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高考备考数学专项训练:数列的通项与求和

高考备考数学专项训练:数列的通项与求和
高考备考数学专项训练:数列的通项与求和

2019年高考备考数学专项训练:数列的通项

与求和

查字典数学网整理了2019年高考备考数学专项训练:数列的通项与求和,帮助广大高一学生学习数学知识!

一、选择题

1.已知{an}为等差数列,其前n项和为Sn,若a3=6,S3=12,则公差d等于()

A.1

B.

C.2

D.3

答案:C 命题立意:本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式,考查运算求解能力.

解题思路:根据已知,a1+2d=6,3a1+3d=12,解得d=2,故选C.

2.已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a0),则{an}()

A.一定是等差数列

B.一定是等比数列

C.或者是等差数列,或者是等比数列

D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列

答案:C 命题立意:等差数列和等比数列的基本运算是高考经常考查的重点,本题根据数列的前n项和求解通项公式,渗透等差数列和等比数列的定义,体现了基本知识的应用,同时也体现了分类讨论的思想,对能力要求较高,应予以重

视.

解题思路:Sn=an-1(a0),an=即an=当a=1时,an=0,数列{an}是一个常数列,也是等差数列;当a1时,数列{an}是一个等比数列,故选C.

3.在数列{an}中,若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值(nN*),且a7=2,a9=3,a98=4,则数列{an}的前100项的和S100等于()

A.132

B.299

C.68

D.99

答案:B 解题思路:设an+an+1+an+2=x,则

an+1+an+2+an+3=x,两式作差得an=an+3,所以数列{an}为周期数列并且周期T=3,a98=a332+2=a2,a9=a32+3=a3,

a7=a1,所以S100=33S3+a1=299,故选B.

4.已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lg an,b3=18,b6=12,则数列{bn}的前n项和的最大值等于()

A.126

B.130

C.132

D.134

答案:C 解题思路:bn+1-bn=lg an+1-lg an=lg =lg q(常数),{bn}为等差数列.

设公差为d,由bn=-2n+240,得n12,{bn}的前11项为正,第12项为零,从第13项起为负,S11,S12最大且

S11=S12=132.

5.在数列{an}中,a1=1,a2=2,若an+2=2an+1-an+2,则an

等于()

A.n3-n+

B.n3-5n2+9n-4

C.n2-2n+2

D.2n2-5n+4

答案:C 命题立意:本题考查等差数列的定义与通项公式、累加法求数列的通项公式,难度中等.

解题思路:依题意得(an+2-an+1)-(an+1-an)=2,因此数列{an+1-an}是以1为首项,2为公差的等差数列,

an+1-an=1+2(n-1)=2n-1.当n2时,

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)++(an-an-1)=1+1+3++(2n-3)=1+=(n-1)2 +1=n2-2n+2.又a1=1=12-21+2,因此an=n2-2n+2,故选C.

6.(天津模拟)已知数列{an}满足a1=0,an+1=(nN*),则a20=()

A.0

B.-1 C1. D.2

答案:B 命题立意:本题主要考查数列的周期性,难度中等. 解题思路:因为数列{an}满足a1=0,an+1=(nN*),a2=-,a3=,a4=0,T=3,则a20=a2=-,故选B.

二、填空题

7.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记Sn为{an}前n项的和,则S2 013=________.

答案:-1 005 命题立意:本题主要考查递推数列的有关知识,要求考生掌握常见的几类求递推数列的通项与前n项和,首先是与等差(等比)数列相关的递推数列,其次是一阶线性递推数列,还有具有周期性的数列.本题就是一种具有周期性的

递推数列.

解题思路:由a1=1,an+1=(-1)n(an+1)可得该数列是周期为4的数列,且a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=0.所以S2

013=503(a1+a2+a3+a4)+a2 013=503(-2)+1=-1 005.

8.在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a3+a4=11a2a4,且它的前2n项的和等于它的前2n项中偶数项之和的11倍,则数列{an}的通项公式an=________.

答案:102-n 命题立意:本题考查等比数列的通项公式及其前n项和公式等知识,考查考生的运算能力.

解题思路:设等比数列{an}的公比为q,前2n项和为S2n,前2n项中偶数项之和为Tn,由题意知q1,则S2n=,Tn=.由题意可知S2n=11Tn,即=.解得q=(或令n=1,则S2=11T1,即a1+a2=11a2,化简得a1=10a2,故q=).又a3+a4=11a2a4,所以a1q2+a1q3=11aq4,化简得1+q=11a1q2,将q=代入可得a1=10,故an=a1qn-1==102-n.

