斜边直角边教案
教案
19.2.5斜边直角边
【知识与技能】：
使学生理解斜边直角边定理的内容，能运用斜边直角边定理证明三角形全等，进而说明线段或角相等。
【过程与方法】：
经历探索直角三角形全等条件HL 的过程，掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题；
【情感态度与价值观】：
学习事物的特殊、一般关系、发展逻辑思维能力，培养学生善于思考、不断探索的良好习惯。
【重点】：让学生掌握斜边直角边定理
【难点】：灵活应用斜边直角边定理解题
【教学准备】：直尺和圆规，剪刀，多媒体课件
【教学过程】：
一、复习旧知识
如图，△ABC 和△'''A B C 都是直角三角形，请你用所学的知识，须加上什么条件直角△ABC 和△'''A B C 全等。并说明理由。
[''AB A B =，''BC B C =，（SAS ）；
''AB A B =，'A A ∠=∠（ASA ）；
''AB A B =， ''BC B C =，''AC A C =，
（SSS ） ''AB A B =，'C C ∠=∠（AAS ）]
方法：课件出示，让学生抢答。
二、创设问题情境 引出新课
老师设疑：如果添加'A A ∠=∠，'C C ∠=∠，使之满足“角角角”，那么能不能判定这两个三角形全等？生答：不能判定三角形全等。“边边角”能作为三角形全等的判定吗？生答：不能。那么在这两个直角三角形中，当''AB A B =，''AC A C =时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形能否全等呢？
引出课题——这就是我们本节课要研究的内容“斜边直角边”（板书课题）
三、预习反馈：
1、如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为斜边直角边(或HL)
2、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，则△ADB 和△ADC 全等吗？
方法：课件出示，提问学生
四、动手实践，探索新知
如图19．2．16，已知两条线段（这两条线段长不相等），以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边，画一个直角三角形．
图19.2.16
把你画的直角三角形剪下来与其他同学画的直角三角形进行比较，所有的直角三角形都全等吗？
换两条线段：6 cm和10 cm，试试看，是否有同样的结论？
方法：课件出示题目，学生操作总结汇报。把学生分成两大组，一大组作5和4分别为斜边直角边，另一大组作10和6分别为斜边直角边的。依照课本画法步骤完成
步骤：
1．画一线段AB，使它等于4cm；
2．画∠MAB＝90°；
3．以点B为圆心，以5cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C；4．连结BC．
△ABC即为所求．
通过作图让学生体验：“所有的直角三角形，只要满足斜边和一条直角边对应相等，它们都是全等的”，或者说“如果一个直角三角形有一条直角边和斜边是确定的，那么这个直角三角形的形状和大小都是唯一确定的”。
下面从理论上证明这个定理
如图19．2．17，在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′
中，已知∠ACB ＝∠A ′C ′B ′＝90°， AB ＝
A ′
B ′， A
C ＝A ′C ′． 由于直角边AC ＝ A ′C ′，我们移动其中的Rt △ABC ，使点A 与点A ′、点C 与点C ′重合，且使点B 与点B ′分别位于线段A ′C ′的两侧． 因为∠ACB ＝∠A ′C ′B ＝∠A ′C ′B ′＝90°，故∠B ′C ′B ＝∠A ′C ′B ′＋∠A ′C ′B ＝180°，因此点B 、C ′、B ′在同一条直线上．于是在△A ′B ′B 中，由AB ＝A ′B ＝A ′B ′（已知），得∠B ＝∠B ′．由“角角边”，便可知这两个三角形全等．
方法：学生口述，教师动画演示构图过程，并引导利用另外的方法SSS 、SAS 也可证明。于是可得定理：
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为H ．L ．（或斜边直角边）．
五、应用举例：（课件出示）
如图19．2．18，已知AC ＝BD ， ∠C ＝∠D
＝90°，求证Rt △ABC ≌Rt △BAD ．
证明∵ ∠C ＝∠D ＝90°，
∴ △ABC 与△BAD 都是直角三角形．
在Rt △ABC 与Rt △BAD 中，
∵ AB ＝BA ，
AC ＝BD ，
图
19.2.17
图19.2.18
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD（H．L．）.
