江苏省2012届高考数学二轮复习：第15讲 点、直线、平面之间的位置关系

第15讲 点、直线、平面之间的位置关系

江苏高考立体几何部分在正常情况下考两题。一道填空题，常考空间的线、面位置关系的辨析与判定或特殊几何体的体积、表面积等，要求考生对公理、定理、性质、定义等非常熟悉．并能借助已有的几何体中的线与面来解决问题；一道大题，常考线面的平行、垂直，面面的平行与垂直，偶尔也求确定几何体的体积，通过线段长度、线段长度比，点的位置确定等来探索几何体中的线线、线面、面面的位置关系，要重视，要学会规范答题．

1. 直线a ，b 是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a 与b 的位置关系是________．

2.a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出以下命题：

①????? a ∥γb ∥γ a ∥b ；②????? a ∥c α∥c a ∥α；③?

????

α∥γβ∥γ α∥β. 其中真命题是____________(填所有正确命题的序号)．

如果直线l ⊥平面α，给出下列判断：

①若直线m ⊥l ，则m ∥α；②若直线m ⊥α，则m ∥l ； ③若直线m ∥α，则m ⊥l ；④若直线m ∥l ，则m ⊥α. 其中正确判断的序号是________________．

3.已知A 、B 、C 、D 不共面，A 在平面BCD 上的射影为O ，则AB ⊥CD ，AC ⊥BD 是O 为△BCD 垂心的________(填“充分必要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要”)条件．

【例1】 如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B)，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点，求证：

(1) MO ∥平面PAC ；

(2) 平面PAC ⊥平面PBC.

【例2】如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AD＝1，侧面PAD 是正三角形，且与底面垂直，Q是AD的中点．

(1) 求四棱锥PABCD的体积；

(2) M在线段PC上，PM＝tPC，线段BC上是否存在一点R，使得当t∈(0,1)时，总有BQ∥平面MDR？若存在，确定R点位置；若不存在，说明理由．

【例3】如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F 在CC1上，且AE＝FC1＝1.

(1) 求证：E、B、F、D1四点共面；

(2) 若点G在BC上，BG＝2

3，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平

面BCC1B1.

【例4】如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别为边AB、AD的中点，现将△ADE沿DE折起，得四棱锥ABCDE.

(1) 求证：EF∥平面ABC；

(2) 若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．

1. (2011·福建)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

2. (2010·湖北)用a、b、c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.

其中正确的命题有________________(填所有正确命题的序号)．

3. (2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

②若α外一条直线l与α内一条直线平行，则l和α平行；

③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．

上面命题中，真命题的是________(填所有真命题的序号)．

4.(2011·浙江)下列命题中错误的是________

①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；

②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；

③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；

④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.

5. (2011·江苏)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD

＝60°，E、F分别是AP、AD的中点，

求证：

(1) 直线EF∥平面PCD；

(2) 平面BEF⊥平面PAD.

6. (2010·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，

E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.

(1) 求证：平面EFG⊥平面PDC；

(2) 求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比．

(2011·南京一模)(本小题满分14分)如图，在棱长均为4的三棱柱ABCA1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．

(1) 求证：A1D1∥平面AB1D；

(2) 若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1ABC的体积．

(1) 证明：如图，连结DD1.在三棱柱ABCA1B1C1中，

因为D、D1分别是BC与B1C1的中点，

所以B1D1∥BD，且B1D1＝BD，

所以四边形B 1BDD 1为平行四边形，(2分) 所以BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1. 又AA 1∥BB 1，AA 1＝BB 1， 所以AA 1∥DD 1，AA 1＝DD 1，

所以四边形AA 1D 1D 为平行四边形，(4分) 所以A 1D 1∥AD. 又A 1D 1 平面AB 1D ，AD 平面AB 1D ， 故A 1D 1∥平面AB 1D.(6分)

(2) 解：(解法1)在△ABC 中，因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC. 因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，交线为BC ，AD 平面ABC ，所以AD ⊥平面B 1C 1CB ， 即AD 是三棱锥AB 1BC 的高. (10分) 在△ABC 中，由AB ＝AC ＝BC ＝4，得AD ＝2 3. 在△B 1BC 中，B 1B ＝BC ＝4，∠B 1BC ＝60°， 所以△B 1BC 的面积S △B 1BC ＝

3

4

×42＝4 3. 所以三棱锥B 1ABC 的体积即三棱锥AB 1BC 的体积： V ＝13×S △B 1BC·AD ＝13

×43×23＝8. (14分)

(解法2)在△B 1BC 中，因为B 1B ＝BC ，∠B 1BC ＝60°，所以△B 1BC 为正三角形，因此

B 1D ⊥BC.

因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，交线为BC ，B 1D 平面B 1C 1CB ， 所以B 1D ⊥平面ABC ，即B 1D 是三棱锥B 1ABC 的高. (10分)

在△ABC 中，由AB ＝AC ＝BC ＝4得△ABC 的面积S △ABC ＝

3

4

×42＝4 3. 在△B 1BC 中，因为B 1B ＝BC ＝4，∠B 1BC ＝60°，所以B 1D ＝2 3.

所以三棱锥B 1ABC 的体积V ＝13×S △ABC ·B 1D ＝13×43×23＝8. (14分)

第15讲 点、直线、平面之间的位置关系

1. 过三棱柱 ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．

【答案】 6

2. m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是空间两个不同的平面，下面有四个命题： ① m ⊥α，n ∥β，α∥β m ⊥n ； ② m ⊥n ，n ∥β，m ⊥α α∥β； ③ m ⊥n ，α∥β，m ∥α n ⊥β； ④ m ⊥α，m ∥n ，α∥β n ⊥β. 其中真命题是____________(写出所有真命题的序号)． 【答案】 ①④

3. 给出以下四个命题，其中真命题是____________(写出所有真命题的序号)．

① 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；

② 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；

③ 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；

④ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 【答案】 ①②④

4. 如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A 、B)，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点，有以下四个命题：

① PA ∥平面MOB ； ② MO ∥平面PBC ；

③ OC ⊥平面PAC ； ④ 平面PAC ⊥平面PBC.

