比例解行程问题.教师版
1. 理解行程问题中的各种比例关系.
2.
掌握寻找比例关系的方法来解行程问题．
比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。
从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲，；；来表示，大体可分为以下两种情况：
1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就
等于他们的速度之比。
s v t s v t =???=??甲甲甲乙乙乙
，这里因为时间相同，即t t t ==乙甲,所以由s s t t v v ==甲乙乙甲乙甲， 得到s s t v v ==甲乙乙甲，s v s v =甲甲乙乙
，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比
2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之
比等于他们速度的反比。
s v t s v t =???=??甲甲甲乙乙乙
，这里因为路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =?=?乙乙乙甲甲甲， 得s v t v t =?=?乙乙甲甲，v t v t =甲乙乙甲
，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。
模块一：比例初步——利用简单倍比关系进行解题
【例 1】 甲、乙两车从相距330千米的A 、B 两城相向而行，甲车先从A 城出发，过一段时间后，乙车
才从B 城出发，并且甲车的速度是乙车速度的56
。当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米，则甲车开出 千米，乙车才出发。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】希望杯，5年级，1试
【解析】 两车相遇时共行驶330千米，但是甲多行30千米，可以求出两车分别行驶的路程，可得甲车行
驶180千米，乙车行驶150千米，由甲车速度是乙车速度的56
可以知道，当乙车行驶150千米的时候，甲车实际只行驶了51501256
?=千米，那么可以知道在乙车出发之前，甲车已经行驶了知识精讲
教学目标
比例解行程问题
180-125=55千米。
【答案】55千米
【例2】甲乙两地相距12千米，上午10：45一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中，乘客问司
机距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的1
3
加上未走路程的2倍，恰好等
于已走的路程，又知出租车的速度是30千米/小时，那么现在的时间是。【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【关键词】希望杯，6年级，1试
【解析】可设已走路程为X千米，未走路程为（12-X）千米。
列式为：X-1
3
X=(12-X)×2 解得：X=9
9306018
÷?=分钟，现在时间是11:03
【答案】11:03
【例3】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好
是8千米，这时是几点几分？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】画一张简单的示意图：
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8＝12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。
注意：小明第2个4千米，也就是从A到B的过程中，爸爸一共走12千米，这一点是本题的关键．对时间相同或距离相同，但运动速度、方式不同的两种状态，是一大类行程问题的关键．本题的解答就巧妙地运用了这一点．
【答案】8点32分
【巩固】欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨7 : 40，欢欢从家出发骑车去学校，7 : 46追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢8 : 00赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如果欢欢在家换校服用去6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分．【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】欢欢从出发到追上贝贝用了6分钟，她调头后速度提高到原来的2倍，根据路程一定，时间比等于速度的反比，她回到家所用的时间为3 分钟，换衣服用时6 分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了20- 6-3- 6 =5分钟，故她以原速度到达学校需要10 分钟，最开始她追上贝贝用了6分钟，还剩下4 分钟的路程，而这4 分钟的路程贝贝走了14 分钟，所以欢欢的6 分钟路程贝贝要走14 ×（6÷ 4）= 21分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了21 分钟，所以贝贝是7 点25 分出发的．
【答案】7 点25 分
【例4】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：
可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个
A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它
们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285
千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．
【答案】260千米
【巩固】地铁有A，B两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从A，B两站同时出发，他们第一次相遇时距A站800米，第二次相遇时距B站500米.问：两站相距多远？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成 1 个全长，从起点到第二次迎面相遇地点，两人共同完成3 个全长，一个全程中甲走1 段800 米，3 个全程甲走的路程为3 段800 米. 画图可知，由3 倍关系得到：A，B两站的距离为800×3－500=1900 米
【答案】1900 米
【巩固】如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇.已知C离A有80米，D离B有60
米，求这个圆的周长.
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】根据总结可知，第二次相遇时，乙一共走了80×3=240 米，两人的总路程和为一周半，又甲所走路程比一周少60 米，说明乙的路程比半周多60 米，那么圆形场地的半周长为240-60=180 米，周长为180×2=360 米.
【答案】360 米
【例5】甲、乙两人从相距490米的A、B两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从A出发，在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每分钟跑240米，甲
每分钟走40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距210米，那么乙每分钟
走________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．
【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】填空
【解析】如图所示：
乙
E
D C B
A
假设乙、丙在C处相遇，然后丙返回，并在D处与甲相遇，此时乙则从走C处到E处．根据题意可知210
DE=米．由于丙的速度是甲的速度的6倍，那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路程的6倍，也就是从A到C再到D的长度是AD的6倍，那么(6)2 2.5
CD AD AD AD
=-÷=，
3.5
AC AD
=，可见
5
7
CD AC
=．那么丙从C到D所用的时间是从A到C所用时间的
5
7
，那么这段时间内乙、丙所走的路程之和(CD加CE)是前一段时间内乙、丙所走的路程之和(AC加BC，即全程)的
5
，所以
5
490350
CD CE
+=?=，而210
CD CE DE
-==，可得280
CD=，70
CE=．
相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的280704÷=倍，所以丙的速度是乙的速度的4倍，那么乙
的速度为240460÷=(米/分)，即乙每分钟走60米． 当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的距离
改变了，变为原来的21034907=，但三人的速度不变，可知运动过程中的比例关系都不改变，那么当下一次甲、丙相遇时，甲、乙之间的距离也是此时距离的37，为3210907
?=米． 【答案】90米
【巩固】 甲、乙两车同时从 A 地出发，不停地往返行驶于 A 、B 两地之间．已知甲车的速度比乙车快，
并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地．甲车的速度是乙车速度的多少倍？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 第一次相遇时两车合走了两个全程，而乙车走了 AC 这一段路；第二次相遇两车又合走了两个全
程，而乙车走了从 C 地到 B 地再到 C 地，也就是 2 个 BC 段．由于两次的总行程相等，所
以每次乙车走的路程也相等，所以 AC 的长等于 2 倍 BC 的长．而从第一次相遇到第二次相遇
之间，甲车走了 2 个 AC 段，根据时间一定，速度比等于路程的比，甲车、乙车的速度比为 2 AC :
2 BC =2 :1 ，所以甲车的速度是乙车速度的 2 倍．
【答案】2 倍
【巩固】 甲、乙两人同时A 地出发，在A 、B 两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次
到达A 地、B 地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在AB 之间行走方向不会改变，已知
两人第一次相遇的地点距离B 地1800米，第三次的相遇点距离B 地800米，那么第二次相遇的
地点距离B 地 。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，4年级
【解析】 设甲、乙两人的速度分别为1v 、2v ，全程为s ，第二次相遇的地点距离B 地x 米。
由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达B 地并调头往回走时遇到乙的，这时甲、乙合走了两个全程，第一次相遇的地点与B 地的距离为1211212
2v v s v s s v v v v -?-=++，那么第一次相遇的地点到B 地的距离与全程的比为1212
v v v v -+； 两人第一次相遇后，甲调头向B 地走，乙则继续向B 地走，这样一个过程与第一次相遇前
相似，只是这次的“全程”为第一次相遇的地点到B 地的距离，即1800米。根据上面的分析
可知第二次相遇的地点到B 地的距离与第一次相遇的地点到B 地的距离的比为1212
v v v v -+；类似分析可知，第三次相遇的地点到B 地的距离与第二次相遇的地点到B 地的距离的比为
1212v v v v -+；那么，8001800
x x =，得到1200x =，故第二次相遇的地点距离B 地1200米。 【答案】1200
【例 6】 甲、乙两人同时从A 地出发，在 A 、 B 两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲
每次到达 A 地、B 地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在 A 、B 之间行走方向不会
改变，已知两人第一次相遇点距离 B 地1800 米，第三次相遇点距离 B 地 800米，那么第二
次相遇的地点距离B 地多少米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设甲、乙两人的速度分别为1v 、2v ，全程为 s ，第二次相遇的地点距离 B 地 x 米．
由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达 B 地并调头往回走时遇到乙的，这
时甲、乙合走了两个全程，第一次相遇的地点与 B 地的距离为1211212
2v v s v s s v v v v -?-=++，那么第一次相遇的地点到 B 地的距离与全程的比为1212
v v v v -+；两人第一次相遇后，甲调头向 B 地走，乙则继续向 B 地走，这样一个过程与第一次相遇前相似，只是这次的“全程”为第一次相遇的地点
到
B 地的距离，即1800 米．根据上面的分析可知第二次相遇的地点到 B 地的距离与第一次相
遇的地点到 B 地的距离的比为1212
v v v v -+；类似分析可知，第三次相遇的地点到 B 地的距离与第二次相遇的地点到 B 地的距离的比为1212v v v v -+；那么8001800
x x =，得到 1200x =，故第二次相遇的地点距离 B 地1200 米．
【答案】1200 米
【例 7】 每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步，他们相向而行，并且准时在途
中相遇．有一天，小刚提早出门，因此比平时早 7 分钟与张大爷相遇．已知小刚步行速度是每
分钟70 米，张大爷步行速度是每分钟 40 米，那么这一天小刚比平时早出门多少分钟？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 比平时早 7 分钟相遇，那么小刚因提早出门而比平时多走的路程为小刚和张大爷 7 分钟合走的
路程，所以当张大爷出门时小刚已经比平时多走了 （70 +40 ）×7 =770 米，因此小刚比平时早
出门770 ÷70 =11分钟．
【答案】11分钟
【例 8】 甲、乙两人步行速度之比是3∶2，甲、乙分别由A ，B 两地同时出发，若相向而行，则1时后
相遇。若同向而行，则甲需要多少时间才能追上乙？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 5时。解：设甲、乙速度分别为3x 千米／时和2x 千米／时。由题意可知 A ，B 两地相距（3x ＋
2x ）×1＝5x （千米）。追及时间为5x ÷（3x －2x ）=5（时）。
【答案】5时
【例 9】 一辆小汽车与一辆大卡车在一段9千米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行．已知小汽
车的速度是大卡车速度的3倍，两车倒车的速度是各自速度的15
，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的4倍．如果小汽车的速度是每小时50千米，那么要通过这段狭路最少用多少
小时?
