1. 幂级数
()
1
13
2n n
n
n x n
∞
=+-∑ 的收敛半径为( C ) (A) 2 (B) 12 (C) 3 (D) 1
2.(,)z f x y =在(0,0)的某邻域内有定义,且(0,0)3,(0,0)1x y f f ==-,则( C ). (A) ()
003,dz
dx dy =-;
(B) 曲面在()(0,0,0,0)f 的一个法向量为()311,,-
(C) 曲线(,)
z f x y y =??
=?在()(0,0,0,0)f 的一个切向量为()103,, (D) 曲线(,)
z f x y y =
??
=
?在()(0,0,0,0)f 的一个切向量为()301,, 3. 下列说法正确的是( C ).
(A) 若∑∞
=1n n u ,∑∞
=1
n n v 都发散,则∑∞
=+1)(n n n v u 发散; (B) 若∑∞
=1
n n u 发散, 则∑
∞
=11
n n
u 收敛; (C) 若∑∞
=1n n u 收敛, 则∑∞
=11
n n
u 发散; (D)若∑∞=1n n u 收敛,∑∞=1n n v 发散, 则()1n n n u v ∞
=+∑收敛;
4. 下列数项级数中绝对收敛的是( D )。
(A )1
1
(1)n n n -∞
=-∑;(B )
1
1
(1)
21
n n n
n ∞
-=--∑;(C )
1
1
4(1)()3n n
n ∞
-=-∑;(D ) 1
2
1
(1)n n n -∞
=-∑ 5. 设平面区域D :221,,x y y x +≤≥若1D 是D 在第一象限的部分,则
32(sin sin )D
xy x y dxdy +?=??( A )。 (A )1
22
sin sin ;D x ydxdy ??? (B )1
32;D xy dxdy ?? (C )1
32
4
(sin sin );D xy x y dxdy +???; (D ) 0。
6. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限的部分,则2
dS x y z
∑
=++??
( A )
(A
(B )2; (C
; (D )12
二、填空题(共8小题
9个空,每空 2分,共18分)
1.00
x y →→= -2
2.空间曲线Γ:2222
0x y z a x y z ?++=?++=?,则
()2
22x
y z ds Γ
++=?32a π
3.23u xy
z xyz =
+-在点()012,,处的梯度()
012,,gradu
= ()1012,,-; 在该点
处沿方向()
11l =r 的方向导数为 11
2
4. ()22,xy
u f x y e =-,且f 具有一阶连续偏导数,则
u
x
?=?122xy xf ye f ''+ 5.xoz 面上曲线22221x z a c -=绕z 轴旋转一周形成的曲面方程为222
2
21x y z a c
+-= 6.周期为π2的函数)(x f ,它在一个周期上的表达式为1,0
()1,0x f x x ππ--≤=?≤,
设它的Fourier 级数的和函数为)(x s ,则)2
5(
π
s =1
7.微分方程250y y y '''-+=的通解为()12cos2sin 2x y e C x C x =+
8. x 的幂级数中,3x 项的系数为1111214
3333!81??????----- ??????????
?=-
三、计算题(共6小题,共56分)
1. 求直线10
10
x y z x y z +--=??-++=?在平面0x y z ++=上的投影直线方程方程.(本题8分)
解:过直线10
10x y z x y z +--=??-++=?的平面束为()()110x y z x y z λ+--+-++= ( 6分)
这平面与0x y z ++=垂直,()()()11111101λλλλ++-+-+=?=-
得10y z --=,故投影直线为10
0y z x y z --=??++=? ( 8分)
2. 曲线过点()11,-,且在点()x,y 处切线斜率为
1
x y
+,求曲线的方程 (本题8分)。 解:
1
dy dx x y
=+ 方法1):dx dx x y x y dy dy
=+?-= ( 6分)
齐次通解y x Ce =, 非齐通解111y
y x y Ce C e x y e +=--+?=?=--+ ( 8分)
方法2):令111
dy du du u u
u x y du dx dx dx dx u u +=+?
=-?=?=+ ()11111y u ln u x C y ln x y C C e x y +-+=+?-++=?=-?=++
3. 计算()()22sin L x y dx x y dy --+?,其中L
是y =上从()00,到()11,的弧.
(本题10分) 解:
1Q P
y x
??==-??,故路径无关。 ( 6分)
()()()1
1
2
2
20
sin 1sin L
x
y dx x y dy xdx y dy --+=-+???
( 10分)
1011cos 2711sin 2
3264y dy -=--=-+?
4. 计算??∑
++=dxdy z dzdx y dydz x I 222,其中∑是222x y z +=介于0z =与z h =之
间部分的下侧. (本题10分)
解: 作辅助曲面2221x y :z h,(x,y )D :x y h ,∑=∈+≤上侧, 则1
1
I ∑+∑∑=
-????