其中正确的命题是____________．(填上所有正确命题的序号) 【答案】 ④

5. 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝BB 1＝1，AB 1＝ 3. (1) 求证：平面AB 1C ⊥平面B 1CB ；

(2) 求三棱锥A 1—AB 1C 的体积．

解：(1) 证明：直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ， 则BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC.

又由于AC ＝BC ＝BB 1＝1，AB 1＝3，则AB ＝2， 则由AC 2＋BC 2＝AB 2，可知AC ⊥BC. 又由BB 1⊥底面ABC ，可知BB 1⊥AC ，则AC ⊥平面B 1CB ，所以平面AB 1C ⊥平面B 1CB. (2) 解：三棱锥A 1—AB 1C 的体积VA 1—AB 1C ＝VB 1—A 1AC ＝13×12×1＝16.

(注：还有其他转换方法)

6. 已知等腰梯形PDCB 中(如图1)，PB ＝3，DC ＝1，PD ＝BC ＝2，A 为PB 边上一点，

且PA ＝1，将△PAD 沿AD 折起，使面PAD ⊥面ABCD(如图2)．

(1) 证明：平面PAD ⊥平面PCD ；

(2) 试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成的两部分V PDCMA ∶V MACB ＝2∶1；

(3) 在点M 满足(2)的情况下，判断直线PD 是否平行面AMC.

图1

图2

解：(1) 证明：依题意知CD ⊥AD ，又∵ 面PAD ⊥面ABCD ， ∴ DC ⊥平面PAD.又DC 面PCD ，∴ 平面PAD ⊥平面PCD.

(2) 解：由(1)知PA ⊥平面ABCD ，∴ 平面PAB ⊥平面ABCD. 在PB 上取一点M ，作MN ⊥AB ，垂足为N ，则 MN ⊥平面ABCD ，设MN ＝h ，

则V M —ABC ＝13S △ABC ·h ＝13×12×2×1×h ＝h

3，

V P —ABC ＝13S △ABC ·PA ＝13×(1＋2)2×1×1＝1

2

，

要使V PDCMA ∶V MACB ＝2∶1，即????12－h 3∶h 3＝2∶1，解得h ＝1

2

， 即M 为PB 的中点．

(3) 连结BD 交AC 于O.因为AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝1，由相似三角形易得BO ＝2OD.∴ O 不是BD 的中心．

又∵ M 为PB 的中点，∴ 在△PBD 中，OM 与PD 不平行 ∴ OM 所在直线与PD 所在直线相交． 又OM 平面AMC ，∴ 直线PD 与平面AMC 不平行． 基础训练

1. 相交或异面

2. ②③

3. ②③④

4. 充分必要 例题选讲

例1 证明：(1) ∵ M ，O 分别是PB 、AB 的中点， ∴ MO ∥PA ， 又∵ MO 平面PAC ，PA 平面PAC ， ∴ MO ∥平面PAC.

(2) ∵ 直线PA 垂直于圆O 所在的平面， ∴ PA ⊥BC

∵ C 是圆周上一点，AB 是直径，∴ BC ⊥AC. 又PA ∩AC ＝A ，∴ BC ⊥平面PAC. ∵ BC 平面PBC ，∴ 平面PBC ⊥平面PAC.

变式训练 如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.

(1) 求证：PC ⊥BC ；

(2) 求点A 到平面PBC 的距离．

(1) 证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC 平面ABCD ，所以PD ⊥BC. 由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC. 又PD ∩DC ＝D ，PD 平面PCD ， DC 平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ， 因为PC 平面PCD ，故PC ⊥BC.

(2) 解：如图，连结AC. 设点A 到平面PBC 的距离为h ，因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°，

从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.

由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝1

3，

因为PD ⊥平面ABCD ，DC 平面ABCD ，所以PD ⊥DC. 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2. 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得S △PBC ＝

2

2

. 由V ＝13S △PBC h ＝13·22·h ＝13

，∴ h ＝ 2.

故点A 到平面PBC 的距离等于 2.

点评：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．

例2 解：(1) 连结PQ ，则PQ ⊥AD ，

由题意易得PQ ＝

32，S ABCD ＝32

. ∵ 平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，PQ ⊥AD ，PQ 平面PAD ，

∴ PQ ⊥平面ABCD ， ∴ V P —ABCD ＝13PQ·S ABCD ＝1

4

.

(2) 存在，R 为BC 的中点．

取R 为BC 中点，连结MR ，DR ，DM ，则BQ ∥DR. ∵ BQ ∥DR ，BQ 平面DMR ，DR 平面DMR ，∴ BQ ∥平面DMR.

因此，R 为BC 中点，当t ∈(0,1)时，总有BQ ∥平面MDR ，反之也成立．

变式训练 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝3a ，BC ＝2a ，D 是BC 的中点，E 为AB 的中点，F 是C 1C 上一点，且CF ＝2a.

(1) 求证：C 1E ∥平面ADF ；

(2) 试在BB 1上找一点G ，使得CG ⊥平面ADF ； (3) 求三棱锥D —AB 1F 的体积．

(1) 证明：∵ AB ＝AC ，D 为BC 中点，又E 为AB 的中点，连结CE 交AD 于O ，连结FO ，易知CO CE ＝CF CC 1＝2

3

，故FO ∥C 1E.

又FO 平面AFD ，C 1E 平面AFD ， 故C 1E ∥平面AFD.

(2) 解：在平面C 1CBB 1内，过C 作CG ⊥DF ，交B 1B 于G. 在Rt △FCD 和Rt △CBG 中， FC ＝CB ，∠CFD ＝∠BCG ， 故Rt △FCD ≌Rt △CBG .