强调注意书写格式：（1）要写出在哪两个直角三角形中；（2）要按斜边、直角边角的顺序写两个条件；（3）写出结论和依据。（书写时，要注意字母的对应关系。）
六、巩固练习Ｐ79 练习1、2
方法：抽学生板演，学生点评，老师巡回指导。
七、小结
学生谈谈收获、疑惑。总结本节学习直角三角形全等的识别，除了一般三角形全等的四种判定方法外，还有“HL”。
八、作业1、习题 6
2、拓展练习：已知，如图CD=AB,DE⊥AC,BF⊥AC,E、F是垂足，DE=BF.求证：CF=AE ，CD∥AB （课件出示）
3、已知，如图CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE、CD相交于点O，且OB=OC.求证：AO平分∠ BAC（课件出示）
板书设计
19.2.5斜边直角边
教学反思：
斜边直角边定理优秀教学设计
A B C 斜边直角边教学设计 一．教学目标 1.知识与技能： （1）经历两个直角三角形全等条件的探究过程,掌握斜边直角边定理。 （2）会利用斜边直角边定理解决一些简单的实际问题。 2.过程与方法： 使学生经历作图，比较，证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理能力。 3.情感态度与价值观： 通过探究，感受数学模型与实际生活中的联系，体验学数学，用数学和进一步激发学生对数学产生乐趣。 二．教学重难点 重点：掌握“斜边直角边”判定定理。 难点：直角三角形全等的判定定理的探索过程。 三.教学准备 圆规 三角板 教学过程： 一、数学与生活 如课件图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.你能帮他想个办法吗？？？ 二 .复习引入： 1. 判定两个三角形全等方法，_____，_______ ， _______ ， ______ 。 2. 如图，Rt ABC 中，直角边 AC 、 BC ，斜边 AB 。 3. 如上右图AB ⊥BE 于B ，ED ⊥BE 于E, （1）若 ∠ A= ∠ D ，AB=DE ， 则 △ ABC 与 △ DEF___________ （填“全等”或“不全等”） 根据 _________ （用简写法） （2）若 ∠ A= ∠D ，BC=EF ， A B C F
则△ ABC与△ DEF _____ （填“全等”或“不全等”）根据 _______（用简写法） （3）若AB=DE，BC=EF， 则△ ABC与△ DEF______（填“全等”或“不全等”）根据 ______（用简写法） （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF 则△ ABC与△ DEF ____（填“全等”或“不全等”）根据 _______（用简写法） 4.注意：见课件8两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等 讲述新课： 三、师生互动,探究新知 1.【教师活动】 那么在两个直角三角形中,当斜边和一条直角边分别对应相等时,也具有“边边角”对应相等的条件,这时这两个直角三角形能否全等呢?大家一起动手画一画. 如图所示,已知两条线段(这两条线段长不相等),以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边,画一个直角三角形. 大家一起动手来画一画,好吗?画好后与同排比较,它们全等吗? 【学生活动】 动手操作,并用语言叙述这个基本事实. 【教师活动】 在同学发言基础上归纳:如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等.简记H.L.(或斜边直角边).此公理的前提是两个三角形是直角三角形,同时满足两个条件(1)斜边相等(2)一条直角边对应相等. 斜边、直角边公理(H.L.)推理格式(图略) ∵∠C=∠C'=90°,∴在Rt△ABC和Rt△ABC中,AB=AB,BC=BC,
斜边直角边教学设计
全等三角形的判定---斜边直角边教学设计 一、教学目标： 1、知识与技能：①、经历两个直角三角形的全等条件的探究过程，掌握斜边直角边定理.②、会利用斜边直角边定理解决简单的实际问题. 2、过程与方法：①、通过学生自主探究（做一做），发现、明白斜边直角边定理.②、灵活使用斜边直角边定理，解决简单的数学问题. 3、情感态度与价值观：①、学生在活动中、交流中学数学，体验劳动以及合作的乐趣.②、使学生感受数学与实际生活的密切联系，体验学数学、用数学的乐趣，从而激发学生的学习兴趣. 二、重点与难点 斜边直角边定理（H.L）是本节课的重难点. 灵活使用斜边直角边定理（H.L）解决实际问题也是本节课的难点. 1、温故知新，旁征博引 教师演示：沿着等腰三角形纸卡底边上的高剪下两个直角三角形，然后提出问题：大家观察老师剪出两个三角形有何关系？学生回答：全等“你的理由是什么？”(学生思考后说出不同的方法：SSS、SAS、ASA、AAS.) 展示多媒体课件：“路旁一棵被大风刮歪的小白杨，为了扶正它，需两边各固定一条长短一样的拉线或支柱.现工人师傅把一根已固定好（右侧一根CD），之后小聪很快找到了另一根（左侧一根）在地面上的位置：只要BD＝CD，B点即是.小聪找到的位置对吗？你能说明其中的道理吗？” (学生思考后说出：与上面问题一样，拼组成等腰ΔABC的两个ΔABD ≌ΔACD,∠ADB=∠ADC=90°.) A
