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固体物理学_答案

《固体物理学》习题解答

黄昆原著韩汝琦改编（陈志远解答，仅供参考）

第一章晶体结构

1.1、

解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc

x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）

a=2r ， V=

r 3

4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r

34a r 34x 3

333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3

4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3

∴68.083)r 3

34(r 342a r 342x 3

33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3

74.062)

r 22(r 344a r 344x 3

33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62

60sin a a 6S ABO ??=??=2

a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3

a 233C S ==?=

? n=1232

26112+?+?

=6个 74.062r

224r 346x 3

≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3

r 8a r 24a 3=

??= n=8, Vc=a 3

34.063r 3

38r 348a r 348x 3

33≈π=π?=π?=

1.2、试证：六方密排堆积结构中

633.1)3

8(a c 2

/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.

即图中NABO 构成一个正四面体。…

1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ?=+??

=+??

?=+??

由倒格子基矢的定义：1232()b a a π

?Ω

1230,

,22

(),

0,224

,,0

2a a

a a a a a a a Ω=??==，2

23,,,

0,()224,,0

i j k

a a a a a i j k a a ?==-++ 213422()()4a

b i j k i j k a a

π∴=??-++=-++

同理可得：232()2()

b i j k a

π=

-+=+-即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

所以，面心立方的倒格子是体心立方。

（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a i j k a a i j k a a i j k ?=-++??

=-+??

?=+-??

由倒格子基矢的定义：1232()b a a π

?Ω

123,,

222

(),,2222

,,222

a a a a a a a a a a a a a

-Ω=??=-=

，223,,,,()2222,,222i j k a a a a a a j k a a a ?=-=+- 213222()()2a b j k j k a a

π∴=??+=+

同理可得：232()2()

b i k a

b i j a

π=

+=+即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。

所以，体心立方的倒格子是面心立方。

1.5、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

证明：

因为33121323

,a a

a a CA CB h h h h =

-=-，112233G h b h b h b =++ 利用2i j ij a b πδ?=，容易证明

12312300

h h h h h h G CA G CB ?=?=

所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：2

()d a h k l =++，其中a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥，123,,a ai a aj a ak === 由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π

?=??，312123

2a a b a a a π?=??，12

31232a a b a a a π?=??

倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a

πππ=== 倒格子矢量：123G hb kb lb =++，222G h i k j l k a a a

πππ

=++

晶面族()hkl 的面间距：2d G

2221

()()()h k l a a a

=++

222()

a d h k l =++

面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。

1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。

解：(111)

1、(111)面与(100)面的交线的AB ，AB 平移，A 与O 点重合，B 点位矢：B R aj ak =-+， (111)面与(100)面的交线的晶向AB aj ak =-+

，晶向指数[011]。

(111)

2、(111)面与(110)面的交线的AB ，将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢：B R ai aj =-+，(111)面与(110)面的交线的晶向AB ai aj =-+，晶向指数[110]。

第二章固体结合

2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（2ln 2=α）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N 。

＜解＞设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r 表示相邻离子间的距离，于是有

(1)1111

2[ (234)

ij r

r r r r r

±'

==-+-+∑ 前边的因子2是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为

(1) (34)

n x x x x x x +=-+-+ 1112[1...]234α=-+-+

当X=1时，有111

1 (2234)

+-+=

2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为 ()m

u r r

试求：（1）平衡间距0r ；

（2）结合能W （单个原子的）；

（3）体弹性模量；

（4）若取02,10,3,4m n r A W eV ====，计算α及β的值。解：（1）求平衡间距r 0

由

==r r dr

r du ，有：

n n

m n m m n n m r r n r m --++??

??=???

? ??=?=-1

101

.0100αββαβ

结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w 表示）

（2）求结合能w （单个原子的）

题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。

显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即U min

即：n m r

r U W 0

0)(β

+=-= （可代入r 0值，也可不代入）

（3）体弹性模量

由体弹性模量公式：0

220

09r r U V r k ???? ?

???=

（4）m = 2，n = 10，

A r 30=， w = 4eV ，求α、β

105210??

? ??=?

? ??=αβαβr ① )5(54)(802

010

00代入α

αβ

=r r r r r U

eV r r U W 454)(2

0==

-=?α

② 将

A r 30=，J eV 19

10602.11-?=代入①②

1152

3810459.910209.7m N m N ??=??=?

--βα （1）平衡间距r 0的计算晶体内能()()2m n N U r r r

αβ=

-+ 平衡条件

0r r dU

==，11000m n m n r r αβ

++-+=，1

)n m n r m βα

-= （2）单个原子的结合能

01()2W u r =-，0

0()()m n r r u r r r αβ

==-+，1

0()n m n r m βα-= 1(1)()2m

n m m n W n m βαα

--=-

（3）体弹性模量0

202(

)V U

K V V ?=?? 晶体的体积3

V NAr =，A 为常数，N 为原胞数目晶体内能()()2m n N U r r r

αβ=

-+ U U r V r V ???=???112

()23m n N m n r r NAr

αβ++=- 22112

[()]23m n U N r m n V V r r r NAr

αβ++???=-??? 0

2222

200000

1[]29m n m n V V U N m n m n V V r r r r αβαβ=?=-+-+? 由平衡条件

112

000

()023m n V V U N m n V

r r NAr αβ++=?=

-=?，得00m n m n r r αβ= 0

22222

0001[]29m n V V U

N m n V V r r αβ=?=-+? 0

2220001[]

29m n

V V U N m n m n V V r r αβ

=?=

-+?2000[]29m n N nm V r r αβ=--+ 000

()2m n N U r r αβ

-+ 0

202

0()9V V U mn

U V V =?=

体弹性模量0

9mn

K U V = （4）若取02,10,3,4m n r A W eV ====

10()n m n r m βα-=，1(1)()2m

n m m n W n m βαα

--=-

W r β=

，20100[2]r W r βα=+

-95101.210eV m β=??，1929.010eV m α-=??

