统计量和统计量的分布

§2，统计量与统计量的分布

1．定义：

二．常用的统计量：

1.常用的统计量:

2.

2.:

：

令

则

证明：因为

所以

：

证明：因为

所以【例１】

解：方法１：

：

：

方法２：

：

：

三．常用统计量的分布：

定理1：

（1）定义（

2()n

分布）：

（2）定理2（

2(1)

n

χ-分布）：

（1）定义：

（2）定理3：

（3）定理4：

（4）．定理5：

常用统计量

统计学基本概念 13.3常用统计量 统计量 设想你参加了一次考试，在知道自己得到了78分后，希望了解自己的成绩在班级上处于什么水平。你会怎样做？ 你对自己未来工作收入的预期是什么？ 定义：设,,,12n X X X 为取自某总体的样本，若样本函数(),,,12n T T X X X = 中不含有任何未知参数，则称T 为统计量。统计量的分布称为抽样分布。********************************************************** 强国知十三数：境内仓口之数，壮男壮女之数，老弱之数，官士之数，以言说取食者之数，利民之数，马牛刍藁之数。欲强国，不知国十三数，地虽利，民虽众，国愈弱至削。国无怨民曰强国。兴兵而伐，则武爵武任，必胜；按兵而农，粟爵粟任，则国富。兵起而胜敌，按兵而国富者，王。 （秦·商鞅《商君书》） 商鞅（前390～前338年），卫国家，思想家，著名法 家代表人物。应秦孝公求贤令入秦，说服秦孝公变法图强。孝公死后，受到贵族诬害以及秦惠文王的猜忌，车裂而死。其在秦执政二十余年，秦国大治，史称“商鞅变法”。 **********************************************************

统计量是对样本的一种加工。常用的统计量有样本均值、样本方差等。 定义设,,,12n X X X 为取自某总体的样本，则12n X X X X n +++= =1 1n i i X n =∑称为样本均值。 定理设,,,12n X X X 是来自某个总体X 的样本，X 为样本均值， （1）若总体()2,~σμN X ，则~,2X N n σμ?? ?? ?；证明：,,,12n X X X 相互独立，()2~,1,2,k X N k n μσ= ()()()1212n n E X E X E X X X X n E n n n μμ++++++??=== ??? ()()()22121222n n Var X Var X Var X X X X n Var n n n n σσ++++++??=== ??? （2）若总体分布不是正态分布，已知()μ=X E ，()2σ=X D ，则n 较大时，X 的渐近分布为??? ? ??n N 2,σμ，常记为~,2X N n σμ?? ??? 。**********************************************************定义设,,,12n X X X 是来自某个总体X 的样本，X 为样本均值，则 ()22 111n i i S X X n ==--∑称为样本方差。定理设总体X 具有二阶中心矩，()μ=X E ，()2Var X σ=<+∞，,,,12n X X X 为来自该总体的样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差，则()22E S σ=。样本方差是总体方差的无偏估计，样本均值是总体期望的无偏估计。**********************************************************

spss教程常用的数据描述统计：频数分布表等统计学

第二节常用的数据描述统计 本节拟讲述如何通过SPSS菜单或命令获得常用的统计量、频数分布表等。 1．数据 这部分所用数据为第一章例1中学生成绩的数据，这里我们加入描述学生性别的变量“sex”和班级的变量“class”，前几个数据显示如下（图2－2），将数据保存到名为“2-6-1.sav”的文件中。 图2－2：数据输入格式示例 1．Frequencies语句 （1）操作 打开数据文件“2-6-1.sav”，单击主菜单Analyze /Descriptive Statistics / F requencies…，出现频数分布表对话框如图2-3所示。 图2－3：Frequencies定义窗口 把score变量从左边变量表列中选到右边，并请注意选中下方的Display frequency table复选框（要求

