专题48 二项式定理常见的解题策略-学会解题之高三数学万能解题模板(2021版)(原卷版)

学习界的007

专题 48 二项式定理常见的解题策略

【高考地位】

二项式定理有关问题 ，是中学数学中的一个重要知识点，在历年的高考中几乎每年都有涉及. 因此掌握二项式定理问题的常见题型及其解题策略是十分必要的. 其考试题型主要有：求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等，其难度不会太大，但题型可能较灵活．在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.

类型一 求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数

万能模板 内 容

使用场景 求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数． 解题模板

第一步 首先求出二项展开式的通项；

第二步 根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数； 第三步

得出结论.

例 1. (1- 2 x )4

展开式中第

3 项的二项式系数为（ ）

A ．6

B ．-6

C ．24

D ．-24

【变式演练 1】二项式(x +

1

)9 展开式中， x 3 项的系数为 ．

2x

【变式演练 2】(ax + x )5

的展开式中 x 3 项的系数为 20，则实数 a = ?．

【变式演练 3】【海南省 2021 届高三年级第二次模拟考试】? 2x - 2 ?6

?

的展开式中 x 3 的系数为（

）

?

3x 2 ?

A ． - 64 3

B ．

- 128 81

C ．64

D ．-128

类型二 二项式系数的性质与各项系数和

x n

万能模板内容

使用场景二项式系数的性质与各项系数和．

解题模板第一步观察题意特征，合理地使用赋值法；

第二步区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；

第三步得出结论.

例2 【四川省宜宾市2021 届高三上学期第一次诊断考试】若(a 其展开式中x 的系数为（）-

1

)5 展开式中所有项的系数和为1，则x

A．-2 B．-10 C．-16 D．-80

【变式演练4】在?

2x3 -

1 ?

的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是． ?

??

类型三二项式定理的应用

万能模板内容

使用场景使用二项式定理处理整除问题

解题模板第一步通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式；

第二步再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余

数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．；

第三步得出结论.

例3 .设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a 能被13 整除，则a＝( )

A．0 B．1 C．11 D．12

【变式演练5】S＝C1 ＋C2 ＋…＋C 27除以9 的余数为．

27 27 27

【高考再现】

x

x

y ?

?

2 ?

y ?

1.【2020 年高考全国Ⅰ卷理数 8】?

x +

( + )5

2 ? x y

的展开式中 x 3 y 3 的系数为 （ ）

?

x ?

A ． 5

B ．10

C ．15

D ． 20

2. 【2020 年高考北京卷 3】在(

- 2)

5

的展开式中， x 2 的系数为

（ ）

A ． -5

B ． 5

C ． -10

D ．10

3. 【2020 年高考全国Ⅲ卷理数 14】? x 2 + ?

2 ?6

? 的展开式中常数项是 （用数字作答）．

?

4．【2020 年高考浙江卷 12】设(1+ 2x )5

= a

+ a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 + a x 5 ， 则

a 5 = ?；

a 1 + a 2 + a 3 = ?．

1

2

3

4

5

6

5.【2020 年高考天津卷 11】在? x + ? 2 ?5

x 2 ? 的展开式中， x 2 的系数是 ．

【反馈练习】

1

. 【2021 年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）】(1+ x )2 + (1+ x )3 + + (1+ x )9

的展开式中 x 2 的系数是（

）

A ．60

B ．80

C ．84

D ．120

2

. 【江西省吉安市 2021 届高三大联考】? 2 -

1 ?(1+ ay )6

展开式中 x -2 y 3 项的系数为 160，则 a = （ ）

x ?

?

A ．2

B ．4

C ． -2

D ． -2 3

. 【河南省郑州市 2020-2021 学年高三上学期第一次质量检测】式子?

x - ( + )5

2

? x y

的展开式中，x 3 y 3 的 ?

x ?

系数为（ ）

2

x

x x

A ． 3

B ． 5

C ．15

D ． 20

4

. 【湖南省株洲市 2020-2021 学年高三上学期第一次教学质量统一检测】若

(1-

2)5

= a + b

（a ，b 为

有理数），则 a =（

）

A ．-25

B ．25

C ．40

D ．41

5

. 【江西省五市九校协作体 2021 届高三第一次联考】数列{a n } 中， a 1 = 1 ， a n +1 = 2a n +1（ n ∈ N * ）

，则

C 0a + C 1a + C 2a + C 3a + C 4a + C 5a =

5 1

5 2

5 3

5 4

5 5

5 6

? 1 ?6

6

. 【上海市奉贤区 2021 届高三上学期一模】在 x - ? ? ?

展开式中，常数项为

.（用数值表示）

7

. 【江苏省南通中学 2020-2021 学年高三上学期 12 月考前热身】已知(1- 2x )7 = a + a x 1 + a x 2 + + a x 7

，

1

2

7

则a 1 + a 2 + + a 7 =

；

a 1 + a 3 + a 5 + a 7 = ?； a 0 + a 2 + a 4 + a 6 = ；

a 0 + a 1 + a 2 + + a 7 = ?.

8

. 【四川省凉山州 2020-2021 学年高三第一次诊断性检测】?

3x 2

-

?

1 ?

6

? ?

的展开式中的常数项是 .(用数

字作答)

? 2 ?n

9

. 【上海市杨浦区 2021 届高三上学期一模（期末）】已知 x + ? ? ?

的二项展开式中，所有二项式系数的和

为

256 ，则展开式中的常数项为 （结果用数值表示）.

1

0. 【上海市松江区 2021 届高三上学期期末（一模）】在(x 2 + 2 )6 的二项展开式中，常数项等于

.

x

2

x