2.6、bcc 和fcc Ne 的结合能，用林纳德—琼斯(Lennard —Jones)势计算Ne 在bcc 和fcc 结构中的结合能之比值．

＜解＞12

612

61()4()(),()(4)()()2n l u r u r N A A r r r r σ

σσ

σεε??

=-=-???????

6612006

12()102

2r A A du r r u N r A A σε??=?=?=- ???

220662

01212()12.25/9.11()/()0.957()14.45/12.13

bcc bcc fcc fcc u r A A u r A A ωω'===='

2.7、对于2H ，从气体的测量得到Lennard —Jones 参数为6

5010, 2.96.J A εσ-=?=计算fcc 结构的2H 的结合能[以KJ/mol 单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ ／mo1，试与计

算值比较．

＜解＞以2H 为基团，组成fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard —Jones 势相互作用，则晶体的总相互作用能为：

126

1262.ij ij i j U N P P R R σσε--??????''=-?? ? ?????????

∑∑

61214.45392;

12.13188,ij

ij j

P P --''==∑

∑16235010, 2.96, 6.02210/.

erg A N mol εσ-=?==?()()12628

2.96 2.962602210/5010

12.1314.45 2.55/.

3.16 3.16U U mol erg KJ mol -??

????=?????-≈-?? ? ?????????

0将R 代入得到平衡时的晶体总能量为。因此，计

算得到的2H 晶体的结合能为2．55KJ ／mol ，远大于实验观察值0.75lKJ ／mo1．对于2H 的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因．

第三章固格振动与晶体的热学性质

3.1、已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引起的位移为，sin(_)nj j j j j a t naq μωσ=+，

j σ为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位

移。

＜解＞任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即

sin()n nj j j j j j

a t naq μμωσ==++∑∑ （1）

2*2*n nj nj nj nj nj j j j j j μμμμμμ''

≠????==+ ????

∑∑∑∑

由于nj nj μμ?数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项相比是一小量，可以忽略不计。所以2

n nj

μμ

∑

由于nj μ是时间t 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为

222

11sin()2

T j

j j j j j a t naq dt a T μωσ=

++=

（2）已知较高温度下的每个格波的能量为KT ，nj μ的动能时间平均值为

0222

220

0111sin()224L

T T nj j j nj j j j j j j d w a T dx dt L a t naq dt w La T dt T μρρωσρ????=

=++=?? ???????

? 其中L 是原子链的长度，ρ使质量密度，0T 为周期。所以22

1142

nj j j T w La KT ρ=

= （3）因此将此式代入（2）式有2

2nj j

PL μω=

所以每个原子的平均位移为 2

n nj

KT KT

PL PL μμ

ωω

==∑∑

∑

3.2、讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a ），其2N 个格波解，当M = m 时与一维单原子链的结果一一对应。

解：质量为M 的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；质量为m 的原子位于2n ， 2n+2， 2n+4 ……。

牛顿运动方程

2221212121222(2)(2)

n n n n n n n n m M μβμμμμβμμμ+-+++=---=---

N 个原胞，有2N 个独立的方程

设方程的解

[(2)]2[(21)]

21i t na q n i t n aq n Ae Be

ωωμμ--++==，代回方程中得到

(2)(2cos )0

(2cos )(2)0

m A aq B aq A M B βωβββω?--=??-+-=?? A 、B 有非零解，22

22cos 02cos 2m aq

aq M βωβββω

--=--，则 1

()4{1[1sin ]}()m M mM aq mM m M ωβ+=±-+ 两种不同的格波的色散关系

222

()4{1[1sin ]}()()4{1[1sin ]}()

m M mM aq mM m M m M mM

aq mM m M ωβωβ

+-+=+-++=--+

一个q 对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.

当M m =

时

aq aq ωω+-=

，

两种色散关系如图所示：长波极限情况下0q →，sin(

)22

qa qa

≈

，

q ω-=与一维单原子晶格格波的色散关系一致.

