2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填在题后的括号内。）

1、已知32

lim

22=-++→x b

ax x x ，则常数a ，b 的取值分别为（ ） A 、2,1-=-=b a

B 、0,2=-=b a

C 、0,1=-=b a

D 、1,2-=-=b a

2、已知函数4

2

3)(2

2-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的（ ） A 、跳跃间断点

B 、可去间断点

C 、无穷间断点

D 、震荡间断点

3、设函数??

?

??>≤=0,1sin 0,0)(x x x x x f a 在0=x 处可导，则常数a 的取值范围是 A 、10<a

D 、1≥a

4、曲线2

)1(1

2-+=x x y 的渐近线条数为（ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

5、设)13ln()(+=x x F 是函数)(x f 的一个原函数，则=+?dx x f

)12('

（ ）

A 、

C x ++4

61

B 、

C x ++4

63

C 、

C x ++8

121

D 、

C x ++8

123

6、设a 为非零常数，则数项级数∑∞

=+12

n n

a

n （ ） A 、条件收敛

B 、绝对收敛

C 、发散

D 、敛散性与a 有关

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7、已知2)(

lim =-∞

→x

x C

x x ，则常数=C 8、设函数?

=

x

t te x 20

)(?，则=)('x ?

9、已知向量)1,0,1(-=→

a ，)1,2,1(-=→

b ，则→

→

+b a 与→

a 的夹角为

10、设函数),(y x z z =由方程12

=+yz xz 所确定，则

=??x

z

11、若幂级数n

n n x n

a ∑∞

=12)0(>a 的收敛半径为21，则常数=a

12、微分方程0)2()1(2=--+xdy y ydx x 的通解为

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）

13、求极限x

x x x sin lim 3

0-→

14、设函数)(x y y =由参数方程???-+=+=3

2)1ln(2t t y t x 所确定，求dt dy ，2

2dx y

d 15、求不定积分dx x ?

+12sin

16、求定积分

dx x

x ?

-1

2

22

17、求通过直线

).....(1

2

213cn dinyuan z y x -=-=且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程. 18、计算二重积分

??D

ydxdy ，

其中{}

2,2,20|),(22≥+≤≤≤≤=y x y x x y x D . 19、设),(sin xy x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，

求y

x z

???2. 20、求微分方程x y y =-'''的通解.

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 21、已知13)(3+-=x x x f ，试求： （1）函数)(x f 的单调区间与极值； （2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；

（3）函数)(x f 在闭区间[]3,2-上的最大值和最小值.

22、设1D 是由抛物线22x y =和直线0,==y a x 所围成的平面区域，2D 是由抛物线2

2x y =和直线

a x =，2=x 及0=y 所围成的平面区域，其中20<

（1）1D 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积2V ；

（2）常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等. 五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）

23、已知???≥+<=-0

10

)(x x x e x f x ，证明)(x f 在0=x 处连续但不可

导.

24、证明：当21<

-+>x x x x .

2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学参考答案

1、A

2、B

3、C

4、B

5、D

6、C

7、2ln

8、x

xe 24

9、3π

10、y

xz z +-22

11、2

12、C x x y y ++=-2

ln ln 22

13、62

3lim cos 13lim 22

020==-=→→x

x x x x x .

14、

2

)1(21122+=++=t t t dt dy ，.)1(411)1(42'22t t

t dx dy dx y d +=++== 15、解：令t x =+12，则2

1

2-=t x ；所以

C t t t dt t t t dx t t dx x ++-=+-==+???sin cos cos cos sin 12sin

C x x x ++--+=12cos 1212sin

16、设t x sin 2=

，则当0=x 时，0=t ；当1=x 时，4

π

=

t . 于是有

原式.21

4)2sin 21()2cos 1(cos 2cos 2sin 2404040

2-=-=-==

??

ππ

π

π

t t dt t tdt t

t

17、解：已知直线方向向量为{}1,2,3=→

s ，平面法向量为{

}1,1,11=→

n ，于是所求平面的法向量为 {}1,2,11

11123-==→

k

j i n ，而所求平面经过已知直线，所以点)2,1,0(在该平面上.

所以所求平面方程为：0)2()1(2=-+--z y x ，即.02=+-z y x 18、解：由2,22=+=y x x y 得交点)1,1(，则

???

???+=-2

12

2210

2

x

x D

ydy dx ydy dx ydxdy

dx x y dx x y )2(2

1)22(212122102??+-=

2=

19、解：设x u sin =，xy v =，则),(v u f z =. 所以

21cos yf xf x z +=??，.cos cos 222122212xyf f xf x y

f y f y f x y x z

++=??++??=??? 20、解：对应齐次方程的特征方程为02

=-r r ，特征根为01=r ，12=r ，

所以对应齐次方程的通解为：)....(21cn dinyuan e C C y x +=，

由于01=r 为特征根，故设原方程特解为)(*B Ax x y +=，则B Ax y +=2*'，A y 2'*'=.

于是有：x B Ax A =+-)2(2，得21-

=A ，1-=B ，即有特解.212*

x x y --= 故原方程的通解为.2

1221*x x e C C y y y x

--+=+=

21、（1）)1)(1(333)(2

'

-+=-=x x x x f ，令0)('

=x f ，得驻点11-=x ，12=x . 列表：

由表可知：)(x f 的单增区间为()1,-∞-或()+∞,1，单减区间为()1,1-； 极大值为3)1(=-f ，极小值为.1)1(-=f （2）x x f 6)(''=，令0)(''=x f ，得0=x . 列表：

由表可知：)0,(-∞为函数的凸区间，),0(+∞为函数的凹区间；)1,0(点为函数的拐点. 22、解：

23、

24、