利用旋转全等进行几何的证明与计算

利用旋转全等进行几何的证明与计算

一、基础知识回顾。

1、如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°。△ECF中，EC=FC，

∠ECF=90°。判断线段AE和BF之间的关系。

2、如图，将△ACB绕O点顺时针旋转90°至△A’C’B’的位置

(1)画出旋转后的△A’C’B

(2)判断并证明线段AB和A’B’之间的关系。

二、拓展训练

1、如图，A(3，0)，P在y轴正半轴上的动点，以AP为边作等边三角形APQ，求OQ的最小值。(用4种方法) 三、课外检测。

1、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，E、F两

点在边BC中，且∠EAF=60°，BE=2CF。若BC=12，求

CF的长。

2、如图，△ABC中，AB=3，BC=5，∠ABFC=60°，以AC为边作

等边△ACD，求BD的长。（用多种解法）

3、如图，已知正方形ABCD的边长为4，P为正方形内部的一点，PM⊥BC 于M，求PA+PD+PM的最小值。

C B

与旋转有关的计算与证明.

与旋转有关的计算与证明 （体悟思想规律方法） 1、已知,如图:正方形ABCD中,E和F分别为BC、CD上的点， 且∠EAF=45°。求证:BE+CF=EF 2、已知,点E为正方形ABCD内一点,且AE=1,BE=2,CE=3.求∠AEB的度数 3、如图，P是正方形ABCD的边AB上一点（不与A,B重合），连接PD 将PD绕P顺时针旋转90°，得到PE，连接BE，求∠CBE的度数

4、如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）求证：AE=EP；（2）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由 5、在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由； 6、(B)如图，在边长为62的正方形ABCD中，E是AB边上一点， G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG于点H，交AD于点F，连接CE、BH。若BH＝8，求FG的长。

7、(A)如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，求OF的长。 8、正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，求证：AF+BF=2OE （2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

旋转几何证明

巧用旋转解题 温州市实验中学 周利明 传统几何中，有许多旋转的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。因此旋转的方法是几何学习中必备的技巧，本文将介绍旋转方法的几种典型用法，与广大读者共同学习、交流。 1．利用旋转求角度的大小 例1：在等腰直角△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=BC, P 是△ABC 内一点,满足PA=6、PB=2、PC=1求∠BPC 的度数. 分析：本题借助常规方法的入手是比较困难的，虽然三条线段的 长度是已知的，但是这三条线段不是三角形的三条边长，因此 要得到角度的大小是不太容易的，因此我们可以借助 旋转来分析问题，因为AC=BC ，这就给我们利用旋转 创造了条件，因此可以考虑将APC ?绕点C 逆时针旋转0 90， 得C P B '?,连接P P '，通过三角形的边与角的关系分别求得P CP '∠和PB P '∠，就可得到 BPC ∠的大小。 解：由已知AC=BC ，将APC ?绕点C 逆时针旋转0 90，得C P B '?,连接P P '； 由旋转可知：ACP CB P ∠='∠，P C CP '=，AP BP '=； ∴0 90=∠=∠+'∠ACB PCB CB P ， ∴CP P '?是等腰直角三角形 ， ∴0 45='∠='∠P P C P CP 且2= 'P P ， 在PB P '?中，∵2222222 26PB PP AP BP ''+=+====， ∴PB P '?是直角三角形，且0 90='∠PB P ， ∴0 1359045=+='∠+'∠=∠PB P P CP BPC ． 例2：如图所示,正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边AB 、AD 上的点,APQ ?的周长为2，求PCQ ∠的大小． 分析：本题在已知三角形的周长和正方形的边长的条件下求角度的大小是比较困难的，因为正方形的边长BC=DC,所以可以考虑将PBC ?绕点C 顺时针旋转90°，易证E 、D 、Q 三 P A B C P ’

解题技巧专题：巧用旋转进行计算或证明

解题技巧专题：巧用旋转进行计算或证明 ——体会旋转中常见解题技巧 ◆类型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度 1．(2016·合肥校级模拟)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为() A．60°B．85°C．75°D．90° 第1题图第2题图第3题图2．(2016·株洲中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C 沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C.若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是() A．50°B．60°C．70°D．80° 3．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为________． 4．如图，P是正三角形ABC内的一点，且P A＝5，PB＝12，PC＝13，若将△P AC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数． ◆类型二利用旋转结合特殊三角形判定、性质或勾股定理求长度或证明 5．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，得到△AB′C′，过点B′作B′D⊥CA，交CA的延长线于点D，若AC＝6，则AD的长为() A．2 B．3 C．2 3 D．3 2

