五个平面最多能将空间分为几部分

题目：5个平面最多能将空间分为几部分？

推理过程：1.先求n条直线最多能将平面分成几部分设n条直线最多能将平面分成b n个

当n=1时 b n=2

当n=2时 b n=4

当n=3时 b n=7

……

当n=k+1时 b n=b k+k+1

即b k+1-b k=k+1

可得n-1个式子：

b2-b1=2

b3-b2=3

b4-b3=4

……

b n-b n-1=n

将这n-1个式子相加得：

b n=（n2+n+2）/2

2.再求n个平面最多能将空间分为几部分

设k个平面最多能将空间分为a k个部分

因为我们可以发现a k+1=a k+b k，即a k+1-a k=b k

所以我们可列以下n-1个式子：

a2-a1=b1

a3-a2=b2

a4-a3=b3

……

a n-a n-1=

b n-1

将这n-1个式子相加得：

a n=（n3+5n+6）/6

将n=5代入可知5个平面最多能将空间分为26个部分

空间中的平行关系练习题

1.2.2空间中的平行关系 【目标要求】 1.理解并掌握公理4，能应用其证明简单的几何问题. 2.理解并掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，明确线线平行与面面平行的关系. 3.能够熟练的应用线面平行的性质定理和判定定理. 1.以下说法中正确的个数是（其中a，b表示直线，表示平面α） ( ) ①若a∥b，b∥α，则a∥α②若a∥α，b∥α，则a∥b ③若a∥b，b∥α，则a∥α④若a∥α，b∥α，则a∥b A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2.a∥α，b∥β，a∥b，则α与β的位置关系是（） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.一定垂直 3.如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是d，则直线AB和平面α的位置关系一定是（） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D. AB?α 4.当α∥β时，必须满足的条件（） A.平面α内有无数条直线平行于平面β B.平面α与平面β同平行于一条直线 C.平面α内有两条直线平行于平面β D.平面α内有两条相交直线与β平面平行 5.已知a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且 不相交.；其中可能成立的有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.直线a∥平面α，点A∈α，则过点A且平行于直线a的直线（） A.只有一条，但不一定在平面α内 B.只有一条，且在平面α内 C.有无数条，但都不在平面α内 D.有无数条，且都在平面α内 7.已知直线a∥平面α，且它们的距离为d，则到直线a与到平面α的距离都等于d的点的集合是 （） A.空集 B.两条平行直线 C.一条直线 D.一个平面 8. A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是（） A.0个 B.1个 C.无数个 D.以上都有可能 9.设α，β是不重合的两个平面，l和m是不重合的两条直线，则能得出α∥β的是（） A.l?α，m?α，且l∥β，m∥β B.l?α，m?β，且l∥m C.l⊥α，m⊥β，且l∥m D.l∥α，m∥β，且l∥m 10.已知直线a、b，平面α、β，以下条件中能推出α∥β的是（） ①a?α，b?β，a∥b；②a?α，b?α，a∥β，b∥β；③a∥b，a⊥α，b⊥β. A.① B.② C.③ D.均不能 11.若平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，那么直线a，b的位置关系是（） A.垂直 B.平行 C.相交 D.不相交 12.梯形ABCD中AB∥CD，AB?平面α，则直线CD与平面α的位置关系是（） A.平行 B.平行或相交 C.相交 D. CD平行平面α或CD?α 13.正方体AC1中，E、F、G分别为B1C1、A1D1、A1B1的中点 求证：平面EBD//平面FGA.