显示频数分布表）。如果您只要求得到一个频数分布表，那么就可以点OK按钮了。如果您想同时获得一些统计量，及统计图表，还需要进一步设置。 ①Statistics选项 单击Statistics按钮，打开对话框，请按图2-4自行设置。有关说明如下： （ⅰ）在定义百分位值（percentile value）的矩形框中，选择想要输出的各种分位数，SPSS提供的选项有： ●Quartiles四分位数，即显示25%、50%、75%的百分位数。 ●Cut points equal 把数据平均分为几份。如本例中要求平均分为3份。 Percentile显示用户指定的百分位数，可重复多次操作。本例中要求15%、50%、85%的百分位数。(ⅱ) 在定义输出集中趋势（Central Tendency）的矩形框中，选择想要输出的集中统计量，常用的选项有： ●Mean 算术平均数 ●Median 中数 ●Mode 众数 ●Sum 算术和 （ⅲ）在定义输出离散统计量（Dispersion）的矩形框中，选择想要输出的离散统计量，常用的选项有： ●Std. Deviation 标准差 ●Variance 方差 ●Range 全距 ●Minimum 最小值 ●Maximum 最大值 ●S.E. mean 平均数的标准误 （ⅳ）描述数据分布（Distribution）的统计量 ●Skewness 偏度，非对称分布指数。 ●Kurtosis 峰度，CASE围绕中心点的扩展程度。 另外，频数过程（Frequence）除了能够提供上面常用的统计量外，还可以对分组数据计算百分位数和中数（Values are group midpoints），即对于已经分组的数据，并且数据中的原始数据表示的是组中数的数据计算百分位数的值和中位数。

次序统计量理论及应用

顺序统计量的分布及其应用探究 学生姓名：杨道圣 指导教师：刘宇民 摘要 顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。经过总结得出了关于顺序统计量的离散型最大顺序统计量分布，最小顺序统计量分布，连续性第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，连续性随机变量任意两个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数： 1.离散型随机变量子样最小值的分布律为 )(])1()!(!![)(11 ) 1(I r pi r p l n l n x X P n l l n r l l r ∈--==∑∑=-= 2.离散型随机变量子样最大值的分布律为 )(])1()!1()!1(![)(111 1 1 ) (I r pi r p j n j n x X P n j j r l j n r n ∈-+--==∑∑=--=+- 3.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn 取自这一母体的一个子样，则第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数 4.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn 取自这一母体的一个子样，则任意两个个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数为 关键词 最小顺序统计量，最大顺序统计量，第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，任意两个个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数 引言 顺序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于顺序统计量有一些性质不依赖于母体的分布，并且计算量很小，使用起来较方便，因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用。顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。

@统计量与抽样分布习题

统计量与抽样分布习题 1．调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为μ盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差σ=1.0盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。 2．第1题中，如果我们希望Y 与μ的偏差在0.3盎司之间的概率达到0.95，应当抽取多大的样本？ 3．在第1题中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差2 σ=1的标准正态分布。假定我们计划随机抽取10个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到10个观测值，用这10个观测值我们可以求出样本方差2S ()??? ??--=∑=n i i Y Y n S 12211，确定一个合适的范围使得有较大的概率保证2S 落入其中是有用的，试求1b 和2b ，使得() 90.0221=≤≤b S b P 。 4．621,,,Z Z Z Λ表示从标准正态总体中随机抽取的容量6=n 的一个样本，试确定常数b ， 使得95.0612=?? ? ??≤∑=i i b Z P 选择题： 1． 设n X X X ,,,21Λ是从某总体X 中抽取的一个样本，下面哪一个不是统计量？ ()∑∑==-==n i i n i i X X n S B X n X A 122 11.1. ()[] 21.∑=-n i i X E X C ()∑=--=n i i X X n S D 122 11. 2． 下面不是次序统计量的是？ A ．中位数 B ．均值 C ．四分位数 D ．极差 3．抽样分布是指？ A ．一个样本各观测值的分布 B ．总体中各观测值的分布 C ．样本统计量的分布 D ．样本数量的分布 4．根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为？ A ．μ B ．X C ．2 σ D ．n 2 σ 5．根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为？