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】
如果一辆车在倒车，另一辆的速度一定大于其倒军速度，即一车倒出狭路另一车也驶离狭路，倒
车的车可立即通过．
小汽车倒车的路程为947.241?=+千米，大卡车倒车的路程为91 1.841
?=+千米． 小汽车倒车的路程为150105?=千米／小时，大卡车倒车的速度为111050353
??=千米/小时 当小汽车倒车时，倒车需7.2÷10=O .72小时，而行驶过狭路需9÷50=0.18小时，共需
0.720.180.9+=小时；
当大卡车倒车时，倒车需101.80.543÷=小时，而行驶过狭路需5090.543
÷=小时，共0.540.54 1.0+=小时．
显然当小轿车倒车时所需时间最少，需0.9小时．
【答案】0.9小时
【例 10】 一辆货车从甲地往乙地运货，然后空车返回，再继续运货。已知装满货物每时行50千米，空车
每时行70千米。不计装卸货物时间，9时往返五次。求甲、乙两地的距离。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 52.5千米。解：因为满车与空车的速度比为50∶70＝5∶7，所以9时中满车行的时间为的时间为
7219574?=+（时），两地距离为2150552.54
?÷=（千米）。 【答案】52.5千米
【例 11】 甲、乙两车往返于A ，B 两地之间。甲车去时的速度为60千米／时，返回时的速度为40千米
／时；乙车往返的速度都是50千米／时。求甲、乙两车往返一次所用时间的比。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 25∶24。提示：设A ，B 两地相距600千米。
【答案】25∶24
【例 12】 甲、乙、丙三辆车先后从A 地开往B 地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚
出发15分，出发后1时追上丙。甲出发后多长时间追上乙？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 75分。提示：行驶相同路程所需时间之比为：4595010==乙甲，603804
==甲丙。 【答案】75分
【例 13】 甲火车4分行进的路程等于乙火车 5分行进的路程。乙火车上午8：00从B 站开往A 站，开出
若干分后，甲火车从A 站出发开往B 站。上午9：00两列火车相遇，相遇的地点离A ，B 两站
的距离的比是15∶16。甲火车从A 站发车的时间是几点几分？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 8点15分。解：从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5∶4＝15∶12，而相遇点距A ，
B 两站的距离的比是15∶16，说明相遇前乙车所走路程等于乙火车1时所走路程的
()11612164-÷=，也就是说已走了14
时。所以甲火车发车时间是8点15分。 【答案】8点15分
【例 14】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1∶2∶3，某人走这三段路所用
的时间之比是4∶5∶6。已知他上坡时每小时行2.5千米，路程全长为20千米。此人走完全程
需多长时间？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 20.5时。提示：先求出上坡的路程和所用时间。
【答案】20.5时
【巩固】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是2∶3∶5，某人骑车走这三段路所
用的时间之比是6∶5∶4。已知他走平路时速度为4.5千米／时，全程用了5时。问：全程多少
千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 21.25千米。提示：先求出走平路所用的时间和路程。
【答案】21.25千米
【巩固】 甲、乙两列火车的速度比是5∶4。乙车先从B 站开往A 站，当走到离B 站72千米的地方时，
甲车从A 站发车开往B 站。如果两列火车相遇的地方离A ，B 两站距离的比是3∶4，那么A ，B
两站之间的距离为多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 315千米。解：从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5∶4＝15∶12，而相遇点距A ，
B 两站的距离之比是3∶4＝15∶20，说明相遇前乙车走的72千米占全程的20128152035
-=+，所以全程为87231535
÷=（千米） 【答案】315千米
【巩固】 大、小客车从甲、乙两地同时相向开出，大、小客车的速度比为4∶5，两车开出后60分相遇，
并继续前进。 问：大客车比小客车晚多少分到达目的地？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】27分。解：大客车还需
5
6075
4
?=（分）、小客车还需
4
6048
5
?=（分）。大客车比小客车晚到
754827
-=（分）【答案】27分
【例15】从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的2
3
。一辆汽车上山速度是下山速度的一
半，从甲地到乙地共行7时。这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】8时。解：根据题意，上山与下山的路程比为2∶3，速度比为1:2，所用时间比为()()3
21:322:4:3
2
÷÷==。因为从甲地到乙地共行7时，所以上山用4时，下山用3时。
如下图所示，从乙地返回甲地时，因为下山的速度是上山的2倍，所以从乙到丙用3×2＝6（时），从丙到甲用4÷2＝2（时），共用6＋2＝8（时）。
丙
乙
甲
【答案】8时
【例16】甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，
丙车每分钟走多少米？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】680米。提示：先求长跑运动员的速度。
【答案】680米
【例17】甲、乙两人都从A地经B地到C地。甲8点出发，乙8点45分出发。乙9点45分到达B地时，甲已经离开B地20分。两人刚好同时到达C地。问：到达C地时是什么时间？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】10点33分。解：到达B地甲用85分，乙用60分，也就是说，甲走85分的路程，乙至少走25
分。由此推知，乙要比甲少走45分，甲要走
45
85153
25
?=（分）=2时33分。所以两人同时到C
地的时间为10点33分。
【答案】10点33分
【例18】甲、乙两车先后以相同的速度从A站开出，10点整甲车距A站的距离是乙车距A站距离的三倍，10点10分甲车距A站的距离是乙车距A站距离的二倍。问：甲车是何时从A站出发的？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】9点30分。提示：因为两车速度相同，故甲、乙两车距A站的距离之比等于甲、乙两车行驶的时间之比。设10点时乙车行驶了x分，用车行驶了3x分，据题意有2（x＋10）=3x＋10。
【答案】9点30分
【例19】某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10分前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了10分，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车
的速度是人步行速度的三倍，那么汽车速度是人步行速度的多少倍？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】7倍。提示：汽车行10分的路程，等于步行10分与骑车20分行的路程之和。
【答案】7倍
【例20】兄弟两人骑马进城，全程51千米。马每时行12千米，但只能由一个人骑。哥哥每时步行5千米，弟弟每时步行4千米。两人轮换骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马
的时间忽略不计），然后独自步行。而步行者到达此地，再上马前进。若他们早晨6点动身，则
何时能同时到达城里？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】下午1点45分。解：设哥哥步行了x千米，则骑马行了（51－x）千米。而弟弟正好相反，步行了（51－x）千米，骑马行x千米。由哥哥骑马与步行所用的时间之和与弟弟相等，可列出方程
解得x=30（千米）。所以两人用的时间同为
5151
512412
x x x x
--
+=+.早晨6点动身，下午1点45
分到达。
【答案】下午1点45分
模块二：时间相同速度比等于路程比
【例21】A、B两地相距7200米，甲、乙分别从A，B两地同时出发，结果在距B地2400米处相遇．如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行
多少米？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】第一种情况中相遇时乙走了2400 米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比为(7200 －2400) : 2400 =2 :1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3．乙的速度提高3倍后，两人速度比为2 : 3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了
全程的
33
325
=
+
．两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走10 分
钟，所以甲的速度为
33
6000()9150
58
?-÷=(米/分)．
【答案】150米/分
【例22】甲、乙分别从A，B两地同时相向出发。相遇时，甲、乙所行的路程比是a∶b。从相遇算起，甲到达B地与乙到达A地所用的时间比是多少？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】b2∶a2。解：因为甲、乙的速度比是a∶b，所以相遇后甲、乙还要行的路程比是b∶a，还要用的时间比是（b÷a）∶（a÷b）＝b2：a2。
【答案】b2∶a2
【巩固】甲、乙两辆车分别同时从A，B两地相向而行，相遇后甲又经过15分到达B地，乙又经过1时到达A地，甲车速度是乙车速度的几倍？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】2倍。解：60∶15＝22∶12，所以甲车速度是乙车的2倍。
【答案】2倍
【巩固】A，B两地相距1800米，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行。相遇后甲又走了8分到达B地，乙又走了18分到达A地。甲、乙二人每分钟各走多少米？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】每分甲走90米，乙走60米。解：18∶8＝32∶22，所以甲的速度是乙的3÷2＝1.5（倍）。相遇时乙走了1800÷（1＋1.5）＝720（米）。推知，甲每分走720÷8＝90（米），乙每分走90÷1.5＝60（米）。【答案】60米
【例23】甲、乙两人分别从A B
、两地同时出发，相向而行。出发时他们的速度之比是3：2，相遇后，
甲的速度提高20%，乙的速度提高1
3
，这样当甲到达B地时，乙离A地还有41千米，那么A B
、
两地相遇__________千米。
【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯,六年级,一试
【解析】
相遇前 ::V V =32甲乙
相遇后 :::V V =?
?=5432272063甲乙 ∴()km 4141135125
÷= 如图！ 即 km AB =135
【答案】km 135
【例 24】 甲、乙二人分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后
继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第
一次相遇的地点 30千米，则 A 、 B 两地相距多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路
程比为 4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三
个全程中甲走了453177?=个全程，与第一次相遇地点的距离为542(1)777
--=个全程．所以 A 、 B 两地相距2301057
÷= (千米)． 【答案】105 千米
【巩固】 甲、乙两车分别从 A 、B 两地出发，在 A 、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速
度的37
，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇的地点恰好相距 120 千米，那么，A 、B 两地之间的距离等于多少 千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 甲、乙速度之比是 3：7，所以我们可以设整个路程为 3+7=10 份，这样一个全程中甲走 3 份，
第 2007 次相遇时甲总共走了 3×（2007×2-1）=12039 份，第 2008 次相遇时甲总共走了 3×
（2008×2-1）=12045 份，所以总长为 120÷［12045-12040-（12040-12039）]×10=300 米.
