历年中考数学压轴题及答案

历年中考数学压轴题及答案（精选）

1.（2011 年四川省宜宾市）

已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c 与x轴、y轴分别相交于点A（-1 ，0）、B（0，3）两点，其顶点为 D.

（ 1）求该抛物线的解析式；

（ 2）若该抛物线与x 轴的另一个交点为 E. 求四边形ABDE 的面积；

（ 3）△ AOB 与△ BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

2.（11 浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点

的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8， 2 3），C（0， 2 3），点T在线段OA上（不与线段端

点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB 上（记为点A′ ），折痕经过点T，折痕TP与射线

AB 交于点P，设点T 的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S；

（1）求∠ OAB的度数，并求当点A′在线段AB 上时，S关于t的函数关系式；

（2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；

（3）S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由.

3.（11 浙江温州）如图，在Rt△ ABC 中，A 90o，AB 6，AC 8，D， E 分别是边AB，AC 的中

点，点P 从点 D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC 于Q，过点Q 作QR∥ BA 交AC 于

R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x ，QR y ．

（ 1 ）求点D 到BC 的距离DH 的长；

（ 2 ）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（ 3 ）是否存在点P ，使△ PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理

由．

4.（11 山东省日照市）在△ ABC中，∠A＝90°，AB＝4，

AC＝3，M 是AB 上的动点（不与A，B 重合），过M

点

作MN∥BC交AC于点N．以MN 为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN ．令AM＝x．

（ 1 ）用含x 的代数式表示△ ＭNP 的面积S；

（2）当x为何值时，⊙ O 与直线BC相切？

（3）在动点M 的运动过程中，记△ ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y，试求y 关于x的函数表达式，并求

x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

5、（2007浙江金华）如图 1 ，已知双曲线y= k （k>0）与直线 y=k ′ x 交于A， B两点，点A在第一象限. 试

x

解答下列问题：（1）若点A的坐标为（4 ， 2）. 则点B的坐标为；若点A的横坐标为m，则点B的

坐标可表示为；

（ 2）如图2，过原点O作另一条直线l ，交双曲线y= k （k>0）于 P， Q两点，点P在第一象限. ①说明

x

四边形APBQ一定是平行四边形；②设点的横坐标分别为 m， n，四边形APBQ可能是矩形吗?可能

是正方形吗?若可能，直接写出mn应满足的条件；若不可能，请说明理由.

6. （2011浙江金华）如图 1 ，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是（0 ，

4），点B在第一象限，点P是 x轴上的一个动点，连结

AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转. 使

边 AO与 AB重合. 得到ΔABD.

2）当点P运动到点（ 3 ， 0）时，求此时（ 1 ）求直线AB的解析式；（

3

DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使Δ OPD的面积等于3 ，若

存在，请求出符合条件的

4

点 P的坐标；若不存在，请说明理由.

7.（2011 浙江义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G

与C、 D 不重合），以CG为一

边在正方形ABCD 外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE 的长度关系及所在直线

的位置关系：

（ 1 ）①猜想如图 1 中线段BG、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图 1 中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方

向旋转任意角度，得到如图2、如图 3 情

形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立, 并选取图2证明你

的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，

CE=ka，CG=kb （a b，k 0），第（1）题①中

得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图 5 为例简要说明理由.

1

（3）在第（2）题图 5 中，连结DG 、BE ，且a=3，b=2，k= ，求BE2DG2的值．

2

8. （2011 浙江义乌）如图 1 所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y

轴正半轴与x轴负半轴上. 过点B、C作直

线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D，与y 轴交于点

E ．

1 ）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t 0），直角梯形

OABC被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为

s ，s 关于t 的函数图象如图 2 所示，OM 为线段，MN 为抛物线的

一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4．

①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC的面积；

②当2 t 4时，求S关于t的函数解析式；

2）在第（1 ）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线

BC重合），在直线．．A．．B上是否存在点

P，使PDE 为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点

P 的坐标;若不存在，请说明理由．

9.（2011 山东烟台）如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E、 F 分别是边AD，CD

上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（ 1 ）求证：△BDE≌△BCF；

（ 2 ）判断△BEF 的形状，并说明理由；

（3）设△ BEF 的面积为S，求S的取值范围.

2

10.（2011 山东烟台）如图，抛物线L1 : y

x 2x 3 交x 轴于A、 B 两点，交

y 轴于M 点.抛物线L1 向右平移

2 个单位后得到抛物线L2 ，L2 交x 轴于C、 D 两点.

