文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > B题++客房预定的价格和数量问题

B题++客房预定的价格和数量问题

2010年河池学院院级大学生数学建模竞赛论文题目:B题客房预定的价格和数量问题

参赛人1:姓名张雄森

专业生物科学

班级2007级

参赛人2:姓名谢秋谷

专业应用数学

班级2007级

参赛人3:姓名韦海金

专业应用数学

班级2007级

论文编号:

2010年河池学院院级大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了河池学院院级数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

参赛队员(签名):张雄森、谢秋谷、韦海金

B 题客房预定的价格和数量问题

摘要:本文通过分析宾馆2005年10月~2010年3月标准间月平均价格情况和在超额情况下所面临的问题,目的是分析宾馆标准间月平均价格的价格变动规律和在超额情况下最大超额值,以提高该宾馆的利润。

针对问题一

本文针对问题一构建了时间序列乘法模型,即Y T S C I =×××,其中Y 为预测值,T、S、C、I 分别表示长期趋势、季节变动、循环变动、不规则变动。

首先对长期趋势进行计算,本文采用了最小平方法原理和直线趋势方程来求解长期趋势价格;其次对季节变动进行计算,计算方法为趋势剔除法,最终得到季节指数;用实际价格除以季节指数得到剔除季节指数的新时间序列,再次求长期趋势T,将新长期趋势T 乘以季节指数,即为预测值,利用模型评价公式求得0.63649343172R =,说明了该模型对数据拟合程度比较好;最后预测得到2010年4月至12月标准房的参考价格分别为:4月为530.61元、5月为544.93元、6月为487.22元、7月为532.54元、8月为571.03元、

9月为503.53元、10月为556.89元、11月为522.10元、12月为497.14元。2010年1月到3月标准房的参考价格分别为:1月为535.77元、2月为531.25元、3月为585.85元。

针对问题二

本文针对问题二构建了超额模型,而最大超额值可以通过宾馆获得最大利润这个指标来反映。本文首先不考虑补偿情况下,计算出宾馆的利润的最大数学期望值,即

∑+?=+???=x

M x z z

M x z p f

A Mf y E 1

)()()(,其中x 为宾馆预订出的客房间数,这个式子说明

x 值越大宾馆的利润就越大;其次当x 值越大,引起法律纠纷的机会就越大,为此,必须得考虑补偿问题。在考虑补偿情况下,又计算出宾馆的利润的最大数学期望值为2E(y)(B )(B )fq q x pf Mpf Mq x A =?++++?;最后,求出上式为最大值时x 的值,即为最大超额数,也就是

B 2(B )p f M q f M q

x q f q ++=

+时,宾馆可以获得最大的利润。

关键字:时间序列分析、乘法模型、超额模型、价格、数量、价格变动规律

一、问题重述与分析

某著名的旅游景区中的宾馆主要提供举办会议和游客使用。客房通过电话或互联网预定,这种预定具有很大的不确定性,客户很可能由于各种原因取消预定。宾馆为了争取更大的利润,一方面要争取客户,另一方面要降低客户取消预定遭受的损失。为此,宾馆采用一些措施。首先,要求客房提供信用卡号,预付第一天房租作为定金。如果客户在前一天中午以前取消预定,定金将如数退还,否则定金将被没收。其次,宾馆采用变动价格,根据市场需求情况调整价格,一般来说旅游旺季价格比较高,淡季价格略低。

(1)请建立客房预定价格的数学模型,并对以下实例作分析。表1给出了某宾馆2005年10月~2010年3月期间,每月标准间平均价格(单位:元),用你的模型说明价格变动的规律,并据此估计未来一年内的标准房参考价格。

(2)在旅游旺季,宾馆往往可以预定出超过实际套数的客房数,以减低客户取消预定时宾馆的损失。当然这样做可能会带来新的风险,因为万一届时有超出客房数的客户出现,宾馆要通过升级客房档次或赔款来解决纠纷,为此宾馆还会承担信誉风险.某宾馆有总统套房20套,豪华套房100套,标准间500套。试为该宾馆制定合理的预定策略,并论证你的理由。