而AD ⊥BC ，CC 1⊥AD 且CC 1∩CB ＝C ， 故AD ⊥平面C 1CBB 1. 而CG 平面C 1CBB 1，故AD ⊥CG . 又CG ⊥DF ，AD ∩FD ＝D ，

故CG ⊥平面ADF ，此时BG ＝CD ＝a. (3) 解：∵ AD ⊥平面BCC 1B 1，

∴ VD —AB 1F ＝VA —B 1DF ＝1

3·S △B 1DF·AD

＝13×12B 1F·FD·AD ＝52a 33

.

例3 解：(1) 如图，在DD 1上取点N ，使DN ＝1，连结EN ，CN ， 则AE ＝DN ＝1，CF ＝ND 1＝2.

因为AE ∥DN ，ND 1∥CF ，所以四边形ADNE ，CFD 1N 都为平行四边形． 从而EN AD ，FD 1∥CN. 又因为AD

BC ，所以EN

BC ，故四边形BCNE 是平行四边形，由此推知CN ∥BE ，

从而FD 1∥BE.因此，E 、B 、F 、D 1四点共面．

(2) 如图，GM ⊥BF ，又BM ⊥BC ， 所以∠BGM ＝∠CFB ， BM ＝BG·tan ∠BGM ＝BG·tan ∠CFB

＝BG·BC CF ＝23×32＝1.

因为AE

BM ，所以ABME 为平行四边形，

从而AB ∥EM.

又AB ⊥平面BCC 1B 1，所以EM ⊥平面BCC 1B 1.

例4 (1) 证明：(证法1)取线段AC 的中点M ，连结MF 、MB.

因为F 为AD 的中点， 所以MF ∥CD ，且MF ＝1

2CD.

在折叠前，四边形ABCD 为矩形， E 为AB 的中点，

所以BE ∥CD ，且BE ＝1

2

CD.

所以MF ∥BE ，且MF ＝BE.

所以四边形BEFM 为平行四边形，故EF ∥BM. 又EF 平面ABC ，BM 平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC.

(证法2)延长DE 交CB 的延长线于点N ，

连结AN.

在折叠前，四边形ABCD 为矩形， E 为AB 的中点，

所以BE ∥CD ，且BE ＝1

2

CD.

所以∠NBE ＝∠NCD ，∠NEB ＝∠NDC. 所以△NEB ∽△NDC.

所以NE ND ＝BE CD ＝1

2，即E 为DN 的中点．

又F 为AD 的中点， 所以EF ∥NA. 又EF 平面ABC ，NA 平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC.

(证法3)取CD 的中点O ，连结OE 、OF.

折叠前，四边形ABCD 为矩形， E 为AB 的中点，

所以BE ∥CD ，且BE ＝1

2

CD.

所以BE ∥CO ，且BE ＝CO.

所以四边形BEOC 为平行四边形． 所以EO ∥BC. 又EO 平面ABC ，BC 平面ABC ， 所以EO ∥平面ABC.

因为F 、O 分别为AD 、CD 的中点，所以FO ∥AC. 又FO 平面ABC ，AC 平面ABC ， 所以FO ∥平面ABC. 又FO 、EO 平面FEO ，FO ∩EO ＝O ， 所以平面FEO ∥平面ABC. 因为EF 平面EOF ，所以EF ∥平面ABC.

(2) 解：(解法1)在折叠前，四边形ABCD 为矩形，AD ＝2，AB ＝4，E 为AB 的中点， 所以△ADE 、△CBE 都是等腰直角三角形，且AD ＝AE ＝EB ＝BC ＝2， 所以∠DEA ＝∠CEB ＝45°，且DE ＝EC ＝2 2. 又∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝180°， 所以∠DEC ＝90°.CE ⊥DE ， 又平面ADE ⊥平面BCDE ，

平面ADE ∩平面BCDE ＝DE ，CE 平面BCDE ，

所以CE ⊥平面ADE ，即CE 为三棱锥C —EFD 的高． 因为F 为AD 的中点，

所以S △EFD ＝12×12×AD·AE ＝1

4

×2×2＝1.

所以四面体FDCE 的体积V ＝13×S △EFD ·CE ＝13×1×22＝22

3

.

(解法2)过F 作FH ⊥DE ，H 为垂足．

因为平面ADE ⊥平面BCDE ，

平面ADE ∩平面BCDE ＝DE ，FH 平面ADE ， 所以FH ⊥平面BCDE ，

即FH 为三棱锥F —ECD 的高． 在折叠前，四边形ABCD 为矩形， 且AD ＝2，AB ＝4，E 为AB 的中点， 所以△ADE 是等腰直角三角形． 又F 为AD 的中点，所以DF ＝1. 所以FH ＝DF·sin45°＝

2

2

. 又S △EDC ＝12×CD·BC ＝1

2

×4×2＝4，

所以四面体FDCE 的体积V ＝13×S △EDC ·FH ＝13×4×22＝22

3

.

(解法3)过A 作AG ⊥DE ，G 为垂足．

因为平面ADE ⊥平面BCDE ，

平面ADE ∩平面BCDE ＝DE ，AG 平面ADE ， 所以AG ⊥平面BCDE ，

即AG 为三棱锥A —ECD 的高． 在折叠前，四边形ABCD 为矩形， 且AD ＝2，AB ＝4，E 为AB 的中点， 所以△ADE 是等腰直角三角形． 所以AG ＝AD·sin45°＝ 2.

又S △EDC ＝12×DC·BC ＝12

×4×2＝4，

所以三棱锥A —ECD 的体积V A —ECD ＝13×S △EDC ·AG ＝13×4×2＝42

3.

因为F 为AD 的中点，所以S △EFD ＝1

2S △EAD .

所以V 三棱锥C —EFD ＝12V 三棱锥C —EAD ＝12V A —ECD ＝22

3.

即四面体FDCE 的体积为22

3

.

(说明：在第(2)问中，可以证明AD⊥AC；求点D到平面EFC的距离) 高考回顾

1. 2解析：EF∥AC，EF＝1

2AC，AC＝22，∴ EF＝ 2.