职高数学第九章立体几何习题及答案

第7章立体几何习题 练习9.1.1 1、判断题，下列语句说法正确的打“√”，错误的打“Χ” （1）一个平面长是4cm ，宽是2cm （ ）； （2）10个平面重叠在一起比5个平面重叠在一起要厚（ ）； （3）一个平面将空间分成两部分（ ）。 2、选择题（每题只有一个正确答案） （1）以下命题中，正确的个数是（ ） ①平面是没有边界且光滑的图形，②四条线段首首尾连接，所得图形一定是平面图形，③画两个相交平面时，一定要画出交线。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （2）下列说法中，正确的是（ ） A ．教室里的黑板面就是平面 B ．过一条直线的平面只有1个 C ．一条线段在一个平面内，这条线段的延长线可以不在这个平面内 D ．平面是没有厚薄之分的 3、如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，请表示出该图形的6个平面（要求用各面的四个顶点来表示） 参考答案： 1、（1）Χ（2）Χ（3）√ 2、（1）C （2）D 3、平面ABCD ，平面A 1B 1C 1D 1，平面ADD 1 A 1，平面BCC 1 B 1，平面ABB 1 A 1，平面D CC 1D 1 练习9.1.2 1、选择题（每题只有一个正确答案） （1）下列说法中有错误的是（ ） ①三个点可以确定一个平面，②若两个平面有一个公共点，则它们有无数多个公共点，③空间任意两条直线可以确定一个平面，④直线与直线外一点可以确定一个平面。 A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ （2）下列图形中不一定是平面图形的是（ ） A ．三角形 B ．平行四边形 C ．四条线段首尾连接而成的四边形 D ．梯形 （3）用符号表示语句“直线a ，b 相交于平面α内一点M ”，正确的是（ ） A ．,,a b M a b αα=??B ．,a b M M α=∈ C ．,,a b M a b ααα=∈ D ．,,,M M a b a b ααα∈∈ 2、用符号表示下列语句 （1）点A 在直线a 上，直线a 在平面α内 （2）平面β过直线b 及b 外一点M ，点N 在平面β外，直线c 过点M ，N 3、如图所示，对于长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，回答下列问题。 （1）直线AC 是否在平面ABCD 内？ （2）四点A 、A 1、C 、C 1是否在同一平面内？

空间中直线和平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为

(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外， 我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边 形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一 条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有 一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个 平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l αααα?b αα?b α.1 C ?答案：B 变式3、 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系. 图3 解：直线l 与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.

2.2.1平面(1)小练习

2.1.1 空间点、线、面位置关系——平面（1） 一、选择题 1、若点M 在直线a 上，a 在平面α内，则M ，a ，α之间的关系可记为（ ） A α∈∈a a M , B α?∈a a M , C α??a a M , D α∈?a a M , 2、下列说法正确的是（ ） A 平行四边形是一个平面 B 任何一个平面图形都是一个平面 C 平静的太平洋是一个平面 D 圆和平面多边形都可以表示平面 3、两个平面重合的条件是（ ） A 有两个公共点 B 有无数个公共点 C 有不共线的三个公共点 D 有一条公共直线 4空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线，那么这四点中（ ） A 必有三点共线 B 必有三点不共线 C 至少有三点共线 D 不可能有三点共线 5、一条直线和这条直线外不共线的三点所能确定的平面的个数为（ ） A 1个或3个 B 1个或4个 C 3个或4个 D 1个、3个或4个 6、已知βα、为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，则下列推理错误的是（ ） A ααα??∈∈∈∈a B a B A a A ,,, B MN N N M M =?∈∈∈∈βαβαβα ,,, C A A A =?∈∈βαβα , D 重合、不共线、、且、、、、βαβα?∈∈M B A M B A M B A ,, 二、填空题 7、正方体的各面所在平面将空间分成 部分. 8、下列说法正确的有 （1）可以画一个平面，使它的长为4cm ，宽为2cm ；（2）空间三点只可以确定一个平面；（3）两条相交直线可以确定一个平面；（4）三条平行直线可以确定三个平面；（5）若四点不共面，那么每三个点一定不共线；

人教版数学必修二2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 教案

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系教案 教学目标： 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系。 2. 学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系. 教学重点：直线与平面的三种位置关系及其作用． 教学难点：直线与平面的三种位置关系及其作用 问题提出 1. 空间点与直线，点与平面分别有哪几种位置关系？ 2. 空间两直线有哪几种位置关系？ 探究：直线与平面之间的位置关系 思考1:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？ 思考2:如图，线段A ′B 所在直线与长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′的六个面所在的平面各是什么位置关系？ 思考3:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系有哪些？靠什么来划分呢？ 思考4:用图如何表示直线与平面的三种位置？如何用符号语言描述这三种位置关系？ 思考5:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线l 平行于平面α，则直线l 与平面α内的直线的位置关系如何？ B A D C A' B' D' C'

