第三章_多维随机变量及其分布_习题)

习题三

一、填空题

1.设Y X 与两随机变量, 且），00(≥≥Y X P =7

4

0,740(73=≥=≥）（），Y P X P , 则

=≥）），（0(m ax Y X P 5/7 .

2.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率分布为

则关于X 的边缘分布律为 .

3．若），（Y X βα,应满足条件是 3

=

β+α .若Y X 与相互独立则α= 2/9 ,β= 1/9 ； 4.设Y X 与独立同分布, 且X 的分布律为5.0)1(,5.0)0(====X P X P , 则随机变量},m ax{Y X Z =的分布律为 P(Z=0)=0.25, P(Z=1)=0.75 ；

5.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 ()101,01

,0

x y f x y <<<

?其他

则概率{}0.5,0.6P X Y <<=____0.3____。

6. 设 (Y X ,) 联合概率密度为???≥=+-其他,

00

,,),()32(y x Ae y x f y x 则系数A = 6 ；

7.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为()22

,1,

,0,

.cx y x y f x y ?≤≤=??其它，则c=

21/4 。

8. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

??

?≤≤≤≤-=其它0

0,10)2(8.4),(x

y x x y y x f

则关于X 的边缘概率密度是?????≤≤-=-=?其它0

1

0)2(4.2)2(8.4)(02x x x dy x y x f x

X .

9. 设随机变量X 和Y 相互独立，且X 在区间()0,2上服从均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，则{}1P X Y +>=112e

-

. 10. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则

{}max{,}1P X Y ≤= 1/9 .

11. 若2

2

112212~(,),~(,),,X N Y N k X k Y μσμσ-相互独立服从分布为

12222

1122122(,)N k k k k μμσσ-+.

12．已知12,,,n X X X 独立且服从于相同的分布函数()F x ，若令

max(η=12,,,)n X X X ，则()=F x ηη的分布函数()n F x .

二、选择题

1.设随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，其边缘分布函数()X F x 是（B ）

()()()()A lim

(,);B lim (,);C (,0);D (0,).y y F x y F x y F x F x →-∞→+∞

2.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y 表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,

则（A ）

（A ）1

{,},,1,2,636

P X i Y j i j ===

= . （B ）361}{==Y X P .

（C ）21}{=≠Y X P . （D ）2

1

}{=≤Y X P .

（A ）X =Y . （B ）P {X =Y }=0 . (C) P {X =Y }=1/2. (D) P{X =Y }=1.

4.设（X ，Y ）的联合概率密度函数为???≤≤≤≤=其他，

y x y x y x f 01

0,10,6),(2,则下列结

论中错误的是（B ）.

（A ）{(,)}(,)G

P X Y G f x y dxdy ∈=??. （B ）2

{(,)}6G

P X Y G x

ydxdy ∈=??.

（C ）120

0{}6x P X Y dx x ydy ≥=

?

?.

（D ）??≥=

≥y

x dxdy y x f Y X P ),()}{(.

5. 设二维随机变量(),X Y 的联合概率密度为()221/,1

,0,

x y f x y π?+≤=??其它，则X,Y

满足（ C ）

（A ）独立同分布. （B ）独立不同分布. （C ）不独立同分布. （D ）不独立也不同分布.

6. 设随机变量X Y 与相互独立，且分别服从()0,1N 和()1,1N ，则（B ）

（A ）1(0)2P X Y +≤=

. （B ）1(1)2P X Y +≤=. （C ） 1(0)2P X Y +≥=. （D ） 1

(1)2

P X Y -≤=.

7. 设X 与Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为()(),X Y F x F y ，则

min(,)Z X Y =的分布函数为（D ）

（A ）()()Z X F z F x =. （B ）()()Z Y F z F y =.

（C ）()()(){}

min ,Z X Y F z F x F y =. （D ）()()()111Z X Y F z F x F y =---????????. 8.若),(~),,(~2

222

11σμσμN Y N X ,且X 与Y 相互独立,则（C ）

（A ）))(,(~2

2121σσμμ+++N Y X . （B ）),(~2

22

121σσμμ---N Y X . （C ）)4,2(~22

22

121σσμμ+--N Y X .（D ）)2,2(~22

22

121σσμμ+--N Y X . 9.已知~(3,1)X N -，~(2,1)Y N ，且,X Y 相互独立,记27,Z X Y =-+

~Z 则（A ）

（A ）)5,0(N . （B ）)12,0(N . （C ）)54,0(N . （D ）)2,1(-N . 10.设12,,,n X X X 相独立且都服从),(2

σμN ,则下式成立的是（B ）

（A ）12n X X X === . （B ）2

121()~(,

)n X X X N n n

σμ+++ . （C ）)34,32(~322

1+++σμN X . （D ）),0(~2

22

121σσ--N X X .