3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为β和10β，两种原子质量相等，且最近邻原子间距为2a 。试求在0,q q a π==处的()q ω，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如

2H 这样的双原子分子晶体。

答：（1）

浅色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；深色标记原子位于2n ， 2n+2， 2n+4 ……。

第2n 个原子和第2n ＋1个原子的运动方程：

212222112121122112222()()n n n n n n n n

m m μββμβμβμμββμβμβμ+-+++=-+++=-+++

体系N 个原胞，有2N 个独立的方程

方程的解：

[(2)]

221

[(21)]

21i t n aq n i t n aq n Ae

ωωμμ--++==，令22

1122/,/m m ωβωβ==，将解代入上述方程得：

11222

222

112222

2221

12()()0

()()0

i aq i aq i aq i aq A e e

B e

A B ωωωωωωωωωω--+--+=+-+-=

A 、

B 有非零的解，系数行列式满足：

11222

222

112222

2221

12(),()

0(),()i aq i aq i aq i aq e

ωωωωωωωωωω--+--+=+-+-

11112

222

222222221212

()()()0i aq i aq i aq i aq e e e e ωωωωωωω--+--++= 11112222

22222

()()()0i aq i aq i aq i aq e

ωωωωωωω--+--++=

因为1ββ=、210ββ=，令22

0120

10,10c c m m

ωωωω====得到 2224

00(11)(10120cos )0aq ωωω--+=

两种色散关系：22

0(1120cos 101)qa ωω=±+

当0q =时，220(11121)ωω=±，

0220

ωωω+-==

当q a

π=

时，2

(1181)ωω=±，

202ωωωω+-==

（2）色散关系图：

3.7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有2

0()q Aq ωω=-

求证：()1/2

0023/2

1(),4V f A

ωωωωωπ=

-<;0()0,f ωωω=>. ＜解＞()

112

00000()0,0Aq f Aq q A ωωωωωωωωωω>-=>=

依据()3

()2,()()

2q q V

q Aq f q ωωωπ?=-=

，并带入上边结果有

()()()()()()()1/21/2

00331/2223/2

01142()222q V

ds V A V f A A

q ωπωωωωωππωωπ=?=?-=?-?-

3.8、有N 个相同原子组成的面积为S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与2T 。

证明：在k 到k dk +间的独立振动模式对应于平面中半径n 到n dn +间圆环的面积2ndn π，且

()22

532222L s ndn kdk kdk d v ρ

πρωωπππ===即则 ()

()2

3220//2

333212121

B B x B B B B k T

k T x

d s k T s k T k T k T s

d x dx

E E v e

v e v e ωωωωρρρωωωω

πππ????

? ?

????=

+==---?

， 20,(

)v s E

T E T C T T

?→∝∴=∝?3时，

3.9、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为0q B n q

B F U k T

k T ω??

?+ ???

∑

证明:量子谐振子的自由能为112q

B q

k T

B n q B F U k T e k T ωω

?????? ?=++

- ??????

∑ 经典极限意味着（温度较高）BT g k ω

应用21...x e x x =-++ 所以2

1...q B q

q k T

B B e

k T k T ωωω-

=-++ ???

因此01

112q q q B n B n q q

B B F U k T

U k T k T k T ωωω?

???

?++-+?+ ? ?????

∑∑ 其中01

2q q

U U ω?+∑

3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为

ω，使用德拜模型求晶体的零点振动能。证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K 时振动能0E 就是各振动模零点能之和。()()()0000

E E g d E ωωωωωω=

将和()22332s V g v ωωπ=代入积分有

023

39168m m s V E N v ωωπ=

=，由于098

m B D B D k E Nk ωθθ==得一股晶体德拜温度为~2

10K ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟．

3.11、一维复式格子2415 1.6710,4, 1.510/M

m g N m m

β-=??==?4( 1.5110/),dyn cm ?即求（1）

，光学波0

max min ,ωω，声学波max A

ω。（2）相应声子能量是多少电子伏。（3）在300k 时的平均声子数。

（4）与0max ω相对应的电磁波波长在什么波段。＜解＞（1）

，131m

a x 3.0010,A

s ω

-===?

131

max

6.7010o

s ω

-===?

131m a x

5.9910A

s ω

-===? （2）161312max 16

1312max 161312min 6.5810 5.9910 1.97106.5810

6.7010 4.41106.5810 3.0010 3.9510A o

o s eV s eV s eV

ωωω---------=???=?=???=?=???=?

（3）max max max

max

//110.873,0.2211

A O

B B A O

k T

ωω=

=--

min min /10.2761

B O

k T

n e

ω=

（4）228.1c

m πλμω

第四章能带理论

4.1、根据k a

=±

状态简并微扰结果，求出与E -及E +相应的波函数ψ-及ψ+?，并说明它们的特性．说

明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布2

ψ说明能隙的来源(假设n V =*

n V )。

＜解＞令k a

，k a

π'=-

，简并微扰波函数为00()()k k A

x B x ψψψ=+

()0n E k E A V B ??-+=??

()00n V A E k E B '??+-=?? 取E E +=

带入上式，其中0()n E E k V +=+

V(x)<0,0n V <,从上式得到B= -A,于是

0()()n n i x i x a a

k A x x e e ππψψψ-'

+????=-=-?

???

n x a π 取E E -=，0()n E E k V -=- ,n n V A V B A B =-=得到

0()()n n i x i x a a

k A x x e e ππψψψ-'

-????=-=-??