【答案】300 米
【例 25】 B 地在A ，C 两地之间．甲从B 地到A 地去送信，甲出发10分后，乙从B 地出发到C 地去送另
一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B 地出发骑车去追赶
甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发
到把信调过来后返回B 地至少要用多少时间。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：
因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：
（1） 若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所
以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信
5分钟5分钟 当丙再回到B 点用5分钟，此时甲已经距B 地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追
及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信
在给乙送信，此时乙已经距B 地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟），
此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B 地需要25分钟
所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）
（2） 同理先追及甲需要时间为120分钟
【答案】90分钟
【例 26】 甲、乙两人同时从 A 、 B 两点出发，甲每分钟行 80米，乙每分钟行 60米，出发一段时间后，
两人在距中点的 C 处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了 7分钟，两人将在距中点的 D 处
相遇，且中点距 C 、 D 距离相等，问 A 、 B 两点相距多少米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 甲、乙两人速度比为80:604:3=，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的47，乙走了全程的37
．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的47，甲行了全程的37
．由于甲、乙速度比为 4 : 3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了3374?，所以甲停留期间乙行了43317744
-?=，所以 A 、B 两点的距离为160716804
?÷= (米)． 【答案】1680米
【例 27】 如图3，甲、乙二人分别在A 、B 两地同时相向而行，于E 处相遇后，甲继续向B
地行走，乙
则休息了14分钟，再继续向A 地行走。甲和乙到达B 和A 后立即折返，仍在E 处相遇，已知
甲分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A 和B 两地相（ ）米。
图3
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，决赛
【解析】 1680米
【答案】1680米
【例 28】 甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相
遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%．这样当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 10 千
米．那么 A 、B 两地相距多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 两车相遇时甲走了全程的59
，乙走了全程的49，之后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，此时甲、乙的速度比为5(120%):4(120%)5:?-?+= ，所以甲到达 B 地时，乙又走了
4689515?=，距离 A 地58191545-=，所以 A 、 B 两地的距离为11045045
÷= (千米)． 【答案】450 千米
【例 29】 早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点
时两人之间的距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米．下午 4 点时小
王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张块．下午 2 点时两人之间的距离是 l 5 千米．下午 3 点时，
两人之间的距离还是 l 5 千米，所以下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3 点时小王超过小
张 15千米，可知两人的速度差是每小时 30 千米．由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就
可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时走了15 30 45= + 千
米，故小张的速度是 45 ÷3 =15千米/时，小王的速度是15 ＋30 =45千米/时．全程是 45 ×3 =135
千米，小张走完全程用了135 ＋15= 9小时，所以他是上午 10 点出发的。
【答案】10 点
【例 30】 从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡
路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，
第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下坡路
比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 ⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定．
从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路
程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小
时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路．这样的话，
由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程，而这个
路程恰好比以平路的速度走1小时的路程(即第二小时走的路程)多走15千米，所以这样的话第一
小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小
时全部在走上坡路．
如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时
走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的
少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路．
所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上
坡路；第三小时全部在走上坡路．
⑵由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米．所以第
二小时内用在走平路上的时间为525306÷=小时，其余的16
小时在走上坡路； 因为第一小时比第二小时多走了15千米，而16小时的下坡路比上坡路要多走()130157.56
+?=千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为()1157.5152
-÷=小时，所以在第一小时中，有112263+=小时是在下坡路上走的，剩余的13小时是在平路上走的． 因此，陈明走下坡路用了23小时，走平路用了157366+=小时，走上坡路用了17166
+=小时． ⑶因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是27:4:736
=．那么下坡路的速度为()7301510574
+?=-千米/时，平路的速度是每小时1051590-=千米，上坡路的速度是每小时903060-=千米． 那么甲、乙两地相距2771059060245366
?+?+?=(千米)． 【答案】245千米
【例 31】 甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为
了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某
地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学
生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接
乙班学生，才能使两班同时到达飞机场?
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设学生步行时速度为“1”，那么汽车的速度为“7”，有如下示意图．
我们让甲班先乘车，那么当乙班步行至距学校l处，甲班已乘车至距学校7l处．此时甲班下车步行，汽车往回行驶接乙班，汽车、乙班将相遇．
汽车、乙班的距离为7l-l=6l，两者的速度和为7+1=8，所需时间为6l÷8=0.75l，这段时间乙班学生又步行0.75l的路程，所以乙班学生共步行l+0.75l=1.75l后乘车而行．
应要求甲、乙班同时出发、同时到达，且甲、乙两班步行的速度相等，所以甲班也应在步行1.75l 路程后达到飞机场，有甲班经过的全程为7l+1.75l=8.75 l，应为全程．
所以有7l=24÷8.75×7=19.2千米，即在距学校19.2千米的地方甲班学生下车步行，此地距飞机场24-19.2=4.8千米．
即汽车应在距飞机场4.8千米的地方返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场．
【答案】4.8千米
【巩固】小明和小光同时从解放军营地回校执行任务，小光步行速度是小明的4
3
倍，营地有一辆摩托车，
只能搭乘一人，它的速度是小明步行速度的16倍。为了使小光和小明在最短时间内到达，小明和小光需要步行的距离之比是多少？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答
【解析】11∶15。解：设开始时小光乘车，小明步行；车行至B点，小光下车步行，车调头去接小明；车到A点接上小明后调头，最后小明、小光同时到达学校（见下图）。
由题中条件，车速是小明速度的16倍，是小光速度的12倍。
设从营地到A点的距离为a。当车接到小明时，小明走了a，车行了16a，因为车开到B后又返回到A，所以A到B的距离为7.5a。
车放下小光后，直到又追上小光，比小光多行15a。由于车速是小光的12倍，所以小光走的
距离是车追上距离的1
11
，即
15
11
a。小明和小光步行的距离之比是
15
:11:15
11
a a
【答案】11:15
【例32】自行车队出发12分后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发地点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点，到达后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米。自行
车队和摩托车每分各行多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】自行车每分行0.5千米，摩托车每分行1.5千米。提示：摩托车在4个相等的时间里走了36千米，自行车在其中三个相等时间里走了9千米，故摩托车的速度是自行车的3倍。自行车出发12分后，摩托车需6分追上，所以摩托车每分行9÷6＝1.5（千米）。
【答案】1.5千米
【例33】B地在A，C两地之间。甲从B地到A地去，甲出发后1时乙从B地出发到C地，乙出发后1时丙突然想起要通知甲、乙一件重要事情，于是从B地出发骑车去追赶甲和乙。已知甲、乙的
速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，为使丙从B地出发到最终赶回B地所用时间最少，
丙应当先追甲再返回追乙，还是先追乙再返回追甲？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】4星【题型】解答
【解析】先追乙。解：若先追甲，甲已走了2时，则追上甲需1时，返回B地又用1时，此时乙已走了3时，再追上乙需1.5时，返回B地再用1.5时。共用5时。若先追乙，乙已走了1时，则追上乙需0.5时，返回B地又用0.5时，此时甲已走了3时，再追上甲需1.5时，返回B地再用1.5时。
共用4时。
【答案】4时
【例34】甲、乙两车分别从A，B两地同时相向开出，4时后两车相遇，然后各自继续行驶3时，此时甲车距B地10千米，乙车距A地80千米。问：甲车到达B地时，乙车还要经过多少时间才能到
达A地？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】1时48分。解：由4时两车相遇知，4时两车共行A，B间的一个单程。相遇后又行3时，剩下的路程之和10＋80＝90（千米）应是两车共行4－3＝1（时）的路程。所以A，B两地的距离是（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）。
因为7时甲车比乙车共多行80－10＝70（千米），所以甲车每时比乙车多行70÷7＝10（千米），又因为两车每时共行90千米，所以每时甲车行50千米，乙车行40千米。行一个单程，乙车比甲车多用
360÷40－360÷50＝9－7.2＝1.8（时）＝1时48分。
【答案】1时48分
【例35】甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是40千米/
时，当甲车驶过A、B距离的1
3
多50千米时,与乙车相遇.A、B两地相距______千米。
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答【关键词】希望杯，六年级，一试
【解析】A B距离的1
3
多50千米即是AB距离的
55
459
=
+
，所以50千米的距离相当于全程的
512
939
??
-=
?
??
，
全程的距离为
2
50225
9
÷=（千米）.
【答案】225千米
模块三：路程相同速度比等于时间的反比
【例36】明明每天早上7：00从家出发上学，7：30到校。有一天，明明6：50就从家出发，他想：“我今天出门早，可以走慢点。”于是他每分钟比平常少走lO米，结果他到校时比往常迟到了5分
钟。明明家离学校________米。
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，一试
【解析】平时明明用30分钟，今天用了45分钟，时间比为2:3,则速度比为3:2，那么可知平时速度为30米/分钟，所以明明家离学校900米。
【答案】900米
【巩固】小红从家步行去学校．如果每分钟走120米，那么将比预定时间早到5分钟：如果每分钟走90米，则比预定时间迟到3分钟，那么小红家离学校有多远？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】两次的速度比为120:904:3
=，路程不变，所有时间比应该是3:4，两次所有时间相差8分钟，所以应该分别用了24分钟和32分钟，120242880
?=米
【答案】2880米
【例37】甲、乙、丙三只蚂蚁从A、B、C三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴B、C、A爬行，同时到达后，继续向洞穴C、A、B爬行，然后返回自己出发的洞穴。如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行
的路径相同，爬行的总距离都是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟，蚂蚁乙从洞
穴B到达洞穴C时爬行了（）米，蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了（）米。
【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】填空
【关键词】华杯赛，决赛
【解析】2.4；2.1
【答案】2.4；2.1
【例38】在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】由题意知，甲行4 分相当于乙行6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12 分，而乙行12 分相当于甲行8 分，所以甲环行一周需12＋8＝20（分），乙需20÷4×6＝30（分）.