三、计算下列各题

1. 一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以Y X 和分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出Y X 和的联合概率分布律。

解. ,.6610

)0,1( ,6645)0,0( 1

11

1121

101211111219110========C C C C Y X P C C C C Y X P 66

1

)1,1( ,6610)1,0( 1111121

11211111212110=

=======C C C C Y X P C C C C Y X P

2. 袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一

球，以X ，Y ，分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数，求（1）二维随机变量

(),X Y 的联合概率分布律;（2）X ，Y 的边缘分布律。

解：（1）X ，Y 的取值范围为0,1,2，故

{}{}{}{}{}{}{}{}{}11

3311

66111

0,0,1,0,2,0,4636

11

0,1,1,1,2,10,

391

0,2,1,20,2,20,

9

C C P X Y P X Y P X Y C C P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ============================

（2）

3. 设随机变量X 在1,2,3,4四个整数中等可能取值，另一个随机变量Y 在1~X 中等可能取一个整数值，求（1）),(Y X 的联合分布律；（2）X ，Y 的边缘分布律。

解：由题意{},,1,2,3,4,,X i Y j i j i j ===≤其中为整数， 则由概率的乘法公式有

{}{}{}111

,,1,2,3,4,.44P X i Y j P X i P Y j X i i j i i i

=========≤

因此

4.

且(0)1P XY ==.（1）求Y X ,的联合分布，（2）问Y X ,是否独立？为什么？. 解 (0)1, , (1,1)(1,1)0,P XY P X Y P X Y ===-=====因为所以有

（1）设Y X ,的联合分布为

05.05.0 ,5.0 ,5.0,25.0,25.0 212221223111=-==+===p p p p p p 故由于则 的联合分布律为因此),(,Y X

21(2) 00.50.5, .p X Y =≠?由于故与不相互独立

5.

假设随机变量X 和Y 相互独立，都服从同一分布：

求概率{}P X Y =．

解 注意，两个随机变量同分布，并不意味着它们相等，只说明它们取同一值的概率相等．由全概率公式及X 和Y 相互独立，可见

2

2

2

{}{0,0}{1,1}{2,2}

{0}{0}{1}{1}{2}{2}1119 24216

P X Y P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y P X P Y ====+==+=====+==+==??????

=++= ? ? ???????．

6. 设随机变量 (Y X ,) 的联合密度为

()6, 02,24

0, k x y x y f x y --<<<

，

求：（1）系数k ； （2）{}1,3P X Y <<； （3）{}4P X Y +≤。

解：（1）4220

1

(,)(6)81.8

f x y dxdy dy k x y dx k k +∞+∞

-∞-∞=--==?=???? （2）{}312013

1,3(6).88P X Y dy x y dx <<=--=??

（3）{}4P X Y +≤=442012

(6).83

y dy x y dx ---=?? 7. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为???<<=-其它

， ,00 ),(y

x Ae y x f y ，求（1）常数A （2）

随机变量Y X ,的边缘密度，（3）概率)1(≤+Y X P 。

解 （1） 1, ),0===???

?+∞+∞

-+∞∞-+∞∞

-A A dy e dx A dxdy y x f x y 得（.

???≤>===>--∞

+-?

0 ,00 ,)(,)( ,02x x e x f e dy e x f x x X x

x

y

X ）（ ，?

??≤>=-0 ,00

,)( y y ye y f y Y 同理

(3) 2

11

121

1

21),()1(-

---≤+-+===

≤+????e

e dy e dx dxdy y x

f Y X P x

x y y x .

8. 假设一微波线路有两个中间站，它们无故障的时间X 和Y 是随机变量，其联合分布函数为

0.010.010.01()1e e e 00(,) 0 x y x y x y F x y ---+?---≥≥=?

?，若，，

，若不然．

(1) 求两个中间站连续100小时无故障的概率； (2) 证明X 和Y 相互独立． 解 (1) 连续100小时无故障的概率

11212{100,100}

1(100,)(,100)(100,100)1e e e 12e e 0.1353P X y F F F ----->>=-+∞-+∞+=--+=-+≈．

(2) 现在证明X 和Y 相互独立．以)(1x F 和)(2y F 分别表示X 和Y 的分布函数，则

0.0110.012()(,)1e ()(,)1e x y

F x F x F y F y --=+∞=-=+∞=-，

；

由于)()(),(21y F x F y x F =，可见X 和Y 相互独立．

9. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为()21

,01,02,

,3

0,.x xy x y f x y ?+≤≤≤≤?=???

其它 求：（1）关于X 和关于Y 的边缘密度函数，并判断X 与Y 是否相互独立？ （2）()1P X Y +≥。 解：（1）

()()222012

,01201,330,0,X x xy dy x x x x f x f x y dy +∞

-∞

????+≤≤+≤≤?? ?===??????????

，其它其它 ()()12011

,0202

,3630,0,Y y x xy dx y y f y f x y dx +∞

-∞

????+≤≤+≤≤?? ?===??

??????

??

，其它其它 由于 (,)()(), .X Y f x y f x f y X Y ≠所以和不独立 （2）()()1

1

200

1651,1.372x D

P X Y f x y dxdy dx x xy dy -+??

+≥==-+= ?

??

????

9. 雷达的圆形屏幕的半径为R ，设目标出现点),(Y X 在屏幕上均匀分布，（1）求Y X ,的边缘概率密度，（2）问Y X ,是否独立？

???≤+π=其它

解 ,0 ),/(1),( 2

222R y x R y x f

221 ||(1) ()(,)0, || ()0, X Y dy x R f x f x y dy R R

y R

f y ππ+∞

-∞

??=≤==???

≤=????