2. ①④

3. ①②

4. ④

5. 证明：(1) 因为E、F分别是AP、AD的中点，

∴ EF∥PD.又∵ PD 面PCD，EF 面PCD，

∴直线EF∥平面PCD.

(2) 连结BD，∵ AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．

又F是AD的中点，∴ BF⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴ BF⊥面PAD，

又BF 面BEF，所以，平面BEF⊥平面PAD.

6. (1) 证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，

所以PD⊥平面ABCD，又BC 平面ABCD.

所以PD⊥BC.

因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC，

又PD∩DC＝D，因此BC⊥平面PDC，

在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC.

因此GF⊥平面PDC.又GF 平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.

(2) 解：因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2，

所以V P—ABCD＝1

3S正方形ABCD·PD＝

8

3.

由于DA⊥面MAB，且PD∥MA，所以DA即为点P到平面MAB的距离

三棱锥V P—MAB＝2 3，

所以V P—MAB∶V P—ABCD＝1∶4.

2020版高考数学二轮复习专题汇编全集

第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值．

B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值；

江苏省高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法(理)8.1计数原理与二项式定理达标训练(含解析)

计数原理与二项式定理 A组——大题保分练 1．设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足：A不是B的子集,且B也不是A的子集． (1)若M＝{a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数； (2)若M＝{a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数． 解：(1)110. (2)集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n－1)个． 当A?B,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素, 则满足A?B的有序集合对(A,B)有n∑ k＝1C k n(2k－1)＝ n ∑ k＝0 C k n2k－ n ∑ k＝0 C k n＝3n－2n个． 同理,满足B?A的有序集合对(A,B)有3n－2n个． 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n－1)－2(3n－2n)＝4n＋2n－2×3n. 2．记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈ N*)．性质T：排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i ＞a i＋1 (i∈{1,2,…,n－1})． (1)求f(3)； (2)求f(n)． 解：(1)当n＝3时,1,2,3的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2), (3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i＞a i＋1的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),所以f(3)＝4. (2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中, 若a i＝n(1≤i≤n－1),从n－1个数1,2,3,…,n－1中选i－1个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i－1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为C i－1 n－1. 若a n＝n,则满足题意的排列个数为f(n－1)． 综上,f(n)＝f(n－1)＋n－1 ∑ i＝1 C i－1 n－1＝f(n－1)＋2n－1－1.

高中数学二轮复习计划

高中数学二轮复习计划 第二轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，下面是小编收集整理的高中数学二轮复习计划，希望对您有所帮助！ 一、指导思想 高三第一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主，通过第一轮复习，学生大都能掌握基本概念的性质、定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，强化数学的学科特点，同时第二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平、提高综合能力发展的关键时期，因而对讲、练、检测要求较高。 强化高中数学主干知识的复习，形成良好知识网络。整理知识体系，总结解题规律，模拟高考情境，提高应试技巧，掌握通性通法。 第二轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲练、检测等要求较高，故有二轮看水平之说．

二轮看水平概括了第二轮复习的思路，目标和要求．具体地说，一是要看教师对《考试大纲》的理解是否深透，研究是否深入，把握是否到位，明确考什么、怎么考．二是看教师讲解、学生练习是否体现阶段性、层次性和渐进性，做到减少重复，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展．三是看知识讲解、练习检测等内容科学性、针对性是否强，使模糊的清晰起来，缺漏的填补起来，杂乱的条理起来，孤立的联系起来，让学生形成系统化、条理化的知识框架．四是看练习检测与高考是否对路，不拔高，不降低，难度适宜，效度良好，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法． 二、时间安排： 1．第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段，时间为3月10——4月30日。 2．第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练，时间为5月1日——5月25日。 3.最后阶段学生自我检查阶段，时间为5月25日——6月6日。 三、怎样上好第二轮复习课的几点建议： （一）.明确主体，突出重点。 第二轮复习，教师必须明确重点，对高考考什么，怎样考，应了若指掌．只有这样，才能讲深讲透，讲练到位．因

(江苏专用)2021高考数学二轮复习 填空题训练 综合仿真练(一)

综合仿真练(一) 1．已知集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，则A ∩B ＝________. 解析：因为集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以A ∩B ＝{0,3}． 答案：{0,3} 2．已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________. 解析：因为x ＞0，(x －i)2＝x 2－1－2x i 是纯虚数(其中i 为虚数单位)， 所以x 2－1＝0且－2x ≠0，解得x ＝1. 答案：1 3．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________． 解析：由题意知????? x >0，1－2log 6x ≥0，解得02，不符合题意；若x ＋5＝13，则x ＝8>2，符合题意，故x ＝8. 答案：8 6．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2 )分别为： 9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________．

高三数学二轮复习计划

高三理科数学二轮复习计划 高三数学一轮复习一般以知识，技能方法的逐点扫描和梳理为主，通过一轮复习，学生大都掌握基本概念、性质、定理及一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平提高学生综合能力的关键时期，对讲练检测要求较高。所以制订高三数学二轮复习计划如下。 根据本学期的复习任务，将本学期的备考工作划分为以下四个阶段： 第一阶段(专题复习)：从2018年2月22日～2018年4月30日完成以主干知识为主的专题复习 第二阶段(选择填空演练)：从2018年3月1日～2018年5月20日完成以选择填空为主的专项训练 第三阶段(综合训练)：从2018年5月～2018年5月26完成以训练能力为主的综合训练 第四阶段(自由复习和强化训练)：从2018年5月27日～2018年6月6日。 高三数学二轮复习计划 第一阶段：专题复习 (一)目标与任务： 强化高中数学主干知识的复习，形成良好的知识网络。强化考点，突出重点，归纳题型，培养能力。 根据高考试卷中解答题的设置规律，本阶段的复习任务主要包括以下七个知识专题： 专题一：集合、函数、导数与不等式。此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。 专题二：数列、推理与证明。数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。 专题三：三角函数、平面向量和解三角形。平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。平面向量具有几何与代数形式的双重性，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。 专题四：立体几何。注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。 专题五：解析几何。直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融综合性、开放性、探索性为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。