2、活动交流，探索定理 ①做一做：动手做一直角三角形，要求：一条直角边为4cm，斜边为5cm.（请自己画好后与小组内其他同学所做直角三角形比较,判断所做的两个直角三角形是否全等.) ②小组交流：最后得到结论——斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边或H.L）. ③延伸探究：同学们，你们能说出该结论产生的理由吗？ 学生发表自己的看法，投入热烈的讨论之中，教师即时参与到学生的活动中，引导学生得出推理方法（使相等的直角边重合，斜边分居两侧，构造出等腰三角形，然后利用课前老师剪下的两个直角三角形全等判定方法推出符合条件的两个直角三角形全等.） 3、使用所学，解决问题
《斜边直角边》的教学反思
《斜边直角边》的教学反思 《斜边直角边》的教学反思 本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与 一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解。在教学过程中，让 学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力。新课程标准强调“从具体的情景 或前提出发进行合情推理，从单纯的几何推理价值转向更全面的几 何的教育价值”，为了体现这一理念，我设计了几个不同的情景， 让学生在不同的情景中探求新知，用直接感受去理解和把握空间关系。这一设计，极大的激发了他们的学习欲望，加深了师生互动的 力度，课堂效益比较明显。不同的情景又以不同的层次逐步提升既 有以知识为背景的情景，又有以探索、验证为主的情景，从不同的 方面，让不同层次的学生都有所收获，体现了“大众数学”的主旋律，也是“不同的人学习不同的数学”的.新课程理念的体现。《标准》明确提出“通过对基本图形的基本性质必要的证明，使学生体 会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用证明的格式，初步 感受定理化的思想”，为体现这一目标，在探索“HL定理”中，要 求学生用文字语言、图形语言、符号语言来表达自己的所思所想， 强调从情景中获得数学感悟，注重让学生经历观察、操作、推理的 过程。 在教学过程中，我通过用尺规作图或学生动手凭直觉作图，让学生从这一过程抽象出几何图形，建立模型，研究具体问题，起到了 较好的作用，学生也体会到数学与现实的联系，以及学习处理此类 问题的方法。作为八年级的学生，他们的抽象思维已有一定程度的 发展，具有初步的推理能力。在练习那部分我及时找出典型的错误 及时纠正，并通过图形动画来解决一般不易解决的问题，让学生更 容易理解对应点和对应边。因此，教学中，我除了注重情景的运用
斜边直角边定理
斜边直角边定理 教学目标： 1．探究“斜边、直角边”定理，进一步体会通过合情推理探索数学结论的过程， 发展推理能力． 2.理解“斜边、直角边”定理，并能用该定理判定两个直角三角形全等． 3.掌握基本的作图技能，会利用尺规已知一直角边和斜边作直角三角形． 教学重点：“斜边、直角边”定理及应用 教学难点：“斜边、直角边”定理的探究 教学方法：观察、实验、合作、交流 教学过程： 一、复习回顾 (1)全等三角形的判定方法有哪几种？ (2)要判定两个直角三角形全等，你有哪些方法？ 二、自主探究 在 Rt △ABC 和 Rt △A B C ''' 中，∠C =C '∠ =0 90，AB =A B ''，AC = A C '' . 思考以下问题： (1)你能用学过的判定方法判定 Rt △ABC 与Rt △A B C ''' 全等吗？为什么？ (2)我们知道：“能够完全重合的两个三角形是全等三角形”，利用手中的 三角形，动手试一试，Rt △ABC 与Rt △A B C ''' 全等吗？与同学交流. (3)你能用学过的知识证明（2）的结论吗？(利用手中的 三角形，与同学交流). (4)思考：在上面提出的问题中，如果将两个直角三角形的斜边A B '' 与 AB 重合，你能得到（2）中的结论吗？与同学交流.