=22x y
D (x y z )dxdydz h d xd y Ω
++-?????
( 8分)
=42z d x d ydz h πΩ
-???
=24440
1
222
h h
r
d rdr zdz h h h ππ
θππ=
-=-??? ( 10分)
5. 将周长为2p 的矩形饶它的一边旋转而构成一个圆柱体,问矩形的边长各为多少时,圆柱体的体积最大?(本题10分)
解:设矩形边长各为,x y ,体积为V ,则2V x y π=,满足x y p +=
()()2,,F x y x y x y p λπλ=++- ( 5分)
2
20
0x y F x y F x x y p πλπλ?=+=?=+=??+=? 21
,33x p y p ?== ( 10分)
6. 求幂级数12)1(1
21
+-+∞
=∑n x n n n
的收敛域,并求其和函数. (本题10分)
解:121
lim
lim 123
n n n n a n a n ρ→∞
→∞==++=+,
所以收敛半径1R =。因为在端点1,1x =-处,级数成为交错级数,收敛。所以收敛区间为[1,1]-。 ……….. (6分)
设21
1
()(1),[1,1]21n n
n x s x x n +∞
==-∈-+∑,两边对x 求导得:
2
22
1
()()1n
n x s x x x ∞
=-'=-=+∑。
上式对x 从0到x 积分得:
2
1
()(1)arctan 1x
s x dx x x x
=
-+
=-++?
….. (10分)
四、证明题(共1小题,共8分)
证明级数∑∞
=+-1
)
1ln(1
)1(n n
n 条件收敛。
解:令)
1ln(1
n a n +=
,则0lim =∞→n n a ,且
)1ln(1n a n +=
1)
2ln(1+=+>n a n
从而∑∞
=+-1
)
1ln(1
)1(n n
n 收敛
( 4分)
又)1ln(+>n n ,所以)1ln(1
n a n +=
n
1>
而∑∞
=11n n
发散,故11ln(1)n n ∞
=+∑发散,从而原级数条件收敛。( 8分)
习题12-2 1. 求下列微分方程的通解: (1)xy '-y ln y =0; 解 分离变量得 dx x dy y y 1ln 1=, 两边积分得 ??=dx x dy y y 1 ln 1, 即 ln(ln y )=ln x +ln C , 故通解为y =e Cx . (2)3x 2+5x -5y '=0; 解 分离变量得 5dy =(3x 2+5x )dx , 两边积分得 ? ?+=dx x x dy )53(52, 即 123255C x x y ++=, 故通解为C x x y ++=232151, 其中151C C =为任意常数. (3)2211y y x -='-; 解 分离变量得 2 211x dx y dy -=-, 两边积分得 ??-=-2 211x dx y dy 即 arcsin y =arcsin x +C , 故通解为y =sin(arcsin x +C ). (4)y '-xy '=a (y 2+y '); 解 方程变形为(1-x -a )y '=ay 2, 分离变量得 dx x a a dy y --=112 ,
两边积分得 ??--=dx x a a dy y 112, 即 1)1ln(1C x a a y ----=-, 故通解为)1ln(1x a a C y --+=, 其中C =aC 1为任意常数. (5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0; 解 分离变量得 dx x x y y y tan sec tan sec 22-=, 两边积分得 ??-=dx x x y y y tan sec tan sec 22, 即 ln(tan y )=-ln(tan x )+ln C , 故通解为tan x tan y =C . (6)y x dx dy +=10; 解 分离变量得 10-y dy =10x dx , 两边积分得 ? ?=-dx dy x y 1010, 即 10 ln 10ln 1010ln 10C x y +=--, 或 10-y =10x +C , 故通解为y =-lg(C -10x ). (7)(e x +y -e x )dx +(e x +y +e y )dy =0; 解 方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1-e y )dx , 分离变量得 dx e e dy e e x x y y +=-11, 两边积分得 ??+=-dx e e dy e e x x y y 11, 即 -ln(e y )=ln(e x +1)-ln C , 故通解为(e x +1)(e y -1)=C .