高考数学第二轮备考指导及复习建议

2019年高考数学第二轮备考指导及复习建 议 首先，我们应当明确为什么要进行高考第二轮复习？也就是高考数学复习通常要分三轮（有的还是分四轮）完成，对于第二轮的目的和意义是什么呢？第一轮复习的目的是 将我们学过的基础知识梳理和归纳，在这个过程当中主要以两个方面作为参考。第一个是以教材为基本内容，第二个以教学大纲以及当年的考试说明，作为我们参考的依据，然后做到尽量不遗漏知识，因为这也是作为我们二轮三轮复习的基础。 对于高三数学第二轮复习来说，要达到三个目的：一是从全面基础复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和把握；二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去，将已经把握的知识转化为实际解题能力；三是要把握各题型的特点和规律，把握解题方法，初步形成应试技巧。 高三数学第二轮的复习，是在第一轮复习的基础上，对高考知识点进行巩固和强化，是考生数学能力和学习成绩大幅度提高的关键阶段，我们学校此阶段的复习指导思想是：巩固、完善、综合、提高。就大多数同学而言，巩固，即巩固第一轮单元复习的成果，把巩固三基(基础知识、基本方法、基本技能)放在首位，强化知识的系统与记忆；完善，就是通过此轮复习，查漏补缺，进一步建立数学思想、知识规律、方法

运用等体系并不断总结完善；综合，就是在课堂做题与课外训练上，减少单一知识点的试题，增强知识点之间的衔接，增强试题的综合性和灵活性；提高，就是进一步培养和提高对数学问题的阅读与概括能力、分析问题和解决问题的能力。因此，高三数学第二轮的复习，对于课堂听讲并适当作笔记，课外训练、自主领悟并总结等都有较高要求，有“二轮看水平”的说法！是最“实际”的一个阶段。 要求学生就是“四个看与四个度”：一看对近几年高考常考题型的作答是否熟练，是否准确把握了考试要求的“度”--《考试说明》中“了解、理解、掌握”三个递进的层次，明确“考什么”“怎么考”；二看在课堂上是否紧跟老师的思维并适当作笔记，把握好听、记、练的“度”；三看知识的串连、练习的针对性是否强，能否使模糊的知识清晰起来，缺漏的板块填补起来，杂乱的方法梳理起来，孤立的知识联系起来，形成系统化、条理化的知识框架，控制好试题难易的“度”；四看练习或检测与高考是否对路，哪些内容应稍微拔高，哪些内容只需不降低，主次适宜，重在基础知识的灵活运用和常用数学思想方法的掌握，注重适时反馈的“度”。在高考一轮复习即将结束、二轮复习即将开始这样一个承上启下的阶段，时间紧，任务重，往往是有40天左右时间（我们学校是3月中旬到4月底）。如何做到有条不紊地复习呢？现结合我最近的学习及多年的做法谈下面几点意见，供同行们参考。

高考数学二轮复习五大技巧

2019年高考数学二轮复习五大技巧 对于高考数学二轮复习，有哪些问题需要注意呢?小编为大家整理了2019年高考数学二轮复习策略，帮助考生制定高考二轮复习计划，提高高考数学成绩。 1、重点知识，落实到位 函数、导数、数列、向量、不等式、直线与平面的位置关系、直线与圆锥曲线、概率、数学思想方法等，这些既是高中数学教学的重要内容，又是高考的重点，而且常考常新，经久不衰。因此，在复习备考中，一定要围绕上述重点内容作重点复习，保证复习时间、狠下功夫、下足力气、练习到位、反思到位、效果到位。并将这些板块知识有机结合，形成知识链、方法群。如聚集立体几何与其他知识的整合，就包括它与方程、函数、三角、向量、排列组合、概率、解析几何等的整合，善于将已经完成过的题目做一次清理，整理出的解题通法和一般的策略，“在知识网络交汇点设计试题”是近几年高考命题改革反复强调的重要理念之一，在复习备考的过程中，要打破数学章节界限，把握好知识间的纵横联系与融合，形成有序的网络化知识体系。 2、新增内容，注重辐射 新增内容是新课程的活力和精髓，是近、现代数学在高中的渗透，且占整个高中教学内容的40%左右，而高考这部分内容的分值，远远超出其在教学中所占的比例。试题加大了对新教材中增加的线性规划、向量、概率、导数等知识的考查力度，对新增内容一一作了考查，分值达50多分，并保持了将概率内容作为应用题的格局。因此，复习

中要强化新增知识的学习，特别是新增数学知识与其它知识的结合。向量在解题中的作用明显加强，用导数做工具研究函数的单调性和证明不等式问题，导数亦成为高考解答题目的必考内容之一。 3、思想方法，重在体验 数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重。“突出方法永远是高考试题的特点”，这就要求我们在复习备考中应重视“通法”，重点抓方法渗透。 首先，我们应充分地重视数学思想方法的总结提炼，尽管数学思想方法的掌握是一个潜移默化的过程，但是我们认为，遵循“揭示—渗透”的原则，在复习备考中采取一些措施，对于数学思想方法以及数学基本方法的掌握是可以起到促进作用的，例如，在复习一些重点知识时，可以通过重新揭示其发生过程，适时渗透数学思想方法。 其次，要真正地重视“通法”，切实淡化“特技”，我们不应过分地追求特殊方法和特殊技巧，不必将力气花在钻偏题、怪题和过于繁琐、运算量太大的题目上，而应将主要精力放在基本方法的灵活运用和提高学生的思维层次上，另外，在复习中，还应充分重视解题回顾，借助于解题之后的反思、总结、引申和提炼来深化知识的理解和方法的领悟。 4、综合能力，强化训练 近年来高考数学试题，在加强基础知识考查的同时，突出能力立意。以能力立意，就是从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考查倾向于理解和应用，特别是知识的综合