()AB A B AC A C BC B C ''=??''''==?或三、归纳结论 直角三角形全等的判定定理：如果一个直角三角形的 与另一 个直角三角形的 分别相等，那么这两个直角三角形全等. 这个定理可以简单地记作“ ”或“ ”. 应用格式：在Rt △ABC 和Rt △A B C '''中, ∴Rt △ABC ≌Rt △A B C ''' ( HL ) 思考：学过HL 定理后，要判定两个直角三角形全等，你有哪些方法？ 练习一 1.如图，BC AC ⊥,DB AD ⊥，且AC=BD, 则Rt △ABC 与Rt △BAD 全等的理由是（ ） A.SSS B. ASA C. AAS D. HL 2.在Rt △ABC 和Rt △A B C ''' 中，∠C=C '∠=90 °,下列条件能判定 Rt △ABC ≌Rt △A B C '''的个数是（ ） ①AC= A C '' ，∠A=A '∠ ② ∠A=A '∠ ，∠B=B '∠ ③AC=A C ''， BC=B C '' ④ AC=A C ''， AB=A B '' A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 四、学以致用 例3. 已知：如图，D 是 △ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是点E ，F ，DE = DF .求证：△ABC 是等腰三角形. 练习二
全等三角形的判定斜边直角边定理
呼兰区利民二中“自主·合作·探究”导学提纲 课题：11.2 直角三角形全等的判定HL主备人：夏元龙参与人：刘丽杰史占秋时间：8月30日地点：电子备课室需要课时：2 学年：八年学科：数学 教 学 目 标 知识与技能已知斜边和直角边会作直角三角形；熟练掌握“斜边、直角边公理”，以及熟练地利用这个公理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等。 过程与方法通过探究性教学，营造民主和谐的课堂气氛，初步学会科学研究的思维方法；通过一题多变、一题多解，培养学生的发散思维能力，增强学生的创新意识和创新能力；通过实践探究，培养学生读题、识图能力，提高学生观察与分析，归纳与概括的能力。 情感、态度与价值观通过对一般三角形与直角三角形全等判定方 法的比较，初步感受普遍性与特殊性之间的辩 证关系；在探究性教学活动中培养学生刻苦钻 研、实事求是的态度，勇于探索创新的精神增 强学生的自主性和合作精神。 教学重点“斜边、直角边公理”的掌握和灵活运用 教学难点数学语言的正确表达 教学方法自主、合作、探究 教具准备课件，导学提纲 课时分配 第一课时：直角三角形全等的判定HL第二课时： 练习巩固 教学流程 自 主 学 习 2：我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ 交 流 展 示 创设情景引入课题 1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道 这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被 花盆遮住无法测量.你能帮他想个办法吗？ 利用问题导 入新课激发 学生的学习 热情并深入 思考解决问 题通过动手 操作总结规 律 1：如图:△ABC≌△DEF，指出它们的对应角、 A D B E C F A B C A B C
直角三角形全等的判定--“斜边、直角边”
直角三角形全等的判定教案 邵原一中 杨欢欢 教学目标: （1）探索并掌握两个直角三角形全等的特殊判定：HL ，并能应用它判别两个直角三角形是否全等。 （2）经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维。 （3）提高应用数学的意识。 教学重点： 理解并掌握直角三角形全等的特殊判定方法：HL 。 教学难点： 应用HL 解决有关问题。 教学过程： 1、复习与回顾： （1）判定两个三角形全等的方法是，，， （2）回顾直角三角形的边、角的名称及相关性质。 2、尝试归纳两个直角三角形全等的判定方法： 如图，AB ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ， （1）若∠A=∠D ，AB=DE ， 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等”）， 根据（用简写法）。 （2）若∠A=∠D ，BC=EF ， 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等”）， 根据（用简写法）。 （3）若AB=DE ，BC=EF ， 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等”）， 根据（用简写法）。 （4）若∠A=∠D ，AC=DF 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等”）， 根据（用简写法）。 归纳：两个直角三角形全等的类型：ASA ,AAS ,SAS ,AAS (一锐角一直角边，一锐角一斜边，两直角边，共四种情形) 3、引入新课：一斜边一直角边对应相等，两直角三角形是否全等？ 4、动手实践，探索规律 A B C E F D