????

n x a π 由教材可知，+ψ及-ψ均为驻波．在驻波状态下，电子的平均速度()k ν为零．产生驻波因为电子波矢n k a π=

时，电子波的波长22a

k n

πλ==，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，

并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。

4.2、写出一维近自由电子近似，第n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数2k a

的0级波函数。

＜解＞2221()*24

()i mx i x i mx i m x ikx ikx a a a a

x e e ππππψ+===?= 第一能带：*

20,0,()

2i x a k

m m x a ππ

ψ?=== 第二能带：23*222,,1,()x i x a a

k b b b b m m x a a πππππψ''=→?=-=-∴=i i 2a

则即（e =e ）第三能带：25*

2222,,1,()i x i x i x a a a

k c c m m x e a a πππ

ππψ'→?===?=即

4.3、电子在周期场中的势能．

222

1(),2

m b x n a ω??--?? n a b x n a b -≤≤+当 ()V x = 0 ， x n a b ≤≤-当(n-1)a+b

其中d ＝4b ，ω是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度．

＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．

(2)势能的平均值：由图可见，()V x 是个以a 为周期的周期函数，所以

111()()()()a a b

L b b V x V x V x dx V x dx L a a

--=

==???

题设4a b =，故积分上限应为3a b b -=，但由于在[],3b b 区间内()0V x =，故只需在[],b b -区间内积分．这时，0n =，于是

2222

111()()223

b b b b b

b b m m V V x dx b x dx b x x m b a a a

ωωω----??==-=-=???

??。（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数

200021()cos ,()cos ()cos 2222b b m m m m m m V x V V x V V x xdx V x xdx b b b b b

πππ

∞

=-∞

'=+

==∑

??112

2210

2,1()cos

g g m x

E V m E b x dx b

ωπ===

第一个禁带宽度以代入上式,

利用积分公式()2

232

cos sin 2cos sin u u mudu mu mu mu mu m m =

+-???

得 2

16m b ωπ

1g E 第二个禁带宽度222,2g E V m ==以代入上式,代入上式

()cos

g m x

E b x dx b

ωπ=

再次利用积分公式有2

2m b ωπ=

2g E

4.4、

解：我们求解面心立方，同学们做体心立方。

（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S 态电子的能量可表示成：

()0()()s ik R s s s Rs E k J J R e ε-?==--

∑

近邻

在面心立方中，有12个最近邻，若取0m R =，则这12个最近邻的坐标是： ①

(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0)2222a a a a

②

(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1)2222a a a a

③

(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1)2222

a a a a

由于S 态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此()S J R 有相同的值，简单表示为J 1=()S J R 。又由于s 态波函数为偶宇称，即()()s s r r ??-=

∴在近邻重叠积分*

()()()()()s i s s i J R R U V R d ?ξξ?ξξ??-=--???

中，波函数的贡献为正 ∴J 1＞0。

于是，把近邻格矢S R 代入()s

S E R 表达式得到：

()s ik R s S Rs E k J J e ε-?==--∑

近邻

=()()()()2222

01x y x y x y x y a

a a a

i k k i k k i k k i k k S J J e e e e ε-+----+---?--+++??

()()()()2

y z y z y z y z a

i k k i k k i k k i k k e

-+----+---+++++()()()()2

x z x z x z x z a

i k k i k k i k k i k k e

-+----+---?+++??

=012cos ()cos ()cos ()cos ()2222S

x y x y y z y z a a a a J J k k k k k k k k ε?????

--++-+++-????????

cos ()cos()2z x z x a k k k k ?

??+++-??????

cos()cos()2cos cos αβαβαβ↓++-=

=014cos

cos cos cos cos cos 222222s x y y z z x a a a a a a J J k k k k k k ε?

?--++????

（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：

(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)2222a a a a

(1,1,1),(1,1,1,),(1,1,1),(1,1,1)2222a a a a

01()8(cos cos cos )222

s s x y z a a a E k J J k k k ε=--

4.7、有一一维单原子链，间距为a ，总长度为N a 。求（1）用紧束缚近似求出原子s 态能级对应的能带E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果每个原子s 态只有一个电子，求等于T=0K 的费米能级0

F E 及0

F E 处的能态密度。＜解＞010101(1),()()2cos 2cos ika

ika s s E k J J e

e J J ka E J ka εε-=--+=--=-

0()()s ik R s E k E J J p e -???=--????

∑ (2) ,1121()2222sin sin L dk Na N

N E dE J a ka J ka

πππ=?

?=?=

(3), 00

22()22222F

k F F F Nak Na N k dk k k a

πρππ=

?=??=∴=?

1()2cos

,()2sin

2F F s F N

E E k E J a E N E a

J J a

ππ==-?==

4.8、证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍．(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响7

＜解＞（a ）二维简单正方晶格的晶格常数为a ，倒格子晶格基矢22??,A i B j a a

ππ== 第一布里渊区如图所示

()2

222???,.,

2B x

y z i B K i j a a a K

K K m

πππε????=

=+ ? ?????

++A 区边中点的波矢为K 角顶点的波矢为自由电子能量2

2,222A x K m

m a m a ππε????

= ? ?????

A 点能量

()2222

222

2,222B x y K K m m a a m a πππε??????????=+=+=???? ? ? ???????????????

B 点能量所以/2B A εε=

b)简单立方晶格的晶格常数为a ，倒格子基矢为222?

??,,,A i B j C k a a a

ππ??????=== ? ? ???????

第一布里渊区如图7—2所示．

;

2A m a πε??

== ???