6．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是________． 7．(2016·娄底中考)如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F. (1)求证：△BCF≌△BA1D； (2)当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状，并说明理由． ◆类型三利用旋转计算面积 8．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是() A.2－1 B.2＋1 C. 2 D. 3 第8题图第9题图 9．如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则△DCE的面积为________．【方法3】 参考答案与解析

2018届中考数学专题提升(十五)巧用旋转进行证明与计算

专题提升(十五)巧用旋转进行证明与计算 【经典母题】 已知等边三角形ABC(如图Z15－1)． (1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形； (2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的 判断． 图Z15－1 经典母题答图 解：(1)如答图所示； (2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥AE.证明略． 【思想方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发 现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口． 【中考变形】 1．如图Z15－2，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC ＝∠EOC，其中正确结论的个数是(D) 图Z15－2 A．1个B．2个 C．3个D．4个 2．如图Z15－3，P是等腰直角三角形ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝(B)

A．1∶ 2 B．1∶2 C.3∶2 D．1∶ 3 图Z15－3 中考变形2答图【解析】如答图，连结AP，PP′，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝90°.∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC， 在△ABP和△CBP′中，∠CBP′＋∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′． BP＝BP′， ∠ABP＝∠CBP′， AB＝CB， ∴△ABP≌△CBP′(SAS)，∴AP＝P′C.∵P′A∶P′C＝1∶3，∴AP＝3P′A. ∵△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝2PB.∵∠AP′B ＝135°，∴∠AP′P＝135°－45°＝90°，∴△APP′是直角三角形．设P′A ＝x，则AP＝3x，根据勾股定理，得PP′＝AP2－P′A2＝（3x）2－x2＝22x，∴P′B＝PB＝2x，∴P′A∶PB＝x∶2x＝1∶2. 3．[2017·徐州]如图Z15－4，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连结DC，DB. (1)线段DC＝__4__； (2)求线段DB的长度． 图Z15－4 中考变形3答图 解：(1)∵AC＝AD，∠CAD＝60°， ∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4；

九年级数学上册-旋转小专题七旋转中的计算与证明练习新版新人教版

小专题(七) 旋转中的计算与证明 类型1 基于“半角”的旋转 在很多题目中都有这样的题设条件：一个大角中有一个共顶点的小角,小角正好是大角的一半(如例1)．当面对这样的信息时,往往可以考虑使用旋转变换,并且旋转后,多半还有一对轴对称的全等三角形出现,此时,很多问题即可迎刃而解了．总结此类问题解题的思路即是：半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形． 【例1】如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于O.设E,F分别是AB上不同的两个点,且∠EOF＝45°,请你用等式表示线段AE,BF和EF之间的数量关系,并证明． 【思路点拨】将△OFB绕点O顺时针旋转90°,得△OHA.连接HE,利用条件可证△EOH≌△EOF,从而得EH＝EF.然后在Rt△AEH中,利用勾股定理得EH2＝AH2＋AE2,进而得出结论． 1．已知在△ABC中,AB＝AC,D,E是BC边上的点,将△ABD绕点A旋转,得到△ACD′,连接D′E. (1)如图1,当∠BAC＝120°时,∠DAE＝60°时,求证：DE＝D′E；

(2)如图2,当DE＝D′E时,∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出,并说明理由． (3)如图3,在(2)的结论下,当∠BAC＝90°,BD与DE满足怎样的数量关系时,△D′EC是等腰直角三角形？(直接写出结论,不必说明理由) 类型2 基于“等边三角形”的旋转 方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形,旋转60度,从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合,连接小三角形的钝角顶点,得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中,将分散的已知条件集中起来,使问题得以解决． 【例2】如图,点P为等边△ABC内一点,且PA＝2,PB＝1,PC＝3,求∠APB的度数． 【思路点拨】将△APC绕点A顺时针旋转60°,得△ADB.连接DA,DP,DB,得AD＝AP,DB＝PC＝3,∠DAP＝60°.从而可证△ADP为等边三角形,所以DP＝AP＝2,∠DPA＝60°.在△DPB中,利用勾股定理逆定理可得∠DBP＝90°,∠DPB＝60°.从而可得∠APB＝120°. 2．如图所示,点P是等边△ABC内一点,PB＝2,PC＝1,∠BPC＝150°,求PA的长．