其它同理其它

. ),()(),( )2(不独立和所以Y X y f x f y x f Y X ≠

10. 设两个独立随机变量Y X 与的分布律为

6.0)2(,

7.0)3(,3.0)1(======Y P X P X P , ,4.0)4(==Y P

求Y X Z +=）（1的分布律，Y X W -=）（2的分布律 .

解 由独立性可得

所以

Z 的分布律与Y X W -=的分布律分别为

11. 设随机变量),(Y X 的联合概率密度?

?

?<<<<=其它，

），（ ,00 ,10 3x y x x y x f , 求Y X Z -=的概率密度。

解??

??

???≥

≤≤-=+<=≤-=????-1 ,110 ,2123330

,0)()( 3100z z z z xdy dx xdy dx z z Y X P z F x z x z x

z Z

?????<<-=其它的密度函数为所以

,01

0 ,2

323)( ,2

z z z f Z Z . 12. 设二维变量(,)x y 的概率密度为

2(,)0x y

f x y --?=??

01,01x y <<<<其他

求 (1){2}P X Y >；(2)z X Y =+的概率密度。 解：(1) {}2(2)D

P X Y x y dxdy >=--??，其中D 为01,01x y <<<<中2x y >的那部

分区域；

求此二重积分可得{}1

1

20

2(2)x P X Y dx x y dy >=--??

1

2

05()8x x dx =

-? 7

24

=

(2) {}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤

当0z ≤时，()0Z F z =；

当2z ≥时，()1Z F z =； 当01z <<时，320

1

()(2)3

z

z x

Z F z dx x y dy z z -=

--=-+?

?

当12z <<时，1

1

321

15

()1(2)2433

Z z z x F z dx x y dy z z z --=-

--=-+-?

?

于是222,01

()44,120,Z z z z f z z z z ?-<

=-+<

其他.

13.已知随机向量),(Y X 的概率密度为

0,1(,) 0 x y x y f x y +≤≤?=?

?

，若，

，其他． 求随机变量U X Y =+的概率密度)(u f ．

解 对于0u ，显然)(u f =0．

(1) 设10≤≤u ．注意到，当u x >时(,)f x u x -=0．因此，由二随机变量之和的概率密度公式，有

20

()(,)d ()d u

f u f t u t t t u t t u +∞

-∞

=-=+-=?

?．

(2) 设21≤≤u ．注意到当1-

1

1

()(,)d ()d (2)u f u f t u t t t u t t u u +∞

-∞

-=-=+-=-?

?．

于是，随机变量U X Y =+的概率密度

0 1 ()(2)1 2 0 u u f u u u u ?≤≤?

=-≤≤???

２，若，

，若，

，其他． 14． 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为

????

?≤>=-0

0,)(t t te t f t

并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。

解：（1）设第一周需要量为X ，它是随机变量 设第二周需要量为Y ，它是随机变量 且为同分布，其分布密度为

????

?≤>=-0

0,)(t t te t f t

Z=X+Y 表示两周需要的商品量，由X 和Y 的独立性可知：

?

?

?>>=--其它

00

,0),(y x ye xe y x f y

x

∵

z ≥0

∴ 当z<0时，f z (z ) = 0

当z>0时，由和的概率公式知

z y

z

y z y x z e z dy ye e y z dy

y f y z f z f ----∞+∞-=?-=-=??

6

)()()()(30)(

∴

?????≤>=-0

0,

6

)(3z z e z z f z z

（2）设z 表示前两周需要量，其概率密度为?????≤>=-0

0,

6

)(3z z e z z f z

z

设ξ表示第三周需要量，其概率密度为：

????

?≤>=-0

0,

)(x x xe x f x

ξ

z 与ξ相互独立 η= z +ξ表示前三周需要量 则：∵η≥0， ∴当u <0，

f η(u ) = 0

当u>0时

u y u y u ξηe u dy ye e y u dy y f y u f u f ----∞+∞-=?-=

-=

?

?120

)(6

1)()()(50

)(3

所以η的概率密度为

???

??≤>=-0

0120

)(5u u e u u f u

η

15. 假设{(,):02, 01}G x y x y =≤≤≤≤是一矩形，随机变量X 和Y 的联合分布是区域

G 上的均匀分布．考虑随机变量

002 112X Y X Y U V X Y X Y ≤≤??==??

>>??

，若，，若，

，若；，若． 求U 和V 的联合概率分布．

解 易见，若G y x ∈),(，则随机变量X 和Y 的联合密度为21),(=y x f ，否则

0),(=y x f ．

1

,(,)2

0,)x y G f x y x y G ?∈?=????，若(

)，，若(

． 直线y x =和y x 2=将G 分为三部分(见插图)：}{1y x G <=，

2{2}G y x y =<<，3{2}G x y =>．易见

1231

{}{(,)}41

{2}{(,)}41

{2}{(,)}2

P X Y P X Y G P Y X Y P X Y G P X Y P X Y G <=∈=<<=∈=>=∈=，

，　．

随机变量U 和V 的联合概率分布:),(V U 有)1,1(),0,1(),1,0(),0,0(等4个可能值，因此

{}{}{}1

{0,0}{,2}{}4

{0,1},201{1,0},224

111

{1,1}1442

P U V P X Y X Y P X Y P U V P X Y X Y P U V P X Y X Y P Y X Y P U V ===≤≤=≤====≤>====>≤=<≤====--=，

，

，

．

于是，U 和V 的联合分布为

16. 假设电路装有三个同种电器元件，其状况相互独立，且无故障工作时间都服从参数为θ的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不正常工作.试求电路正常工作时间T 的概率分布。