9.已知各项都为正数的数列{an},其前n项的和为Sn,且Sn=(+)2(n2),若bn=+,且数列{bn}的前n项的和为Tn,则Tn=________.

答案:解题思路:-=,则=n,Sn=n2a1,an=Sn-Sn-1=(2n-1)a1,bn=+=2+-,Tn=+++=2n+2-=.

10.数列{an}满足a1=3,an-anan+1=1,An表示{an}的前n项之积,则A2 013=________.

答案:-1 命题立意:本题与常考的求等差、等比数列的通项公式或前n项和不同,本题考查给定数列的前n项之积,这就要求考生能根据已知数列,得到数列的性质.求解本题的关键是得到{an}的周期.

解题思路:由a1=3,an-anan+1=1,得an+1=,所以a2==,a3=-,a4=3,所以{an}是以3为周期的数列,且a1a2a3=-1,又2 013=3671,所以A2 013=(-1)671=-1.

三、解答题

11.数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(an-1),数列{bn}满足bn=bn-1-(n2),且b1=3.

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;

(2)设数列{cn}满足cn=anlog2(bn+1),其前n项和为Tn,求Tn.

解析:(1)对于数列{an}有Sn=(an-1),

Sn-1=(an-1-1)(n2),

由-,得an=(an-an-1),即an=3an-1,

当n=1时,S1=(a1-1)=a1,解得a1=3,

则an=a1qn-1=33n-1=3n.

对于数列{bn},有bn=bn-1-(n2),

可得bn+1=bn-1+,即=.

bn+1=(b1+1)n-1=4n-1=42-n,

即bn=42-n-1.

(2)由(1)可知

cn=anlog2(bn+1)=3nlog2 42-n

=3nlog2 24-2n=3n(4-2n).

Tn=231+032+(-2)33++(4-2n)3n,

3Tn=232+033++(6-2n)3n+(4-2n)3n+1,

由-,得

-2Tn=23+(-2)32+(-2)33++(-2)3n-(4-2n)3n+1

=6+(-2)(32+33++3n)-(4-2n)3n+1,

则Tn=-3++(2-n)3n+1

=-+3n+1.

12.已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,已知

a1+a4=-,且对于任意的nN+有Sn,Sn+2,Sn+1成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)已知bn=n(nN+),记Tn=++++,若(n-1)2m(Tn-n-1)对于n2恒成立,求实数m的范围.

解析:(1)设公比为q,

S1,S3,S2成等差数列,

2S3=S1+S2,

2a1(1+q+q2)=a1(2+q),得q=-,

又a1+a4=a1(1+q3)=-,

a1=-,an=a1qn-1=n.

(2)∵ bn=n,an=n,

=n2n,

Tn=12+222+323++n2n,

2Tn=122+223+324++(n-1)2n+n2n+1,

①-,得-Tn=2+22+23++2n-n2n+1,

Tn=-=(n-1)2n+1+2.

若(n-1)2m(Tn-n-1)对于n2恒成立,

则(n-1)2m[(n-1)2n+1+2-n-1],

(n-1)2m(n-1)(2n+1-1),

m.

令f(n)=,f(n+1)-f(n)=-=0,

f(n)为减函数,

f(n)f(2)=.

m.即m的取值范围是.

13.数列{an}是公比为的等比数列,且1-a2是a1与1+a3的等比中项,前n项和为Sn;数列{bn}是等差数列,b1=8,其前n项和Tn满足Tn=nbn+1(为常数,且1).

(1)求数列{an}的通项公式及的值;

(2)比较++++与Sn的大小.

解析:(1)由题意得(1-a2)2=a1(a3+1),

即2=a1,

解得a1=,an=n.

又即

解得或(舍).=.

(2)由(1)知Sn=1-n,

Sn=-n+1,

又Tn=4n2+4n,

=1-+-++-

教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分,我常采用范读,让幼儿学习、模仿。如领读,我读一句,让幼儿读一句,边读边记;第二通读,我大声读,我大声读,幼儿小声读,边学边仿;第三赏读,我借用录好配朗读磁带,一边放录音,一边幼儿反复倾听,在反复倾听中体验、品味。由可知,+++ 家庭是幼儿语言活动的重要环境,为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作,孩子一入园就召开家长会,给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长,要求孩子回家向家长朗诵儿歌,表演故事。我和家长共同配合,一道训练,幼儿的阅读能力提高很快。关于2019年高考备考数学专项训练:数列的通项与求和就介绍完了,更多2019高考复习等信息,请关注查字典数学网高考频道!