理论迁移 例1 给出下列四个命题： (1)若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α. (2)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行. (3)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点. (4)若直线l 在平面α内，且l 与平面β平行，则平面α与平面β平行. 其中正确命题的个数共有 __个. 随堂练习：判断正误 1、若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α( ) 2、若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行( ) 3、如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行( ) 4、如果平面外的两条平行直线中的一条直线与平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行（ ） 5、若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点( ) 巩固练习 1．选择题 （1）以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面） ①若a ∥b ，b ?α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ?α，则a ∥b 其中正确命题的个数是 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 （2）已知a ∥α，b ∥α，则直线a ，b 的位置关系 ①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 （ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 （3）如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系 一定是（ ） （A ）平行 （B ）相交 （C ）平行或相交 （D ）AB ?α （4）已知m ，n 为异面直线，m ∥平面α，n ∥平面β，α∩β=l ，则l （ ） （A ）与m ，n 都相交 （B ）与m ，n 中至少一条相交 （C ）与m ，n 都不相交 （D ）与m ，n 中一条相交 （5）已知直线a 在平面α外，则 （ ） （A ）a ∥α （B ）直线a 与平面α至少有一个公共点 （C ）a A α ?= （D ）直线a 与平面α至多有一个公共点 课本49页练习 课堂小结 课外作业 一、选择题： 1．下列命题中正确的是（ ） A ．平行于同一个平面的两条直线平行

浙江省宁波市2019-2020学年高考数学三模试卷(理科)A卷

浙江省宁波市2019-2020学年高考数学三模试卷（理科）A卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共12题；共24分) 1. （2分） (2016高三上·沙市模拟) 已知z=（）2016（i是虚数单位），则z等于（） A . ﹣1 B . 1 C . 0 D . i 2. （2分） (2018高一上·遵义期中) 若集合中只有一个元素，则（） A . 4 B . 2 C . 0 D . 0或4 3. （2分）过抛物线的焦点的直线l交抛物线于、两点，如果，则 （） A . 8 B . 9 C . 10 D . 11 4. （2分）(2017·宁德模拟) 执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）

A . 20 B . 21 C . 22 D . 23 5. （2分） (2018高一下·包头期末) 已知数列是公比为正数的等比数列，若，，则数列的前7项和为（） A . 63 B . 64 C . 127 D . 128 6. （2分） (2017高一下·资阳期末) 若平面区域夹在两条斜率为的平行直线之间，则这两平行直线间的距离的最小值为（） A .

B . C . D . 7. （2分）(2017·衡阳模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（） A . B . C . 6 D . 8. （2分）一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是（） A . B . C . D . 0 9. （2分）函数f（x）=sin（x+）图象的一条对称轴方程为（）

三大构成平面构成3

第八章-平面构成的基本形式 8.3渐变 课时：1课时 8.31 渐变的概念 渐变构成是指基本形或骨格逐渐地,有规律地循序变化，从而产生节奏感和韵律感。它给人以节奏、韵律的美。在设计中渐变的构成，显示出渐增渐减进展的速度感，产生特殊的视觉效果，被经常应用。 渐变是一种符合发展规律的自然现象。如一天的时间从零时到24时，人从幼年、青年、中年到老年，树木从小苗到参天大树，植物树叶由大到小的排列，火车从起点到终点等，包括季节的更替，月亮的盈亏，水纹的运动等都是渐变现象，就像是画一幅画，从第一笔开始到最后完成，都有一个逐渐变化的过程，都属于有秩序的渐变现象。 8.32 渐变的形式 ⑴基本形的渐变 即基本形的大小，形状，位置，方向，色彩逐渐变化 ①形状渐变

