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2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学

2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、单项选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将其字母标号填在题后的括号内。)

1、已知32

lim

22=-++→x b

ax x x ,则常数a ,b 的取值分别为( ) A 、2,1-=-=b a

B 、0,2=-=b a

C 、0,1=-=b a

D 、1,2-=-=b a

2、已知函数4

2

3)(2

2-+-=x x x x f ,则2=x 为)(x f 的( ) A 、跳跃间断点

B 、可去间断点

C 、无穷间断点

D 、震荡间断点

3、设函数??

?

??>≤=0,1sin 0,0)(x x x x x f a 在0=x 处可导,则常数a 的取值范围是 A 、10<a

D 、1≥a

4、曲线2

)1(1

2-+=x x y 的渐近线条数为( )

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

5、设)13ln()(+=x x F 是函数)(x f 的一个原函数,则=+?dx x f

)12('

( )

A 、

C x ++4

61

B 、

C x ++4

63

C 、

C x ++8

121

D 、

C x ++8

123

6、设a 为非零常数,则数项级数∑∞

=+12

n n

a

n ( ) A 、条件收敛

B 、绝对收敛

C 、发散

D 、敛散性与a 有关

二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分) 7、已知2)(

lim =-∞

→x

x C

x x ,则常数=C 8、设函数?

=

x

t te x 20

)(?,则=)('x ?

9、已知向量)1,0,1(-=→

a ,)1,2,1(-=→

b ,则→

+b a 与→

a 的夹角为

10、设函数),(y x z z =由方程12

=+yz xz 所确定,则

=??x

z

11、若幂级数n

n n x n

a ∑∞

=12)0(>a 的收敛半径为21,则常数=a

12、微分方程0)2()1(2=--+xdy y ydx x 的通解为

三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分)

13、求极限x

x x x sin lim 3

0-→

14、设函数)(x y y =由参数方程???-+=+=3

2)1ln(2t t y t x 所确定,求dt dy ,2

2dx y

d 15、求不定积分dx x ?

+12sin

16、求定积分

dx x

x ?

-1

2

22

17、求通过直线

).....(1

2

213cn dinyuan z y x -=-=且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程. 18、计算二重积分

??D

ydxdy ,

其中{}

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2,2,20|),(22≥+≤≤≤≤=y x y x x y x D . 19、设),(sin xy x f z =,其中f 具有二阶连续偏导数,

求y

x z

???2. 20、求微分方程x y y =-'''的通解.

四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分) 21、已知13)(3+-=x x x f ,试求: (1)函数)(x f 的单调区间与极值; (2)曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点;

(3)函数)(x f 在闭区间[]3,2-上的最大值和最小值.

22、设1D 是由抛物线22x y =和直线0,==y a x 所围成的平面区域,2D 是由抛物线2

2x y =和直线

a x =,2=x 及0=y 所围成的平面区域,其中20<

(1)1D 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积1V ,以及2D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积2V ;

(2)常数a 的值,使得1D 的面积与2D 的面积相等. 五、证明题(本大题共2小题,每小题9分,满分18分)

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23、已知???≥+<=-0

10

)(x x x e x f x ,证明)(x f 在0=x 处连续但不可

导.

24、证明:当21<

-+>x x x x .

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高等数学参考答案

1、A

2、B

3、C

4、B

5、D

6、C

7、2ln

8、x

xe 24

9、3π

10、y

xz z +-22

11、2

12、C x x y y ++=-2

ln ln 22

13、62

3lim cos 13lim 22

020==-=→→x

x x x x x .

14、

2

)1(21122+=++=t t t dt dy ,.)1(411)1(42'22t t

t dx dy dx y d +=++== 15、解:令t x =+12,则2

1

2-=t x ;所以

C t t t dt t t t dx t t dx x ++-=+-==+???sin cos cos cos sin 12sin

C x x x ++--+=12cos 1212sin

16、设t x sin 2=

,则当0=x 时,0=t ;当1=x 时,4

π

=

t . 于是有

原式.21

4)2sin 21()2cos 1(cos 2cos 2sin 2404040

2-=-=-==

??

ππ

π

π

t t dt t tdt t

t

17、解:已知直线方向向量为{}1,2,3=→

s ,平面法向量为{

}1,1,11=→

n ,于是所求平面的法向量为 {}1,2,11

11123-==→

k

j i n ,而所求平面经过已知直线,所以点)2,1,0(在该平面上.

所以所求平面方程为:0)2()1(2=-+--z y x ,即.02=+-z y x 18、解:由2,22=+=y x x y 得交点)1,1(,则

???

???+=-2

12

2210

2

x

x D

ydy dx ydy dx ydxdy

dx x y dx x y )2(2

1)22(212122102??+-=

2=

19、解:设x u sin =,xy v =,则),(v u f z =. 所以

21cos yf xf x z +=??,.cos cos 222122212xyf f xf x y

f y f y f x y x z

++=??++??=??? 20、解:对应齐次方程的特征方程为02

=-r r ,特征根为01=r ,12=r ,

所以对应齐次方程的通解为:)....(21cn dinyuan e C C y x +=,

由于01=r 为特征根,故设原方程特解为)(*B Ax x y +=,则B Ax y +=2*',A y 2'*'=.

于是有:x B Ax A =+-)2(2,得21-

=A ,1-=B ,即有特解.212*

x x y --= 故原方程的通解为.2

1221*x x e C C y y y x

--+=+=

21、(1))1)(1(333)(2

'

-+=-=x x x x f ,令0)('

=x f ,得驻点11-=x ,12=x . 列表:

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由表可知:)(x f 的单增区间为()1,-∞-或()+∞,1,单减区间为()1,1-; 极大值为3)1(=-f ,极小值为.1)1(-=f (2)x x f 6)(''=,令0)(''=x f ,得0=x . 列表:

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由表可知:)0,(-∞为函数的凸区间,),0(+∞为函数的凹区间;)1,0(点为函数的拐点. 22、解:

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23、

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24、

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