解 以i X 表示第i 个元件无故障工作时间，则321,,X X X 独立且分布函数为

12310

, 1, 2, 3, min{,,}0, t 0

i

t

X e t F t i T X X X θ-??->===??≤?，（）. =）（t F T 33

11,0

1(1())0, 0

i

t X i e t F t t θ-=??->--=??≤?∏. 所以T 服从参数为3θ的指数分布 17．设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202

）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。

解：设X 1，X 2，X 3，X 4为4只电子管的寿命，它们相互独立，均服从N （160，202

）

分布，由

.4,3,2,1,8413

.02060180}180{=??

?

??-Φ=

例3.19插图

设N=min{X1，X2，X3，X4}

P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180}

=P {X>180}4={1－p[X<180]}4= (0.1587)4=0.00063

多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布 随机向量的定义： 随机试验的样本空间为S={w}，若随机变量X1(w),X2(w),…,X n(w)定义在S上，则称（X1(w),X2(w),…,X n(w)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,X n）。 二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。 对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。

研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint 2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度； marginal 3．X与Y的相互关系； 4．（X,Y）函数的分布。 §二维随机变量的分布

一．离散型随机变量 1．联合分布律 定义若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。 设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为 p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i ,j=1,2,… ——

称式为(X,Y)的联合分布律。 (X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：

性质： (1) p ij 3 0，i, j=1,2,… (2) j i ij p ,=1 2．边缘分布律 设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,… 分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.30②S p i.=1 = p{Y=y i }j=1,2, (30)

随机变量及分布列习题43462

随机变量及分布列 1．已知随机变量() 20,X N σ~，若(2)P X a <=，则(2)P X >的值为（ ） A. 12a - B. 2 a C. 1a - D. 12a + 2．已知随机变量，若，则的值为（ ） A. 0.4 B. 0.2 C. 0.1 D. 0.6 3．已知，，则的值为（ ） A. 10 B. 7 C. 3 D. 6 4．集装箱有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下并放回，如果两球之积是4的倍数，则获奖.若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ） A. B. C. D. 5．甲袋中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球为1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球2个.从袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，则另一个标号也是1的概率为__________． 6．设随机变量服从正态分布，，则__________． 7．某人通过普通话二级测试的概率是，他连线测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ） A. B. C. D. 8．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为奇数”，则（ ） A. B. C. D. 9．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机 抽取一个容量为8的样本进行分析. （Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少； （Ⅱ）随机抽取8位同学，数学成绩由低到高依次为：6065707580859095，，，，，，，； 物理成绩由低到高依次为：7277808488909395，，，，，，，，若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望. 10．某品牌汽车的4S 店，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如下表所示.已知分9期付 款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款， （1）若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3为顾客，求事件A ：“至多有1位采用分6期付款“的概率()P A ； （2）按分层抽样方式从这100为顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列和数学期望()E η. 11．某公司有,,,,A B C D E 五辆汽车，其中,A B 两辆汽车的车牌尾号均为1. ,C D 两辆汽车的车牌尾号均

第三章 多维随机变量及其分布测试题三

第三章 多维随机变量及其分布测试题三 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1．设是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，则的分布函数＝． 2．设随机变量均服从如下分布： 且满足，则= ． 3．设相互独立，下表为的分布律及边缘分布律的部分数值，又知，试将其余值填入表中： Y X 0 1 2 1 1 4．设均服从正态分布，且，则． 5．设是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，则的分布函数＝． 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设和独立，都服从同一0-1分布：，则=（ ）． (A) 0； (B) ； (C) ； (D) 1． 2．设随机变量和有相同的概率分布：，并且满足，则等于（ ）． (A) 0； (B) 0.25； (C) 0.50； (D) 1． 3．设独立和之和与和服从同名概率分布，如果和都服从（ ）． (A) 均匀分布； (B) 二项分布；

(C) 指数分布； (D) 泊松分布． 4．设随机变量和都服从正态分布，则（ ）． (A) 一定服从正态分布； (B) 和不相关与独立等价； (C) 一定服从正态分布； (D) 未必服从正态分布．　 5．设随机变量，Y相互独立，且X～，Y ～，则下列式子中正确的（ ）． （A）；　（B）； （C）；　（D）． 三．解答题（本题共10小题，第1至5小题每小题6分，第6至10小题每小题8分，满分70分．） 1．一个袋中有4个球，分别标有数字1、2、2、3，从袋中随机取出2个球，令、分别表示第一个球和第二个球上的号码，求：（，）的联合分布列(袋中各球被取机会相同)． 2．设二维随机变量（）的联合密度函数为： 求（1）分布函数；（2）（）落在由轴、轴和直线所围成的区域内的概率． 3．设二维随机变量的概率分布为： -112 -15/202/206/20 23/203/201/20 求：（1）概率分布；（2）概率分布． 4．在10件产品中有两件一级品、7件二级品和1件次品，从中不放回的抽取三件，用分别表示抽到的一级品和二级品的件数，求：（1）的联合分布；（2）的边缘分布；（3）判断是否相互独立；（4）相关系数．