（ 1 ）求抛物线L2 对应的函数表达式；

（ 2 ）抛物线L1 或L2 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A，C，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，

求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；

（ 3 ）若点P 是抛物线L1 上的一个动点（P 不与点A、 B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线L2

上，请说明理由.

淅江宁波）2011 年 5 月 1 日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A 地到宁波

港的路程比原来缩短了120 千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的 3 时20 分缩短到2 时．（ 1 ）求 A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．

（ 2 ）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A 地到宁波港的运输成本是每千米元，时间成

本是每时28 元，那么该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？

（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到 B 地．若

有一批货物（不超过10 车）从 A 地按外运路线运到B 地的运费需8320 元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁

波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到 B 地的海上运费对一批不超过

10 车的货物计费方式是：一车

800 元，当货物每增加1 车时，每车的海上运费就减少20 元，问这批货物有几车？

12.（2011 淅江宁波）如图 1 ，

把一张标准纸一次又一次对开，得到“ 2

开”纸、“4开”纸、“8 开”纸、“16 开”纸

?．已知标准纸．．．的短边

长为a ．

（ 1 ）如图2，把这张标准纸对开得到的“ 16 开” 张纸按如

下步骤折叠：

第一步将矩形的短边A B 与长边AD 对齐折叠，点B 落在AD 上的

点B 处，铺平后得折痕AE ；

第二步将长边AD 与折痕AE 对齐折叠，点 D 正好与点 E 重合，铺平后得折痕AF ．

则AD : AB 的值是，AD，AB 的长分别是，．

（ 2 ）“ 2 开”纸、“ 4 开”纸、“8 开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，

请分别计算它们的比值．

（3）如图3，由8 个大小相等的小正方形构成“L ”型图案，它的四个顶点E，F，G，H 分别在“ 16 开”纸

的边AB，BC，CD，DA上，求DG 的长．

（4）已知梯形MNPQ 中，MN ∥ PQ ，∠ M 90o，MN MQ

2PQ ，且四个顶点M ， N， P， Q 都在

“ 4 开”纸的边上，请直接写出 2 个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．

13. （2011 山东威海）如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AB＝7，CD＝ 1 ，AD＝BC＝5．点M，N 分别在边AD，

BC 上运动，并保持MN∥ AB，ME⊥ AB，NF⊥ AB，垂足分别为E，F．

（1 ）求梯形ABCD 的面积；

（2）求四边形MEFN 面积的最大值．

（3 ）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能，

求出正方形M EFN 的面积；若不能，请说明理由．

k

14．（2011 山东威海）如图，点A（m，m＋ 1 ），B （m＋3，m－ 1 ）都在反比例函数y 的图象上．

x （ 1 ）求m ，k 的值；

（2）如果M 为x轴上一点，N为y 轴上一点，

以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，

试求直线M N 的函数表达式．

（ 3 ）选做题：在平面直角坐标系中，点P 的坐标

为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平

移 4 个单位，然后再向上平移 2 个单位，得到线段P1Q1 ，

则点P1 的坐标为，点Q1 的坐标为．

15 ．（2011 湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋

圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.

如图12，点A、B、C、 D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点 D 的坐标为（0 ，-3），AB 为半圆的直径，

半圆圆心M 的坐标为（1,0），半圆半径为 2.

（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

（2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；

（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D 的“蛋圆”切线的解析式.