第39讲统计量和常用统计量

第39讲统计量与常用统计量

110,,X X 在上一讲例3中，为了估计指数分布的参数，进行抽样观测，得到样本和样本值6394,1105,4717,1399,7952,17424,3275,21639,2360,2896. 样本中包含了许多信息。 对于推断总体的参数或分布而言，有些是有用的，重要的信息，有些则并不重要。上例的样本至少提供了两种信息：1）10个灯泡的平均寿命; 2）灯泡寿命的序号(如6394是第1个).—有用且重要的信息—不重要信息

从样本中提取有用的信息来研究总体的分布及各种特征数.——构造统计量.12,12,,...,,,...,). (n n x x x g x x x 一旦有了样本观察值就可以算出统计量的具体值121212,,...,),,...,),,...,) (, (, (. n n n X X X g X X X g X X X 设为样本若不含任何未知参数则称为统计量统计量：样本的不含任何未知参数的函数。 1210(...)10X X X +++10.6916.1. 比如个灯泡的平均寿命是统计量平均寿命的观测值是小时

常用统计量： 2 21 2 2.,1()1 n i i S X X n S S ==--=∑样本方差样本标准差1 .,11 n i i X X n ==∑样本均值

常用统计量： 1 1 11(3.1,2,...)n k k i i n k k i i A X n B X k k k X n ====-=∑∑ 样本矩阶矩： 阶中心矩：2 2,,,11. Excel X S B 根据样本数据，用计算见实验

常用的统计量抽样分布总结

常用的统计量抽样分布 一．正态分布 1. ∑==n i i X n X 1 1EX → 2. 2 12)(11∑=--=n i i X X n S ][112 1 2∑=--=n i i X n X n DX → 3. 定理： X ～),(2σμN ，n X X X ,,,21 为X 的样本，则 (1). X ～), (2 n N σμ， (2). 2 2 )1(σ S n -～)1(2-n χ, (3). X 与2S 相互独立。 二．2χ分布 1. 定义 设n X X X ,,,21 独立同分布，且～)1,0(N ，则)(~2122 n X n i i χχ∑== 2. 性质： (1). 若X ～)(12n χ，Y ～)(22n χ，且X ,Y 独立，则X +Y ～)(212n n +χ。 (2). 若X ～)(2n χ，则n EX =，2DX n =。 三．t 分布 1. 定义 设X ～)1,0(N ,Y ～)(2n χ，且X ,Y 独立，则n Y X T =～)(n t 。 2. 定理： 设n X X X ,,,21 独立同分布，且～),(2σμN ，则

n S X μ -σ σ μS n X )(-=1 )1() (2 2 ---= n S n n X σσ μ～)1(-n t （因为 n X σ μ-～)1,0(N ， 2 2 )1(σ S n -～)1(2-n χ）。 3. 定理： 设1,,,21n X X X 为总体X ～),(21σμN 的样本， 1,,,21n Y Y Y 为总体Y ～),(22σμN 的样本，且Y X ,独立，则 2 12111)()(n n S Y X w +---μμ～)2(21-+n n t ，其中 2 )1()1(212 2 22112 -+-+-=n n S n S n S w 。 证：因为 2 2 11)1(σ S n -～)1(12 -n χ, 2 2 2 2)1(σ S n -～)1(22-n χ， 所以 2 2 2 2211)1()1(σS n S n -+-～)2(212-+n n χ； 又X ～), (1 2 1n N σμ，Y ～), (2 2 2n N σμ， 所以X Y -～), (2 2 1 2 21n n N σσμμ+ +， 所以 2 12111) ()(n n Y X +---σ μμ～)1,0(N ，所以 2 12111)()(n n S Y X w +---μμ 2 12111) ()(n n Y X +---= σμμ/ )2/()1()1(212 2 2 2211-+-+-n n S n S n σ ～)2(21-+n n t 。