随机变量及其分布列经典例题

随机变量及其分布列典型例题 【知识梳理】 一.离散型随机变量的定义 1定义:在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量、 ①随机变量就是一种对应关系;②实验结果必须与数字对应; ③数字会随着实验结果的变化而变化、 2.表示:随机变量常用字母X ,Ｙ,ξ,η,…表示. 3、所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( dis ｃｒe ｔｅ ｒan ｄｏm ｖar ｉa ｂle ) . 二、离散型随机变量的分布列 1.一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,ｘi ,…,x n, X 取每一个值x i (ｉ=1,2,…, ｎ)的概率P (X =ｘｉ)=ｐi ,则称表: 为离散型随机变量X Ｐ(X =x i )＝p i , i =１,２,…,n, 也可以用图象来表示X 的分布列、 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①ｐi ≥0,ｉ=１,2,…,n ;②11 =∑=n i i p . 三.两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X 的分布列具有上表形式,则称服从两点分布,并称p =P (X ＝1)为成功概率. 2、超几何分布),,(~n M N H X 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取ｎ件,其中恰有X 件次品,则P (X ＝k )= n N k n M N k M C C C --,k =0,１,2,…,m ,其中m =min {}n M ,,且n ≤N ,M ≤N ,n ,Ｍ,N ∈N ＊ . 三、二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,用 X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件Ａ发生的概率为p ,则P (Ｘ=k )=C 错误!p k (1－ｐ)n － k ,ｋ=０,1,2,…,n 、此时称随机变量Ｘ服从二项分布,记作X ～B (n ,ｐ),并称p 为成功概率.易得二项分布的分布列如下;

多维随机变量及其分布试题答案

第3章 多维随机变量及其分布试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则{0}P X Y +≠=（ C ） (A) (B) (C) (D) 2、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???<<-<<-=other y x c y x f ,01 1,11,),(，则常数c = （A ） (A) 41 (B) 2 1 (C) 2 (D)4 3、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 设1,0,},,{====j i j Y i X P p ij ，则下列各式中错误的是（ D ） (A) 0100p p < (B) 1110p p < (C) 1100p p < (D) 0110p p < 4、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则}{Y X P ==（A ） (A) (B) (C) (D) 5、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???>>=--other y x e Ae y x f y x , 00 ,0,),(2，则常数A = （D ）

(A) 21 (B) 1 (C) 2 3 (D)2 6、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则}0{=XY P =（C ） (A) 41 (B) 125 (C) 4 3 (D)1 7、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 ),(y x F 为其联合分布函数，则)3 ,3(F =（D ） (A) 0 (B) 121 (C) 61 (D) 4 1 8、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???>>=--other y x e e y x f y x , 00 ,0,),(，则}{Y X P ≥= （B ） (A) 41 (B) 21 (C) 32 (D) 4 3 9、设随机变量X 与Y 独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别41，4 3 ，则}1{-=XY P =（ D ） (A) 161 (B) 163 (C) 41 (D) 8 3 10、设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为),(y x F ，则),(+∞x F =（ B ） (A) 0 (B) )(x F X (C) )(y F Y (D) 1

随机变量分布列练习题二套

随机变量及分布训练一 1. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立．设为该群体的位成员中使用移动支付的人数，，，则 A. B. C. D. 2. 设，随机变量的分布列是 则当在内增大时，（） A.减小 B.增大 C.先减小后增大 D.先增大后减小 3. 已知甲盒中仅有个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球，从乙盒中随机抽取 个球放入甲盒中． 放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为； 放入个球后，从甲盒中取个球是红球的概率记为． 则（） A.， B.， C.， D.， 4. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值 A. B. C. D. 5. 已知离散型随机变量的分布列为 则的数学期望

A. B. C. D. 6. 已知台机器中有台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出台故障机器为止．若检测一台机器的费用为元，则所需检测费的均值为（） A. B. C. D. 7. 某班级有男生人，女生人，现选举名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委．男生当选的人数记为，则的数学期望为（） A. B. C. D. 8. 某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种粒，补种的种子数记为，则的数学期望为（） A. B. C. D. 9. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记件产品中恰有件不合格品的概率为，求的最大值点． （2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用． 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求； 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

第三章多维随机变量及其分布作业.

第三章 多维随机变量及其分布 作业 1．若对于所有y x ,有 ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的. 2．设随机变量X 和Y 是相互独立的，X 的密度函数∞<<-∞=-x e x f x ,21 )(212 π，Y 的 密度函数???<≥=-0 ,00,)(2y y e y f y ，则),(Y X 的联合密度函数),(y x f = . 3．已知随机变量)4,7(~,)4,9(~N Y N X ，且X 与Y 是相互独立，则Y X Z +=的概率密度函数)(z f Z = . 4．设),(Y X 为二维随机变量，试用联合分布函数),(y x F 表示概率},{y Y x X P >>. 5．设随机变量X ，Y 是相互独立，其边缘密度函数与边缘分布函数分别为)(,)(y f x f Y X 与)(,)(y F x F Y X ，则},min{Y X N =的分布密度函数)(z f Z = . 6．设)(),(21y f x f 是两个概率密度函数，则仅当函数),(y x R 满足条件 时，函数),()()(),(21y x R y f x f y x f +=才能成为概率密度函数. 7．设相互独立的两个随机变量Y X ,具有同一分布律，且X 的分布律为 2 1}1{}0{= ===X P X P ，则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 . 8．设二维随机变量),(Y X 的密度函数为?? ???≤≤≤≤=其它,020,10,21),(y x y x f ，则X 与Y 中至少有一个大于2 1的概率为 . 9．在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件：“两数之积大于 4 1”的概率为 . 10．设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ，则}0},{max{≥Y X P = .

