,)412412

k k k k k ++++在直线1y kx =-上 所以222(3)6(3)1412412

k k k k k k ++=-++，解得1

k =因为此时点31

(,)22A 在直线l 上， 所以对称点B 与点A 重合，不合题意所以不存在k 满足条件. 20．（Ⅰ）1；（Ⅰ） g （x ）在区间（0,1）和(1,+∞)都是单调递增的 【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为f(x)=xlnx +mx 图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为2，所以f ′(1)=2,即可求出m 的值；（Ⅰ）因为g(x)=xlnx

x?1

(x >0,x ≠1)，所以g ,(x)=x?1?lnx (x?1)2

.设?(x)=x ?1?

lnx,?,(x)=1?1

x .

当x >1时，?,(x)=1?1x >0，?(x)是增函数，?(x)>?(1)=0，所以g ′(x)=

x?1?lnx (x?1)2

>0，

故g(x)在(1,+∞)上为增函数； 当0

<0，?(x)是减函数，?(x)>?(1)=0， 所以g ,(x)=

x?1?lnx (x?1)2

>0，故g(x)在(0,1)上为增函数；所以g(x)在区间(0,1)和(1,+∞)都是单

调递增的；（Ⅰ）利用分析证明法：由已知可知要证√n m

√

m n >n m ，即证lnn m ?

lnm n

>lnn ?lnm,即

证

n?1n

lnm >

m?1m

lnn ，即证mlnm m?1>

nlnn n?1，即证g(m)>g(n)，又m >n >1(m,n ∈N ?)，由（2）

知g(m)>g(n)成立，所以√n

m

m n >n

m .

试题解析：解：（Ⅰ）f(x)=xlnx +mx,所以f ′(x)=1+lnx +m 由题意f ′(1)=1+ln1+m =2,得m =13分 （Ⅰ）g(x)=

f(x)?x x?1

=

xlnx x?1

(x >0,x ≠1)，所以g ,(x)=

x?1?lnx (x?1)2

.

设?(x)=x ?1?lnx,?,(x)=1?1

x .

当x >1时，?,(x)=1?1

x >0，?(x)是增函数，?(x)>?(1)=0， 所以g ′(x)=

x?1?lnx (x?1)>0，故g(x)在(1,+∞)上为增函数； 6分

当0

x

<0，?(x)是减函数，?(x)>?(1)=0，

所以g ,(x)=

x?1?lnx (x?1)2

>0，故g(x)在(0,1)上为增函数；

所以g(x)在区间(0,1)和(1,+∞)都是单调递增的。 8分 （Ⅰ）由已知可知要证√n m

m n >n m ，即证lnn m ?

lnm n

>lnn ?lnm,10分

即证

n?1n

lnm >

m?1m

lnn ，即证mlnm m?1>

nlnn n?1

，即证g(m)>g(n)， 12分

又m >n >1(m,n ∈N ?

)，由（2）知g(m)>g(n)成立，所以√n

m

√m

n

>n

m

。 14分.

考点：1.导数的几何意义；2.导数在函数单调性中的应用；3.函数单调性在不等式证明中的应用.

21．（Ⅰ）2

1950S π=-；（Ⅰ）Ⅰ对；Ⅰ错；Ⅰ对.理由见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）2

sin 222n n n n a f πππ??????==? ? ? ???????

1分 ()()2434241424,k k k k a a a a k k N π---+∴+++=-∈3分 []2219202610141850S S ππ∴==-++++?=-5分

（Ⅰ）Ⅰ显然是对的，只需{}n x 满足120n x x x +++=7分

Ⅰ显然是错的，若120n x x x ++

+=，()0F n =9分

是对的，理由如下： 10分

首先2

()sin f x x x =是奇函数，因此只需考查01x <≤时的性质，此时

都是

增函数，从而2()sin f x x x =在[0,1]上递增，所以2

()sin f x x x =在[-1,1]上单调递增．

若120x x +<，则12x x <-，所以12()()f x f x <-，即12()()f x f x <-，所以

12()()0f x f x +<．

同理若120x x +>，可得12()()0f x f x +>， 所以120x x +≠时，1212()(()())0x x f x f x ++>．

由此可知，数列{}n x 是等比数列，各项符号一致的情况显然符合； 若各项符号不一致，则公比q<0且q≠-1，(

)11211n

n x q x x x q

-∴++?+=-恒不为0

若n 是偶数，22

2121()(1),1,2,

,2

i i i n

x x x q

q i --+=+=符号一致， 又212212(),[()()]i i i i x x f x f x --++符号一致，所以符合()0F n >； 若n 是奇数，可证明(

)11211n

n x q x x x q

-++?+=-总和1

x 符号一致”，

同理可证符合()0F n >； 12分

综上所述，ⅠⅠ是真命题；Ⅰ是假命题 13分 考点：本题考查数列与三角函数的综合

点评：本题考查了新定义的函数的性质以及应用问题，函数的单调性与奇偶性问题，等差与等比数列的性质与应用问题，是综合题．关键是审清题意