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念,最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云:“伯安入小学,颖悟非凡貌,属句有夙性,说字惊老师。”于是看,宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”,

而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见,“教师”一说是比较晚的事了。如今体会,“教师”的含义比之“老师”一说,具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后,教师与其他官员一样依法令任命,故又称“教师”为“教员”。

求数列通项公式及求和的基本方法

求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法:利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法,常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥,等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,并且* 1()n n a S n N +=∈,求{}n a 的通项 公式 12n n a ?? = ??? . 反思:利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系:11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件,建立递推关系,是本题求解的关键. 2.累加法:利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法(()f n 可求前n 项和). 已知112a =,112n n n a a +??=+ ??? * ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-* ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =.

反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=. 4.构造新数列: 类型1 )(1 n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足211=a ,n n a a n n ++ =+2 11 ,求n a 1131122n a n n =+-=- 解: 类型2 n n a n f a )(1 =+ 解法:把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n n a 11+= +,求n a 。23n a n = 解: 变式:(全国I,)已知数列{a n },满足a 1=1,1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2),则{a n } 的通项1 ___n a ?=? ? 12 n n =≥ 2 ! n a n = )2(≥n

数列通项公式方法大全很经典精品

【关键字】方法、关键、关系、满足 1,数列通项公式的十种求法: (1)公式法(构造公式法) 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数列{}n a 的通项公式。 解:1232n n n a a +=+?两边除以12n +,得 113222n n n n a a ++=+,则113222 n n n n a a ++-= ,故数列{}2n n a 是以122 2 a 1 1==为首项,以23为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。 评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。 (2)累加法 例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注:本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+,进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+,即得数列{}n a 的通项公式。 变式:已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。 (3)累乘法 例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:因为112(1)53n n n a n a a +=+?=,,所以0n a ≠,则 1 2(1)5n n n a n a +=+,故

数列的通项公式与求和的常见方法

数列的通项公式与求和 的常见方法 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见数列通项公式的求法 类型一:公式法1(或定义法) 例1. 已知数列{}n a 满足11a =, 12n n a a +-=*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =,13n n a a += *()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足12a =, 110n n a a +-+=*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-, 13n n a a +=+*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =,2 1 2=a , 11112n n n a a a -++=(2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =,13n n a a +=*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 类型二:(累加法))(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解 例:已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈, 11a =,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ,n a a n n 21+=+, * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =,11 (1) n n a a n n -=+-, (2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+, * ()n N ∈,13a =,求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中,12a =,11 ln(1)n n a a n +=++, 求数列{}n a 的通项公式。 类型三:(叠乘法)n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解 例:在数列{}n a 中,已知11a =,1(1)n n na n a -=+, (2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足321= a ,n n a n n a 1 1+=+,* ()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ,n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ,求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈, 13a =,求数列{}n a 的通项公式。 类型四:递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法:这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =且 12n n S a +=(2)n ≥.求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,42n n S a =+, 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,23n n S =+, 求数列{}n a 的通项公式。 类型五:待定系数法 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数, )0)1((≠-p pq ) 解法:构造新数列{}n b ; p a a n n =+++λ λ 1解出λ,可 得数列λ+=n n a b 为等比数列 例:已知数列{}n a 中,11=a ,121+=+n n a a ,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1. 已知数列{}n a 满足13a =,121n n a a +=- *()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中,11=a ,6431+=+n n a a ,求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且 232n n S a n =-*()n N ∈.求数列{}n a 的通项公式。 类型六:交叉项问题 解法:一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新 的等差数列。 例:已知数列{}n a 满足11a =, 122 n n n a a a +=+*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足11a =, 1(1)n n na n a +=++(1)n n +, *()n N ∈,求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b (0n b ≠*n N ∈),满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=,令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。 类型七:(公式法2) (n n n p pa a ?+=+λ1)p>0; 解法:将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11,即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列; 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ,11=a ,求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+,11=a ,求数列{}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一:公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ,求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中,12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二:分组求和法 例. 求数列的前n 项和: 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ,… 变式练习 1.已知数列}{n a 中,n n n a 32+=,求n S . 2.已知数列}{n a 中,n n n a 21 )12(++=,求n S . 类型三:倒序相加法 例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(,求)3()2()1(f f f ++ 类型四:错位相减法: 例.数列}{n a 中,12)12(-?-n n n a ,求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =,}{n b 为等比数列, 且.)(,112211b a a b b a =-= (1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式;