第三讲多维随机变量及其分布

第三讲 多维随机变量及其分布 考试要求 1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率. 2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 . 4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布. 一、 各种分布与随机变量的独立性 1. 各种分布 （1）一般二维随机变量 F （x , y ）=P { X ≤ x , Y ≤ y }, x ∈ （?∞, +∞）, y ∈ （?∞, +∞）的性质 F （x , y ）为联合分布函数 ? 1） 0 ≤F （x , y ）≤1 , ?x ∈ （?∞, +∞）,, y ∈ （?∞, +∞）; 2） F （?∞, y ）= F （x , ?∞）=0, F （+∞,+∞）=1; 3） F （x , y ）关于x , y 均为单调不减函数； 4） F （x , y ）关于x , y 均分别右连续. （2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布 联合概率分布律 P {X = x i , Y = y j } = p i j , i , j =1, 2 ,??? , p i j ≥ 0, 1=∑∑i j j i p . 边缘分布律 p i ? = P {X = x i }= ∑j j i p , i =1, 2 ,??? , p ? j = P { Y = y j }= ∑i j i p , j =1, 2 ,??? , 条件分布律 P {X = x i |Y = y j } = j j i p p ?, P { Y = y j | X = x i } = ? i j i p p . 二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度 f （x , y ）为联合概率密度 ? 1? f （x , y ）≥0, 2? 1=?? ∞+∞-∞ +∞ - ),(dxdy y x f . 设（ X , Y ）~ f （x , y ）则 分布函数: ??∞-∞ -=x y dxdy y x f y x F ),(),(; 边缘概率密度: ? ∞ +∞ -= ),()(dy y x f x f X , ? ∞ +∞ -= ),()(dx y x f x f Y .

随机变量及其分布练习题

随机变量及其分布练习 题 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

第二章随机变量及其分布练习题 1．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是，乙击中目标的概率是，则两人都击中目标的概率是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2．设随机变量1 ~62X B ?? ??? ，，则(3)P X =等于（ ） Ａ． 516 Ｂ． 316 Ｃ．5 8 Ｄ． 716 3．设随机变量X 的概率分布列为 X 1 2 3 P 则E (X ＋2)B ． 4．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为（ ） Ａ．ab Ｂ．a b + Ｃ．1ab - Ｄ．1a b -- 5．某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分．甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能达到合格的概率分别是,,，则三人中至少有一人达标的概率为( ) A ． B ． 6．设随机变量~()X B n p ，，则2 2 ()()DX EX 等于（ ） Ａ．2p Ｂ．2(1)p - Ｃ．np Ｄ．2(1)p p - 7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出 2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )．

8．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()． 9．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)等于()． p B．1－p C．1－－p 10．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ

概率与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题及答案

第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题 1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-. 2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=-∞),(y F 0 . 3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+),0(y x F ),(y x F 4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+∞),(x F )(x F X 5、设随机变量),(Y X 的概率密度为 ? ? ?<<<<--=其它 04 2,20) 6(),(y x y x k y x f ，则=k 8 1 . 6、随机变量),(Y X 的分布如下，写出其边缘分布. 7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度，)(x f X 是X 的边缘分布密度，则 =? ∞+∞ -)(x f X 1 . 8、二维正态随机变量),(Y X ，X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 . X Y 0 1 2 3 j P ? 1 0 8 3 8 3 0 86 3 81 0 8 1 8 2 ?i P 81 83 83 8 1

9、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 Y X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 186= +βα ；若X 与Y 相互独立，则=α 184 ，=β 18 2 . 10、设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f 2 2221 y x e +- π ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z 4 22 21x e - π . 12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()() ?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =__1___。 二、证明和计算题 1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球 上标的数字为X ，第二次取的球上标的数字Y ，求),(Y X 的联合分布律. 解：031 }1,1{?= ==Y X P 31 131}2,1{=?===Y X P 31 2132}1,2{=?===Y X P 3 1 2132}2,2{=?===Y X P 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X 为投入1号信箱的信数，Y 为投入2 号信箱的信数，求),(Y X 的联合分布律. 解：X 的可能取值为0,1,2,3 Y 的可能取值为0,1,2,3 33 1 }0,0{===Y X P 333}1,0{===Y X P 33233 3 3}2,0{====C Y X P X Y 1 2 1 0 31 2 3 1 3 1

【免费下载】概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题

概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X 、Y 分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y ）联合分布律。2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X 、Y 表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y ）联合分布律。3．设，且P{}=1，求（）的X 1=(?1011/41/21/4) X 2=(011/21/2)X 1X 2=0X 1，X 2联合分布律，并指出是否独立。 X 1，X 24．设随机变量X 的分布律为Y=，求（X,Y ）联合分布律。X 2X Y 01

概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 5．设（X,Y ）的概率分布为 且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a ，b 。6. 设某班车起点上车人数X 服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0