学案巧用旋转进行证明与计算.doc

［教材母题】 已知等边三角形，8C（如图Z15 — 1）. （1）以点A为旋转中心，将△A8C按逆时针方向旋转30。，作出旋转后的图形；（2）经第（1）题旋转所得的图形与之间有没有互相垂直的边？证明你的判断. 【思想方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量（或全等）关系，或通过旋转（割补）图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口. 【中考变形】 1.如图Z15-2,已知△A8C和ZXDCE均是等边三角形，点8, C, E在同一条直线上，AE 与B。交于 点。，AE与CD交于点G, AC与BD交于点 F,连结OC, FG,则下列结论：?AE= BD； ?AG=BF； ?FG//BE； @ZBOC = ZEOC,其中正确结论的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A

2.如图Z15-3, P是等腰直角ZkABC外一点，把8P绕点8顺时针旋转90。到BP',已知 ZAP1 8=135°, P‘ A ： P' C=1： 3,贝l)P f A ： PB= ( B. 1 ： 2 D. 1 : 3.如图Z15-4, △ACD和都是等腰直角三角形，ZACD=ZBCE=9Q°f虹交DC于点F, BD分别交CE, AE于点G, H.试猜想线段AE和BD的位置及数量关系，并说明理由.

4.如图Z15-5,在RtA4BC中，ZACB=90°t匕8=30。，将△A8C绕点C按顺时针方向旋转。度后，得到点D刚好落在A8边上.（1）求"的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD 的形状，并说明理由. 5.[2015-南充]如图Z15-6,点P是正方形ABC。内一点，点P到点4, 8和D 的距离分别为1, 2皿，何，AADP 沿点A旋转至△ ABP\连结PP,并延长AP与8C相交于点Q.

旋转的证明与计算(等边三角形)

旋转的证明与计算 模块一：旋转应用之等边旋转 类型二：正方形中的旋转 例题1.正方形ABCD 内一点到三顶点距离分别是1，2，3，则正方形的面积等于 考点：旋转的性质；正方形的性质 分析：把△PAB 绕A 点逆时针旋转90°得△EAD ，把△CPB 绕C 点顺时针旋转90°得△CFD ，连PE ，PF ，则∠1=∠2，∠3=∠4，得到∠2+∠4=90°，∠EDF=180°，即E ，D ，F 共线，且ED=PB=2，DF=PB=2，△APE ，△CPF 均为等腰直角三角形，所以2 11121=??=?APE S ；2 93321=??=?CPF S ，再在△PEF 中，PE=2，PF=23，EF=4，利用勾股定理的逆定理得到△PEF 为直角三角形，∠PEF=90°，则22422 121=??=??=?EF EP S PEF 最后利用S 正方形 A B C D =S 五边形A P C F E =S △P E F +S △A P E +S △C P F ，即可得到答案．

跟踪训练： 2，PC=4，则∠APC的大小是多1、如图点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2，PB=3 少度？ 考点：旋转的性质；勾股定理的逆定理 分析：由于△ABC为等边三角形，所以将△ABP绕A点逆时针旋转 60°得△ACP′，根据旋转的性质得到AB与AC重合，∠PAP′=60°， 2 AP′=AP=2，P′C=PB=3 ，则△APP′是等边三角形，得到PP′=2；在△PPC中，利用勾股定理的逆定理可得到∠PP′C=90°，同时得到∠P′CP=30°，因此∠P′PC=60°，即可得APC=∠APP′+∠P′PC． 2、把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M，接着把三角形板ABC 固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，射线DF与线段BC相交于点N（如图2示）． （1）当0°＜α＜60°时，求AM?CN的值； （2）当0°＜α＜60°时，设AM=x，两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式并求定义域； （3）当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积．

旋转 巧用旋转进行计算与证明 专题练习题

人教版九年级数学上册第二十三章旋转巧用旋转进行计算与证明专题练习题 1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为( ) A．42°B．48°C．52°D．58° 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为( ) A．30°B．60°C．90°D．150° 3．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是( ) A．70°B．35°C．40°D．50° 4．如图，在正方形ABCD内有一点P，PA＝1，PD＝2，PC＝3，求∠APD的度数． 5．(2016·荆门)如图，两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F.已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8 cm，则CF＝__________cm. 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B＝____________． 7．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD上，若∠EBF＝45°，则△EDF的周长等于______．