2019届江苏省高考数学二轮复习微专题3.平面向量问题的“基底法”和“坐标法”

微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F → 的最小值为 ________． (例1) 变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π 3，点M 是边AB 的中点， 点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN → ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________． 变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________． 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： 切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．

1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F → ＝________． 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →＝________． 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝33 32 ，则AB 的长为________． (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________． 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC → ⊥AB → ，则实数m n ＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13 AC →，则|BQ → |的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12 PC → ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC → ，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________． (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE → ＝λBA →＋μBD → (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1， 动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD → (m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC → 且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3. (1) 求AB →·AC →的值； (2) 求λ＋μ的值．

2018届高三数学二轮复习计划

宾阳中学2018届高三数学备课组第二轮复习计划 为使二轮复习有序进行，使我们的复习工作卓有成效并最终赢得胜利，在校、年级领导指导下，结合年级2018届高考备考整体方案的基础上，经数学基组研究，制定本工作计划。 一、成员： 韦胜华（基组长）、黎锦勇、文育球、韦振、施平凡、候微、张善军、蓝文斌、陈卫庆、黄凤宾、李雪凤、韦衍凤、梁建祥、卢焕荣、黄恩端、林祟标。 本届高三学生由于高一、高二赶课较快，训练量较少，所以基础相对薄弱，数学的五大能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力都较差，处理常规问题的通解通法未能落实到位，常见的数学思想还未形成。 二、努力目标及指导思想： 1、承上启下，使知识系统化、条理化，促进灵活应用。 2、强化基础夯实，重点突出，难点分解，各个击破，综合提高。 三、时间安排：2018年1月下旬至4月中旬。 四、方法与措施： （一）重视《考试大纲》（以2018年为准）与《考试说明》（参照2017年的考试说明）的学习，这两本书是高考命题的依据，是回答考什么、考多难、怎样考这3个问题的具体规定和解说。 （二）重视课本的示范作用，虽然2018年高考是全新的命题模式，但教材的示范作用绝不能低估。 （三）注重主干知识的复习，对于支撑学科知识体系的重点知识，要占有较大的比例，构成数学试题的主体。 （四）注重数学思想方法的复习。在复习基础知识的同时，要进一步强化基本数学思想和方法的复习，只有这样，在高考中才能灵活运用和综合运用所学的知识。 （五）注重数学能力的提高，数学能力包括空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。 （六）注重数学新题型的练习。以高考试题为代表，构建新题型。 宾阳中学2018届高三理科数学备课组第二轮复习计划第1页（共2页）

高三数学二轮复习计划

高三数学二轮复习计划 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高三理科数学二轮复习计划 高三数学一轮复习一般以知识，技能方法的逐点扫描和梳理为主，通过一轮复习，学生大都掌握基本概念、性质、定理及一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平提高学生综合能力的关键时期，对讲练检测要求较高。所以制订高三数学二轮复习计划如下。 根据本学期的复习任务，将本学期的备考工作划分为以下四个阶段： 第一阶段(专题复习)：从2018年2月22日～2018年4月30日完成以主干知识为主的专题复习 第二阶段(选择填空演练)：从2018年3月1日～2018年5月20日完成以选择填空为主的专项训练 第三阶段(综合训练)：从2018年5月～2018年5月26完成以训练能力为主的综合训练 第四阶段(自由复习和强化训练)：从2018年5月27日～2018年6月6日。 高三数学二轮复习计划 第一阶段：专题复习 (一)目标与任务： 强化高中数学主干知识的复习，形成良好的知识网络。强化考点，突出重点，归纳题型，培养能力。 根据高考试卷中解答题的设置规律，本阶段的复习任务主要包括以下七个知识专题： 专题一：集合、函数、导数与不等式。此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。 专题二：数列、推理与证明。数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。 专题三：三角函数、平面向量和解三角形。平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。平面向量具有几何与代数形式的双重性，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。 专题四：立体几何。注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。 专题五：解析几何。直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融综合性、开放性、探索性为一体;二是向量关系的引入、三

高考数学二轮复习计划

2019年高考数学二轮复习计划作者：佚名 首先，我们应当明确为什么要进行高考第二轮复习?也就是高考数学复习通常要分三轮完成，对于第二轮的目的和意义是什么呢?第一轮复习的目的是将我们学过的基础知识梳理和归纳，在这个过程当中主要以两个方面作为参考。第一个是以教材为基本内容，第二个以教学大纲以及当年的考试说明，作为我们参考的依据，然后做到尽量不遗漏知识，因为这也是作为我们二轮三轮复习的基础。 对于高三数学第二轮复习来说，要达到三个目的：一是从全面基础复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和把握；二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去，将已经把握的知识转化为实际解题能力；三是要把握各题型的特点和规律，把握解题方法，初步形成应试技巧。 高三数学第二轮的复习，是在第一轮复习的基础上，对高考知识点进行巩固和强化，是考生数学能力和学习成绩大幅度提高的关键阶段，我们学校此阶段的复习指导思想是：巩固、完善、综合、提高。就大多数同学而言，巩固，即巩固第一轮单元复习的成果，把巩固三基(基础知识、基本方法、基本技能)放在首位，强化知识的系统与记忆；完善，就是通过此轮复习，查漏补缺，进一步建立数学思想、知识规律、方法运用等体系并不断总结完善；综合，就是在课堂做题与课外