概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 （1）C 的值 （2）， (3)P{X+Y ≤1}并判别X 与Y 是否独立。f z (x)f Y (y)9．设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求{10 |y |1/2|Y>0}(2) f Y|X (y|x ), f X|Y (x|y )10. 设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求 {12x 2y 0 1x ≤y ≤x,x ≥1 其它 f X|Y (x|y )11. 设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求的联合分布 {4xy 0 0≤x ≤1,0≤y ≤1 其它 （X,Y ）

随机变量及其分布期末练习题及答案

随机变量及其分布期末练习题及答案 1．在事件A 发生的概率为p 的伯努利试验中，若以ξ记第r 次A 发生时的试验的次数，求 ξ的分布。 [解] {} 发生次试验次而第恰好出现了次试验中前A k r A k P k P 11-)(-==ξ ) ,1,(,) 1()1(1 1 1 11Λ+=-=?-=-------r r k p p C p p p C r k r r k r k r r k 小结 求离散型随机变量的分布律时，首先应该搞清随机变量取可能值时所表示的随机事件，然后确定其分布列。为验证所求分布是否正确，通常可计算一下所求得的“分布列”之和是否为1，若不是，则结果一定是错误的。 2．设随机变量X 的分布函数为 ??? ??>≤≤<=.1,1;10.0 ,1)(2x x Ax x x F 求（1）A 的值；（2）X 落在)21,1(-及)2,3 1 (内的概率；（3）X 的概率密度函数。 [解] （1）有分布函数的右连续性， 在1=x 点处有1)01()1(=+==F A F ，即1=A （2）由分布函数的性质知，4 1)1()21())21 ,1((= --=-∈F F X P ； 98311)31()2())2,31((2 =?? ? ??-=-=-∈F F X P ； （3）由于)(x F 最多除1=x 和0点外处处可导，且在1,0=x 处连续，若取 ? ??≤≤><=.10,2; 10,0)(x x x x x f 或 则0)(≥x f ，且对一切x 有? ∞ -=x dt t f x F )()(，从而)(x f 为随机变量X 的密度函数。 3．设),2(~2 σN X ，且3.0)42(=<

离散型随机变量和分布列(基础+复习+习题+练习)

课题：离散型随机变量及其分布列 考纲要求：①理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；②理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用. 教材复习 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变 量叫做离散型随机变量 若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量 3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间的一切值，这样的变量就 叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变 量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 5.离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为1x 、2x 、…、i x 、… ξ 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 6.离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0≤()P A ≤1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：()1i p ≥0，1,2,i =…；()212p p ++…1= 对于离散型随机变量在某一围取值的概率等于它取这个围各个值的概率的和.即 (P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+??? 7.两点分布：若随机变量服从两点分布，即其分布列： 其中P =(1)P X =称为成功概率(表中01p <<). 8.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时， 所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()k p A p =， ()(1)k p A q q p ==-，那么 112311231()()()()()() ()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====(0,1,2,k =…， p q -=1)

第三章__多维随机变量及其分布总结

第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量 一、二维随机变量的分布函数 设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量. 一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究. 首先引入(X , Y )的分布函数的概念. 定义 设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数 F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y } 称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数. 分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率.. 由上面的几何解释, 容易得到随机点(X , Y )落在矩形区域{x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2}的概率为 P {x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2} = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) (1) 与二元函数类似, 二元分布函数F (x , y )也具有如下一些性质: 1? F (x , y )是变量x 和y 的单调不减函数, 即当x 1 < x 2时, F (x 1, y ) ≤ F (x 2, y ); 当y 1 < y 2时, F (x , y 1) ≤ F (x , y 2). 2? 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1, 且F (-∞, y ) = 0, F (x , -∞) = 0, F (-∞,-∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1.（凡含-∞的概率分布为0） 3? F (x , y )关于x 和y 都是右连续的, 即F (x + 0, y ) = F (x , y ), F (x , y + 0) = F (x , y ). 4? 对任意的(x 1, y 1)、(x 2, y 2), x 1 < x 2, y 1 < y 2, 有F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) ≥ 0. 注: 二元分布函数具有性质1?~ 4?, 其逆也成立(2?中0 ≤ F (x , y ) ≤ 1可去), 即若二元实值函数F (x , y )(x ∈ R , y ∈ R )满足1?~ 4?, 则F (x , y )必是某二维随机变量的(X , Y )的分布函数. 其中4?是必不可少的, 即它不能由1?~ 3?推出(除去0 ≤ F (x , y ) ≤ 1). 二、二维离散型随机变量 如果二维随机变量(X , Y )的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X , Y )是二维离散型随机变量. 设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的值为(x i , y j ) (i , j = 1, 2, 3, …). 记P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)则由概率定义有 p ij ≥ 0; 111 =∑∑∞=∞ =i j ij p . 我们称P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律(概率分布)或随机变量X 和Y 的联合分布律, (X , Y )的分布律也可用表格表示. 其分布函数为 = ),(y x F ∑∑≤≤==x x y y j i i j y Y x X P },{= ∑∑≤≤x x y y ij i j p 这里 ∑∑ ≤≤x x y y i j 表示对一切x i ≤ x , y j ≤ y 的那些指标i 、j 求和. 例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X 、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X 、Y 的联合分布律与分布函数.. 解: (X , Y )的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P {X = 1, Y = 2}= P {X = 1}P {Y = 2 / X = 1}= 3 12231=?.