表1某宾馆2005年10月~2010年3月标准间月平均价格(单位:元)时间价格时间价格时间价格

2005.103282007.044012008.10534

2005.112632007.054392008.11498

2005.122512007.063972008.12402

2006.012412007.074632009.01397

2006.022492007.085092009.02416

2006.033162007.094742009.03451

2006.043442007.105082009.04486

2006.053602007.114582009.05507

2006.063202007.124122009.06458

2006.073442008.013692009.07493

2006.083842008.024032009.08562

2006.093682008.034362009.09474

2006.104012008.044472009.10528

2006.113632008.054832009.11436

2006.123362008.064392009.12398

2007.013662008.075142010.01442

2007.023312008.085502010.02404

2007.033902008.094892010.03428

二、模型假设

1、各影响因素对时间序列的影响是相互不独立的;

2、循环变动、不规则变动忽略不计,视为1;

3、已定房客人按时入住预订客房时相互独立的随机事件;

4、令A为某宾馆客房循环一天的费用(包括宾馆客房的清洁和保养费、客房设备的管理费和给饭店服务员的工资等),这家宾馆客房注满与否与A无关,故A可被看作

为定值;

5、超出客房数的客户出现时,宾馆只通过赔款来解决纠纷,不考虑升级客房档次;

6、所给的数据准确;

三、符号说明

p:一个已订客房的客人按时入住的概率;

q:未能按时入住的概率;

x:宾馆预订出的客房间数;

z:未能按时入住的人数;

p:x个人中有z个人未能按时入住的概率;

z

M:宾馆的可预订客房数;

f:一个客户所付的预订费;

y:宾馆循环一天的利润;

B:每一位预订客房而被挤掉的客户所得的补偿费;

A:某宾馆客房循环一天的费用(定值);

T:长期趋势值;

S:季节变动值;

C:循环变动值;

I:不规则变动值;

y?:时间序列y的长期趋势值,即为T值;

t:时间标号;

y:总标准间平均价格;

t:总月份的平均值;

Y:时间序列预测值;

四、模型建立和求解

问题一

根据某宾馆2005年10月~2010年3月标准间月平均价格的数据,作出各年的标准间月平均价格随时间变化图,如下:

B题++客房预定的价格和数量问题

图1某宾馆2005年10月~2010年3月标准间月平均价格图

B题++客房预定的价格和数量问题

图22006年-2009年标准间月平均价格随月份变化图

观察图1可以明显的看出,某宾馆2005年10月~2010年3月标准间月平均价格总体持续上升,具有长期趋势,另外,观察图2可以明显的看出,各年同月份都有所降低或升高,具有季节变化,由此可知符合时间序列分析模型。为此可以通过构建时间序列模型来表示2005年-2010年标准间与平均价格随月份变化情况,并且可以用来预测未来标准间月平均价格。(1)模型建立

在一个时间序列中,有长期的起决定性作用的因素,也有临时的起非决定性作用的因素;有可以预知和控制的因素,也有不可预知和不可控制的因素,这些因素相互作用和影响,从而使时间序列变化趋势呈现不同的特点。影响时间序列的因素大致可分为四种:长期趋势、季节变动、循环变动及不规则变动。

时间序列各影响因素之间的关系用一定的数学关系式表示出来,就构成时间序列的分解模型,我们可以从时间序列的分解模型中将各因素分离出来并进行测定,了解各因素的具体作用如何。

本文采用乘法模型来描述时间序列的构成。乘法模型的表达式为:

Y T S C I

=×××式中Y 表示时间序列的指标数值,T、S、C、I 分别表示长期趋势、季节变动、循环变动、不规则变动。

但是由于预测循环及不规则因素比季节因素和趋势要难预测得多,故本文忽略循环及不规则因素,由此乘法模型的表达式可以简化为:

Y T S

=×①

1、长期趋势分析

长期趋势是时间序列中主要的构成因素,它是指现象在一段时期内持续上升或下降的发展趋势。时间序列的长期趋势可表现为线性趋势和非线性趋势,非线性趋势可以理解为无数线性趋势的组合,在研究方法上基于线性趋势分析方法。

最小平方法,又称最小二乘法,其实质是通过数学模型,配合一条最为理想的趋势线。它的基本原理是通过趋势方程求出的长期趋势估计值与时间序列实际值的离差平方和为最小,即:

()min ?2

=?∑y

y ②

趋势线法是选择合适的趋势线,并利用回归分析的方法建立趋势方程来拟合时间序

列的方法。线性趋势方程的一般公式为:

y a bt

=+③

式中:y

?表示时间序列y 的长期趋势值,即为T 值;t 为时间标号;a 为趋势线在Y 轴上的截距,是当t=0是y ?的数值;b 为趋势线的斜率,表示时间t 变动一个单位时,趋势值y