【答案】30分
【例39】上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；
相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目
的地．那么，乙从B地出发时是8点几分．
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】甲、乙相遇时甲走了20 分钟，之后甲的速度提高到原来的3 倍，又走了10 分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10× 3= 30分钟，所以前后两段路程的比为20 : 30 =2 : 3，由于甲走20 分钟的路程乙要走10 分钟，所以甲走30 分钟的路程乙要走15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了15 分钟，所以乙从B地出发时是8 点5 分．
【答案】8 点5 分
【例40】小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6倍，那么上坡的速度是平路速
度的多少倍？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】设小芳上学路上所用时间为2，那么走一半平路所需时间是1．由于下坡路与一半平路的长度相
同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是
5
1 1.6
8
÷=，因此，走上坡路
需要的时间是
511
2
88
-=，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为
11
1:8:11
8
=，
所以，上坡速度是平路速度的8
11
倍．
【答案】8 11
倍
【例41】一列火车出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的3
4
前进，最终到达目的地晚1.5小
时．若出发1小时后又前进90公里再因故停车0.5小时，然后同样以原速的3
4
前进，则到
达目的地仅晚1小时，那么整个路程为多少公里？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答
【解析】出发1 小时后因故停车0.5 小时，然后以原速的3
4
前进，最终到达目的地晚1.5 小时，
所以后面以原速的3
4
前进的时间比原定时间多用1.50.51
-=小时，
而速度为原来的3
4
，所用时间为原来的
4
3
，
所以后面的一段路程原定时间为
4
1(1)3
÷-=小时，原定全程为4 小时；
出发1 小时后又前进90 公里再因故停车0.5 小时，然后同样以原速的3
4
前进，则到达目的地
仅晚1 小时，所以后面以原速的3
4
前进的时间比原定时间多用10.50.5
-=小时
所以后面的一段路程原定时间为
4
0.5(1) 1.5
3
÷-=小时，
类似分析可知又前进90 公里后的那段路程需要：3 1.5 1.5
-=小时
而原定全程为4 小时，所以整个路程为90 1.54240
÷?=公里．
【答案】240公里
【巩固】王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高1/6，于是提前1小时40分
到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答
【解析】从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划的1÷10/9=9/10，即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为：1.5÷1/10=15(小时)；按原计划的速度行驶280 千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原来的7/6，则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1 小时40 分等于按原计划的速度行驶280 千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶280 千米后余下的时间为：
5/3÷1/7=35/3(小时)，所以，原计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市间的路程为：84 ×15= 1260(千米)．
【答案】1260千米
【巩固】一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20％，那么可以比原定时间提前1时到达；如果以原速行驶100千米后再将车速提高30％，那么也比原定时间提前1时到达。求甲、乙两地的距离。【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答
【解析】360千米。解：时间与速度成反比，车速提高20%，所用时间为原来的5
6
，原来需要
5
116
6
??
÷-=
?
??
（时）。同理，车速提高了30%，所用时间是原来的10
13
。因为提前1小时到达，所以车速提高后
的这段路原来用
1013
11
133
??
÷-=
?
??
（时）。甲、乙两地相距
13
10066360
3
??
÷-?=
?
??
（千米）
【答案】360千米
【巩固】一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30% ，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答
【解析】车速提高20%，即为原速度的6/5，那么所用时间为原来的5/6，所以原定时间为
5
1(1)6
6
÷-=小
时；如果按原速行驶一段距离后再提速30% ，此时速度为原速度的13/10，所用时间为原来的
10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为
101
1(1)4
133
÷-=小时．所以前面按原速度行使的
时间为
15
64
33
-=小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的
55
6
318
÷=
【答案】
5 18
【巩固】一辆汽车按计划行驶了1小时，剩下的路程用计划速度的3
5
继续行驶，到达目的地的时间比计划
的时间迟了2时。如果按计划速度行驶的路程再增加60千米，那么到达目的地的时间比计划时间只迟1时。问：计划速度是多少？全程有多远？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答
【解析】40千米／时；160千米。提示：按计划速度多行驶60千米可以少迟到1时，那么按计划速度多
行驶120千米就可以按时到达，即行驶1时后还剩120千米。设计划速度为x 千米/时，则有
120120235
x x +=。 【答案】40千米／时
模块四、比例综合题
【例 42】 自行车轮胎安装在前轮上行驶5000千米后报废，若安装在后轮上只能行驶3000千米。为行驶尽可能多的路，如果采用当自行车行驶一定路程后将前后轮胎调换的方法，那么安装在自行车
上的一对轮胎最多可行驶多少千米?
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】华杯赛,初赛
【解析】 由题目可知，后轮与前轮的磨损比为5000∶3000＝5∶3，所以当车行到3000×535
+＝90008时，将前后轮调换，还可以再行驶同样的行程，两轮同时报废.即一对轮胎最多可行驶3000×535
+×2＝3750（千米）。
【关键词】3750千米
【例 43】 1998年夏天长江洪水居高下不，8月22日武汉关水位高达2932米，已知武汉离长江入海口1125
千米，而九江离武汉关269千米。假设从武汉到入海口的长江江面搬相同，请计算当天九江的
水位是多少米。(取二位小数)
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】 当天九江水位是 29.32×11252691125
-≈22.31(米)。 【答案】22.31米
【例 44】 甲、乙两人同时从 A 地出发到 B 地，经过 3 小时，甲先到 B 地，乙还需要 1 小时到达 B 地，
此时甲、乙共行了 35 千米．求 A ， B 两地间的距离．
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 甲、乙两个人同时从A 地到B 地，所经过的路程是固定
所需要的时间为：甲3个小时，乙4个小时（3+1）
两个人速度比为：甲：乙=4：3
当两个人在相同时间内共行35千米时，相当与甲走4份，已走3份，
所以甲走：35÷（4＋3）×4=20（千米），所以，A 、B 两地间距离为20千米
【答案】20千米
【例 45】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山
速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当
乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲恰好到半山腰，
说明甲走过的路程应该是一个单程的 1×1.5+1/2=2 倍，
就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。
两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下
山要用1/2 小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5（小时）
【答案】1.5小时
【例 46】 如图5，甲、乙两地相距360千米，一辆卡车载有6箱药品，从甲地开往乙地，同时，一辆摩
托车从乙地出发，与卡车相向而行，卡车速度是40千米/小时，摩托车速度是80千米/小时。摩
托车与卡车相遇后，从卡车上卸下2箱药品运回乙港。摩托车到达乙地卸下药品后，又立即掉
头…摩托车每次与卡车相遇，都从卡车上卸下2箱药品运回乙地，那么将全部的6箱药品都运
送到乙地至少需要多少时间？这时摩托车一共行驶了多少路程？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】希望杯，5年级，2试
【解析】 由于摩托车是卡车速度的2倍，因此，每次相遇过程汽车走全程的1/3，
摩托车掉头后走到终点时，汽车再走全程的1/3，
也就是说摩托车每完成一次运输，汽车都要走全程的2/3，从而，
第一次汽车走了23602403
?=，剩余360240120-= 第二次汽车走了2120803
?=，剩余1208040-= 第三次汽车走了2804033?=，最后剩余80404033
-= 可见汽车共走了40236040833-
÷=（）小时。 而摩托车共走了2188069333
?=千米。 【答案】16933
千米
【例 47】 A ，B 两地相距125千米，甲、乙二人骑自行车分别从A ，B 两地同时出发，相向而行．丙骑摩
托车以每小时63千米的速度，与甲同时从A 出发，在甲、乙二人间来回穿梭(与乙相遇立即返
回，与甲相遇也立即返回)．若甲车速度为每小时9千米，且当丙第二次回到甲处时(甲、丙同
时出发的那一次为丙第零次回到甲处)，甲、乙二人相距45千米．问：当甲、乙二人相距20千
米时，甲与丙相距多少千米?
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 我们设乙的速度为9x ，即甲的x 倍．
当乙、丙第一次相遇的时候，设甲走了“1”，则乙走了“x ”，丙走了“7”，所以有“7”+“x ”=125，于
是“1”1257x =+，此时甲、丙相距“7”-“1”=“6”．这样丙第一次回到甲时，甲又向前行639+“6”×9=34
“”,丙又行了“6”-32144=“”“”，乙又行了3344
x x ?=“”“”所以，甲、乙此时相距2133312537(7)(7)1254444747x x x x x x
--=-=??-=??++“”“”“”千米. 有丙第二次回到甲处的时，125千米的路程相当于百3712547x x
-??+千米，即甲、乙相距2371254547x x ?-?????= ???+????
，所以2
716725x x -??= ?+??,7475x x -=+,解得79x =所以乙的速度为79979x =?=千米／小时． 当第三次甲、丙相遇时，甲、乙相距373434545452747455
x x -??=??=?=+千米． 当第四次甲、丙相遇时，甲、乙相距3812755
?=千米，而题中甲、乙相距20千米，此时应在甲、
丙第三次和第四次相遇的某个时刻．
有
8119
20
55
-=千米，而甲、乙的速度比为9：7，所以甲从甲、丙第四次相遇处倒退
199171
59780
?=
+
千米即可．
又因为丙的速度是甲的7倍，所以丙倒退的路程应为甲的7倍，于是甲、丙相距
171171
(71)17.1
8010
?+==千米
当甲、乙二人相距20千米时,甲与丙相距17.1千米.
评注：甲从A地往B地出发，乙从B地往C出发，丙从A地开始在甲乙之间来回往返跑动．当甲丙第1次相遇时所需的时间为t，(甲、丙同时出发时，算第0次相遇)
则甲丙第2次相遇时还所需的时间为v v v v
t v v v v
--
??++
乙
丙甲丙
乙
丙甲丙
则甲丙第3次相遇时还所需的时间为
2
v v v v
t v v v v
??
--
?? ?
?
++
??
乙
丙甲丙
乙
丙甲丙
则甲丙第n次相遇时还所需的时间为
1
n
v v v v
t v v v v
-
??
--
?? ?
?
++
??
乙
丙甲丙
乙
丙甲丙
由此可知,丙在相邻的2次相遇之间所走路程为等比数列.