《微积分》第二章测试题 1. 【导数的概念】已知()23f '=,求()() 22lim h f h f h h →+-- 解()() ()() ()()()0 0222222lim lim 226h h f h f h f h f f h f f h h h →→+--+---??'=+== ?-?? 2. 设函数cos ln x y x e a -=++,求 d y d x 解 sin x dy x e dx -=-- 3. 设函数arctan x y e =,求 d y d x 解 d y d x () arctan arctan 1 1 1221x x e e x x x x =? ? = ++ 4. 设函数2 sin cos 2y x x =,求 d y d x , x dy dx = 解()2 2 2 2 4 sin cos 2sin 12sin sin 2sin y x x x x x x ==-=- ()()3 2 2 2sin cos 8sin cos 2sin cos 14sin sin 214sin dy x x x x x x x x x dx =-=-=-, 0x dy dx == 5. 【函数的微分,记得加dx 】设函数2 sin 2x y x = ,求dy 解2 4 3 3 2cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2,dy x x x x x x x x x x dy dx dx x x x ---== ∴= 6. 【高阶导数】设函数11 y x = -,求 n n d y dx 解 () () () () () () () 2 3 1 2 3 4 1 23 ! 11, 21, 3!1,, 1n n n n dy d y d y d y n x x x x dx dx dx dx x ----+' = -=--=-=--=-- 7.【隐函数求导】 设函数()y y x =由方程2 sin 20xy y -=确定,求 d y d x 解 等式两边同时对x 求导2 22sin 20,y xyy y y ''+-=则 () 2 2 2 2sin 222221dy y y y y dx y xy xy xy x y '== = = ---
第9章 习题9-1 1. 判定下列级数的收敛性: (1) 11 5n n a ∞ =?∑(a >0); (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑. 解:(1)该级数为等比级数,公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时,级数收敛,当1 | |1a ≥即01a <≤时,级数发散. (2) Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. (3)113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数,而调和级数11 n n ∞ =∑发散,故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. (4)Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数,所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛,即原级数收敛. (5)Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. (6)Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在,从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. (7)Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. (8)Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠,故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2. 判别下列级数的收敛性,若收敛则求其和: (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ; (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑. 解:Q (1)1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛,且其和分别为1和12,则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛,且其 和为1+ 12=3 2 . (2)Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
第二章 一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处 ( ) A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x +=?≥?,则()f x 在点0x =处 ( ) A 、没有极限 B 、有极限但不连续 C 、连续但不可导 D 、可导 3.设函数)(x f y =可微,则当0→?x 时,dy y -?与x ?相比,是( ) A .x ?的等价无穷小 B .x ?的同阶无穷小 C .x ?的高阶无穷小 D .x ?的低阶无穷小 4.函数3 y x x =-的单调增区间是 ( ) A 、(,3-∞- B 、()33- C 、(+)3∞ D 、(0,+)∞ 5.函数1()()2 x x f x e e -=+的极小值点是 ( ) A 、1 B 、1- C 、0 D 、不存在 二、填空题. 1. 已知(sin )cos x x '=,利用导数定义求极限0πsin()12lim =x x x →+-__________. 2、如果0()4f x '=,则x x f x x f x ?-?-→?)()3(lim 000=______________. 3. 函数x x f ln )(=在1=x 处的切线方程是 . 4.设1()f x x =,则()f x '=____ . 5. 函数3()sin(cos )f x x =,则()f x '= . 6. 设函数()ln cos f x x =,则二阶导数()f x ''=______________.
7. (arctan 2)d x =________,[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-,已知()f x 在3x =-时取得极值,则a =______. 9.设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=,则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导,则()f x 在点0x 处连续. ( ) 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. ( ) 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. ( ) 4. 极值点一定是驻点. ( ) 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. ( ) 四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =,求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. (1)sin lim sin x x x x x →∞-+, (2)x x x x x x x --+-→4240sin 23lim , (3)11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?, (4)1lim(1)(0)x x a x a →∞->, (5)()10lim 1x x x →+, (6)1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点. 2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求量为100010q p =-(q 为需求量,p 为价格).试求:(1)成本函数,收入函数;(2)产量为多少吨时利润最大?
一.选择题(3分?10) 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ( ). A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2,则有( ). A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是( ). A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ). A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题(4分?5) 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ,则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题(5分?6) 1.设v e z u sin =,而y x v xy u +==,,求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定,求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径). 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题(10分?2)
习题11?1 1. 写出下列级数的前五项: (1); 解. 解. (2); 解. 解. (3); 解. 解. (4). 解. 解. 2. 写出下列级数的一般项: (1); 解一般项为. (2);
解一般项为. (3); 解一般项为. (4). 解一般项为. 3. 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性: (1); 解因为 , 所以级数发散. (2); 解因为 , 所以级数收敛. (3). 解
. 因为不存在,所以不存在,因而该级数发散. 4. 判定下列级数的收敛性: (1); 解这是一个等比级数,公比为 ,于是 ,所以此级数收敛. (2); 解此级数是发散的,这是因为如此级数收敛,则级数 也收敛,矛盾. (3); 解因为级数的一般项 , 所以由级数收敛的必要条件可知,此级数发散. (4); 解这是一个等比级数,公比 ,所以此级数发散. (5). 解因为和都是收敛的等比级数,所以级数 是收敛的.
习题11?2 1. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收 敛性: (1); 解因为 ,而级数发散,故所给级数发散. (2); 解因为 ,而级数发散, 故所给级数发散. (3); 解因为 ,而级数收敛,故所给级数收敛. (4); 解因为 ,而级数收敛, 故所给级数收敛. (5). 解因为 , 而当a>1时级数收敛,当0