?的平均变动数量。对于式③中的参数a、b,按最小平方法的原理式②得:

()2

2?()y y

y a bt ?=??=∑∑最小值

根据数学分析中的求极值原理,用偏微分法,可得到两个标准方程。运算过程如下:由此条件,我们可以推导出a、b 的计算公式:

2

?()min

y y

?=∑2

2

?()()y y y a bt ?=??∑∑2

()2()0y a bt y a bt a ???=???=?∑∑2

()2()0

y a bt y a bt t b

???=???=?∑∑整理后可得参数a 和b 的标准求解方程:

y na b t

=+∑∑2

ty a t b t

=+∑∑∑解得:

22

()n ty t y

b n t t ?=

?∑∑∑∑∑④a y bt

=?⑤

式中,n 代表时间的项数;时间t 为1,2,3,┈,n。2、季节变动分析

季节变动是指现象受自然因素和社会习俗等因素影响而发生的有规律的周期性变动。测定季节变动的目的在于了解现象季节变动的规律,能进行预测。

季节变动分析的基本原理就是对一个时间序列计算出季节指数,然后根据各季节指数与其平均数(100%)的偏差程度来测定季节变动的程度。季节指数是各月(季)平均数与全年总月(季)平均数的比值。它以全期的总平均水平为基数,用百分比形式反映各月(季)平均数相对于总平均水平的高低程度。季节指数高说明“旺”,反之说明“淡”。

由于原时间序列又明显的长期趋势和循环变动,故采用趋势剔除法来计算季节变动指数。该方法的基本思想是,先将时间序列中的长期趋势因素予以消除,然后再用平均的方法消除不规则变动,从而较准确地分解出季节变动的成分。其中,序列中的趋势值可采用移动平均法求得。测定季节变动的方法步骤如下:

第一步:根据时间序列月份数据,计算12个月移动平均趋势值T 。通过移动平均,消除季节变动S 和不规变动I ,所得移动平均的结果包含趋势变动T 和循环变动C ;

第二步:将各实际观察值Y 除以相对应的移动平均趋势值T ,即:i

i

Y T ,求得消除趋势变动的序列:

T S C I

S I

T C

×××=××⑥

第三步:将消除趋势变动的序列(S I ×),重新按月排列,求得各年同月平均数,以消除不规则变动I 的影响;再将其分别除以总平均数,即得季节指数S

第四步:把各月的季节指数加起来,其总计数应等于12,如果不符,应求出校正系数,把校正系数分别乘上各月的季节指数,即得剔除长期趋势后的季节变动指数。

12

(S)

=

∑校正系数季节指数⑦

3、模型评价

为了评价模型对数据的拟合程度的高低,在此引进拟合优度R ,求算公式为:

2

2

()1()

t

y y R y y ?=?

?∑∑⑧

式中,t y 为预测值,y 为实际价格,y 为实际价格的总平均值。(2)模型求解

利用题目的数据,对2005年10月到2010年3月建立时间序列的直线趋势方程,进而得出长期趋势值T,并画出效果图。

考虑到数据的可比性,必须对闰年2008年2月份的数据进行如下处理:

28

y=

229

×闰年月的数据故,2008年2月份的价格为

28

403=389.1034482829

×。首先对2005年10月到2010年3月时间序列价格数据进行处理,如附录1的2005年10月到2010年3月时间序列的直线趋势计算表。

由表中数据可以计算出,n 54=,t 663737y =∑,t 1485=∑,22446.103448y =∑,

2

53955t

=∑,22()14852205225t ==∑;

把上面的值代入④式中,即

22

()n ty t y

b n t t ?=?∑∑∑∑∑54663737148522446.103448

54539552205225

×?×=

×?3.5425313644

=而计算a ,则把 3.5425313644b =,148527.554t ==,22446.103448

415.6685823854

y ==代入⑤式中,即

a y bt

=?415.668582383.542531364427.5

=?×318.24896985

=把t 为1到54回代入③式中,得出趋势值T,其值为下表表1

2005年10月到2010年3月趋势值T

B题++客房预定的价格和数量问题

作2005年10月到2010年3月趋势值和实际价格值比较图如下:

B题++客房预定的价格和数量问题

图32005年10月到2010年3月趋势值和实际价格值比较图

下面就季节指数进行求解:

首先根据时间序列月份数据做出移动平均趋势剔除计算表(表见于附录2),计算12个月移动平均趋势值T,进而得出没有趋势T项的值。

接着重排消除趋势变动变动序列,如下表所示:

表2季节指数计算表

B题++客房预定的价格和数量问题

从表2中的季节指数结果我们可以看出,宾馆标准房价格的旺季为3月、4月、5月、7月、8月、10月,最高达到110.9%,淡季为1月、2月、6月、9月、11月、12月,最低仅为88.3%。

最后把各月的季节指数相加,即

1212S +S ++S =0.98160.9670+1.0595+1.0328+1.0533+0.9353+1.0154+1.08140.9472

++?+1.04060.96920.9168

++12

=故,不必进行系数校正。即各月季节指数分别为:

12345678S =0.9816,S =0.9670,S =1.0595,S =1.0328,S =1.0533,S =0.9353,S =1.0154,S =1.0814,9101112S =0.9472,S =1.0406,S =0.9692,S =0.9168。

下面用实际的价格除以季节指数得到没有季节项的新时间序列:表3

剔除季节项的新时间序列表

B题++客房预定的价格和数量问题

对上面的新时间序列作图如下:

B题++客房预定的价格和数量问题

图42005年10月-2010年3月消除季节变动后的价格图

比较图4和图1,可以看出图4中消除季节变动后的价格曲线变得圆滑很多。这也说明了宾馆标准间价格受季节影响比较大。

下面再用剔除季节项的新时间序列进行估计趋势值T,并画出效果图:

首先对2005年10月到2010年3月消除季节变动后的新时间序列价格数据进行处理,如附录3的2005年10月到2010年3月消除季节变动后的新时间序列的直线趋势计算表。

由表中数据可以计算出,n 54=,

t 664245.86168y =∑,t 1485

=∑,

22455.59608y =∑,2

53955t

=∑,22()14852205225t ==∑;

把上面的值代入④式中,即

22()n ty t y b n t t ?=

?∑∑∑∑∑54664245.86168148522455.59608

54539552205225

×?×=

×?3.5614232509

=而计算a ,则把 3.5614232509b =,148527.554t =

=,22455.59608

415.8443718554

y ==代

入⑤式中,即

a y bt

=?415.844371853.561423250927.5

=?×317.90523245

=故

317.90523245 3.5614232509y t

=+⑨

把t 为1到54回代入⑨式中,得出新趋势值T,其值为下表表4

2005年10月到2010年3月趋势值T 表

B题++客房预定的价格和数量问题

对新趋势值T 作图如下:

B题++客房预定的价格和数量问题

图52005年10月到2010年3月新趋势值和实际价格值比较图

下面将预测的趋势值乘以季节指数即可得到预测值,预测值如下表:表5

2005年10月到2010年3

月乘法模型预测值表

B题++客房预定的价格和数量问题

对2005年10月到2010年3

月的预测值与实际价格图:

B题++客房预定的价格和数量问题

图62005年10月到2010年3月预测值和实际价格值比较图

下面将进行模型评价:

根据拟合优度R 的公式,即2

2

()

1()

t

y y R y y ?=?

?∑∑,进行评价模型优劣。拟合优度R 计

算表如附录4。

其中2()117327.74032t y y ?=∑,2()322766.49326y y ?=∑,代入上式中

2

2

()117327.74032

110.63649343172

()

322766.49326

t

y y R y y ?=?

=?

=?∑∑由于R 值越接近1,说明模型对数据拟合程度高。本文的时间序列乘法模型

0.63649343172R =,说明了该模型对数据拟合程度比较好,另外也说明了本文模型的可行性。

让时间t 从55变动到66代入⑨式中,可得到2010年4月到2011年3月的趋势值,再乘以季节指数,即可2010年4月到2011年3月的宾馆标准间平均价格参考值。

表6

2010年4月到2011年3月的宾馆标准间平均价格

时间t

趋势值T 季节指数S 预测值55513.78351125

1.033530.6126069456517.3449345 1.053544.9313079957520.906357750.935487.2232128658524.467781 1.01553

2.5414838159528.02920425 1.081571.0306672760531.59062750.94750

3.5254006161535.15205075 1.041556.8863107762538.713474010.969522.0957184363542.2748970.917000497.135********.8363210.981571535.77711565549.3977440.967000531.25012666

552.95916701

1.059

585.85123052

2010年4月到2011年3月的宾馆标准间平均价格作图如下:

B题++客房预定的价格和数量问题

图72005年10月到2011年3月宾馆标准间平均价格图

故2010年4月至12月标准房的参考价格分别为:4月为530.61元、5月为544.93元、6月为487.22元、7月为532.54元、8月为571.03元、9月为503.53元、10月为556.89元、11月为522.10元、12月为497.14元。2010年1月到3月标准房的参考价格分别为:1月为535.77元、2月为531.25元、3月为585.85元。问题二(1)模型建立

设一个已订客房的客人按时入住的概率为p ,未能按时入住的概率为q ,即

1q p =?;又设宾馆预订出的客房数为x 间,那么x 个人中有z 个人未能按时入住的概率为z p ;

所以

,(0,1,2,,)

z z x z z x p C q p z x ?==?⑩

设M 为宾馆的可预订客房数,f 为一个客户所付的预订费,那么

当M=x 时,表示没有超额预订数且客房被住满,此时宾馆循环一天的利润为

y Mf A

=?○

11当超额预订,即

x M

>1、当不考虑补偿情况下,x 个人中有z 个人未能按时入住,此时宾馆客房循环一天的利润为

()x z f A

y Mf A

???=?

??()()x z M x z M

?

122、考虑补偿情况下,设B 是每一位预订客房而被挤掉的客户所得的补偿费,那么宾馆循环一天的利润为

()()B

x z f A

y Mf A x z M ???=?

?????()()x z M x z M

?

13(2)模型求解

由于“x 预订人中有z 个人未能按时入住”是随机事件,故此宾馆客房利润是随机变量,为此可以用概率统计学中数学期望来表示利润。

设()E y 表示客房利润的数学期望,那么

()

x

z z y p y z ==∑○

14则

1、在不考虑补偿情况下求解为:

0()()

x

z z E y p y z ==∑0

1

()[()]

x M

x

z

z z z x M p Mf A p x z f A ?==?+=

?+??∑∑

01

1

1

()()()[()]

x M

x

x

x

z

z z z z z x M z x M z x M p Mf A p Mf A p Mf A p x z f A ?==?+=?+=?+=

?+??

?+

??∑∑

1

(){[()]()}

x

x

z z z z z x M p Mf A p x z f A p Mf A ==?+=?+

????∑∑

1

()[()()]

x

x

z Z Z z x M Mf A p P x z f A Mf A ==?+=?+

????∑∑

1

()()

x

z z x M Mf A f

P x z M =?+=?+??∑

1

()()

x

z z x M Mf A f

P z x M =?+=???+∑

即∑+?=+???=x

M x z z

M x z p f

A Mf y E 1

)

()()(○

15当x 越大时,z x M ?+就越小,即1

()x

z z x M f P z x M =?+?+∑

越小,故()E y 越大。因此,

在没有考虑补偿情况下,x 取越大越好。

当增大x 到很大时,导致许多预订房间的客户无法入住,从而影响宾馆的声誉,甚至引起法律上的纠纷,为此下面对超额预订进行一定优化。

2、在考虑补偿情况下求解为:

0()()

M

z z E y p y z ==∑0

1

[()B][()]

x M

x

z

z z z x M p Mf A x z M p x z f A ?==?+=

????+??∑∑

[()B][()][()]

x M

x M x M

z

z

z

z z z p Mf A x z M p x z f A p x z f A ???====

???????+??∑∑∑1

[()]

x

z z x M p x z f A =?++

??∑

{[()B][()]}[()]

x M

x

z

z

z z p Mf A x z M x z f A p x z f A ?===

???????+??∑∑0

00

[()(B)]()x M

x x

k

z

z

z z z p M x z f f p x z p A

?====

?+++??∑∑∑0

(B)()()x M x

x

k z z z z z f p M x z f p x p z A

?====+?++??∑∑∑0

(B)()x M

k z f p M x z xpf A

?==+?++?∑即

()(B)()x M

k z E y f p M x z xpf A

?==+?++?∑○

16因此,0

()(B)()

x M k z E y xpf A f p M x z ?==?++?+∑0(B)()

x

k z xpf A f p M x z =≤?++?+∑0

(B)()x

z z xpf A f M x p z

==?++?∑(B)()xpf A f M x xq

=?++?22B B xpf A fMxq x fq x q Mxq =?+??+2(B )(B )fq q x pf Mpf Mq x A

=?++++?令

2(B )(B )Q fq q x pf Mpf Mq x A

=?++++?上式是关于x 的抛物线方程,其顶点坐标为:

2

2

B 4(B )(B )(,2(B )4(B )

pf Mqf Mq A qf q pf Mpf Mf qf q qf q +++?++++