统计量及其抽样分布

《统计学》课程教学大纲 课程编号：×××××××× 课程类别：学科基础课 授课对象：经济管理类各专业、社会学专业、档案学专业、新闻学专业等 开课学期：第3、4、5、6学期 学分：4学分 主讲教师：……等 指定教材：贾俊平、何晓群、金勇进编著，《统计学》(第六版)，中国人民大学出版社，2015年教学目的： 《统计学》是为我校非统计专业本科生开设的一门基础必修课，总课时约54学时。设置本课程的目的在于培养学生有关统计知识方面的基本技能，培养学生应用统计方法分析和解决问题的实际能力。教学应达到的总体目标是： 使学生能系统地掌握各种统计方法，并理解各种统计方法中所包含的统计思想。 使学生掌握各种统计方法的不同特点、应用条件及适用场合。 培养学生运用统计方法分析和解决实际问题的能力。 第1章导论 课时：1周，共3课时 教学内容 第一节统计及其应用领域 一、什么是统计学 统计学的概念。描述统计。推断统计。 二、统计的应用领域 统计在共生管理中的应用。统计在其他领域的应用。统计的误用与正确使用。 三、历史上著名的统计学家 一些主要的统计学家。 第二节统计数据的类型 一、分类数据、顺序数据、数值型数据 分类数据。顺序数据。数值型数据。 二、观测数据和实验数据 观测数据。实验数据。 三、截面数据和时间序列数据 截面数据。时间序列数据。 第三节统计中的几个基本概念 一、总体和样本 总体。有限总体和无限总体。样本。样本容量。 二、参数和统计量 参数。统计量。 三、变量 变量。变量的类型。 第2章数据的收集 课时：1周，共3课时

第一节数据来源 一、数据的间接来源 二手数据。 二、数据的直接来源 统计调查方式。数据的收集方法。 第二节调查设计 一、调查方案的结构 调查目的。调查对象和调查单位。调查项目和调查表。 二、调查问卷设计 问卷的结构。提问项目设计。回答项目的设计。问题顺序的设计。第三节数据质量 一、数据的误差 抽样误差。非抽样误差。 二、数据的质量要求 第3章数据的图表展示 课时：1周，共3课时 教学内容 第一节数据的预处理 一、数据审核 原始数据的审核。二手数据的审核。 二、数据筛选 数据筛选的意义。用Excel进行数据筛选。 三、数据排序 数据排序的作用。用Excel进行数据排序。 第二节分类和顺序数据的整理与显示 一、分类数据的整理与显示 频数与频数分布。用Excel制作频数分布表。分类数据的图示方法。 二、顺序数据的整理与显示 累积频数与累积频率。顺序数据的图示方法。 第三节数值型数据的整理与显示 一、数据分组 分组方法。 二、数值型数据的图示 直方图。茎叶图和箱线图。线图。雷达图。 第四节统计表 一、统计表的构成 二、统计表的设计 第4章数据的概括性度量 课时：1周，共3课时 教学内容 第一节集中趋势的度量

次序统计量及其分布

§5.3次序统计量及其分布 次序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于次序统计量有一些性质不依赖于母体的分布并且计算量很小，使用起来较方便。因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用，现在我们在本节中扼要地介绍有关次序统计量的内容。gjzsj 设1ξ，2ξ，…，n ξ是取自分布函数为F （x ）的母体ξ的一个子样，x 1，x 2，… ，x n 表示这子样的一组观测值。这些观测值，由小到大的排列用x )1(，x )2(，… ，x )(n 表示，即x )1(≤x )2(≤… ≤x )(n ，若其中有两个分量x 1与x 2相等，它们先后次序的安排是可以任意的。 定义5.3 第i 个次序统计量ξ)(i 是上述子样1ξ，2ξ，…，n ξ这样的一个的一个函数，不论子样1ξ，2ξ，…，n ξ取得怎样一组观测值x 1，x 2，… ，x n ，它总是取其中的x )(i 为观测值。 显然，对于容量为n 的子样可以得到n 个次序统计量ξ)1(≤ξ)2(≤… ≤ξ)(n ，其中ξ)1(称做最小次序统计量，ξ)(n 称做最大次序统计量。 如果1ξ，2ξ，…，n ξ是来自同一母体的n 个相互独立随机变量，那么次序统计量1ξ，2ξ，…，n ξ是否也相互独立呢？这可以从下述例子中看出（例略）。 定理5.5 设母体ξ有密度函数f (x)>0，a ≤x ≤b ,并且1ξ，2ξ，…，n ξ为取自这母体的一个子样，则第i 个次序统计量的密度函数为 g i (y)=?? ???≤≤-----其他,0),()](1][)([)!()!1(!1b y a y f y F y F i n i n i n i （5.24） 例5.3 设母体ξ有密度函数 ? ??<<=其他,010,2)(x x x f 并且ξ)1(<ξ)2(<ξ)3(<ξ)4(为从ξ取出的容量为4的子样的次序统计量。求ξ)3(的密度函数)(3x g 和分布函数)(3x G ，并且计算概率)2 1()3(>ξP 。