A 点能量()22222

2222

3,222B x y z K K K m m a a a m a ππππε????????????=++=++=

???? ? ? ? ?????????????????

B 点能量所以/3B A εε=

(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图7—2所示．根据自由电子理论，自由电子的能量为()2

222x

y z K K K m

ε=

++，FerM 面应为球面．由(b)可知，内切于4点的内切球的体

积

343

a π

π??

，于是在K 空间中，内切球内能容纳的电子数为()

42 1.04733

N N a ππππ??=

= ???

其中3V Na =

二价金属每个原子可以提供2个自由电子，内切球内只能装下每原子1.047个电子，余下的0.953

个电子可填入其它状态中．如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括B 点)．这样，晶体将只有绝缘体性质．然而由(b)可知，B 点的能员比A 点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的．事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形Ferm 面．因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能．实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电．

4.10、

解：设晶体中有N 个Cu 原子，向其中掺入x 个锌原子。则晶体中电子的总数为： (N-x)+2x=N+x

由于Cu 是面心立方，每一个原胞中含4个电子。因此：晶体中包含的原胞数为：

其倒格子为体心立方，倒格子的边长为：

固体物理学》概念和习题答案

《固体物理学》概念和习题答案 The document was prepared on January 2, 2021

《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）

16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。

固体物理课后答案

1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52体心立方3π/ 8 ≈0.68面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密排2π/ 6 ≈0.74金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。证明：体心立方格子的基矢可以写为

面心立方格子的基矢可以写为根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为同理与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为同理而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为即为平面的法线

根据定义，倒格子基矢为则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足其中a 为立方边长。解：根据倒格子的特点，倒格子与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系因此只要先求出倒格，求出其大小即可。因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；

固体物理学题库..doc

一、填空 1.固体按其微结构的有序程度可分为 _______、_______和准晶体。 2.组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为 _______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为 _________。 3.在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为 ______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为 ____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括 ______________晶体结构和 ______________晶体结构。 5.简单立方结构原子的配位数为 ______；体心立方结构原子的配位数为 ______。6．NaCl 结构中存在 _____个不等价原子，因此它是 _______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的 ______________格子套构而成的。 7.金刚石结构中存在 ______个不等价原子，因此它是 _________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4 的长度套构而成，晶胞中有 _____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足 a i b j 2 ij 2 ,当i j时关系的 b1,b 2, b 3为基矢，由0，当 i （ i, j 1,2,3) j时 K h h b h b h构b成的点阵，称为 _______。 1 1 2 2 3 10.晶格常数为 a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为 ________。 11.晶格常数为 a 的面心立方点阵初基元胞的体积为 _______；其第一布里渊区的体积为 _______。 12.晶格常数为 a 的体心立方点阵初基元胞的体积为 _______；其第一布里渊区的体积为 _______。 13.晶格常数为 a 的简立方晶格的 (010)面间距为 ________ 14.体心立方的倒点阵是 ________________点阵，面心立方的倒点阵是 ________________点阵，简单立方的倒点阵是________________。 15.一个二维正方晶格的第一布里渊区形状是 ________________。 16.若简单立方晶格的晶格常数由 a 增大为 2a，则第一布里渊区的体积变为原来的 ___________倍。

黄昆版固体物理学课后答案解析答案

《固体物理学》习题解答黄昆原著韩汝琦改编（陈志远解答，仅供参考）第一章晶体结构 1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3

固体物理习题解答

1. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 2. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ [解答] 晶体中原子间距的数量级为10 10 -米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于10 10-米. 但可见光的波长为7.6?4.07 10-?米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光. 3. 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么? [解答] 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r 时, 排斥力起主导作用. 4. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答] 以s 态电子为例. 由图5.9可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分 r R r R r r r d )()]()([)(* n at s n at N at s s V V J ----=???Ω 的大小又取决于) (r at s ? 与相邻格点的)(n at s R r -?的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的 )(r at s ?与)(n at s R r -?交叠程度小, 外层电子的)(r at s ?与)(n at s R r -?交迭程度大. 因此, 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽. 5. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答] 电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度 )(2n K V E g =, )(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数. 不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交. 6. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么? 对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式 λθn sin 2=hkl d 可知, 面间距hkl d 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角θ. 面间距hkl d 小的晶面, 对应一个大的光的掠射角θ. θ越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.

固体物理学题库

固体物理学题库 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

一、填空 1. 固体按其微结构的有序程度可分为_______、_______和准晶体。 2. 组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为_______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为_________。 3. 在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括______________晶体结构和______________晶体结构。 5. 简单立方结构原子的配位数为______；体心立方结构原子的配位数为______。 6．NaCl 结构中存在_____个不等价原子，因此它是_______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的______________格子套构而成的。 7. 金刚石结构中存在______个不等价原子，因此它是_________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成，晶胞中有_____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足2,2,1,2,3)0i j ij i j a b i j i j ππδ=??===?≠? 当时（，当时关系的123,,b b b 为基矢，由 112233h K hb h b h b =++构成的点阵，称为_______。 10. 晶格常数为a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为________。 11. 晶格常数为a 的面心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 12. 晶格常数为a 的体心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 13. 晶格常数为a 的简立方晶格的(010)面间距为________

固体物理学概念和习题答案

《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？）

16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？ 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。