训练上，减少单一知识点的试题，增强知识点之间的衔接，增强试题的综合性和灵活性；提高，就是进一步培养和提高对数学问题的阅读与概括能力、分析问题和解决问题的能力。因此，高三数学第二轮的复习，对于课堂听讲并适当作笔记，课外训练、自主领悟并总结等都有较高要求，有“二轮看水平”的说法!是最“实际”的一个阶段。 要求学生就是“四个看与四个度”：一看对近几年高考常考题型的作答是否熟练，是否准确把握了考试要求的“度”--《考试说明》中“了解、理解、掌握”三个递进的层次，明确“考什么”“怎么考”；二看在课堂上是否紧跟老师的思维并适当作笔记，把握好听、记、练的“度”；三看知识的串连、练习的针对性是否强，能否使模糊的知识清晰起来，缺漏的板块填补起来，杂乱的方法梳理起来，孤立的知识联系起来，形成系统化、条理化的知识框架，控制好试题难易的“度”；四看练习或检测与高考是否对路，哪些内容应稍微拔高，哪些内容只需不降低，主次适宜，重在基础知识的灵活运用和常用数学思想方法的掌握，注重适时反馈的“度”。在高考一轮复习即将结束、二轮复习即将开始这样一个承上启下的阶段，时间紧，任务重，往往是有40天左右时间。如何做到有条不紊地复习呢?现结合我最近的学习及多年的做法谈下面几点意见，供同行们参考。 第一，构建知识网络，高考试题的设计，重视数学知识的综

2020高考数学第二轮通用(文)板块二专题五 第2讲

第2讲圆锥曲线的方程与性质(小题) 热点一圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值． 例1(1)(2019·梅州质检)已知双曲线C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)一个焦点为F(2,0)，且F到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为________． 答案x2 3－y 2＝1 解析根据题意，双曲线C的中心为原点，点F(2,0)是双曲线C的一个焦点，即双曲线的焦点在x轴上，且c＝2， 双曲线C：x2 a2－y2 b2 ＝1(a>0，b>0)， 其渐近线方程为y＝±b a x，即ay±bx＝0，

又点F 到渐近线的距离为1，则有|－b ×2|a 2 ＋b 2 ＝1， 解得b ＝1，则a 2＝c 2－b 2＝3， 所以双曲线的方程为x 23 －y 2 ＝1. (2)(2019·南充模拟)P 是双曲线x 23－y 2 4＝1的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点， 则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为( ) A. 3 B ．2 C.7 D ．3 答案 A 解析 如图所示F 1(－7，0)，F 2(7，0)， 设内切圆与x 轴的切点是点H ，与PF 1，PF 2的切点分别为M ，N ， 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23， 由圆的切线长定理知，|PM |＝|PN |，|F 1M |＝|F 1H |，|F 2N |＝|F 2H |， 故|MF 1|－|NF 2|＝23， 即|HF 1|－|HF 2|＝23， 设内切圆的圆心横坐标为x ，即点H 的横坐标为x ， 故(x ＋7)－(7－x )＝23， ∴x ＝ 3. 跟踪演练1 (1)(2019·银川质检)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，定点A (0,22)，过点P 作

江苏省高考数学二轮复习 专题10 数列(Ⅱ)

江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题10 数__列(Ⅱ) 回顾2008～2012年的高考题，数列是每一年必考的内容之一.其中在填空题中，会出现等差、等比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差、等比数列的性质论证问题，只有2009年难度为中档题，其余四年皆为难题. 预测在2013年的高考题中，数列的考查变化不大： 1填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质. 2在解答题中，依然是考查等差、等比数列的综合问题，可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证. 1．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________. 解析：S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，a 1＋a 100＝9 10 ， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25 . a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝50 2 (a 1＋a 99)＝502×25 ＝10.

答案：10 2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________. 解析：由已知得a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 8＝a 4＋a 4＝－24，a 10＝a 8＋a 2＝－30. 答案：－30 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝ S 1＋S 2＋…＋S n n ，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理 想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列12，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________． 解析：根据理想数的意义有， 2 004＝500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 500， ∴501×12＋500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 501 ＝ 501×12＋2 004×500 501 ＝2 012. 答案：2 012 4．函数y ＝x 2 (x >0)的图象在点(a k ，a 2 k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数， a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________. 解析：函数y ＝x 2 (x >0)在点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0得a 2 ＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)，令y ＝0得a 3＝4；依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21. 答案：21 5．将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．

2021届数学高考复习备考计划

2021届数学高考复习备考计划 2021届数学高考复习备考计划 来源xx xxxx届数学高考复习备考计划 一、指导思想 准确把握《教学 大纲》和《考试大纲》的各项基本要求，立足于基础知识和基本技能的教学，注重渗透数学思想和方法。针对学生实际，不断研究数学教学，改进教法，指导学法，奠定高考必备的基础知识、基本技能和基本能力，着力于培养学生的创新精神，运用数学的意识和能力，奠定学生高考数学的基础。 二、教学建议 1、深入钻研教材。以教材为核心，深入研究教材中章节知识的内外结构，熟练把握知识的逻辑体系，细致领悟各章节知识在高考中的要求和地位，准确把握复习范围和复习难度，争取不做无用功。 2、准确把握新大纲。新大纲修改了部分内容的教学要求层次，准确把握新大纲对知识点的基本要求，防止自觉不自觉地对教材加深加宽。同时，在整体上，要重视数学应用;重视数学思想方法的渗透;注意归纳类型题的解法，以便不断提高同学们的解题能力。 3、树立以学生为主体的教育观念。学生的发展是课程实施的出发点和归宿，教师必须面向全体学生因材施教，以学生为主体，构建新的认识体系，营造有利

于学生学习的氛围。针对学生实际，精选适合所教学生的例题，作业和练习题，对资料上的题目可适当删减或增加。 4、加强课堂教学研究，科学设计教学方法和复习方法。复习内容和题型设计，实行老师梳理、归纳或变式训练的教学模式。充分发挥学生学习数学的积极性，提高学生学习数学的兴趣,不断提高学生复习数学的效率。 三、复习过程中应注意的问题 1.针对学情，扎实教学 由于本届学生学习基础差，学习吃力，进步缓慢，因此在数学复习中一定要根据所教班级 的实际放低教学起点。注重基础知识，基本方法的复习。使大多数学生都能有所收获，特别是无锡班、尖子班、实验班、补习班更要注意这一问题。 2.树立信心，加强研究 由于本届生源不理想，给我们教学确实带来了不少的困难，但我们要增强信心，不断研究，寻找适合我校的复习方法和途径，为我校明年的高考贡献我们的力量，争取让数学科目不拖我校明年高考的后腿，让每一位考生在明年的高考中数学都能取得满意的成绩。 3.研究高考，明确方向 收集和研究有关高考信息，加强复习的针对性和实效性。为了确保复习效果和方向，每位教师要注意收集研究近三年全国高考试题中的相关信息，以此来指导复习备考，争取让学生很快适应全国高考数学，为明年的高考数学奠定基础。 4.加强备课组活动