常用的统计量抽样分布总结

常用的统计量抽样分布 3.定理: X ?N(~；「2 ) , X 1,X 2,…，X n 为X 的样本，则 2 (1). X ?NO,), n 2 (2). ?2 (n-1), a ⑶? X 与S 2 相互独立 二. 2 分布 1. 定义 n 设X 「X 2,…，X n 独立同分布，且?N(0,1)，贝U 2 八 X i 2 ~ 2 (n) i=1 2?性质： (1). 若X ?2 (nJ , Y ?2 (门2)，且X , Y 独立，则X +Y ?20 (2).若 X ?2 (n)，则 EX =n ，DX =2n 。 三. t 分布 1.定义 设X ?N(0,1), Y ?2 (n)，且X , Y 独立, 2. 定理: 设X 「X 2, X 独立同分布，且?N(「2 )，则 1. 2. X 』X 「EX n i 4 S 2 二一、(X i n -1 i 4 -X)2 1 n _ [' X -nX ] > DX n -1 i^ 压)。

t(“-1) (n -1)S 2 ◎2 z /“ —1 3. 定理: 设X i ，X 2， ,X n 为总体X ?N （」1,；「2 ）的样本, 丫1, 丫2, ,丫为总体Y ?N （J,二2 ）的样本，且X,Y 独立，则 2 2 S 2 _ (“1 …1)S ' (“2 1)S 2 S w = 所以（X —?N （0,1），所以 (“1 吊 2(“2—1)S 2 /(“1 “2-2) 计1 t (“「“2 - 2)。 (X - J “ S CJ （因为 a N(0,1)， CT 2 （“ -1））。 （X -丫）-（ 叫-切?"“1 ?2），其中 S w ［丄+丄 n i “2 - 2 证：因为 2 (“1 -1)S 1 (n 1 -1), 2 (“2 -1)S 2 (n 2 - 1), 所以(01 -1)S 12 -(“2 -1)S 2 2 (Ri n 2 2)； 2 N(7，)， “1 Y ?N （」 所以X -Y ?N(S 」2，—， “2

说明6个基本统计量

说明6个基本统计量（平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差） 的数学内涵，学生学习过程中可能产生的困难及主要原因、应对策略； 一.平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的统计量， 它们从不同角度描述一组数据的集中趋势。如某班45名学生在一次考 试的成绩中，平均数为85分，表示全班45名学生的平均成绩为85分； 众数是90分，表示全班得90分的人最多；中位数是87分，表示该班 45名学生成绩中在87分以下和87分以上的数目一样多。 平均数的概念：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，叫做这组数据的平均数。 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 二.数据的集中趋势只是数据分布的一个特征，它所反映的是数据向 其中心值（平均数）聚集的程度，而各数据之间的差异情况如何呢？这 就需要考察数据的分散程度，也称波动情况。数据的分散程度是数据分 布的另一个重要特征，它所反映的是各个数据远离其中心值的程度，因 此也称离中趋势，极差、方差、标准差就是对数据集散程度所作的描述。 极差概念：是一组数据在最大值与最小值的差，它反映了一组数据的波动范围，是刻画数据离散程度的最简单的统计量。 方差是统计中常用的：是指在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数。