《固体物理学》基础知识训练题及其参考标准答案

《固体物理》基础知识训练题及其参考答案说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。第一章作业1： 1.固体物理的研究对象有那些？答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格；金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。

固体物理学答案详细版

《固体物理学》部分习题参考解答第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b a 那么， Rf Rb 31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ）并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213) 答：证明设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id === ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°

固体物理学概念和习题答案

固体物理学概念和习题答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

固体物理题库

一名词解释原胞布喇菲点阵结点第一布里渊区肖脱基缺陷弗兰克尔缺陷费米面费米能量费米温度绝热近似肖特基效应德哈斯—范阿尔芬效应马德隆常数二简答题 1. 简述Si 的晶体结构的主要特征 2. 证明面心立方的倒格子为体心立方 3. 按对称类型分类，布拉菲格子的点群类型有几种？空间群类型有几种？晶体结构的点群类型有几种？空间群类型有几种？ 4. 晶体的宏观对称性中，独立的对称操作元素有那些？ 5. 劳厄方程布拉格公式 6. 固体结合的五种基本形式 7. 写出离子晶体结合能的一般表达式，求出平衡态时的离子间距。 8. 点缺陷基本类型 9. 什么是热缺陷？简述肖特基缺陷和弗仑克尔缺陷的特点。 10. 接触电势差产生的原因 11. 请用自由电子气理论解释常温下金属中电子的比热容很小的原因。 12. 简要解释作为能带理论的三个基本近似：绝热近似、单电子近似和周期场近似。 13. 简述布洛赫定理 14. 试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点 15. 为什么有的半导体霍尔系数取正值，有的取负值。 16. 自由电子气模型基本假定 17. 能带理论基本假设三计算题 1. 某晶体具有面心立方结构，其晶格常数为a 。（1）写出原胞基矢。（2）求倒格子基矢，并指出倒格子是什么类型的布喇菲格子。 2. 简单立方晶格中，每个原胞中含有一个原子，每个原子只有一个价电子，使用紧束缚近似，只计入近邻相互作用。 1) 求出s 态组成的s 能带的E(k)函数。 2) 给出s 能带带顶和带底的位置和能量值。 3) 求电子在能带底部和顶部的有效质量。 5) 求出电子运动的速度。 3.知Si 中只含施主杂质N = 1015 cm -3 D ，求载流子浓度？ 4.假设某二价元素晶体的结构是简立方点阵。试证明第一布里渊区角偶点??? ??a a a πππ,,的自由电子动能为区边中心点?? ? ??0,0,a π的三倍。 5. 金属钠是体心立方晶格，晶格常数a =3.5?，假如每一个锂原子贡献一个传导电子而构成金属自由电子气，试推导T=0K 时金属自由电子气费米能表示式，并计算出金属锂费米能。（?=1.05×10-34J ·s ，m=9.1×10-35W ·s 3/cm 2，1eV=1.6×10-19J ） 6. 平时留过的作业题

黄昆版固体物理学课后答案解析答案

《固体物理学》习题解答黄昆原著韩汝琦改编（陈志远解答，仅供参考）第一章晶体结构 1.1 、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目 n 和小球体积 V 所得到的小球总体积 nV 与晶体原胞体积 Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， x nV Vc （ 1）对于简立方结构：（见教材 P2图 1-1） a=2r ， V= 4 r 3 ， Vc=a 3，n=1 3 4 r 3 4 r 3 ∴ x 3 3 0.52 a 3 8r 3 6 （ 2）对于体心立方：晶胞的体对角线 BG= 3a 4r a 4 3 x n=2, Vc=a 3 3 2 4 r 3 2 4 r 3 3 ∴ x 3 3 0.68 a 3 ( 4 3 8 r )3 3 （ 3）对于面心立方：晶胞面对角线 BC= 2a 4r , a 2 2r n=4 ，Vc=a 3 4 4 r 3 4 4 r 3 2 x 3 3 0.74 a 3 ( 2 2r) 3 6 （ 4）对于六角密排： a=2r 晶胞面积： S=6 S ABO 6 a a sin 60 3 3 2 2 = a 2 晶胞的体积： V= S C 3 3 a 2 8 a 3 2a 3 24 2r 3 2 3 n=12 12 1 2 1 3=6个 6 2 6 4 r 3 2 x 3 0.74 24 2r 3 6 （ 5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线 BG= 3a 4 2r a 8r n=8, Vc=a 3 3

黄昆版固体物理学课后答案解析答案

《固体物理学》习题解答黄昆原著韩汝琦改编 (陈志远解答，仅供参考) 第一章晶体结构 1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率, (1)对于简立方结构：(见教材P2图1-1) a=2r, 4 V= 3 r3, Vc=a3,n=1 4 3 4 3 r r 二x 3 3 0.52 3 a 8r3 6 (2)对于体心立方：晶胞的体对角线BG= , 3a 4r n=2, Vc=a3 4 3 F) n=4, Vc=a3 (22r)3 (4 )对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6 S ABO nV Vc 0.68 (3 )对于面心立方：晶胞面对角线BC= , 2a 4r, a 2 ., 2r 0.74 晶胞的体积: V=S C V 3 2a324.2r3 n=1212 - 2 - 6 2 3=6个 24 2r3 0.74 (5 )对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3a 4 2r 8r .3 n=8, Vc=a3