②大小渐变 依据近大远小的透视原理，将基本形作大小顺序的变化。给人空间感和运动感。 ③方向渐变 将基本形作方向，角度的序列变化。会使画面产生起伏变化，增强立体感和空间 感

④位置渐变 将基本形再画面中或骨格单位内的位置作有序的变化。使画面产生起伏波动的视觉效果 ⑤色彩渐变 基本形的色彩由明到按暗渐次变化 ⑵骨格渐变 即骨格线的位置依照数列关系逐渐有规律的变动 ①单元渐变 也叫一次元渐变，即仅用骨格的水平线或垂直线作单向序列渐变

②双元渐变 也叫二次元渐变，即两组骨骼线同时变化 ③等级渐变 将骨骼做竖向或横向整齐错位移动，产生阶梯变化 ④折线渐变 将竖的或横的骨骼线弯曲或折断 ⑤联合渐变 将骨骼渐变的几种形式互相合并使用，成为较复杂的骨骼单位。 ⑥阴阳渐变 使骨骼宽度扩大成面的感觉，使骨骼与空间进行相反的宽度变化，即可形成阴阳、虚实转换。

空间中直线与直线之间的位置关系(附规范标准答案)

空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结 论可作为定理使用) 反证法 假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平 行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不 是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ? ? ?共面直线 ?? ? ??相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

(2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 知识点三 空间等角定理 1.定理 判断或证明两个角相等或互补 2.推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 思考 如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？ 答 不一定.这两条直线可能相交、平行或异面 知识点四 异面直线所成的角 1.概念：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).

N个平面可以把空间分成几部分

N个平面可以把空间分成几部分 上海华师大家教部转载 在立体几何的中有一个问题：“3个相互平行的平面可将空间分成几部分？”正确的解答：“4个部分.”接着提出：“3个平面可将空间分成几部分？”的问题，由于去掉了“相互平行”的条件，这个问题必须分类讨论回答. 当3个平面相互平行时，分空间为4个部分； 当有且仅有两个平面平行时，分空间为6个部分； 当3个平面两两相交于一条直线时，分空间为6个部分； 当3个平面两两相交，3条交线不交于同一点时，分空间为7个部分； 当3个平面两两相交，3条交线交于一点时，分空间为8个部分. 于是我们得出“3个平面最多可将空间分为8个部分”的结论.在这一背景下， 提出了值得深入研究的新课题：“4个平面最多可将空间分为多少部分？n个平面又将空间最多分成多少部分？” 对“4个平面最多可以把空间分成多少部分”的研究取得成功的方法是多样的，可以采取作图直观计数，可以采用以三棱锥为载体计数，可以采用递推分析.不妨将第二种方法作一个简单介绍：三棱锥的4个面延展后就成了4个平面两两相交，且交线互不平行，每3个平面相交于一点，4个交点就是三棱锥的4个顶点.每个顶点各自“对着”一部分空间，4个顶点，6条棱，4个面“对着”14 个部分空间，但4个面中间围了一部分空间，所以4个平面最多可将空间分成 15个部分. 但用类似的方法却不能解决n个平面分空间的问题.但是我们采用实验、观察、归纳的方法得出了n个平面最多可以将空间分为部分. 我们的探索过程是这样的：1个点最多将1条直线分为2部分，2个点分为3部分，3个点分为4部分……；l条直线最多将平面分为2部分，2条直线分为4 部分，3条直线分为7部分……；1个平面最多将空间分为2部分，2个平面分成4部分，3个平面分为8部分……通过列表、观察、归纳，得出了一个递推关系，于是推得结论. 这是一个与自然数n有关的数学命题，它的证明要用到数学归纳法

空间中直线与平面的位置关系 说课稿 教案 教学设计

1 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 （1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、学法与教学用具 1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 教师以生活中的实例以及课本P49的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题） （二）研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α 例4（投影） 师生共同完成例4 例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。 2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系： （1）两个平面平行 —— 没有公共点 （2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为 α β α β L

《空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系》教学设计(优质课)