任意画一个，使得，一条直角边**C B BC =，斜边**B A AB =。再把画好的***C B RtA 剪下，放到RtABC 上，两个直角三角形之间有什么样的关系呢？（形状、大小方面） 让同学展示作品，并给出画图步骤： 5 、猜想：其他同学是不是这样画的，你们能得出什么样的结论呢？（预设回答：两三角形全等） 6、验证：把画好的Rt △ A ′ B ′ C ′剪下来，放到Rt △ ABC 上，观察它们全等吗？ 7、定理呈现及书写格式（略） 直角三角形全等的判定定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL ”。 1）这是直角三角形全等的一个特殊的判定定理，其他判定定理用于任意三角形全等的判定定理．（前提、条件） 2）证明直角三角形全等的方法总结 8、新知应用 (1) 如图：AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC=BD. 求证：BC=AD. （3）如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D ，E 两地，此时，DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，D 、E 与路段AB 的距离相等吗？为什么？ （ 2）如图，AB=CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC CE=BF. 求证：AE=DF. B D A C E
斜边直角边教案(教学设计)
斜边直角边 【教学目标】 1．知识与技能： 使学生理解斜边直角边定理的内容，能运用斜边直角边证明三角形全等，进而说明线段或角相等。 2．过程与方法： 经历探索直角三角形全等条件HL的过程，掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。 3．情感、态度与价值观： 学习事物的特殊、一般关系、发展逻辑思维能力。培养学生善于思考、不断探索的良好习惯。 【教学重难点】 1．重点： 掌握斜边直角边定理。 2．难点： 灵活应用斜边直角边定理解题。 【教学过程】 一、创设情景，导入新课 问题：证明一般三角形全等有哪些方法？ 我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边”分别对应相当，那么这两个三角形一定全等。如果有“边边角”分别对应相等，那么能不能保证这两个三角形全等呢？ 思考：一般三角形不一定全等，对于特殊三角形中的直角三角形呢？让我们一起研究这个问题吧！ 二、师生互动，探究新知 教师活动： 那么在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形能否全等呢？大家一起动手画一画。
如图所示，已知两条线段（这两条线段长不相等），以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边，画一个直角三角形。 大家一起动手来画一画，好吗？画好后与同排比较，它们全等吗？ 学生活动： 动手操作，并用语言叙述这个基本事实。 教师活动： 在同学发言基础上归纳：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记HL（或斜边直角边）。此公理的前提是两个三角形是直角三角形，同时满足两个条件：（1）斜边相等（2）一条直角边对应相等。 斜边、直角边公理（HL）推理格式（图略）。 ∵∠C=∠C'=90°，∴在Rt△ABC和Rt△ABC中，AB=AB，BC=BC， ∴Rt△ABC≌Rt△ABC（HL）。 三、随堂练习，巩固新知 例： 已知：（如图）AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足。求证：CF=DF。 答案： 证明：连接AC、AD， 在△ABC与△AED中， ∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC=AD。 在Rt△AFC与Rt△AFD中， ∴Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）， ∴CF=DF。 四、典例精析，拓展新知 例：
定理证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
定理：证明直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。【证法1】 延长AD到E，使DE=AD，连接CE。 ∵AD是斜边BC的中线， ∴BD=CD ， 又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等）， AD=DE， ∴△ADB≌△EDC（SAS），∴AB=CE，∠B=∠DCE，∴AB//CE（内错角相等，两直线平行） ∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAC=90°， ∴∠ACE=90°，∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA， ∴△ABC≌△CEA（SAS）∴BC=AE，∵AD=DE=1/2AE，∴AD=1/2BC。 【证法2】 取AC的中点E，连接DE。∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=1/2BC， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线， ∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边） ∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等） ∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
【证法3】 延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE。 ∵AD是斜边BC的中线， ∴BD=CD， 又∵AD=DE， ∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵∠BAC=90°， ∴四边形ABEC是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形）， ∴AE=BC（矩形对角线相等）， ∵AD=DE=1/2AE， ∴AD=1/2BC。 （此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容， 供参考，感谢您的配合和支持）