16. （2011 年浙江省绍兴市

）将一矩形纸片 OABC 放在平面直角坐标系中，

O （0，0） ， A （6， 0） ， C （0， 3） ．动点 Q

从点 O 出发以每秒 1 个单位长的速度沿

OC 向终点 C 运动，运动 2 秒时，动点

P 从点 A 出发以相等的速度沿

3

AO 向终点 O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点

P 的运动时间为 t

（秒）． （ 1 ）用含 t 的代数式表示 OP ， OQ ；

（ 2）当

t 1 时，如图

1 ，将 △ OPQ 沿 PQ 翻折，点

O 恰好落在 C B 边

上的点 D 处，求点 D 的坐标；

（ 4） 连结 AC ，将 △ OPQ 沿 PQ 翻折，得到

△ EPQ ，如图

2．问：

PQ

与 AC 能否平行？

PE 与 AC

（

2 ）在抛物线上是否存在点

P ，使 △ ABP 为直角三角

形，若存在，直接写出 P 点坐标；若不存在，请说明理

由； （

3 ） 试探究在直线 AC 上是否存在一点

M ， 使得 △ MBF 的周长最小，

若存在， 求出 M 点的坐标； 若不存在，

请说明理由．

18.（2011 年沈阳市

）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形 ABOC

的边 BO 在 x 轴的负半轴上，边 OC 在 y 轴

的正半轴上，且

AB 1 ， OB 3 ，矩形

ABOC 绕点 O 按顺时针方向旋转 60o 后得到矩形 EFOD ．点

A 的

对应点为点 E ，点 B 的对应点为点

F ，点 C 的对应点为点 D ，抛物线 y

ax 2

bx c 过点 A ， E ， D ．

（ 1 ）判断点

E 是否在 y 轴上，并说明理由；

（ 2 ）求抛物线的函数表达式； （ 3 ）在 x 轴的上方是否存在点

P ，点 Q ，使以点 O ， B ，

P ， Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形

ABOC 面

能否垂直？若能，求出相应的 t 值；若不能，说明理由．

17. （2011 年辽宁省十二市 ）如图 16，在平面直角

坐标系中，直线

2

23

C y ax 2

x c （a 0） 经过

y 3x 3 与 x 轴交于点

A ，与 y 轴交于

C 三点．

的坐标；

积的 2 倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

32 3 19.（ 2011 年四川省巴中市）已知：如图14，抛物线y x 3 与x轴交于点A，点B ，与直线y x b

44

3

相交于点B ，点C ，直线y x b 与y 轴交于点E ．

4

（ 1 ）写出直线BC 的解析式．

（2）求△ ABC的面积．

（ 3 ）若点M 在线段AB 上以每秒 1 个单位长度的速度从 A 向B 运动（不与A， B 重合），同时，点N 在射线

BC 上以每秒 2 个单位长度的速度从 B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出△ MNB 的面积S与t的函数关系

式，并求出点M 运动多少时间时，△ MNB 的面积最大，最大面积是多少？

20.（2011 年成都市 ）如图，在平面直角坐标系

xOy 中，△ OAB 的顶点Ａ

的坐标为（ 10， 0），顶点 B 在第一象限

（ 1 ）若点 C 是点 B 关于 x 轴的对称点，求经过 O 、 C 、 A 三点的抛物线的函数表达式； （ 2 ）在 （1） 中，抛物线上是否存在一点

P ，使以

P 、 O 、 C 、 A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点 P 的坐

标；

若不存在，请说明理由；

（ 3）若将点 O 、点 A 分别变换为点 Q （ -2k ,0 ）、点 R （ 5k ， 0）（ k>1

的常数），设过 Q 、 R 两点，且以 QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与

y 轴的交点为

N ，其顶点为 M ，记△ QNM 的面积为 S

QMN

，△ QNR 的面积

21.（2011 年乐山市 ）在平面直角坐标系中△ ABC 的边 AB 在 x 轴上，且 OA>OB,以

AB 为直径的圆过点

C 若 C 的坐

2

标为 （0,2）,AB=5, A,B 两点的横坐标 X A ,X B 是关于 X 的方程 x

2

（m 2）x n 1

0的两根

:

（1） 求 m ， n 的值

2

23.（ 天津市 2011 年 ）已知抛物线 y 3ax 2

2bx c ，

（Ⅰ）若 a b 1 ， c 1，求该抛物线与 x 轴公共点的坐标；

（Ⅱ）若 a b 1 ，且当 1 x 1 时，抛物线与 x 轴有且只有一个公共点，求 c 的取值范围； （Ⅲ）若 a b c 0 ，且 x 1 0 时，对应的 y 1 0 ； x 2 1 时，对应的 y 2 0 ，试判断当

0 x 1 时，抛物线 与 x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

24. （2011 年大庆市 ）

如图①，四边形

AEFG 和 ABCD 都是正方形，它们的边长分别为

a ，

b （ b ≥

2a ），且点 F 在 AD 上（以下

问题的结果均可用 a ， b 的代数式表示）．

（ 1 ）求 S △ DBF ； （ 2 ）把正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转 45 °得图②，求图②

中的

S

△

DBF

；

（ 3 ）把正方形

AEFG 绕点 A 旋转一周，在旋转的过程中，

S △ DBF 是否存在最大值、最小值？如果存在，直接 写出最大值、最小值；如果不存在，

请说明理由．

AB =3 5 ， sin ∠ OAB=

S QNR ，求 S QMN S QNR 的值 .