【答案】17.1千米
【例48】一座石台的下底面是边长为10米的正方形，它的一个顶点A处有一个虫子巢穴，虫甲每分爬6厘米，虫乙每分爬10厘米，甲沿正方形的边由A→B→C→D→A不停的爬行，甲先爬行2厘米
后，乙沿甲爬行过的路线追赶甲，当乙遇到甲后，乙就立即沿原路返回巢穴，然后乙再沿甲爬
行过的路线追赶甲……在甲爬行的一圈内，乙最后一次追上甲时，乙爬行了多长时间？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答
【解析】213分。解：见下表，其中“乙下次要比甲多爬行的路程”＝“甲已爬行路程”×2。
由上表看出，第6次追上时，甲已爬行一圈多了，所以最后一次是第5次追上，此时，乙共爬行0.5＋2.5＋10＋40＋160＝213（分）。
【答案】213分
(完整版)奥数题_专题训练之比和比例应用题
比和比例 比和比例 比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一，其实它们之间的问题完全可以用一句话概括： 比，等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种（如：a:b）； 比例，由至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同（如：a:b=c:d）。 所以，比和比例的联系就可以说成是： 比是比例的一部分；而比例是由至少两个比值相等的比组和而成的。 比的意义是两个数的除又叫做两个数的比,而比例的意义是表示两个比相等的是叫做比例。比是表示两个数相除，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等，有四项。比和比例的意义也不同。 比和比例应用题 [例1]、生产队饲养的鸡与猪的只数比为26∶5，羊与马的只数比为25∶9，猪与马的只数比为10∶3。求鸡、猪、马和羊的只数比。 [分析] 该题给出了三个单比，要求写出它们的连比。将几个单比写成连比，关键是利用比的基本性质将各个比中表示同一个量的值化为相同的值。 [解] 由题设， 鸡∶猪=26∶5，羊∶马=25∶9， 猪∶马=10∶3， 由比的基本性质可得： 猪∶马=10∶3=30∶9， 羊：马=25∶9， 鸡：猪=26∶5=156∶30， 从而鸡∶猪∶马∶羊=156：30∶9∶25。 答：鸡、猪、马、羊的只数比为156∶30∶9∶25。 [注] 将单比化为连比时，还可先化为三个量的连比，再化为四个量的连比。如，鸡∶猪=26∶5，猪∶马=10∶3，由此可得，鸡∶猪∶马=52∶10∶3；再注意到羊∶马=25∶9可得，鸡∶猪∶马∶羊=156∶30∶9∶25。 [例2]．下列各题中的两个量是否成比例?若成比例，请说明成正比例还是成反比例。 (1)路程一定时，速度与时间； (2)速度一定时，路程与时间； (3)播种面积一定时，总产量与单位面积的产量； (4)圆的面积与该圆的半径； (5)两个相互啮合的大小齿轮，它们的转速与齿数。 [分析] 利用正比例、反比例的概念进行判定与说明。 [解] (1)由于速度与时间的乘积等于路程，所以，当路程一定时，速度与时间成反比例。 (2)由于路程与时间的比值为速度，所以，当速度一定时，路程与时间成正比例。 (3)由于总产量与单位面积的产量的比值为播种面积，所以，当播种面积一定时，总产量与单位面积的产量成正比例。 (4)设圆的半径为R，则圆的面积为∏R2，所以圆的面积与半径的积为∏R3，随半径的变化而变化，即圆的面积
行程问题“九大题型”与“五大方法”
行程问题“九大题型”与“五大方法”。 很多学生对行程问题的题型不太清楚，对行程问题的常用解法也不了解，那么我给大家归纳一下。 1、九大题型： ⑴简单相遇追及问题；⑵多人相遇追及问题；⑶多次相遇追及问题；⑷变速变道问题；⑸火车过桥问题；⑹流水行船问题；⑺发车问题； ⑻接送问题；⑼时钟问题。 2 、五大方法： ⑴公式法：包括行程基本公式、相遇公式、追及公式、流水行程公式、火车过桥公式，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式，而且有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件。 ⑵图示法：在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具。示意图包括线段图、折线图，还包括列表。图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点。另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法。 ps：画图的习惯一定要培养起来，图形是最有利于我们分析运动过程的，可以说图画对了，意味着题也差不过做对了30%！ ⑶比例法：行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值。更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等) 往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题。 ps：运用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且要考都不简单。
⑷分段法：在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用。这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来。 ⑸方程法：在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。 ps：方程法尤其适用于在重要的考试中，可以节省很多时间。 四、怎样才能学好行程问题？ 因为行程的复杂，所以很多学生已开始就会有畏难心理。所以学习行程一定要循序渐进，不要贪多，力争学一个知识点就要能吃透它。学习奥数有四种境界： 第一种：课堂理解。就是说能够听懂老师讲解的题目。 第二种：能够解题。就是说学生听懂了还能做出作业。 第三种：能够讲题。就是不仅自己会做，还要能够讲给家长听。 第四种：能够编题。就是自己领悟这个知识了，自己能够根据例题出题目，并且解出来。 其实大部分学生学习奥数都只停留在第一种境界（有的甚至还达不到），能够达到第三种境界的学生考取重点中学实验班基本上没有什么问题了。而要想在行程上一点问题没有，则要求学生达到第四种境界。即系统学习，还要能深刻理解，刻苦钻研。而这四种境界则是学习行程的四个阶段，或者说是好的方法。
用比例解答行程问题
用比例解答行程问题 例一：客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的3/4，甲、乙两城相距多少千米 【解】客车速度：货车速度=4：3，那么同样时间里路程比=4：3，也就是说客车比货车多行了1份，多30千米；所以客车走了30×4=120千米，所以两城相距120×2=240千米。 例2、小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天从家到学校都是步行。有一天由于晚出发10分钟，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样。那么小明每天步行上学需要时间多少分钟 【解】后一半路程和原来的时间相等，这样前面一半的路程中某日和平时的速度比=3：1，所以时间比=1：3，也就是节省了2份时间就是10分钟，所以后一半路程走路的时间就是10÷2×3=15分钟，全部路程原来需要30分钟。 例3、甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的倍，求A，B两地的距离。 【解】甲车速度是乙车的倍，相遇时甲车和乙车行驶距离的比是6：5，甲车行驶6份，乙车行驶5份，甲车比乙车多行驶1份，一份是2*8=16千米，A，B两地的距离就是11*16=176千米。 例4、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是12时几分 【解】：从爸爸第一次追上小明到第二次追上小明时，小明走了4千米，爸爸走了12千米．这说明，爸爸的速度是小明的3倍，爸爸走4千米所用的时间是是小明的三分之一，比小明少8分，所以小明走4千米需要12分，走8千米要24分，所以第2次追上时是8时32分。这道题关键是发现爸爸和小明的速度比。 巩固练习1 1、一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行48千米，返回时，每小时行56千米，返回比去时少用1小时，求甲、乙两地的路程。 2、某人从A城步行到B城办事，每小时走5千米，回来时骑自行车，每小时行15千米，往返共用6小时，求A、B两城之间的路程。 3、一辆汽车从甲地去乙地，每小时行45千米，返回时每小时行多行20%，往返共用去1 1小时。甲地到乙地共有多少千米 4.快车从甲地开往乙地，需要8小时，慢车从乙地开往甲地需要10小时，两车同时从两地相向而行，相遇时，慢车行了240km，求两地距离。
行程问题解题技巧
行程问题解题技巧 行程问题 在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。 行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。 相遇问题 两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。这类问题即为相遇问题。 相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么： A，B两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间基本公式有： 两地距离=速度和×相遇时间 相遇时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相遇时间 二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。则有： 第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。 相遇问题的核心是“速度和”问题。利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。 相离问题 两个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。 解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。 基本公式有： 两地距离=速度和×相离时间 相离时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相离时间 相遇（相离）问题的基本数量关系：速度和×相遇（相离）时间＝相遇（相离）路程在相遇(相离)问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。 追及问题 两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公
六年级重点易错专题之 比和比例应用题
比和比例应用题 典型例题 例1：幼儿园大班和中班共有32个男生，18个女生。已知大班男生人数与女生人数的比为5：3，中班男生与女生人数的比为2：1。那么大班女生有多少人？ 分析：题目中涉及到两个比例关系，看起来是无从下手。注意到两个班的男、女总数都已知，于是我们可以设大班女生人数为X，则中班女生人数为（18－X），再利用比例关系表示出两个班男生的人数，列方程即可求出。 解：设大班女生人数为X，则中班女生人数为（18－X），根据题意列方程，得 （5/3）X＋2（18－X）=32 X=12 即大班女人有12人。 说明：这是1998年全国小学生奥林匹克数学竞赛预赛试题，属按比例分配类型应用题，利用方程解比和比例应用题是十分有效易懂的方法。 例2：甲、乙两厂人数的比是7：6，从甲厂调360人到乙厂后，甲、乙两厂比为2：3。甲、乙两厂原有多少人？ 分析：从甲厂调360人到乙厂，甲、乙两厂人数的总数不变，因此，可将这个不变量看作是单位“1”。 甲厂原有人数占总人数的7/13，甲厂现有人数占总人数的2/5，360人就是总人数的7/13－2/5=9/65，总人数=360/（9/65）=2600人。又因为甲、乙两厂原有人数之比为7：6，所以甲厂原有2600×7/13=1400人，乙厂原有2600×6/13=1200人。 说明：解这类应用题时，可抓住题目中的不变量，把它看作单位“1”，然后找已知数量的对应分率，逐步推出所求的量。 例3：王师傅原定在若干小时内加工完一批零件，他估算了一下，如果按原速度加工120个零件后工作效率提高25%，可提前40分钟完成；如一开始工