8．如图，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA 1B 1， 则点A 1 的坐标为() A．(3，1) B．(3，－1)C．(1，－3) D．(2，－1) 9．如图，在△ABO中，AB⊥OB，AB＝3，OB＝1，把△ABO绕点O旋转120°后，得到△A 1B 1 O，则点A 1 的坐标为____________． 10．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为() A．30，2 B．60，2C．60， 3 2 D．60, 3 11．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为___________． 12．如图，在直角三角形ABC中，四边形DECF是正方形，观察图①和图②，请回答下列问题： (1)请简述由图①变换成图②的形成过程； (2)若AD＝3，BD＝4，求△ADE与△BDF的面积和． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，且AD＝BD.将△ABD绕点A逆时针旋转得到△

人教版九年级上册数学《与旋转有关的计算和证明》专题提升练习

人教版九年级上册数学《与旋转有关的计算和证明》专题提升练习 题型一：计算角的度数 1. 如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A′B′C,连接AA′,若∠1=25°,则∠BAA′的度数是( ) A.55° B.60° C.65° D.70° 2.如图,在正方形网格中,格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0°<α<180°)得到格点△A1B1C1,点A与点A1,点B与点B1,点C与点C1是对应点,则α=. 3. 一副三角板如图放置,将三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°),使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直,则α的度数为. 4.如图,点P是等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,若将△APB绕着点B 逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB的度数为.

5. 如图,将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC,∠ACD的平分线CF交DE于点F,连接AE,AF. (1)求∠CEA的度数; (2)求证:AF⊥CE 题型二：计算线段的长度及图形面积 1.如图,在△ABC中,∠ACB=45°,BC=,AC=,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′,其中点B′与点B是对应点,且点C、B′、C′在同一条直线上;则B′C的长为( ) A. B.2 C. D.2

2. 如图,直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A′,AB⊥a于点B,A′D⊥b于点D.若OB=3,OD=2,则阴影部分的面积之和为 . 3.如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连接EF.若AB=3,AC=2,且α+β=∠B,则EF=. 4.如图,将Rt△ABC绕着顶点A逆时针旋转使得点C落在AB上的C′处,点B落在B′处,连接BB′,如果AC=4,AB=5,那么BB′=. 5. 如图,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,P为△ABC内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合,若AP=1,那么线段PP′的长等于.

特殊图形旋转的计算与证明(尖)

特殊图形旋转的计算与证明 一．选择题（共4小题） 1．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为（） A．70°B．80°C．84°D．86° 2．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（） A．2√2 B．3 C．√2D．1+√2 3．如图，把△ABC绕B点逆时针方旋转26°得到△A′BC′，若A′C′正好经过A点，则∠BAC=（） A．52°B．64°C．77°D．82°

4．某学生想把放置在水平桌面上的一块三角板ABC（∠ACB=90°，∠A=30°），绕点C按顺时针方向旋转θ角，转到△A′B′C的位置，其中A′，B′分别是A，B的对应点，B在A′B′上（如图所示），则θ角的度数为（） A．30°B．45°C．60°D．90° 二．填空题（共2小题） 5．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则∠APB=°，△ABC的面积=． 6．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将AB边绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，将AC边绕点C顺时针旋转90°后得到线段CE，AE与BD交于点F，若DF=√2，EF=2√2，则BC边的长为．

三．解答题（共7小题） 7．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B1A1C=30°，AB=2BC． （1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F． ①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1=度； ②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由． （2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D=CD． 8．P为正方形ABCD内一点，且AP=2，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°得到△AP′B′， （1）作出旋转后的图形；（2）试求△APP′的周长和面积． 9．如图，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q，若PA=3，PB=2√2，PC=5，求∠BQC的度数．

几何的计算与证明3-手拉手模型(旋转全等)学生用

几何的计算与证明3-手拉手模型（旋转全等） 1. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE． （1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长； （2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC． 2. 在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF． （1）若AB=2，求BC的长； （2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD=CG．

3. 如图，在正方形ABCD 中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连接CE． （1）若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长； （2）求证：EF+EG=CE． 4. 已知：在平行四边形ABCD中，∠BAD=45°，AB=BD，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H． （1）如图1，若点E与点C重合，且AF=，求AD的长； （2）如图2，连接FH，求证：∠AFB=∠HFB；