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 (1)若已知数列的第1项(或前项),且从第2项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法. (2)数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系,可以用一个公式()n a f n =来表示,那么n a 就是数列 的通项公式. 注:①并非所有的数列都有通项公式; ②有的数列可能有不同形式的通项公式; ③数列的通项就是一种特殊的函数关系式; ④注意区别数列的通项公式和递推公式. 题型归纳及思路提示 题型1 数列通项公式的求解 思路提示 常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用n S 与n a 的关系求解. 观察法 根据所给的一列数、式、图形等,通过观察法归纳出其数列通项. 利用递推公式求通项公式 ①叠加法:形如1()n n a a f n +=+的解析式,可利用递推多式相加法求得n a ②叠乘法:形如1()n n a f n a -= (0)n a ≠*(2,)n n N ≥∈的解析式, 可用递推多式相乘求得n a ③构造辅助数列:通过变换递推公式,将非等差(等比)数列 构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法. 利用n S 与n a 的关系求解 形如 1(,)()n n n f S S g a -=的关系,求其通项公式,可依据 1* 1(1)(2,) n n n S n a S S n n N -=? =?-≥∈?,求出n a 观察法 观察法即根据所给的一列数、式、图形等,通过观察分析数列各项的变化规律,求其通项.使用观察法时要注意:①观察数列各项符号的变化,考虑通项公式中是否有(1)n -或者1 (1) n -- 部分.②考虑各项的变化 规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}2 n 、{}2n 与(1) n -有 关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列. 例6.20写出下列数列的一个通项公式: (1)325374 ,,,,,,;751381911 - --L

数列通项公式方法大全很经典

1,数列通项公式的十种求法: (1)公式法(构造公式法) 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数列{}n a 的通项公式。 解:1232n n n a a +=+?两边除以12n +,得 113222n n n n a a ++=+,则113222 n n n n a a ++-= ,故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项,以23 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。 评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。 (2)累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注:本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+,进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+,即得数列{}n a 的通项公式。 变式:已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。 (3)累乘法 例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=,,求数列{}n a 的通项公式。

数列的通项公式与求和的常见方法

常见数列通项公式的求法 类型一:公式法1(或定义法) 例1. 已知数列{}n a 满足11a =,12n n a a +-=* ()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =,1 3n n a a += *()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足12a =,110n n a a +-+=*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-,13n n a a +=+*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =,2 1 2=a , 11112n n n a a a -++=(2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =,13n n a a +=* ()n N ∈,求数 列{}n a 的通项公式。 类型二:(累加法))(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解 例:已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++* ()n N ∈, 11a =,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足2 11=a ,n a a n n 21+=+,* ()n N ∈求 数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =,11 (1) n n a a n n -=+-, (2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+, * ()n N ∈, 13a =,求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中,12a =,11ln(1)n n a a n +=++,求数列{}n a 的通项公式。 类型三:(叠乘法)n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解 例:在数列{}n a 中,已知11a =,1(1)n n na n a -=+, (2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足321= a ,n n a n n a 1 1+=+,*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ,n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ,求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈, 13a =,求数列{}n a 的通项公式。 类型四:递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法:这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =且 12n n S a +=(2)n ≥.求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,42n n S a =+, 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2 51n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,23n n S =+, 求数列{}n a 的通项公式。 类型五:待定系数法 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq ) 解法:构造新数列{}n b ; p a a n n =+++λ λ 1解出λ,可得数列 λ+=n n a b 为等比数列 例:已知数列{}n a 中,11=a ,121+=+n n a a ,求数列{} n a 的通项公式。 变式练习: 1. 已知数列{}n a 满足13a =,121n n a a +=- *()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中,11=a ,6431+=+n n a a ,求数列 {}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且 232n n S a n =-* ()n N ∈.求数列{}n a 的通项公式。 类型六:交叉项问题 解法:一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数 列。 例:已知数列{}n a 满足11a =,122 n n n a a a += +*()n N ∈, 求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1. 已 知 数 列 {} n a 满 足 11 a =, 1(1)n n na n a +=++(1)n n +, * ()n N ∈,求数列{}n a 的 通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{} n b (0n b ≠* n N ∈),满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=,令n n n a c b =求数列{}n c 的通 项公式。 类型七:(公式法2) (n n n p pa a ?+=+λ1)p>0; 解法:将其变形为p p a p a n n n n λ=-++11,即数列? ? ????n n p a 为以p λ 为公差的等差数列; 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数 列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足1 15 5+++=n n n a a ,11=a ,求数列 {}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+,11=a ,求数列 {}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一:公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ,求32x x x ++???++???+n x 的 前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中,12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2232221n a a a a ++++Λ. 类型二:分组求和法 例. 求数列的前n 项和: 232 1 ,,721,421,1112-+???+++-n n ,… 变式练习 1.已知数列}{n a 中,n n n a 32+=,求n S . 2.已知数列}{n a 中,n n n a 2 1 )12(+ +=,求n S . 类型三:倒序相加法 例.求ο ο ο ο 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2+???+++ο 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(,求)3()2()1(f f f ++ 类型四:错位相减法: 例.数列}{n a 中,12)12(-?-n n n a ,求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =,}{n b 为等比数列, 且.)(,112211b a a b b a =-= (1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式; (2)设n n n b a c = ,求数列}{n c 的前n 项和n T . 类型五:裂项相消法 例.已知数列}{n a 中,) 2(1 += n n a n ,求n S . 1.求数列 1 1 ,,321,211++???++n n 的前n 项和. 2.在数列}{n a 中,1 1211++???++++=n n n n a n , 又1 2 +?=n n n a a b ,求数列}{n b 的前n 项的和. 3.求和 求数列的通项与求和作业 1.已知数列}{n a 的首项11=a (1)若12n n a a +=+,则n a =__________; (2)若12n n a a +=,则n a =_________ 1 11{}:1,{}.31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足,求数列的通项公式