作效率就提高20%，就可提前1小时完成。他原计划每小时加工多少个零件？ 分析：此题的关键还是在于找出不变量，确定正反比例关系。 由于加工120个零件后，加工余下的零件工作效率提高25%，则提高后的工作效率与原工作效率比为（1＋25%）：1=5：4，而工作量（即加工120个零件后余下的零件）没有改变（不变量），所以，所需时间与原工作时间的比应与效率成反比例关系，即4：5。这样加工余下零件原来所用时间是： 40÷（5－4）×5=200分钟=10/3小时。 如果一开始工作效率就提高20%，提高后的工作效率与原工作效率比为（1＋20%）：1=6：5，所需工作时间与原工作时间之间的比是5：6，于是原工作时间为1÷（6－5）×6=6小时，这样便可知道加工120个零件原来需要6－10/3=8/3小时，所以，他原计划每小时加工零件120÷8/3=45个。 说明：根据工作总量一定，工作时间和工作效率成反比例的关系推出王师傅加工120个零件原来所需的时间，进而就可推出他原计划每小时加工的零件数。 例4：有A、B、C三种盐水，按A与B数量之比为2：1混合，得到浓度为13%的盐水；按A与B数量之比为1：2混合，得到浓度为14%的盐水；如果按A、B、C数量之比为1：1：3混合成的盐水浓度为10.2%。问：盐水C的浓度是多少？ 分析：这是一道利用比例关系来解的浓度问题，关于浓度配比有这样一个性质：两种不同浓度的溶液混合，两种溶液的浓度与混合后的浓度分别相减所得的比与所需数量之比恰好成反比例关系，我们将以此为理论依据对此题做出解答。 解答：设A种盐水的浓度为X，B种盐水的浓度为Y。 （13%－X）：（Y－13）=1：2 （14%－X）：（Y－14%）=2：1 解得X=12%，Y=15Y。 当A、B、C三种盐水按数量1：1：3混合时，相当于A、B按1：1混合，混合后再与盐水C混合； 由于A、B两种盐水按数量1：1混合后的浓度为（12%＋15%）÷2=13.5%，
巧用比例解行程问题
巧用比例解行程问题 方法指导：复杂行程问题经常运用到比例知识：速度一定，时间和路程成正比；时 间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比等。 分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析，以此作为突破口，一步一步求得结果。 也可以从题意的叙述中找出等量关系，从而得出所需的数量之比，再根据比与分数的关 系求解。 例1：甲、乙两车的速度比是4：7，两车同时从两地相对出发，在距中点15千米处相遇，两地相距多少千米？ 例2：两列火车同时从两个城市相对开出， 6.5小时相遇。相遇时甲车比乙车多行52 千米，乙车的速度是甲车的2 3 。求两城之间的距离。 1、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点12千米，AB两地相距多少千米？ 2、两只轮船同时从甲、乙两港相对开出，客船每小时行42千米，货船的速度是客船 的5 6 。两只轮船在离甲、乙两港中点7千米处相遇，甲、乙两港间的距离是多少？
3、客车由甲城到乙城需行10小时，货车从乙城到甲城需行15小时，两车同时相向开出，相遇时客车距离乙城还有192千米，求两城间的距离。 4、甲、乙两车分别从AB两地同时相向而行，3小时相遇。已知甲车行1小时距B地340千米，乙车行1小时距A地360千米。AB两地相距多少千米？ 例3：甲、乙两车同时从AB两地相对而行，5小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是2：3，甲车行完全程需多少小时？ 例4：客车和货车同时从AB两地相对开出，客车每小时行60千米，货车每小时行全 程的1 15 ，相遇时客车和货车所行路程的比是5：4。AB两地相距多少千米？ 5、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，4小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是3： 5，乙车行完全程需多少小时？
小学奥数比例法行程问题
小升初之行程问题的解法---比例法 根据近千套各类奥数竞赛和"小升初"数学考试试题的分析，平均每套试卷按 12道题，满分100分计算，就有1.8道试题为行程问题（即每120道试题中有1 8道是行程问题），分值为21分。行程问题占一套试卷分值的1/5左右，所以行程问题不论在奥数竞赛中还是在"小升初"的升学考试中，都拥有非常显赫的地位，都是命题者偏爱的题型之一。 小学生"行程问题"普遍是弱项，有几下几个原因： 一、行程分类较细，变化较多。 行程跟工程不一样，工程抓住工作效率和比例关系就可以解决绝大部分问 题，但是行程则没有关键点可以抓住，因为每一个类型关键点都不一样。 二、要求对动态过程进行演绎和推理。 行程问题的题目语言叙述本身就很长，加上所描绘的是一个动态过程，一般很难从复杂的语言叙述中提炼出过程中量的变化关系。 三、行程是一个壳，可以将各类知识往里面加。 很多题目看似行程问题，但是本质不是行程问题。 因为行程的复杂，所以学习行程一定要循序渐进，掌握各类行程问题的解 题关键点。 下面举例讲解用比例法求解一类行程问题。 方法指导：复杂行程问题经常运用到比例知识： 速度一定，时间和路程成正比； 时间一定，速度和路程成正比； 路程一定，速度和时间成反比。 分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析，以此作为突破口，一步一步求得结果。也可以从题意的叙述中找出等量关系，从而得出所需的数量之比，再根据比与分数的关系求解。 能用比例法解决的行程问题的特点： 能直接或间接地求出速度比或同一时间内的路程比
例1:甲、乙两车的速度比是4: 7,两车同时从两地相对出发，在距中点15千米处相遇，两地相距多少千米？ 边讲边练： 1、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5,相遇时距中点12千米，AB 两地相距多少千米？ 例2:两列火车同时从两个城市相对开出，6.5小时相遇。相遇时甲车比乙车多行52千米，乙车的速度是甲车的3。求两城之间的距离。 边讲边练： 1、甲、乙两车分别从AB两地同时相向而行，3小时相遇。已知甲车行1小时距B地340千米，乙车行1小时距A地360千米。AB两地相距多少千米？（420） 2、客车由甲城到乙城需行10小时，货车从乙城到甲城需行15小时，两车同时相向开出，相遇时客车距离乙城还有192千米，求两城间的距离。 例3:甲、乙两车同时从AB两地相对而行，5小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是2：3,甲车行完全程需多少小时？
比例法快速解决行程问题中单双岸型问题
国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|比例法快速解决行程问题中单双岸型问题 华图教育滑肖 公务员考试中，行测部分行程问题几乎是每年必考的一个知识点。相对来说，行程问题难度一般来说会比较大，计算起来也比较复杂。单、双岸型作为行程问题中一个非常重要的知识点，若没有一个快速的解决方法，而只靠列方程去解决的话，那会非常地浪费时间。在此，我们给出单双岸型问题的原理及相关的解题方法，以方便考生今后的复习。 单岸型： 甲、乙两车从A、B两地相向而行，在距A地S1处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后立即原路返回，第二次在距A地S2处相遇，则A、B 两地的路程为多少？ 根据题意，我们先画图出来： （图中红色的线代表在整个过程中甲走的路线，黑色线代表整个过程中乙走的路线） 解析：甲、乙第一次相遇时两车共走了1个全程，此时甲车走了1个S1； 甲、乙第二次相遇时两车共走了3个全程，则根据比例关系，此时甲车应该走3个S1。根据图中所示，我们有：2AB S+S=2S ? 甲，即有2AB 3S+S=2S ? １，即 12 AB 3S+S S= 2。 于是我们可以得到单岸型公式为： 12 AB 3S+S S= 2。 双岸型：
国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|甲从A地、乙从B地同时以均匀速度相向而行，第一次相遇离A地S1，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地S2处第二次相遇，则AB两地距离多少？ 根据题意，先画图出来： （图中红色的线代表在整个过程中甲走的路线，黑色线代表整个过程中乙走的路线） 解析：甲、乙第一次相遇时两车共走了1个全程，此时甲车走了1个S1； 甲、乙第二次相遇时两车共走了3个全程，则根据比例关系，此时甲车应该走3个S1。根据图中所示，我们有：AB2 S=S+S 甲，即有1AB2 3S=S+S ，即AB12 S=3S-S 。 于是我们可以得到双岸型公式为：AB12 S=3S-S 。 实际上，单岸、双岸型一次、两次相遇在近年来的公考中有出现，但题量并非很多。但是，求解公式的比例型思想是需要各位考生能够掌握住，因为，用比例法来求解行程问题的题目还是非常多的。 在公考中，我们可以将单岸、双岸型的行程问题进行拓展。如： 拓展一：甲、乙第二次相遇距A地S1，第四次相遇距离A地S2或者甲、乙第二次相遇距A地S2，第四次相遇距离B地S2，求出A、B两地的距离； 拓展二：甲、乙两地同时由A向B地出发，第一次相遇距离A地S1，第二次相遇距离B地S2，求A、B两地的距离；
小学奥数 比例解行程问题.学生版
1. 理解行程问题中的各种比例关系. 2. 掌握寻找比例关系的方法来解行程问题． 比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。 从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。 我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动 情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲， ；；来表示，大体可分为以下两种情况： 1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。 s v t s v t =??? =??甲甲甲 乙乙乙 ，这里因为时间相同，即t t t ==乙甲,所以由s s t t v v ==甲乙乙甲乙甲， 得到s s t v v ==甲乙乙甲，s v s v =甲甲乙乙 ，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速 度比 2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。 s v t s v t =??? =??甲甲甲 乙乙乙 ，这里因为路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =?=?乙乙乙甲甲甲， 得s v t v t =?=?乙乙甲甲，v t v t =甲乙乙甲 ，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于 速度比的反比。 知识精讲 教学目标 比例解行程问题
(完整版)小升初比和比例解决问题专项练习
比和比例解决问题 1.有一批树苗，原计划40人去栽，每人要栽15棵，后来又增加了10人去栽，每人要栽多少棵？（用比例解） 2.在比例尺是1:3000000的地图上，量得甲、乙两地的距离为 3.6厘米，如果汽车以每小时60千米的速度从甲地到乙地，多少小时可以到达？（用比例解） 3.工程队修一条公路，计划每天 4.5千米，20天完成，实际每天多修1.5千米，实际几天可修完?(用比例解) 4.某加工小组计划加工一批零件。如果每天加工20个，15天可以完成。实际4天加工了100个。照这样计算，几天可完成任务？（用比例解） 5.实验小学装修多媒体教室。计划用面积为9平方分米方砖铺地，需要480块。如果改用边长4分米的方砖铺地，需要多少块？（用比例解）
6.某工程队修一条公路，前4天修了1200米。照这样的速度，再修16天可以修完。这条公路长多少米? 7. A、B两种商品的价格比是7：3，如果它们的价格分别上涨70元，那么它们的价格比是7：4.两种商品原来的价格各是多少元？ 8. 红旗小学的师生植树节栽种柳树、杨树、槐树共860棵，其中柳树和杨树的棵数比是3：4，杨树与槐树的棵数比是5：2，请问，这三种树各栽了多少棵？ 9.李师傅加工一批零件，第一天完成的个数与零件总个数比是1：3，如果再加工15个，就完成了这批零件的一半。这批零件共有多少个？ 10.用84分米长的铁丝围成一个三角形，这个三角形三条边长度比是3：4：5。这个三角形的三天各是多少分米？ 11.蓝天小学原有女生人数与男生人数比是5：7，转来2名男生后，女生人数与男生人数的比是2：3，原来蓝天小学有男、女生各多少人?