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力. 2．过程与方法 （1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识. （二）教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系. 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系. （三）教学方法 借助实物，让学生观察事物、思考等，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标. 有几种位置关系？：有三种位置关系： ）直线与平面平行

图形语言是： 直线a与面α相交的 直线a与面α ∥α. 图形语言是：

′C′D′的六 平面与平面平行的符号语 .图形语言是：

（1）AB没有被平面

备用例题 例1 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（） A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．任意一条直线都不相交 D．无数条直线都不相交 【解析】直线与平面平行，那么直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C. 例2 “平面内有无穷条直线都和直线l平行”是“α // l”的（）. A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面 平行，应选B. 例3 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内. 已知：l∥α，点P∈α，P∈m，m∥l 求证：mα ?. 证明：设l与P确定的平面为β，且αβ= m′，则l∥m′. 又知l∥m，m m P '=，

n个平面把空间最多分成几个部分

n 个平面把空间最多分成几个部分? 宝鸡中学 宋亚红 高中数学北师大版必修2《立体几何初步》一章中有这样一道题：3个平面把空间最多分成几个部分。 这个问题不难回答，答案是8个部分。可有的学生就会追问：4个平面呢？n 个平面呢？你能给出一般性的结论吗？ 要回答这个问题，先从平面内的类似的问题入手。 1条直线可以把平面分成2部分，2条直线最多可以把平面分成4部分， 3条直线最多可以把平面分成几部分，4条直线呢？你能不能想出n 条直线最多可以把平面分成几部分？ 分析：要n 条直线最多把平面分成若干部分，必须n 条直线两两相交且无3条过同一点，记n 条直线最多可以把平面分成a n 部分,第n 条直线与前n-1 条直线最多有n-1个交点，这些交点把第n 条直线分成n 段，每一段把原来对应的部分分为两部分，所以从n-1条直线增加了1条直线共增加了 n 部分， 即a n -a n-1=n (n>1), 累加求和得，)2(2 12++=n n a n 1个平面把空间最多分成2个部分，2个平面把空间最多分成4个部分，3个平面把空间最多分成8个部分，4个平面把空间最多分成15个部分，那么n 个平面把空间最多分成多少个部分？ 分析：记n 个平面最多可以把空间分成a n 部分,第n 个平面与前n-1 个平面最多有n-1条交线，这些交线把第n 个平面分成 )2(212+-n n 部分，每部分把对应的空间分为两部分，所以共增加了 )2(212+-n n 部分， a n -a n-1=)2(2 12+-n n ， (n>1) 累加求和得，*∈+-+=N n n n n a n ),6)(1(6 12. n 个平面把空间最多分成)6)(1(6 12+-+n n n 个部分.

平面构成的基本形式——空间构成

平面构成的基本形式——空间构成 2009年10月18日星期日 10:31 一、空间的概念 空间是物质存在的一种客观形式，我们一般所讲的空间是一种具有高、宽、深的三次元立体空间，对于物体而言，就是它在空间中实际占据的位置，这种空间形态也叫做视觉空间。而我们在平面构成中所谈到的空间形式，是就人的视觉而言的，它具有平面性、幻觉性、矛盾性。在平面构成中空间感只是一种假象，三维空间是二维空间的错觉，其本质还是平面的。 平面性 即二次元空间。也就是有长与宽两种单元元素构成的空间。前面所分析过的正负形的消失、减缺等形态特征，都是在平面空间中所存在的形式。 幻觉性 这里指的是平面中的立体感，由几个面组合而得到的高、宽、深三次元的空间感觉。不同形态线的肌理重复和渐变排列亦会产生出幻觉空间。 矛盾性 矛盾空间实际上是一种错觉空间、幻觉空间，但是在构成形式上它与我们前面所讲的幻觉空间又有所区别。矛盾空间是在实际空间中不可能存在的空间形式，它是以三次元空间透视中视平线的视点、灭点的变动而构成的特殊的不合理的空间。这种独特的空间形式往往能够产生新的意想不到的视觉效果，设计师可以利用这一视觉原理设计新的造型形式。 二、平面上形成空间的因素 我们对于形体的空间感觉，是视野中许多形态相互作用的结果。当视野中有你熟悉的形体和环境关系时，你就很容易对距离和空间作出判断，反之则很难或不能判断某个形体的大小、距离，也就是说，任何形体，它的空间感的形成，必须要有相对应的形体作为参照。依据这一视觉原理和经验，就可以在平面中制造具有纵深感的三维空间。 重叠空间：两个形体相重叠时，就会产生前后的感觉，这也就是平面的深度感，是感知形体空间最明显的一种启示。