所以，面心立方的倒格子是体心立方。 r a a, r 於i r j r k) （2 ）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢） r a r r r a2刖j k) r a丿r r a3 2(i j k) 8 3r38 3r3 83 3 ___ r 3,3 0.34 1.2、试证：六方密排堆积结构中C（8）1/21.633 a 3 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、0的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=N0=a=2R. 即图中NABO构成一个正四面体。… 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 a i 2(j k) 证明：（1 ）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）a2 a ' a(i k) 由倒格子基矢的定义: a3) b1 2 同理可得: a3 a ' 2(i j) (a2 a3) b2 a a 0, r r r 2, 2 i , j, k 3 a a a r r a a _ J0, 一—,a2 a3 I0, — 2 2 4 2 2 a a a a J J0 0 2 2 2 2 a2 r r r 7「j k) k) k) 2 1—(i a jr a k）即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相k)

固体物理学测验题

2008级电技专业《固体物理学》测验题一、（40分）简要回答： 1、什么是晶体？试简要说明晶体的基本性质。 2、试简要说明CsCl 晶体所属的晶系、布喇菲格子类型和结合键的类型。 3、试用极射赤平投影图说明3（3次旋转反演轴）的作用效果并给出其等效对称要素。 4、什么是格波？什么是声子？声子的能量和动量各为多少？ 5、试写出自由电子和晶体中电子的波函数。 6、如需讨论绝缘体中电子的能谱，应采何种模型？其势能函数有何特点？ 7、什么是禁带？出现禁带的条件是什么？ 8、固体中电子的能量和电子波矢间有何关系？二、（10分）某晶体具有简立方结构，晶格常数为a 。试画出该晶体的一个晶胞，并在其中标出下列晶面：（111`），（201），（123）和（110）。三、（8分）某晶体具有面心立方结构，试求其几何结构因子并讨论x 射线衍射时的消光规律。四、（12分）试求晶格常数为2a 的一维布喇菲格子晶格振动的色散关系，并由此讨论此一维晶格的比热。五、（15分）对于六角密积结构晶体，其固体物理原胞的基矢为： k c a j a i a a j a i a a =+-=+=321232232 试求（1）倒格子基矢；（2）晶面蔟（210）的面间距；（3）试画出以21,a a 为基矢的二维晶格的第一、第二和第三布里渊区。六、（15）已知一维晶体电子的能带可写为： ) 2cos 81 cos 87()(22 ka ka ma k E +-= 式中a 是晶格常数，试求：（1）能带的宽度；（2）电子在波矢k 态时的速度；（3）能带底部和能带顶部附近电子的有效质量。《固体物理学》测验参考答案一、（40分）请简要回答下列问题： 1. 实际的晶体结构与空间点阵之间有何关系？答：晶体结构=空间点阵+基元。 2. 什么是晶体的对称性？晶体的基本宏观对称要素有哪些？答：晶体的对称性指晶体的结构及性质在不同方向上有规律重复的现象。描述晶体宏观对称性的基本对称要素有1、2、3、4、6、对称心i 、对称面m 和4次反轴。 3. 晶体的典型结合方式有哪几种？并简要说明各种结合方式中吸引力的来源。答：晶体的典型型方式有如下五种：离子结合——吸引力来源于正、负离子间库仑引力；共价结合——吸引力来源于形成共价键的电子对的交换作用力；金属结合——吸引力来源于带正电的离子实与电子间的库仑引力；分子结合——吸引力来源于范德瓦尔斯力氢键结合——吸引力来源于裸露的氢核与负电性较强的离子间的库仑引力。 4. 由N 个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有r 个原子，试问晶格振动时能得到多少支色散关系？其波矢的取值数和模式的取值数各为多少？答：共有3r 支色散关系，波矢取值数=原胞数N ，模式取值数=晶体的总自由度数。 5. 请写出自由电子和Bloch 电子的波函数表达式并说明其物理意义。

固体物理XX题库

一、填空 1. 固体按其微结构的有序程度可分为_______、_______和准晶体。 2. 组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为_______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为_________。 3. 在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括______________晶体结构和______________晶体结构。 5. 简单立方结构原子的配位数为______；体心立方结构原子的配位数为______。 6．NaCl 结构中存在_____个不等价原子，因此它是_______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的______________格子套构而成的。 7. 金刚石结构中存在______个不等价原子，因此它是_________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成，晶胞中有_____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足2,2,1,2,3)0i j ij i j a b i j i j ππδ=??===?≠?r r 当时（，当时关系的123,,b b b r r r 为基矢，由112233h K hb h b h b =++r r r r 构成的点阵，称为_______。 10. 晶格常数为a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为________。 11. 晶格常数为a 的面心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 12. 晶格常数为a 的体心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 13. 晶格常数为a 的简立方晶格的(010)面间距为________ 14. 体心立方的倒点阵是________________点阵，面心立方的倒点阵是________________点阵，简单立方的倒点阵是________________。 15. 一个二维正方晶格的第一布里渊区形状是________________。 16. 若简单立方晶格的晶格常数由a 增大为2a ，则第一布里渊区的体积变为原来的___________倍。