如何用比例解行程问题
如何用比例解“行程问题” 行程问题是小学应用题中的难点，是升学试卷中常见的压轴题。要想在小升初考试中取得好的成绩，熟练掌握行程问题的几种数学模型是必不可少的。可是大多数同学反映一遇到行程问题就不知道从何下手，心里想画图又不知道该怎么画，尤其遇到多人多次相遇问题时，看到那么长的题就不想读了，不知道哪句话是重要的，心里总是想要是出一道字数少的题就好了，字少的题就一定好做吗？显然不是的。不管题目的字数有多少，只要你耐心读题，读出题中的关键字，知道这道题属于什么模型，相应的方法就出来了。而这个能力需要系统地练习。 行程问题常和比例结合起来，虽然题目简洁，但是综合性强，而且形式多变，运用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且要考都不简单。下面我向大家介绍如何利用比例解答行程问题。我们知道行程问题里有三个量：速度、时间、距离，知道其中两个量就可以求出第三个量。速度×时间=距离；距离÷速度=时间；距离÷时间=速度。如果要用比例做行程问题，这三个量又有什么关系呢？（1）时间相同，速度比=距离比（2）速度相同，时间比=距离比（3）距离相同，速度比=时间的反比。例如：当甲乙行驶时间相同时，如果V甲：V 乙＝3：4那么S甲：S乙＝3：4；当甲乙速度相同时，如果T 甲：T乙＝3：4那么S甲：S乙＝3：4当甲乙行驶距离相同时，
如果T甲：T乙＝3：4那么V甲：V乙＝4：3。下面我们看一道例题来体会比例在行程问题中的应用。 例一、（八中培训试题）甲乙二车同时从AB两地同时出发，相向而行，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车在距离中点32千米处相遇。求AB两地相距多少千米？ 分析：这道题给了两车的速度，我们很容易得到两车的速度比。这时我们可以用比例来做这道题。大家要抓住三个要点：一、时间相同，速度比=距离比。二、两车第一次迎面相遇时合走一个全程。三、两车在距离中点32千米处相遇，即：两车相遇时，甲比乙多走32×2=64千米。 解：由题意然V甲：V乙＝56：48=7：6即：相同时间内，甲走7份乙走6份。两车第一次迎面相遇时合走一个全程。我们可以把AB之间的路程分为（7＋6）＝13份。两车相遇时，甲比乙多走1份是32×2=64千米。AB之间的路程为13份，AB之间的路程为13×64=832米。这时这道题就变得很简单了。 如果不用比例做这道题，还有别的做法吗？下面我们看以下几种做法： 方法二：两车相遇时，甲比乙多走32×2=64千米。出现距离差属于追及问题，而这道题是相遇问题，我们可以把相遇问题转化成追及问题。每小时甲比乙多走56－48=8千米。距离差÷速度差=
用比例解答行程问题
用比例解答行程问题集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
用比例解答行程问题 例一：客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的3/4，甲、乙两城相距多少千米？ 【解】客车速度：货车速度=4：3，那么同样时间里路程比=4：3，也就是说客车比货车多行了1份，多30千米；所以客车走了30×4=120千米，所以两城相距 120×2=240千米。 例2、小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天从家到学校都是步行。有一天由于晚出发10分钟，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样。那么小明每天步行上学需要时间多少分钟？ 【解】后一半路程和原来的时间相等，这样前面一半的路程中某日和平时的速度比=3：1，所以时间比=1：3，也就是节省了2份时间就是10分钟，所以后一半路程走路的时间就是10÷2×3=15分钟，全部路程原来需要30分钟。 例3、甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。
【解】甲车速度是乙车的1.2倍，相遇时甲车和乙车行驶距离的比是6：5，甲车行驶6份，乙车行驶5份，甲车比乙车多行驶1份，一份是2*8=16千米，A，B两地的距离就是11*16=176千米。 例4、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是12时几分？ 【解】：从爸爸第一次追上小明到第二次追上小明时，小明走了4千米，爸爸走了12千米．这说明，爸爸的速度是小明的3倍，爸爸走4千米所用的时间是是小明的三分之一，比小明少8分，所以小明走4千米需要12分，走8千米要24分，所以第2次追上时是8时32分。这道题关键是发现爸爸和小明的速度比。 巩固练习1 1、一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行48千米，返回时，每小时行56千米，返回比去时少用1小时，求甲、乙两地的路程。 2、某人从A城步行到B城办事，每小时走5千米，回来时骑自行车，每小时行1 5千米，往返共用6小时，求A、B两城之间的路程。 3、一辆汽车从甲地去乙地，每小时行45千米，返回时每小时行多行20%，往返共用去11小时。甲地到乙地共有多少千米？ 4.快车从甲地开往乙地，需要8小时，慢车从乙地开往甲地需要10小时，两车同时从两地相向而行，相遇时，慢车行了240km，求两地距离。
综合运用多种方法解决较复杂行程问题的技巧
综合运用多种方法解决较复杂行程问题的技巧 教学目标： 1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点； 2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题； 3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”； 4、 掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题． 知识精讲： 比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。 从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。 我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲，；；来表示，大体可分为以下两种情况： 1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过 的路程之比就等于他们的速度之比。 s v t s v t =???=??甲甲甲乙乙乙 ，这里因为时间相同，即t t t ==乙甲,所以由s s t t v v ==甲乙乙甲乙甲， 得到s s t v v ==甲乙乙甲，s v s v =甲甲乙乙 ，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比 2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体 所用的时间之比等于他们速度的反比。 s v t s v t =???=??甲甲甲乙乙乙 ，这里因为路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =?=?乙乙乙甲甲甲， 得s v t v t =?=?乙乙甲甲，v t v t =甲乙乙甲 ，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。 行程问题常用的解题方法有 ⑴公式法 即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件； ⑵图示法 在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次
比和比例易错题集及答案
易错题 一、化成最整数比 1211:24 11=(2:1) 800dm:4mm=(2000:1) 二、解比例 2:9=x :15 32：60%=x :1.2 x ：7.5=2.2：4 3 1 85:0.6=83:x 214:31=4 3 :x 120%：=0.8：6 三、把下面的等式改写成比例 75×1.4=125×2.4 (75:12 5 =2.4:1.4) 41÷51=433×31 (41:433=31:5 1) 一、填空题 1. 13÷4＝（ ）∶8＝ ＝（ ）％。 2．如果甲数是乙数的1.2倍,那么甲、乙两数的比是 （ ） 3.在含盐10%的500克盐水中，再加入50克盐，这时盐与盐水的比是（ ）。 4.东风小学六年级人数是五年级人数的 9 8 ，五年级与六年级人数的比是（ ）。 5.甲数的 5 3是甲乙两数和的41 ，甲、乙两数的比是（ ）。 6.把甲数的71 给乙，甲.乙两数相等，甲数是乙数的 ，甲数比乙数多。 7.把13 2 与它的倒数的比化成最简整数比是（ ），比值是（ ） 8．星期天，小丽看一本书用了2小时15分，小红同样一本书用了2.15小时，小丽和小红看书用的时间比是（ ）。 9．如果甲数是乙数的1.2倍,那么甲、乙两数的比是( ) 10．一杯糖水，糖与水的比是1：4，喝去2 1 杯糖水后，又用水加满，这时杯中糖与水的比是（ ）。 11．一车水果重1.8吨，按2：3：5的比例分配给甲、乙、丙三个水果店，乙水果店分得这批水果的（ ）。 12.一个三个角形三个内角度数的比是1∶4∶1，这是一个（ ）三角形。 13.五个完全相同的小长方形刚好可以拼成一个如图的大长方形，那么小长方形的长与宽的比是（ ），大长方形的长与宽的比是（ ） 14 37，差是13，比值是6 5 ，这个比例式可以是（ ）。 15.如果 a b 与c d 互为倒数，那么a 、b 、c 、d 这四个数写成比例是（ ）。 16.在一个比例里，两个外项互为倒数，一个内项是最小的质数，另一个内项是（ ）。
完整word版奥数六年级千份讲义1196.第五讲比例解行程问题.docx