标准差：是方差的算数平方根。 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，目前所研究的是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况；并且二者都是在求出平均数的基础上计算的，也就是说，欲求标准差→需求方差，欲求方差→需求平均数。 三.学生学习时可能产生的困难、原因及措施： 1.概念不能顾名思义，不好理解，如①平均数中的加权平均数，可采取方法： 先重点理解“权”的意思，可联系“权力”，有大小；结合英文“权”的单词weight,表示重量，所以“权”是表示数据重要程度的意思。再理解加权平均数的概念：是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算。 接下来，举简单例子来运用理解。例如：你的平时成绩是80分，期末考成绩是90分，要计算总的平均成绩，平时占40％、期末占60％的比例来算，所以你的平均成绩是：80×40％+90×60％＝86（分）最后的86就是加权平均数，40％、60％分别为平时和期末的权。再如：你所在小组同学一块儿吃西瓜，有1人吃了7块，另外三人都吃了3块，平均每人吃几块？(7+3*3)/4=4(块），其中的1和3为本题的权。 再总结：“权”可以是整数，可以是小数（分数，百分数），“权”即权重、各个数据所占的比例。 ②方差的概念同样是难点，理解方法：解释如下：在表示各个数据与其平均数的偏离程度时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消，取各

常见统计量

?一、T检验 ?用途：?比较两组数据之间的差异 前提：正态性，?方差?齐次性，独?立性 假设：H0: μ0=μ1 H1: μ0≠μ1 SPSS中对应?方法： 1、单样本T检验（One-sample Test） （1）??目的：检验单个变量的均值与给定的某个常数是否?一致。 （2）判断标准：p<0.05;t>1.98即认为是有显著差异的。 2、独?立样本T检验（Independent-Samples T Test） （1）??目的：检验两个独?立样本均值是否相等。 （2）判断标准：p<0.05;t>1.98即认为是有显著差异的。 3、配对样本T检验（Paired-Samples T Test） （1）??目的：检验两个配对样本均值是否相等。 （2）判断标准：p<0.05;t>1.98即认为是有显著差异的。 ! ?二、?方差分析 ?用途：?比较多组数据之间的差异 前提：正态性，?方差?齐次性，独?立性 假设：H0: μ0=μ1=…… H1: μ0，μ1，……不全相等 SPSS中对应?方法： 1、单因素?方差分析（One-way ANOVA） （1）??目的：检验由单?一因素影响的多组样本均值差异。 （2）判断标准：p>0.05;t<1.98即认为是有显著差异的。 （3）特别说明：可以进?一步使?用LSD，Tukey?方法检验两两之间的差异。 2、多因素?方差分析（Univariate） （1）??目的：检验由多个因素影响的多组样本均值差异。 （2）判断标准：p>0.05;t<1.98即认为是有显著差异的。 （3）特别说明：可以进?一步使?用LSD，Tukey?方法检验两两之间的差异。! 三、?非参数检验 ?用途：?比较多组数据之间的差异，独?立性等

常用统计量及其应用

第四章 常用统计量及其应用 第一节 平均数与标准差的概念 一、平均数 反映一组性质相同的观测值的平均水平或集中趋势的统计量，其数学定义为 n x 1= ∑=n i i x 1 平均数在一定程度上代表一组数据的整体水平，体育工作中，常用这一概念来反映事物的某些特征。 例如，某中学的体育平均达标率，学生的平均身高，年龄某地区高考体育加试平均分数等等。 二、标准差 样本平均数描述数据的集中趋势，反映样本数据的平均水平。但是，平均数对整体的代表性是有条件的。 例如，吉斯莫先生经营一家工厂，规模不大，现欲招聘一名工人，汤姆先生参加面试，老板告诉他，本厂全体人员的工资入平均每人每周300元，汤姆一听，欣然接受，上班一天后，来找老板，声称受骗，老板算了一笔帐，汤姆听了无话可说。 平均工资 300元／周 说明：该厂平均工资尽管较高，但由于各个工资相差太大，平均数对整体的代表性较差。这就说明在实际应用中，仅有平均数是不够的，还要考虑到数据的离散程度。在数据相对比较集中时，平均数才具有代表性。 反映样本离散程度的统计量，称之为标准差 设样本观测值为21,x x …,n x 平均数为x ，看看如何来定量计算标准差？ 样本的离散程度自然是相对平均数x 而言的为此构造出 )(1 x x i n i -∑ =