高中数学 空间点,直线和平面的位置关系公式

空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 符合表示：

β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα //////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα

空间中直线与平面、平面与平面之间的关系

科目：数学 课题§2.1.3空间中直线与平面、平面与平面 之间的关系 课型新课 教学目标（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养学生的空间想象能力. 教学过程教学内容备 注 一、自主学习 1.空间点与直线，点与平面分别有哪几种位置关系？空间两直线有哪几种位置关系？ 2.就空间点、线、面位置关系而言，还有哪几种类型有待分析？

二、质疑提问思考1:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？ 思考2:对于一条直线和一个平面，就其公共点个数来分类有哪几种可能？ 思考3:如图，线段A′B所在直线与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有几种位置关系？ 思考4:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系，即直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.这些位置关系的基本特征是什么? （1）直线在平面内---有无数个公共点； （2）直线与平面相交---有且只有一个共点； （3）直线与平面平行---没有公共点. 思考5:下图表示直线与平面的三种位置，如何用符号

语言描述这三种位置关系？ 思考6:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. 用符号语言怎样表述？ 思考7:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线l平行于平面α，则直线l与平面α内的直线的位置关系如何？ 思考1:拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种变化？ 思考2:如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？

思考3：由上面的观察和分析可知，两个平面的位置关系只有两种，即两个平面平行，两个平面相交.这两种位置关系的基本特征是什么？ （1）两个平面平行---没有公共点； （2）两个平面相交---有一条公共直线. 思考4:下图表示两平面之间的两种位置，如何用符号语言描述这两种位置关系？

n个平面最多可将空间分成多少个部分2

--35-- 邯郸市一中校刊 n 个平面最多可将空间分成多少个部分 数学教师 赵新国 问题提出： 空间n 个平面最多可将空间分成多少个部分？ 问题分析： 显然，当这n 个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。 1、 这n 个平面两两相交； 2、 没有三个以上的平面交于一点； 3、 这n 个平面的交线任两条都不平行。 对于一般情况一下子不易考虑，我们不妨试着从简单的，特殊的情况入手来寻找规律。设n 个 平面分空间的部分数为n a ，易知 当1=n 时，2=n a ； 当2=n 时，4=n a 当3=n 时，8=n a 当4=n 时，情况有些复杂，我们以一个四面体为模型来观察，可知15=n a ； 从以上几种情况，很难找出一个一般性的规律，而且当n 的值继续增大时，情况更复杂，看来这样不行。那么，我们把问题在进一步简单化，将空间问题退化到平面问题：n 条直线最多可将平面分割成多少个部分？（这n 条直线中，任两条不平行，任三条不交于同一点），设n 条直线最多可将平面分割成n b 个部分，那么 当3,2,1=n 时，易知平面最多被分为2，4，7个部分。 当k n =时，设k 条直线将平面分成了k b 个部分，接着当添加上第1+k 条直线时，这条直线与前k 条直线相交有k 个交点，这k 个交点将第k 条直线分割成n 段，而每一段将它所在的区域一分为二，从而增加了1+k 个区域，故 得递推关系式 )1(1++=+k b b k k ，即11+=-+k b b k k 显然当1=k 时, 21=b ,当1,,2,1-=n k 时，我们得到1-n 个式子： 212=-b b 323=-b b 434=-b b …… n b b n n =--1 将这1-n 个式子相加，得)2(212++=n n b n ，即n 条直线最多可将平面分割成)2(2 12++n n 个部分。 我们来归纳一下解决这个问题的思路：从简单情形入手，确定k b 与1+k b 的递推关系，最后得出结论。 现在，我们回到原问题，用刚才的思路来解决空间的问题，设k 个平面将空间分割成k a 个部分，再添加上第1+k