数列求通项公式及求和9种方法

数列求通项公式及求和 9种方法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】:“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.(1)已知正数数列{} n a的前n项的和为n S, 且对任意的正整数n满足1 n a =+,求数列{} n a 的通项公式。 (2)数列{} n a中,1 1 a=对所有的正整数n都 有2 123n a a a a n ????=,求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1-1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈,求数列{}n a的通项公式. (二).累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =

1()n n a a f n --= ,用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法) 【方法】 1()n n a a f n --=, 12(1)n n a a f n ---=-, ……, 21(2)a a f -=2n ≥, 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +,检验1n =的情 况 ()f n =,用累乘法求通项公式(推导等比数列通项公式的方法) 【方法】2n ≥,12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??,检验1n =的情况 【小结】一般情况下,“累加法”(“累乘法”)里只有1n -个等式相加(相乘). 【例2】. (1) 已知2 11=a ,)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ,求 n a . (2)已知数列 {}n a 满足1 2 n n n a a n +=+,且32 1=a ,求n a .

数列求通项与求和总结(精)

数列求和方法 等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一,一般数列求和的基本思想是将其通项变形,化归为等差数列或等比数列的求和问题,或利用代数式的对称性,采用消元等方法来求和. 下面我们结合具体实例来研究求和的方法. 一、直接求和法(或公式法) 将数列转化为等差或等比数列,直接运用等差或等比数列的前n 项和公式求得. 例1 求22222222 12345699100-+-+-+--+L . 解:原式2 2 2 2 2 2 2 2 (21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=++++L L . 由等差数列求和公式,得原式50(3199) 50502 ?+= =. 二、倒序相加法 此方法源于等差数列前n 项和公式的推导,目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取,以便化简后求和. 例2 求2222 2 222 2222123101102938101 ++++++++L 的和. 分析:由于数列的第k 项与倒数第k 项的和为常数1,故采用倒序相加法求和. 解:设2222 2 2222222123101102938101 S =++++++++L 则2222 2 222 2222109811012938101 S =++++++++L . 两式相加,得 2111105S S =+++=∴=L , . 小结:对某些具有对称性的数列,可运用此法. 三、裂项相消法 如果一个数列的每一项都能化为两项之差,而前一项的减数恰与后一项的被减数相同,一减一加,中间项全部相消为零,那么原数列的前n 项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k 项之积,且分子为常数的分式型数列的求和. 例3 已知2 2 2 1 12(1)(21)6 n n n n +++= ++L , 求 22 2222222 35721()11212312n n n * +++++∈++++++N L L 的和. 分析:首先将数列的通项公式化简,然后注意到它可写成两项的差,在求和的过程中,中间的项相 互抵消了,从而可求出原数列的前n 项和. 解:222 21216 112(1)(1)(21)6 n n n a n n n n n n ++= ==++++++Q L ,