但上式各项有正有负，正负抵消 )(1 x x i n i -∑ =＝0 所以要反映离散程度的大小可以让上式各项加以绝对值或求平方，但带绝对值后不便于处理，所以，选择后者从而有 21 )(x x i n i -∑ = 上式与样本含量的大小有关，所以，求平均的 n 121 )(x x i n i -∑ = 在实际应用中，上式对总体离散程度的估计往往偏小若以自由度（1-n ）代替n ，则是无偏的因此，构造 221 ?)(11s x x n i n i =--∑= 上式中2 s 称为样本方差，还原成原来的量纲 则有 21 )(11x x n S i n i --= ∑= S 称为标准差，反映样本的离散程度。 结束语： 样本平均数反映样本数据的整体水平，但是要结合标准差，标准差反映样本数据的离散程度对于运动成绩，表现为成绩的稳定性。 第6次课（3学时） 教学目的：通过本次课的教学，使学生了解平均数和标准差在体育中的具体应用，掌握利用 平均数和标准差制定评分评价标准的方法。 教学内容：平均数和标准差在体育中的应用 1．标准百分 2．累进计分 3．离差法制定评价标准 ４．在制定离差评价表中的应用 教学重点：１．标准百分和累进计分的计分思想 ２．离差评价表的制定过程

几个关于次序统计量的典型例题

几个关于次序统计量的典型例题 摘要：次序统计量作为一类重要的统计量在很多领域中都有关泛的应用。本文 在前人研究的基础上总结了有关次序统计量若干重要的例题，主要包括：特殊形 式的多个次序统计量联合密度函数的求法；均匀分布样本极差的密度函数的求法；有关次序统计量独立性的证明。希望对读者学习研究次序统计量起到微薄的帮助。 关键词：次序统计量雅可比行列式次序统计量独立性 一、引言 次序统计量是一类很重要的统计量，被广泛地应用在统计推断、可靠性理论、应用概率等很多领域。其优点在于次序统计量有一些性质不依赖母体分布，且计 算量较小，这样可以根据相关的理论快速得到目标统计量的分布情况。现有的理 论研究已经非常充分，如，文章[3]中，作者描述了均均分布及指数分布的相关统 计量性质；文章[4]中，作者就几个常见分布次序统计量的随机比较进行了详细地 说明。文章[5]中，作者详细描述了均匀分布的次序统计量的性质；本文旨在前人 的基础上对次序统计量几个常见但没有被系统总结的例题做一详细说明。 二、次序统计量的基本知识 定义1：设x1,x2…,xn是取自总体x的样本，x(i)称为该样本的第i个次序统计量，它的取值是将样本观测值由小到大排列后得到的第i个观测值。（x(1),x(2)…，x(n)）称为该样本的次序统计量。其中，x(1)是该样本的最小次序统计量，x(n)是 该样本的最大次序统计量。R=x(n)-x(1)称为样本极差。 引理1：设总体x的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，x1,x2…，xn为样本， 则第k个次序统计量x(k)的密度函数为： f（x(k)）=[F（x）]k-1[1-F（k）]n-kf（x） 引理2：（x(1),x(2)…，x(n)）是总体样本的次序统计量，f（x(k)）是第k个次 序统计量（x(k)）的密度函数，则次序统计量xk的联合密度函数为：f（x(1),x(2)…，x(n)）=n!f（x(k)） 引理3：设总体x的密度函数为f（x），分布函数为F（x），x1，x2， (x) 为样本，则次序统计量（x(i)，x(j)）(i

常用统计量及其应用

第四章常用统计量及其应用 第一节平均数与标准差的概念 一、平均数 反映一组性质相同的观测值的平均水平或集中趋势的统计量，其数学定义为 x丄X i n i 4 平均数在一定程度上代表一组数据的整体水平，体育工作中，常用这一概念来反映事物 的某些特征。 例如，某中学的体育平均达标率，学生的平均身高，年龄某地区高考体育加试平均分数—、标准差 样本平均数描述数据的集中趋势，反映样本数据的平均水平。但是，平均数对整体的代 表性是有条件的。 例如，吉斯莫先生经营一家工厂，规模不大，现欲招聘一名工人，汤姆先生参加面试， 老板告诉他，本厂全体人员的工资入平均每人每周300元，汤姆一听，欣然接受，上班一天 后，来找老板，声称受骗，老板算了一笔帐，汤姆听了无话可说。 平均工资300元/周 说明：该厂平均工资尽管较高，但由于各个工资相差太大，平均数对整体的代表性较差。这就说明在实际应用中，仅有平均数是不够的，还要考虑到数据的离散程度。在数据相对比 较集中时，平均数才具有代表性。 反映样本离散程度的统计量，称之为标准差 设样本观测值为x,,x2…x n,平均数为X，看看如何来定量计算标准差？ 样本的离散程度自然是相对平均数x而言的为此构造出 n '' (X i -x) i m