n个平面最多可将空间分成多少个部分

--1-- 空间分成多少个部分 问题提出： 空间n 个平面最多可将空间分成多少个部分？ 问题分析： 显然，当这n 个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。 1、 这n 个平面两两相交； 2、 没有三个以上的平面交于一点； 3、 这n 个平面的交线任两条都不平行。 对于一般情况一下子不易考虑，我们不妨试着从简单的，特殊的情况入手来寻找规律。设n 个 平面分空间的部分数为n a ，易知 当1=n 时，2=n a ； 当2=n 时，4=n a 当3=n 时，8=n a 当4=n 时，情况有些复杂，我们以一个四面体为模型来观察，可知15=n a ； 从以上几种情况，很难找出一个一般性的规律，而且当n 的值继续增大时，情况更复杂，看来这样不行。那么，我们把问题在进一步简单化，将空间问题退化到平面问题：n 条直线最多可将平面分割成多少个部分？（这n 条直线中，任两条不平行，任三条不交于同一点），设n 条直线最多可将平面分割成n b 个部分，那么 当3,2,1=n 时，易知平面最多被分为2，4，7个部分。 当k n =时，设k 条直线将平面分成了k b 个部分，接着当添加上第1+k 条直线时，这条直线与前k 条直线相交有k 个交点，这k 个交点将第k 条直线分割成n 段，而每一段将它所在的区域一分为二，从而增加了1+k 个区域，故 得递推关系式 )1(1++=+k b b k k ，即11+=-+k b b k k 显然当1=k 时, 21=b ,当1,,2,1-=n k 时，我们得到1-n 个式子： 212=-b b 323=-b b 434=-b b …… n b b n n =--1 将这1-n 个式子相加，得)2(212++=n n b n ，即n 条直线最多可将平面分割成)2(2 12++n n 个部分。 我们来归纳一下解决这个问题的思路：从简单情形入手，确定k b 与1+k b 的递推关系，最后得出结论。 现在，我们回到原问题，用刚才的思路来解决空间的问题，设k 个平面将空间分割成k a 个部分，再添加上第1+k 个平面，这个平面与前k 个平面相交有k 条交线，这k 条交线，任意三条不共点，任意两条不平行，因此这第1+k 个平面就被这k 条直线分割成k b 个部分。 而这k b 个部分平面中的每一个，都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间。所以，添加上这第1+k 个

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系教案

第 1 页 共 2 页 1 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 （1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、学法与教学用具 1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 教师以生活中的实例以及课本P 48的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题） （二）研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α 例4（投影） 师生共同完成例4 例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。 2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系： （1）两个平面平行 —— 没有公共点 （2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法，学生很快地理解与掌握新内容，这两种位置关系用图形表示为 α β α β L

人教B数学必修第四册课时分层作业9 构成空间几何体的基本元素 含解析

课时分层作业(九)构成空间几何体的基本 元素 (建议用时：60分钟) [合格基础练] 一、选择题 1．下列图形中不一定是平面图形的是() A．三角形B．平行四边形 C．梯形D．四边相等的四边形 D[三角形、平行四边形、梯形都是平面图形，只有四边相等的四边形可能不是平面图形．] 2．如图，平面α，β，γ可将空间分成() A．五部分B．六部分 C．七部分D．八部分 B[由平面α，β，γ的位置关系可知，三平面将空间分成六部分，故选B.] 3．若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是() A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．1或2或3 C[若三个平面经过同一条直线，则有1条交线；若三个平面不过同一条直线，则有3条交线．] 4．已知直线m平面α，P m，Q∈m，则() A．Pα，Q∈αB．P∈α，Qα C．Pα，QαD．Q∈α