第五讲 比例解行程问题 知识点拨 比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学 “压轴知识点 ”的 角色。 从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着 “得天独厚 ”的优势，往往体现在方法的 灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问 题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。 我们常常会应用比例的工具分析 2 个物体在某一段相同路线上的运动情况， 我们将甲、 乙的速度、 时间、路程分别用 v 甲 , v 乙； t 甲 , t 乙； s 甲，s 乙 来表示，大体可分为以下两种情况： 1. 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之 比就等于他们的速度之比。 s 甲 v 甲 t 甲 s 甲 乙 ，这里因为时间相同，即 t 甲 t 乙 t ,所以由 t 甲 ，t 乙 s s 乙 v 乙 t 乙 v 甲 v 乙 s 甲 乙 s 甲 v 甲 得到 t s ， ，甲乙在同一段时间 t 内的路程之比等于速度比 v 甲 v 乙 s 乙 v 乙 2. 当2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时， 走过相同的路程时， 2 个物体所用的时间 之比等于他们速度的反比。 s 甲 v 甲 t 甲 ，这里因为路程相同，即 s 甲 s 乙 s ，由 s 甲 v 甲 t 甲， s 乙 v 乙 t 乙 s 乙 v 乙 t 乙 得 乙 ， v 甲 乙 s 甲 t 甲 乙 t ，甲乙在同一段路程 s 上的时间之比等于速度比的反比。 v v t v 乙 t 甲 例题精讲 模块一、时间相同速度比等于路程比
小学数学六年级下：《巧用比例解行程问题》习题
班级学生 方法指导：复杂行程问题经常运用到比例知识：速度一定，时间和路程成正比；时间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比等。分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析，以此作为突破口，一步一步求得结果。也可以从题意的叙述中找出等量关系，从而得出所需的数量之比，再根据比与分数的关系求解。 1、甲、乙两车同时从ab两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点12千米，ab两地相距多少千米？ 2、两只轮船同时从甲、乙两港相对开出，客船每小时行42千米，货船的速度是客船的5/6。两只轮船在离甲、乙两港中点7千米处相遇，甲、乙两港间的距离是多少？ 3、客车由甲城到乙城需行10小时，货车从乙城到甲城需行15小时，两车同时相向开出，相遇时客车距离乙城还有192千米，求两城间的距离。 4、甲、乙两车分别从ab两地同时相向而行，3小时相遇。已知甲车行1小时距b地340千米，乙车行1小时距a地360千米。ab两地相距多少千米？ 5、甲、乙两车同时从ab两地相对而行，4小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是3：5，乙车行完全程需多少小时？ 6、甲、乙两个城市相距若干千米，一列客车与一列货车同时从两个城市相对开出，3小时后相遇，相遇时客车比货车多行60千米，货车与客车速度比是9：11。货车平均每小时行多少千米？ 7、客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行全程的1/5，货车每小时行50千米。相遇时客车和货车所行的路程的比是3：2。甲、乙两地相距多少千米？ 8、甲、乙两车同时相对而行，甲车行全长需8小时，乙车每小时56千米，相遇时，甲、乙两车所行路程的比是3：4，这时乙车行了多少千米？
比和比例在行程问题中的应用
比和比例在行程问题中的应用 一、知识导学 路程一定，速度和时间成； 时间一定，路程和速度成； 速度一定，路程克时间成。 例：①甲、乙两车相向而行，相遇时甲、乙路程比为5:4 ，则甲、乙两车的速度比为；两车分别从A、B两地相向开出，相遇时，甲比乙多行驶10 千米， 则A、B 两地的距离为千米； ②从A地到B地，甲需5 小时，乙需4 小时，则甲、乙的速度比为；从C地到D地，若两车同时出发，则甲比乙晚 3 个小时到D地，那么甲行完全程需小时，乙行完全程需小时； ③甲车从A地开到B地需 5 小时，从B地开到C地需4 小时，则A到B之间的距离与B到C之间的距离之比为 。 ④在环形跑道上，甲、乙两人的速度之比为5:4 。若两人同时同向出发， 10 分钟后，两人第一次相遇时，此时甲比乙多走400 米，则这个环形跑道的周长为，甲的速度为，乙的速度为。
二、典例剖析 例1： 1、从东城到西城，甲需要20小时，乙需要15 小时，乙的速度比甲的速度快百分之几？ 2、甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行。相遇时，甲、乙的路程比是5:3 。若甲行完全程要 2 小时，那么乙行完全程要几小时？ 变式： 1、甲、乙两人步行速度之比是3:2 ，甲、乙分别从A、B 两地同时出发，若相向而行，则 1 小时后相遇。若同向而行，甲要花多少时间才能追上乙？ 2、甲、乙两车分别同时从A、B两地相向开出，速度比是7:11 。两车第一次相遇后继续按
10 原方向前进，各自到达终点后立即返回，第二次相遇时甲车离 多少千米？ 3、小王和小李骑摩托车分别从 A 、B 两城同时相对开出， 经过 4 小时相遇， 相遇后各自继续 前进，又经过 3小时，小王到达 B 地，小李离 A 地还有 50千米。 A 、B 两地相距多少千米？ 4、一辆货车每小时行 70 千米，相当于客车速度的 7 。现两车同时从甲、 乙两地相对开出， 8 结果在距中点 50 千米处相遇。甲、乙两地相距多少千米？ 1 5、客车、货车同时从 A 地、B 地相对开出， 客车每小时行 60 千米，货车每小时行全程的 ， B 地 80 千米。 A 、B 两地相距
比和比例综合练习题及答案
{ 比和比例练习题 一、 填空： 1. 甲乙两数的比是11:9,甲数占甲、乙两数和的) () (，乙数占甲、乙两数和的 ) () (。甲、乙两数的比是3:2，甲数是乙数的（ ）倍，乙数是甲数的 ) () (。 2. 某班男生人数与女生人数的比是4 3，女生人数与男生人数的比是（ ），男生人数和女生人数的比是（ ）。女生人数是总人数的比是（ ）。 3. 一本书，小明计划每天看7 2，这本书计划（ ）看完。 4. 一根绳长2米，把它平均剪成5段，每段长是) () (米，每段是这根绳子的 ) () (。 5. 王老师用180张纸订5本本子，用纸的张数和所订的本子数的比是（ ），这个比的比值的意义是（ ）。 6. 一个正方形的周长是5 8 米，它的面积是（ ）平方米。 7. , 8. 89吨大豆可榨油3 1 吨，1吨大豆可榨油（ ）吨，要榨1吨油需大豆（ ）吨。 9. 甲数的3 2 等于乙数的5 2，甲数与乙数的比是（ ）。 10.把甲数的7 1 给乙，甲、乙两数相等，甲数是乙数的 ) () (，甲数比乙
数多 ) () (。 11.甲数比乙数多41 ，甲数与乙数比是（ ）。乙数比甲数少 ) () (。 12.在6 ：5 = 中，6是比的（ ），5是比的（ ），是比的（）。在4 ：7 =48 ：84中，4和84是比例的（ ），7和48是比例的（ ）。 13.4 ：5 = 24÷（ ）= （ ） ：15 14.一种盐水是由盐和水按 1 ：30 的重量配制而成的。其中，盐的重量占盐水的（—），水的重量占盐水的（—）。图上距离3厘米表示实际距离180千米，这幅图的比例尺是（ ）。一幅地图的比例尺是图上6厘米表示实际距离（ ）千米。实际距离150千米在图上要画（）厘米。 15.12的约数有（），选择其中的四个约数，把它们组成一个比例是（）。写出两个比值是8的比（ ）、（ ）。 16.( 17. 加工零件的总个数一定，每小时加工的零件个数的加工的时间（ ）比例；订数学书的本数与所需要的钱数（ ）比例；加工零件的总个数一定，已经加工的零件和没有加工的零件个数（ ）比例。 18.如果x ÷y = 712 ×2，那么x 和y 成（ ）比例；如果x:4=5:y ，那么x 和y 成（ ）比例。 二、 判断
用比例解答行程问题
用比例解答行程问题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
用比例解答行程问题 例一：客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的3/4，甲、乙两城相距多少千米 【解】客车速度：货车速度=4：3，那么同样时间里路程比=4：3，也就是说客车比货车多行了1份，多30千米；所以客车走了30×4=120千米，所以两城相距120×2=240千米。 例2、小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天从家到学校都是步行。有一天由于晚出发10分钟，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样。那么小明每天步行上学需要时间多少分钟 【解】后一半路程和原来的时间相等，这样前面一半的路程中某日和平时的速度比=3：1，所以时间比=1：3，也就是节省了2份时间就是10分钟，所以后一半路程走路的时间就是10÷2×3=15分钟，全部路程原来需要30分钟。 例3、甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的倍，求A，B两地的距离。 【解】甲车速度是乙车的倍，相遇时甲车和乙车行驶距离的比是6：5，甲车行驶6份，乙车行驶5份，甲车比乙车多行驶1份，一份是2*8=16千米，A，B两地的距离就是11*16=176千米。
例4、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是12时几分 【解】：从爸爸第一次追上小明到第二次追上小明时，小明走了4千米，爸爸走了12千米．这说明，爸爸的速度是小明的3倍，爸爸走4千米所用的时间是是小明的三分之一，比小明少8分，所以小明走4千米需要12分，走8千米要24分，所以第2次追上时是8时32分。这道题关键是发现爸爸和小明的速度比。 巩固练习1 1、一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行48千米，返回时，每小时行56千米，返回比去时少用1小时，求甲、乙两地的路程。 2、某人从A城步行到B城办事，每小时走5千米，回来时骑自行车，每小时行15千米，往返共用6小时，求A、B两城之间的路程。 3、一辆汽车从甲地去乙地，每小时行45千米，返回时每小时行多行20%，往返共用去11小时。甲地到乙地共有多少千米 4.快车从甲地开往乙地，需要8小时，慢车从乙地开往甲地需要10小时，两车同时从两地相向而行，相遇时，慢车行了240km，求两地距离。 5.甲乙两车分别从AB两地同时相对开出，相遇时，甲车行了全程的1/3，当乙车到达A 地时，甲车离B地还有10km，AB两地相距km 6.客车从甲地到乙地需要6小时，火车每小时行驶36km，现在客货两车分别从甲乙两地相向而行，相遇时客货两车所行的路程比5：3，求甲乙两地相距多少千米 1、一辆客车从甲城到乙城8小时，一辆卡车从乙城到甲城12小时，两车同时从两地相 向开出，相遇时，甲车行了264千米，求A、B两地的距离