（2）若∠ ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D，试求直线l 对应的一次函数的解析式

` 11

（3）过点 D 任作一直线l 分别交射线C A，CB（点C除外）于点M，N，则的值是否为定值，若是，

CM CN

求出定值，若不是，请说明理由

22.（2011 年四川省宜宾市）已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c 与x轴、y 轴分别相交于点A（-1 ，0）、B（0，3）两

点，其顶点为D.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；

（3）△ AOB 与△ BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

b 4a

c b2

（注：抛物线y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的顶点坐标为, ）

2a 4a

25.（2011 年上海市）已知AB 2，AD 4，DAB 90o，AD ∥ BC （如图13）． E 是射线BC 上的

动点（点E与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．

1）设BE x，△ ABM 的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；

3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A，N， D 为顶点的三角形与△ BME 相似，求线段BE 的长．

26.（2011 年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困

30o的两条公路的AB 段和CD

段（村子和公路的宽均不计），点M 表示这所

B 在点M 的北偏西30o的3km 处，点A在点M 的正西方

向，点 D 在点M 的南偏西60o的2 3 km

M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；

供水站建在乙村（线段CD 某处），甲村要求管道建设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M

AB 某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M 处的管道长度

之和最

27.( 2011 年山

已知：如图①，在Rt△ ACB中，∠C＝90°，AC＝

4cm，BC＝3cm，点P 由 B 出发沿BA方向向点A匀

1cm/s ；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为

2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t

s ）（0< t < 2），解答下列问题：

1 ）当t 为何值时，PQ∥ BC？

2）设△AQP的面积为y（cm2），求y 与t 之间的函数关系式；

3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ恰好把Rt△ ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不

4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′ C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′ C

k1

28. （ 2011 年江苏省南通市） 已知双曲线 y 与直线 y x 相交于

A 、

B 两点

. 第一象限上的点 M （ m ， n ） （在

x4

kk

A 点左侧） 是双曲线

y 上的动点

. 过点 B 作

BD ∥ y 轴于点 D. 过 N （ 0， － n ） 作 NC ∥ x 轴交双曲线 y 于点

E ，

交 BD 于点 C.

（ 1 ）若点 D 坐标是（－ 8， 0），求

A 、

B 两点坐标及 k 的值 .

（ 2）若

B 是 CD 的中点，四边形 OBCE 的面积为 4，求直线 CM 的解析式 . （ 3）设直线 AM 、 BM 分别与 y 轴相交于 P 、 Q 两点，且

MA ＝ pMP ， M B ＝ qMQ ，求 p －

q 的值 .

29. （ 2011 年江苏省无锡市） 一种电讯信号转发装置的发射直径为 31km ．现要求：在一边长为 30km 的正方形

城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：

（ 1 ）能否找到这样的 4 个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？ （ 2 ）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？

答题要求： 请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几

个边长为 30km 的正方形城区示意图，供解题时选用）

压轴题答案

c=3,b =2

∴抛物线的线的解析式为

y x 2 2x 3

（2） 由顶点坐标公式得顶点坐标为（ 1， 4）

1.

解：（ 1 ）由已知得：

c3 1bc

解得

所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1 对称，所以E（3,0）设对称轴与x 轴的交点为 F

所以四边形ABDE的面积= S ABO S梯形BOFD S DFE

11 1

= AO BO (BO DF ) OF EF DF

22 2

11 1

= 1 3 (3 4) 1 2 4

22 2

=9

如图，BD= BG2DG21212 2

BE= BO2OE232323 2

DE= DF2EF222422 5

所以BD2 BE2 20, DE2 20 即：BD2BE2DE2, 所以BDE 是直角三角形

AO BO 2

所以AOB DBE 90 , 且,

BD BE 2

所以AOB : DBE .

2.(1) ∵ A， B 两点的坐标分别是A(10 ，0) 和B(8 ，2 3 )，

23

∴tan OAB 3 ，

10 8

∴OAB 60

当点A′在线段AB 上时，∵OAB 60 ，TA=TA ′，

∴△A′ TA 是等边三角形，且TP TA ，

3 11

∴ TP (10 t)sin 60 (10 t) ，A P AP AT (10 t)，

2 22

○2当2 t 6 时，由图○1，重叠部分的面积S S ATP S A EB

A′ EB 的高是A Bsin60 ，

3 21

4)2

S (10 t)2(10 t

82

当t=2 时，S 的值最大是4 3 ；

○3当0 t 2，即当点A′和点P 都在线段AB 的延长线是（如图○ 2，其中 E 是TA′与CB的交点， F 是

TP 与CB 的交点），

∵ EFT FTP ETF，四边形ETAB 是等腰形，∴E F=ET=AB=4 ，

∴ S 1 EF OC 1 4 2 3 4 3

22

综上所述，S 的最大值是4 3 ，此时t 的值是0 t 2 .