随机变量及其分布列经典例题教程文件

随机变量及其分布列 经典例题

随机变量及其分布列典型例题 【知识梳理】 一．离散型随机变量的定义 1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． ①随机变量是一种对应关系；②实验结果必须与数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化. 2.表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． 3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 二．离散型随机变量的分布列 1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i =1,2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，则称表： 为离散型随机变量X P (X =x i )=p i ，i =1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列． 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i =1,2，…，n ；②11 =∑=n i i p ． 三．两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X p =P (X =1)为成功概率． 2.超几何分布),,(~n M N H X 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X =k )= n N k n M N k M C C C --，k =0,1,2，…，m ，其中m =min {}n M ,，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *. 三．二项分布 一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发

离散型随机变量及其分布列练习题和答案

高二理科数学测试题(9-28) 1.每次试验的成功率为(01)p p <<,重复进行10次试验,其中前7次都未成功后3次都成功的概率为( ) ()A 33710 (1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试,已知某同学每次投篮投中的概率为0、6,且各次投篮就是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) (A)0、648 (B)0、432 (C)0、36 (D)0、312 3.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为3:2,比赛时均能正常发挥技术水平,则在5局3胜制中,甲打完4局才胜的概率为( ) ()A 23332()55C ? ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 4.某地区气象台统计,该地区下雨的概率就是15 4,刮三级以上风的概率为152,既刮风又下雨的概率为10 1,则在下雨天里,刮风的概率为( ) A 、2258 B 、21 C 、8 3 D 、43 5.从4名男生与2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中 女生的人数,则P (ξ≤1)等于( ). A 、15 B 、25 C 、35 D 、45 6.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了ξ次球,则==)12(ξP ( ) A 、2101012)85()83(?C B 、83)85()83(29911? C C 、29911)83()85(?C D 、 29911)8 5()83(?C 7.袋中有5个球,3个白球,2个黑球,现每次取一个,无放回地抽取两次,第二次抽到白球的概率为( ) A 、53 B 、43 C 、21 D 、 103

选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题

2-3随机变量及其分布 -- HW) T数字特征11 …. --- L-W Array「(两点分布〕 5店殊分布列)--憊几何分祠 -(二项分利 十［并件相互独立性)一価立重复试劇 5J ~(条件概率) ”、r<正态分布密度曲绚 f正态分布)一 要点归纳 一、离散型随机变量及其分布列 1.⑴随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关 系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示?在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量?通常用字母X, Y, E, n等表示. (2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随 机变量. (3) 离散型随机变量的分布列： 一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为X i, X2…，X i，…X n，X取每一个值X i(i = 1，2，…，n)的概率 P(X= X)= p i，以表格的形式表示如下： X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X = X i) = p i， i = 1，2，…，n表示X的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质： ①P i>0，i = 1，2，…，n； n ②P i = 1. i = 1

(5)常见的分布列： 两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则 称X 服从两点分布，并称p = P(X = 1)为成功概率. 两点分布又称 0- 1分布，伯努利分布. 超几何分布：一般地，在含有 M 件次品的N 件产品中，任取 X 件次品，则事件｛X = k ｝发生的概率为 P(X = 其中 m= min ｛ M , n ｝，且 n W N , M < N , n , M , N € N *.如 果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布. 2 .二项分布及其应用 (1)条件概率：一般地，设 A 和B 是两个事件，且 P(A)>0, p / AB) 称P(BA) = P ((A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生 的条件概率.P(B|A)读作A 发生的条件下B 发生的概率. ⑵条件概率的性质： ① 0 < P(BA)< 1； ② 必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0; ③ 如果 B 和C 是两个互斥事件，则 P(B U C|A)= P(B|A) + P(C|A). (3) 事件的相互独立性：设 A, B 为两个事件，如果 P(AB)= P(A)P(B)，则 称事件 A 与事件B 相互独立?如果事件 A 与B 相互独立，那么 A 与-,-与B ,-与-也都相互独立. (4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的 n 次试 验称为n 次独立重复试验. c M c N-/i c N k = 0, 1, 2, ,m,即 n 件，其中恰有 k)=

第三章-多维随机变量及其分布--习题

第三章 多维随机变量及其分布 习题1 §3.1 二维随机变量的概率分布 一、填空题 1. 设（Y X ,）的分布函数为 ?? ?≥≥+--=----其它， ，，），（ 00 03331y x y x F y x y x ，则 （Y X ,）的联合概率密度),(y x f = ； 2设随机变量(Y X ,)的分布函数为 )3 (2(y arctg C x arctg B A y x F ++=）），（, 则A = , B = , C = ，(0≠A )； 3. 用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示概率),(c Y b X a P ≤≤<= ),(),(c a F c b F -； 4.设),(Y X 在区域G 上服从均匀分布，G 为y x =及2 y x =所围成的区域，),(Y X 的概率密度为 5. 设 (Y X ,) 联合密度为?? ?? ?>>=--其它，），（ ,00 ,0y x Ae y x f y x ，则系数A = ； 6. 设二维随机变量(Y X ,)的联合概率密度为()4,01,01 ,0, xy x y f x y <<<