5. 已知，平行四边形ABCD 中，连接AC ，AC=AB ，过点B 作BE ⊥AC ，垂足为E ，延长BE 与CD 相交于点F 。 （1）如图1，若AE=3，CE=2，求线段AD 的长； （2）如图2，若∠BAC=450，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，连接AF 、EG ，求证：EG AC 2= ． ` 6. 在等腰直角△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=900，CF ⊥AB 交AB 于点F ，点D 在AC 上，连接BD ，交CF 于点G ，过点C 作BD 的垂线交BC 于点H ，交AB 于点E 。 （1）如图1，∠ABD=∠CBD ，CG=1，求AB ； （2）如图2，连接AH 、FH ，∠AHF=900 ，求证：AH BH 2= ．

微专题十五 巧用旋转进行证明与计算

微专题十五巧用旋转进行证明与计算 [见学用《高分作业》PB60] 【经典母题】 已知等边三角形ABC(如图Z15－1)． (1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形； (2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的 判断． 图Z15－1 经典母题答图 解：(1)如答图所示； (2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥AE.证明略． 【思想方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口． 【中考变形】 1．[2018·淄博]如图Z15－2，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为(A) A．9＋253 4B．9＋ 253 2 C．18＋25 3 D．18＋253 2

图Z15－2 中考变形1答图 【解析】 ∵△ABC 为等边三角形，∴BA ＝BC ， 如答图，可将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连结EP ，且延长BP ，作AF ⊥BP 于点F . ∴BE ＝BP ＝4，AE ＝PC ＝5，∠PBE ＝60°， ∴△BPE 为等边三角形， ∴PE ＝PB ＝4，∠BPE ＝60°， 在△AEP 中，AE ＝5，AP ＝3，PE ＝4， ∴AE 2＝PE 2＋P A 2， ∴△APE 为直角三角形，且∠APE ＝90°， ∴∠APB ＝90°＋60°＝150°，∴∠APF ＝30°， ∴在Rt △APF 中，AF ＝12AP ＝32， PF ＝32AP ＝323， ∴在Rt △ABF 中，AB 2＝BF 2＋AF 2 ＝? ????4＋3232＋? ????322＝25＋123， 则△ABC 的面积是34AB 2＝34·(25＋123)＝9＋2534. 2．[2018·枣庄]如图Z15－3，在正方形ABCD 中，AD ＝23，把边BC 绕点B 逆时针旋转30°得到线段BP ，连结AP 并延长交CD 于点E ，连结PC ，则△PCE 的面积为．

旋转与半角倍角证明及计算

1．阅读下面文字，解决下列问题 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上的点，且∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF． 他的方法是将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GE即是DF+BE． 请回答：在图2中，∠GAF的度数是、△AGE≌△． （2）拓展研究如图3，若E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠B+∠D=180°，AB=AD，要使（1）中线段BE，EF，FD的等量关系仍然成立，则∠EAF与∠BAD应满足的关系是． （3）构造运用运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下面问题：如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=22.5°，点E在AB上，且∠DCE=67.5°，DE⊥AB于点E，若AE=，试求线段AD，BE的长． 2．在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF． （1）在图1中，求证：DE=DF． （2）在图1中，若点G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=5，求BE的长． 3．在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一

点，F是AB延长线上一点，且CE=BF． （1）在图1中，求证：DE=DF； （2）在图1中，若点G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明； （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，点E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长． 4．同学们，在初一学习正多边形和圆这节课时，我们就学习过四边形的内角和等于360°．下面我们就在四边形中来研究几个问题： 在四边形ABCD中，AC=AB，DC=BD，∠CAB=60°且∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF． （1）求证：DE=DF； （2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明你的结论； （3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α且∠CDB=180°﹣α，G 在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中的结论仍成立？（只写结果不要证明） （4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．

中考数学专题旋转中的证明(计算)

专题7 旋转中的证明(计算) 1．已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6. (1)如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP= 时，四边形 BCDP是矩形； (2)将点a绕点E逆时针旋转． ①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF.设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三 角形； ②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG.已知∠BEG=90°，求△DE G的面积． 图1 图2 图3 2．如图，正方形ABC0的边0A、0C在坐标轴上，点B坐标(3，3)，将正方形ABC0绕点A 顺时针旋转角度α(0°<α< 90°)，得到正方形ADEF，ED交线段0C于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG． (1)求证：△A OG≌△ADG； (2)求∠PAG的度数；并判断线段0G、PG、BP之间的数量关系，说明理由； (3)当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．