数列通项公式方法大全

数列通项公式的十种求法: (1)公式法(构造公式法) 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数列{}n a 的通项公式。 解:1232n n n a a +=+?两边除以12n +,得 113222n n n n a a ++=+,则113222n n n n a a ++-=,故数列{}2n n a 是 以1222 a 1 1==为首项,以23 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。 (2)累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注:本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+,进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ,即得数列{}n a 的通项公式。 变式:已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。 (3)累乘法

求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)

数列的通项公式与求和 1 练习1数列佝}的前n项为S n,且a =1, a ni=-S n(n =1,2,3,) 3 (1) 求a2,a3, a4B值及数列{a n}的通项公式. (2) 求a2a4一-玄 n ■ 2 练习2 数列{a n}的前n项和记为S n,已知a^1, 3n1 6(n = 1,2,…)?证明: n (1) 数列{§L}是等比数列; n (2) S n 1 = 4a n 1 * 练习3 已知数列{a n}的前n项为S n,S n = —@n -1)(门,N ) 3 (1)求耳忌 ⑵求证:数列{a n}是等比数列.

1 1 已知数列{a n }满足 @ = — ,a n1 =a n ? - ,求a n . 2 n +n 练习5 已知数列 {an } 满足?岭…&an,求歸 5 1 1 n * 练习6已知数列?}中,印 ,a n 1 a n - H),求a n . 6 3 2 练习7已知数列{a n }满足:a n 色^ , a , =1,求数列{a n }的通项公式 3色」+1 { } 2 十2十2+…十2 等比数列 {a n } 的前n 项和S n = 2n - 1,则a1 a 2 a 3 a n 5 (10n -1) 练习 9 求和:5, 55, 555, 5555,…,9 练习4 练习

练习10 求和: + +… + 1 4 4 7 (3n - 2) (3n 1) ’ 1 1 1 1 练习11 求和: 1 2 12 3 12 3 n 练习12 设 {a n } 是等差数列, {b n } 是各项都为正数的等比数列,且 = b^=1 , fa 1 a 5 b 3 =13 (I)求 {a n } , { b n } 的通项公式;(H)求数列? 的前门项和S n . Sb = 21

数列的通项及求和公式

数列的通项及求和公式专题课内导学案11 一、基本公式法:等差数列,等比数列。 例1、(1)若{}n a 是等差数列,公差0d ≠, 236,,a a a 成等比,11a =,则n a =_________。 (2)若{}n a 是等比数列,243,,a a a 成等差, 13a =,则n a =_________。 二、已知n S 求n a :11 (2) (1)n n n S S n a S n --≥?=? =?。 类型1、(1)已知2 1n S n n =++,求n a 。 (2)已知101n n S =-,求n a 。 类型2、(1)已知32n n S a =-,求n a ; (2)已知3 32 n n S a =-,求n a ; (3)已知22n n S a +=,求n a 。 类型3、(1)2 24n n n a a S +=,0n a >,求n a ; (2)2 1056n n n S a a =++,0n a >,求n a ; (3)2111 424 n n n S a a = ++,0n a >,求n a 。 类型4、(1)11a =,12n n a S +=,求n a ; (2)11a =,12n n S a +=,求n a ; (3)13a =,11n n S a +=+,求n a 。

类型5、(1)122n n a a a ++???+=,则n a =_____ (2)123n a a a a n ?????=,则n a =_____ (3)12323n a a a na n +++???+=,则n a =_____ (4) 3 12123n a a a a n n +++???+=,则n a =_____ (5)231233333n n a a a a n +++???+=,n a =___ 三、形如1()n n a a f n +-=的递推数列求通项公式,使用累加法。 例1、(1)数列{}n a 中满足12a =,1n n a a n +=+,求n a 的通项公式。 (2)已知数列{}n a 中满足13a =, 12n n n a a +=+,求n a 的通项公式。 (3)求数列2,4,9,17,28,42,???的通项公式。 四、形如 1 ()n n a f n a +=的递推数列求通项公式,使用累乘法。 例1、(1)数列{}n a 中满足15a =,12n n n a a +=?, 求n a 的通项公式。 (2)数列{}n a 中满足14a =,11 n n n a a n +=?+,求n a 的通项公式。 (3)112a = ,111 n n n a a n --=+(2n ≥),求n a 的通项公式。 五、构造法 例1、(1)14a = 2=,求n a ; (2)14a =,22 12n n a a +-=,求n a ; (3)14a =, 144 2n n a a +-=,求n a ; (4)12a =,112(1)n n a a +-=-,求n a ; (5)11a =,1(1)3n n n a na ++=,求n a ; (6)11a =,121n n a a n n +-=+,求n a 。