但上式各项有正有负，正负抵消 7 (X j - x) = 0 i 4 所以要反映离散程度的大小可以让上式各项加以绝对值或求平方， 但带绝对值后不便于 处理，所 以，选择后者从而有 n ' (X i -X)1 2 i 丄 上式与样本含量的大小有关，所以，求平均的 1 n —' (X i-X)2 n i 4 在实际应用中，上式对总体离散程度的估计往往偏小若以自由度( 是无偏的因此，构 造 n ' (X i -X)2 ?s 2 i 4 S 称为标准差，反映样本的离散程度。 结束语： 样本平均数反映样本数据的整体水平， 但是要结合标准差，标准差反映样本数据的离散 程度对于运动成绩，表现为成绩的稳定性。 第6次课(3学时) 教学目的： 通过本次课的教学， 使学生了解平均数和标准差在体育中的具体应用， 掌握利用 平均数和标准差制定评分评价标准的方法。 教学内容: 平均数和标准差在体育中的应用 教学难点：累进计分法 教学内容的组织安排： 标准百分和累进计分是体育统计的重要内容， 在体育评分和评价中有 重要应用，为了让学生在实际工作中能正确地运用， 教学中重点讲授 1 ?标准百分 2 ?累进计分 3. 离差法制定评价标准 4. 在制定离差评价表中的应用 教学重点：1 ?标准百分和累进计分的计分思想 2 .离差评价表的制定过程 n 一1 )代替n ,则 1 n -1 上式中s 2称为样本方差，还原成原来的量纲 则有 (X i -X)2 n i =1

统计学第5-6章 正态分布 统计量其抽样分布

第5-6章 统计量及其抽样分布 5.1正态分布 5.1.1定义:当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从正态分布或近似服从正态分布。 概率密度曲线图 例如：某个地区同年龄组儿童的发育特征：身高、体重、肺活量等 某一条件下产品的质量 如果随机变量X 的概率密度为 22 ()21 (),2x f x e x μσπσ --=-∞<<∞ 则称X 服从正态分布。 记做 2 (,)X N μσ:，读作：随机变量X 服从均值为μ，方差为2 σ的正态分布 其中， μ-∞<<∞，是随机变量X 的均值，0σ>是是随机变量X 的标准差 5.1.2正态密度函数f(x)的一些特点： ()0f x ≥,即整个概率密度曲线都在x 轴的上方。 曲线 ()f x 相对于x μ=对称，并在 x μ=处达到最大值，

1 () 2 fμ πσ = 。 1 μ＜ 2 μ＜ 3 μ 曲线的陡缓程度由 σ 决定：σ越大，曲线越平缓；σ越小，曲线越陡峭当 x 趋于无穷时，曲线以x轴为其渐近线。 标准正态分布 当 0,1 μσ == 时， 2 2 1 () 2 x f x e π - = ， x -∞<<∞ 称 (0,1) N 为标准正态分布。

标准正态分布的概率密度函数： ()x ? 标准正态分布的分布函数： ()x Φ 任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 设 2 (,) X Nμσ : ,则 (0,1) X Z N μ σ - =: 变量 2 11 (,) X Nμσ :与变量2 22 (,) Y Nμσ :相互独立,则有 22 1212 +(+,+) X Y Nμμσσ : 5.1.3 正态分布表：可以查的正态分布的概率值()1() x x Φ-=-Φ 例：设 (0,1) X N :，求以下概率 （1） ( 1.5) P X< (2) (2) P X> (3) (13) P X -<≤