3．两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合．将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点． (1)不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形； (2)将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、 G1、H1，如图③．探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程； (3)在(2)的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I=CI. 图①图②图③ 4．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，线段AD是BC边上的中线．如图①，将△ADC 沿直线BC平移，使点D与点C重合，得到△FCE.如图②，再将△FCE绕点C顺时针旋转，设旋转角为(0°<α≤90°)．连接AF、DE． (1)在旋转过程中，当∠ACE=150°时，求旋转角α的度数； (2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由， 图①图②备用图

九年级数学旋转几何证明与计算(学生版)

旋转几何证明与计算 （汉阳期中）已知在△ABC 中，∠BAC =60O ，点P 为边BC 的中点，分别以AB 和AC 为斜边向外作Rt △ABD 和Rt △ACE ，且∠DAB =∠EAC =α，连结PD ，PE ，DE 。 （1）如图1，若α=45O ，则 DP DE ________； （2）如图2，若α为任意角度，求证：∠PDE =α； （3）如图3，若α=15O ，AB =8，AC =6，则△PDE 的面积为 。 思考：初中阶段我们学过的平面几何有哪些定理？

（青山期中）2、已知,在△ABC中,BC=4。 (1)如图1，将边AC、AB同时绕着点A分别按逆时针、顺时针方向旋转0a，得AD、AE、连接BD、CE,求证：BD=CE； (2)如图2，若∠ABC=600，AB=1，将边AC绕着点A逆时针旋转1200，得到AD，连接BD,求BD的长； (3)如图3，O为BC上一点，OB=1，以O为圆心，OB的半径作⊙O,点M是⊙O上动点,连接MC，以MC为腰作等腰Rt△MCF，使∠MCF=900，其中M、C、F三点为逆时针顺序，连接BF，则BF的取值范围是。

（硚口元调模拟二）3、如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG、DE。 (1) 求证：DE⊥AG； (2) 正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2 ①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数； ②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由。 【课堂练习】 （武汉元调）1、如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧，点D在另一侧）。 (1) 如图1，若点C是AB的中点，则∠AED＝___________。 (2) 如图2，若点C不是AB的中点。 ①求证：△DEF为等边三角形； ②连接CD，若∠ADC＝90°，AB＝3，请直接写出EF的长。

旋转的计算与证明 201709

旋转的计算与证明（秦皇岛开发区二中） 1 .如图，E 是正方形ABCD 的边BC 上一点，F 是DC 的延长线上一点，且∠BAE ＝∠FAE .求证：BE +DF ＝AF . 2，如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 上.求证： S △DEF ≤S △ADE +S △BDF . 3，如图，在正△ABC 内有一点P ，PA ＝5，PB ＝4，PC ＝3.求∠BPC 的度数. F D A E C B P C B A P ′ D A B C

4，如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连PA 、PB 、PC . （1）将△PAB 绕点B 顺针旋转90°到△P ′CB 的位置（如图①所示）.若PA ＝2，PB ＝4，∠APB ＝135°，求PC 的长. （2）如图②，若PA 2+PC 2＝2PB 2，请说明点P 必在对角线AC 上. 5. 如图4所示，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFGH ，EF 交AD 于点H ，求DH 的长。 ① H G D B A F E 图4 H G D C B A F E 图5

6、如图2，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD—上的点，且△CEF的周长是2．求∠EAF的大小。 7、分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作等边三角形ABD及等边三角形ACE。连结BE、CD。设M、N分别是BE、CD的中点。求证：△AMN 是等边三角形。 8.（厦门）如图6，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC与∠ADC 互补。 （1）求∠C的度数；（2）若BC＞CD且AB=AD，请在图上画一条线段，把四边ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方

巧用旋转进行证明与计算

巧用旋转进行证明与计算 【经典母题】 已知等边三角形ABC(如图Z15－1)． (1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形； (2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的 判断． 图Z15－1 经典母题答图 解：(1)如答图所示； (2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥AE.证明略． 【思想方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口． 【中考变形】 1．如图Z15－2，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC ＝∠EOC，其中正确结论的个数是(D) 图Z15－2 A．1个B．2个 C．3个D．4个 2．如图Z15－3，P是等腰直角三角形ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝(B)