求数列通项公式方法大全

求数列通项公式的常用方法 类型1、()n n S f a = 解法:利用???≥???????-=????????????????=-)2() 1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去 n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例 1 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,并且*1()n n a S n N +=∈,求{}n a 的通项公式? 1n n S a =-,∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-,∴ 112n n a a +=,又112a =,12n n a ??= ??? . 变式 1. 已知数列{}n a 中,3 1 1= a ,前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ,求n a 变式2. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈. 求数列}{n a 的通项公式 变式3. 已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1,其中{}b n 是首项为1,公差为2的等差数列. 求数列{}a n 的通项公式; 变式4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,*12()n n a S n +=∈N .求数列{}n a 的通项n a 变式5. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈. 求数列}{n a 的通项公式; 变式6. 已知在正整数数列}{n a 中,前n 项和n S 满足2 )2(81+=n n a S (1)求证:}{n a 是等差数列 (2)若n b 3021 -=n a ,求}{n b 的前n 项 和的最小值

数列通项公式与求和的常见解法

数列通项公式的十种求法 {a n }的通项公式。 二、累加法 例2已知数列{a n }满足a n 1 a n 2n 1, 3 (n 1)(n 2 n 、公式法 例1已知数列{a n }满足a n 1 2a n 3 2n , a i 2,求数列{a n }的通项公式。 解:a n 1 2a n 3 2n 两边除以2n 1,得開 a n 3 a n 1 a n 3 2^ 2,人」2门1歹 2, 得鱼 2n 以岂 2 1为首项,以-为公差的等差数列,由等差数列的通项公式, 21 2 2 故数列{》}是 1(n 丐, 3 1 所以数列{a n }的通项公式为a n ( n -)2n 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n1 2a n 2n 转化为開 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 a n 1)3,进而求出数列 -,说明数列 2 解:由a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1则 a n (a n [2(n 2[(n 2^ a n 1 ) (a n 1) 1) 1)n 2 1 a n 2 ) 1] [2(n 2) (n 2) 1] I 2 1] @3 a 2) L (2 2 1) 1 (a 2 a 1 ) 4 1) (2 1 1) 1 (n (n 1) 所以数列{a n }的通项公式 为 a n 评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n 1 a n 2n 1转化为a n 1 a n 2n 1,进而求 出(a n a n 1) (a n 1 a n 2) L (a 3 a 2) (a ?印) a 1,即得数列{a n }的通项公 式。 求数列{a n }的通项公式。 1) 1

数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】:“ 1 n n S S - -”代入消元消n a。 【注意】漏检验n的值(如1 n=的情况 【例1】.(1)已知正数数列{} n a的前n项的和为n S, 且对任意的正整数n满足1 n a =+,求数列{} n a的通项公式。 (2)数列{} n a中,1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=,求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1-1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈,求数列 {} n a的通项公式. (二).累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =

1()n n a a f n --= ,用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法) 【方法】 1()n n a a f n --=, 12(1)n n a a f n ---=-, ……, 21(2)a a f -=2n ≥, 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +,检验1n =的情 况 ()f n =,用累乘法求通项公式(推导等比数列通项公式的方法) 【方法】2n ≥,1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-? ?,检验1n =的情 况 【小结】一般情况下,“累加法”(“累乘法”)里只有1n -个等式相加(相乘). 【例2】. (1) 已知21 1=a ,)2(1 1 2 1≥-+ =-n n a a n n ,求n a . (2)已知数列{}n a 满足1 2n n n a a n +=+,且3 21=a ,求n a .

史上最全的数列通项公式的求法13种

最全的数列通项公式的求法 数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 一、直接法 根据数列的特征,使用作差法等直接写出通项公式。 二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系,求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意:求完后一定要考虑合并通项) 例2.①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n .求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-,求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ,公比10<

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