2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：填空题专练(一)

填空题专练(一) 1.(2018南京高三学情调研)若集合P={-1,0,1,2},Q={0,2,3},则P∩Q= . 2.(2018江苏南京高三期中)若复数z满足z(1-i)=2i,其中i是虚数单位,则复数z= . 3.(2017无锡普通高中高三期末)某高中共有学生2 800人,其中高一年级960人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生的人数为. 4.(2017江苏泰州姜堰模拟)甲、乙两名同学下棋,若甲获胜的概率为0.3,甲、乙下成和棋的概率为0.4,则乙获胜的概率为. 5.(2018江苏南京高三上学期期中)下面是一个算法的伪代码.如果输出的y值是30,那么输入的x值是. ,8a6+2a4=a2,则{a n}的前6项和S6的值为________. 6.(2019江苏高三模拟)在等差数列{a n}中,若a5=1 2 7.(2018南京第一学期期末调研)已知角α的终边经过点P(12,5),则sin(π+α)+cos(-α) 的值 是. 8.(2018江苏泰州姜堰高三上学期期中)曲线y=2x-ln x在点(1,2)处的切线方程是.

9.(2018江苏溧水中学月考)已知直线l:y=ax+2和A(1,4),B(3,1)两点,当直线l 与线段AB 有公共点时,实数a 的取值范围为 . 10.(2017徐州王杰中学高三月考)在三棱锥S-ABC 中,平面SAB,平面SBC,平面SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=BC=CA=2,则三棱锥S-ABC 的表面积是 . 11.(2018江苏南京调研)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2 a +y 2 b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点,直线AF 2与椭圆的另一个交点为C,若AF 2??????? =2F 2C ?????? ,则该椭圆的离心率为 . 12.(2018南京高三学情调研)已知函数f (x)={2x 2,x ≤0,-3|x -1|+3,x >0.若存在唯一的整数x,使得f (x )-a x >0成 立,则实数a 的取值范围为 . 13.在△ABC 中,D 是BC 的中点,AD=8,BC=20,则AB ????? ·AC ????? 的值为 . 14.(2019江苏高三下学期期初联考)已知实数x,y,z 满足x+y+z=0,xyz=-3,则|x|+|y|+|z|的最小值是 . 答案精解精析 1.答案 {0,2} 解析 本题考查交集.集合P ∩Q={0,2}. 2.答案 -1+i

江苏南通市2018届高三数学第二次调研试卷含答案

江苏南通市2018届高三数学第二次调研 试卷（含答案） 南通市2018届高三第二次调研测试 数学Ⅰ 参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合，则▲． 2．已知复数，其中为虚数单位．若为纯虚数，则实数a 的值为▲． 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间上，其频率分布直方图如图所示， 则成绩不低于60分的人数为▲． 4．如图是一个算法流程图，则输出的的值为▲． 5．在长为12cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32cm2的概率为▲． 6．在中，已知，则的长为▲． 7．在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的

渐近线，且经过点 ，则双曲线的焦距为▲． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点 ，，则的值为▲． 9．设等比数列的前n项和为．若成等差数列，且，则的值为▲． 10．已知均为正数，且，则的最小值为▲． 11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等 式组表示的平面区域 内，则面积最大的圆的标准方程为▲． 12．设函数（其中为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 的取值范围是▲． 13．在平面四边形中，已知，则的值为▲． 14．已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，设向量，，． （1）若，求的值；

江苏省2014年高考数学二轮专题复习素材：训练9

常考问题9 等差数列、等比数列 (建议用时：50分钟) 1．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12 ＋a 13＝________. 解析 a 1＋a 2＋a 3＝15?3a 2＝15?a 2＝5，a 1a 2a 3＝80?(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝80，将a 2＝5代入，得d ＝3(舍去d ＝－3)，从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105. 答案 105 2．(2013·泰州期中)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 3＋a 7＝3，a 2a 8＝2，则a 13 a 11 ＝________. 解析 根据等比数列的性质建立方程组求解．因为数列{a n }是递增等比数列，所以a 2a 8＝a 3a 7＝2，又a 3＋a 7＝3，且a 3＜a 7，解得a 3＝1，a 7＝2，所以q 4＝2，故a 13 a 11 ＝q 2＝ 2. 答案 2 3．(2013·南京二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6 ＝13，则S 6 S 7 ＝________. 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13?a 1＝2d ，所以S 6 S 7＝ 6a 1＋15d 7a 1＋21d ＝27 35. 答案 27 35 4．数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝1，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N *，n ≥2)，则此数列的前4项和S 4＝________. 解析 设{a n }的公比为q (q ＞0)，当n ＝2时，a 2＋a 3＝6a 1，从而1＋q ＝6 q ，∴q ＝2或q ＝－3(舍去)，a 1＝12，代入可有S 4＝12×(1－24)1－2 ＝15 2.

江苏省高考数学二轮复习：第讲 函数与方程思想

第19讲函数与方程思想 考试说明指出：“高考把函数与方程的思想作为思想方法的重点来考查，使用填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查．” 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决． 函数和方程的思想简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，一般情况下，凡是涉及未知数问题都可能用到函数与方程的思想． 函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解． 由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考要考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．

1. 设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 2.函数f(x)＝ax－a＋1存在零点x0，且x0∈[0,2]，则实数a的取值范围是________． 3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为2，3，6，则该长方体的外接球体积为________． 4.关于x的方程sin2x＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是________． 【例1】若a，b为正数，且ab＝a＋b＋3，求a＋b的取值范围．