3.解：( 1) Q A Rt ，AB 6，AC 8，BC 10．

1

Q 点D 为AB 中点，BD AB 3 ．

2

Q DHB A 90o， B B ．△ BHD ∽△ BAC ，

12

4.

DH BD

，

AC BC BD 3 DH gAC 8

BC 10 2) Q QR∥ AB ， QRC A 90o ． QC C

， RQC ∽△

ABC ， RQ

AB QC ，

BC

y 10 x 6 10

即 y 关于 x

的函数关系式为： 3

x 6． 5

3 ）存在，分三种情况：

①当 PQ PR 时，过点 P

作

PM QR 于 M

QM RM

Q1 2 90o ， 90

o

，

②当 ③当 C ．

co s cosC 10

QM QP

3

x 5 12

18 5 PQ RQ

时， 12 ，

5

6．

PR QR

时，则 R 为 PQ

R 为 EC 的中点， 1 CR CE Q

tanC 2 QR CR 1

AC

4 BA CA 2

． 综上

所述，当 3x

6

8，

15 2 2 5 x 为 18 或 6 或 15 时，

△ PQR 为等腰三角形．

在 Rt △ ABC 中， BC ＝ AB 2 AC 2

=5．

过 M 点作 MQ ⊥ BC 于 Q ，则 MQ OD

在 Rt △ BMQ 与 Rt △ BCA 中， ∠ B 是公共角，

△ BMQ ∽ △ BCA ．

96 x ＝ 49

② 当 2< x < 4 时，设

∵ 四边形 AMPN 是矩形，

∴ PN ∥ AM ， PN ＝ AM ＝

又∵ MN ∥ BC ， ∴ 四边形 MBFN 是平行四边形．

解： （ 1） ∵ MN ∥ BC ，∴∠ AMN=∠ B ，∠

ANM ＝∠

C

．

△ AMN ∽ △ ABC ． AM AN AB AC AN ＝ 3 x ． 4 AN

2

分

S = S MNP

S AMN

3 x 2

．（ 0< x <

4）

8

3

分

2 ）如图

2，设直线 BC 与 ⊙ O 相切于点 D ，连结 AO ，

OD ，则

AO=OD = 1 MN ．

2

1

）知 △ AMN ∽ AM

AB MN

，即 x △

ABC ．

MN

MN OD

BC

5 4x ，

5 x

． 8

5

分

BM

BC QM AC

BM 5 5

x

8 3 25 x ，

AB

24 BM MA

25 x 24 4

．

96 49

故以下分两种情

况讨论： ⊙O 与直

C 相

7分

① 当 0< x ≤ 2 时， S Δ

PMN

32 x 8

当 x ＝ 2

时， y 最大 22

8

分

5 x

．

8

PM ， PN 分别交 BC 于

， ．

x ．

∴ FN＝BM＝4－x．

PF x 4 x 2x 4．

又△ PEF ∽ △ ACB．

A （0,4）, 设 A

B 的解析式为 y kx 4, 所以 2 3k 4 2 , 解得 k

AB 的解析式为 y 3 x

3

2 )由旋转知， A P=AD, ∠ PAD=60o

,

PF 2 AB

S

PEF

S ABC

S PEF

9分

y S

MNP S

PEF

32 x 8

9

x 2

6x 6 8

10 分

当 2< x

< 4 时， y

9

2 x 8

6x 83

22

．

8

∴ 当 x 时，满足 3

综上所述，当 x 8 时， 3 2< x

< 4，

y

最大 y

值

最

大，最大值是

k 5. 解：（ 1 ）（ -4 ， -2 ）；（ -m,- ） m （2） ①由于双曲线是关于原点成中心对称的， ②可能是矩形， mn=k 即可 不可能是正方形，因为 Op 不能与 OA

垂直 解：（ 1）作 BE⊥ OA ， Δ AOB 是等边三角形 BE=OB · sin60 o = 2 3 ， B ( 2 3 ,2)

2

．

2

． 11

分 分 12

所以

OP=OQ,OA=OB,所以四边形 APBQ 一定是平行四边

A(0,4), 设

AB 的解析式为 y kx 4, 所以 2 3k

4 2 , 解得 k

3 , 的以直线 A B

的解析式为

3

2 )由旋转知， AP=AD, ∠

PAD=60o

,

Δ APD 是等边三角形， PD=PA= AO 2 OP 2

19

6. 解：（ 1 ）作 BE ⊥ OA ，

Δ AOB 是等边三角形

∴ BE=OB · sin60o

= 2 3，∴

B(2 3 ,2)