D[由点、线、面之间的位置关系可判断P与α关系不确定，Q∈α.] 5．平面α与平面β平行，且aα，下列四种说法中() ①a与β内的所有直线都平行； ②a与β内无数条直线平行； ③a与β内的任意一条直线都不垂直； ④a与β无公共点． 其中正确的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 B[如图，在长方体中，平面ABCD∥平面A′B′C′D′，A′D′ 平面A′B′C′D′，AB平面ABCD，A′D′与AB不平行，且A′D′与 AB垂直，所以①③错．] 二、填空题 6．如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是________． 4[与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1共4条．] 7．如图所示，用符号语言表示以下各概念： ①点A，B在直线a上________； ②直线a在平面α内________； ③点D在直线b上，点C在平面α内________． ①A∈a，B∈a②aα③D∈b，C∈α[根据点、线、面位置关系及其表示方法可知：①A∈a，B∈a，②aα，③D∈b，C∈α.]

平面构成的基本形式――空间构成

平面构成的基本形式――空间构成平面构成的基本形式——空间构成 2009年10月18日星期日 10:31 一、空间的概念 空间是物质存在的一种客观形式，我们一般所讲的空间是一种具有高、宽、深的三次元立体空间，对于物体而言，就是它在空间中实际占据的位置，这种空间形态也叫做视觉空间。而我们在平面构成中所谈到的空间形式，是就人的视觉而言的，它具有平面性、幻觉性、矛盾性。在平面构成中空间感只是一种假象，三维空间是二维空间的错觉，其本质还是平面的。 平面性 即二次元空间。也就是有长与宽两种单元元素构成的空间。前面所分析过的正负形的消失、减缺等形态特征，都是在平面空间中所存在的形式。 幻觉性 这里指的是平面中的立体感，由几个面组合而得到的高、宽、深三次元的空间感觉。不同形态线的肌理重复和渐变排列亦会产生出幻觉空间。 矛盾性 矛盾空间实际上是一种错觉空间、幻觉空间，但是在构成形式上它与我们前面所讲的幻觉空间又有所区别。矛盾空间是在实际空间中不可能存在的空间形式，它是以三次元空间透视中视平线的视点、灭点的变动而构成的特殊的不合理的空间。这种独特的空间形式往往能够产生新的意想不到的视觉效果，设计师可以利用这一视觉原理设计新的造型形式。 二、平面上形成空间的因素

我们对于形体的空间感觉，是视野中许多形态相互作用的结果。当视野中有你熟悉的形体和环境关系时，你就很容易对距离和空间作出判断，反之则很难或不能判断某个形体的大小、距离，也就是说，任何形体，它的空间感的形成，必须要有相对应的形体作为参照。依据这一视觉原理和经验，就可以在平面中制造具有纵深感的三维空间。 重叠空间:两个形体相重叠时，就会产生前后的感觉，这也就是平面的深度感，是感知形体空间最明显的一种启示。 大小空间:由于透视的原因，相同的物体在视觉中会产生近大远小的变化。根绝这一视觉现象，在平面中就会产生大形在前，小形在后的空间关系。 倾斜空间:由于基本形的倾斜或排列的变化，在人的视觉中会产生一种空间旋转的效果，所以倾斜也会给人一种空间深度感。 曲面空间:弯曲本身就具有起伏变化，因此平面形象的弯曲，就会产生有深度的幻觉，从而造成空间感。

《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结

高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底3 1 3台体的体积h S S S S V ?++=)3 1 下下上上（ 4球体的体积 334R V π= 第二章《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结 1.内容归纳总结 （1）四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ? ∈且。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。 符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈?=∈ 且。 公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ?且。 （2）空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把 a '与 b '所 成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。（易知：夹角 范围090θ<≤?） 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形） 2.位置关系：???? ??? ?相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点; 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （3）空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面的位 置 关 系 有 三 种 ： //l l A l ααα??? =?? ?? ?? 直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点 （4）空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ??=? 两个平面平行（）没有公共点 两个平面相交（）有一条公共直线 2 22r rl S ππ+=