A ．1∶ 2 B ．1∶2 C.3∶2 D ．1∶ 3 图Z15－3 中考变形2答图 【解析】 如答图，连结AP ，PP ′，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′， ∴BP ＝BP ′，∠ABP ＋∠ABP ′＝90°.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，∠CBP ′＋∠ABP ′＝90°，∴∠ABP ＝∠CBP ′.在△ABP 和△CBP ′中， ???BP ＝BP ′， ∠ABP ＝∠CBP ′，AB ＝CB ， ∴△ABP ≌△CBP ′(SAS )，∴AP ＝P ′C .∵P ′A ∶P ′C ＝1∶3，∴AP ＝3P ′A . ∵△PBP ′是等腰直角三角形，∴∠BP ′P ＝45°，PP ′＝2PB .∵∠AP ′B ＝135°，∴∠AP ′P ＝135°－45°＝90°，∴△APP ′是直角三角形．设P ′A ＝x ，则AP ＝3x ，根据勾股定理，得PP ′＝AP 2－P ′A 2＝（3x ）2－x 2＝22x ，∴P ′B ＝PB ＝2x ，∴P ′A ∶PB ＝x ∶2x ＝1∶2. 3．[2017·徐州]如图Z15－4，已知AC ⊥BC ，垂足为C ，AC ＝4，BC ＝33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连结DC ，DB . (1)线段DC ＝__4__； (2)求线段DB 的长度． 图Z15－4 中考变形3答图 解：(1)∵AC ＝AD ，∠CAD ＝60°， ∴△ACD 是等边三角形，∴DC ＝AC ＝4；

经典旋转证明类型题

旋转中的几何证明 类型一 ?利用旋转添加辅助线： ?满足条件： ?（1）有两条相等线段 ?（2）有公关端点 例1：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的动点，满足∠EAF=45°， 求证:EF=DE+BF 例2：在等边△ABC中，O为△ABC一点，连接AO、BO、CO且AO=2,BO=1,CO=√3 ,求∠AOB，∠BOC的度数分别是多少？ 中考连接 1已知：PA=√2，PB=4 ，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧. （1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长； （2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小. 类型二.旋转型相似 例3.点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。 (1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________； (2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)； (3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。

我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另外一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形。 （1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称： （2）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O。求证：AD2+BC2=AB2+DC2。即四边形ABCD 是等平方和四边形。 （3）如果将图①中的△AOD绕点O按逆时针方向旋转a度（0

2017-2018学年沪科版九年级数学下册练习：解题技巧专题：巧用旋转进行计算或证明

A 解题技巧专题：巧用旋转进行计算或证明 ——体会旋转中常见解题技巧 ◆类型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度 1．(2016·合肥校级模拟△)如图，将ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为() A．60°B．85°C．75°D．90° 第1题图第2题图第3题图2．(2016·株洲中考△)如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C 沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C.若点B′恰好落在线段AB上，AC、′B′交于点O，则∠COA′的度数是() A．50°B．60°C．70°D．80° △3．如图，AB C为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为________． 4．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝5，PB＝12，PC＝△13，若将P AC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数． ◆类型二利用旋转结合特殊三角形判定、性质或勾股定理求长度或证明 △5．如图，ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，得到△AB′C′，过点B′作B′D⊥CA，交CA的延长线于点D，若AC＝6，则AD的长为() A．2B．3C．23D．32

． 6．如图，△Rt ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 60°， 得到△MNC ，连接 BM ，那么 BM 的长是________． 7．(2016· 娄底中考△)如图，将等腰 ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转 α 度到 △A 1BC 1 的位 置，AB 与 A 1C 1 相交于点 D ，AC 与 A 1C 1，BC 1 分别交于点 E ，F . (1)求证：△BCF ≌ △BA 1D ； (2)当∠C ＝α 度时，判定四边形 A 1BCE 的形状，并说明理由 ． ◆类型三 利用旋转计算面积 8．如图，边长为 1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点 A 顺 时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是( ) A. 2－1 B. 2＋1 C. 2 D. 3 第 8 题图 第 9 题图 △9．如图，在等边 ABC 内有一点 D ，AD ＝5，BD ＝6，CD ＝△4，将 ABD 绕 A 点逆时 针旋转，使 AB 与 AC 重合 ，点 D 旋转至点 E ，则△DCE 的面积为________ 【方法 3】 参考答案与解析