固体物理学课后题答案

第一章晶体结构 1.1、如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明：结构 X 简单立方 52.06 =π 体心立方 68.08 3 ≈π 面心立方 74.06 2 ≈π 六角密排 74.06 2 ≈π 金刚石 34.06 3≈π 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06834343333====π ππr r a r x （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)3 34(3423423 3 3 3≈=?=?=πππr r a r x （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) 22(3443443 3 33≈=?=?=πππr r a r x （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ?? =??=2 a 233

晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062) 22(3443443 3 33≈=?=?=πππr r a r x （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 34.0633 38 34 83483 3 3 33≈=?=?=πππr r a r x 、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ?=+?? ?=+?? ?=+??r r r r r r r r r 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=?Ω r r r 31230, ,22 (), 0,224 ,,0 2 2a a a a a a a a a a Ω=??==r r r Q ，223,,, 0,()224,,0 2 2 i j k a a a a a i j k a a ?==-++r r r r r r r r 213422()()4a b i j k i j k a a ππ∴=??-++=-++r r r r r r r 同理可得：232() 2() b i j k a b i j k a ππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。所以，面心立方的倒格子是体心立方。

黄昆固体物理课后习题答案6

第六章自由电子论和电子的输运性质思考题 1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率 [解答] 金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目 1/)(+=-T k E E B F e g n , g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数 11)(/)(+=-T k E E B F e E f 是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率. 2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量 [解答] 晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数 11/-=T k i B i e n ω . 从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量. 3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的 [解答] 自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近. 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化 [解答] 费密能级 3 /222 0)3(2πn m E F =, 其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低. 5.为什么温度升高, 费密能反而降低 [解答]

固体物理试题

中科院考研固体物理试题（1997~2012）

一九九七年研究生入学考试固体物理试题一很多元素晶体具有面心立方结构，试： 1 绘出其晶胞形状，指出它所具有的对称元素 2 说明它的倒易点阵类型及第一布里渊区形状 3 面心立方的Cu 单晶（晶格常熟a=3.61?）的x 射线衍射图（x 射线波长λ＝1.54?）中，为什么不出现（100），（422），（511）衍射线？ 4它们的晶格振动色散曲线有什么特点？二已知原子间相互作用势n m r r r U β α+-=)(，其中α，β，m,n 均为>0的常数，试证明此系统可以处于稳定平衡态的条件是n>m 。

三已知由N 个质量为m ，间距为的相同原子组成的一维单原子链的色散关系为 2sin 42 1 qa m ?? ? ??=βω 1 试给出它的格波态密度()ωg ，并作图表示 2 试绘出其色散曲线形状，并说明存在截止频率max ω的意义四半导体材料的价带基本上填满了电子（近满带），价带中电子能量表示式 ())(10016.1234J k k E ?-=，其中能量零点取在价带顶。这时若cm k 6101?=处电子被激发到更高的能带（导带）而在该处产生一个空穴，试求此空穴的有效质量，波矢，准动量，共有化运动速度和能量。（已知s J ??=-3410054.1 ， 2 3 350101095.9cm s w m ??=-）

五金属锂是体心立方晶格，晶格常数为5.3 a?，假设每一个锂原子贡献一个 = 传导电子而构成金属自由电子气，试推导K =时，金属自由电子气费米能表 T0 示式，并计算出金属锂费米能。（已知J ? =） 1- .1 10 602 eV19

固体物理简答题及答案汇编

简答题 1、原子结合成晶体时，原子的价电子产生重新分布，从而产生不同的结合力，分析离子性、共价性、金属性和范德瓦耳斯性结合力的特点。答案：离子性结合：正、负离子之间靠库仑吸引力作用而相互靠近，当靠近到一定程度时，由于泡利不相容原理，两个离子的闭合壳层的电子云的交迭会产生强大的排斥力。当排斥力和吸引力相互平衡时，形成稳定的离子晶体；共价性结合：靠两个原子各贡献一个电子，形成所谓的共价键；金属性结合：组成晶体时每个原子的最外层电子为所有原子所共有，因此在结合成金属晶体时，失去了最外层（价）电子的原子实“沉浸”在由价电子组成的“电子云”中。在这种情况下，电子云和原子实之间存在库仑作用，体积越小电子云密度越高，库仑相互作用的库仑能愈低，表现为原子聚合起来的作用。范德瓦耳斯性结合：惰性元素最外层的电子为8个，具有球对称的稳定封闭结构。但在某一瞬时由于正、负电中心不重合而使原子呈现出瞬时偶极矩，这就会使其它原子产生感应极矩。非极性分子晶体就是依靠这瞬时偶极矩的互作用而结合的。 2. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？答案：为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加. 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N. 3. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? 答案：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 4. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化? 答案：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化. 5. 何谓极化声子? 何谓电磁声子? 答案：长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 称长光学纵波声子为极化声子. 由本教科书的(3.103)式可知, 长光学横波与电磁场相耦合, 使得它具有电磁性质, 人们称长光学横波声子为电磁声子. 6、什么是声子？答案：晶格振动的能量量子。在晶体中存在不同频率振动的模式，称为晶格振动，晶格振动能量可以用声子来描述，声子可以被激发，也可以湮灭。

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