2017年吉林省中考数学试卷
一、单项选择题(每小题2分,共12分)
1.(2分)计算(﹣1)2的正确结果是()
A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2
2.(2分)如图是一个正六棱柱的茶叶盒,其俯视图为()
A.B.
C.D.
3.(2分)下列计算正确的是()
A.a2+a3=a5 B.a2?a3=a6 C.(a2)3=a6D.(ab)2=ab2
4.(2分)不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是()
A.B.C.
D.
5.(2分)如图,在△ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的度数是()
A.70°B.44°C.34°D.24°
6.(2分)如图,直线l是⊙O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB 交⊙O于点C.若AB=12,OA=5,则BC的长为()
A.5 B.6 C.7 D.8
二、填空题(每小题3分,共24分)
7.(3分)2016年我国资助各类家庭困难学生超过84 000 000人次.将84 000 000这个数用科学记数法表示为.
8.(3分)苹果原价是每千克x元,按8折优惠出售,该苹果现价是每千克元(用含x的代数式表示).
9.(3分)分解因式:a2+4a+4=.
10.(3分)我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法,如图所示,直线a∥b的根据是.
11.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'.若点B的对应点B'落在边CD上,则B'C的长为.
12.(3分)如图,数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度,使用长为2m的竹竿CD作为测量工具.移动竹竿,使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合,测得OD=4m,BD=14m,则旗杆AB的高为m.
13.(3分)如图,分别以正五边形ABCDE的顶点A,D为圆心,以AB长为半径画,.若AB=1,则阴影部分图形的周长为(结果保留π).
14.(3分)我们规定:当k,b为常数,k≠0,b≠0,k≠b时,一次函数y=kx+b 与y=bx+k互为交换函数.例如:y=4x+3的交换函数为y=3x+4.一次函数y=kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为.
三、解答题(每小题5分,共20分)
15.(5分)某学生化简分式+出现了错误,解答过程如下:
原式=+(第一步)
=(第二步)
=.(第三步)
(1)该学生解答过程是从第步开始出错的,其错误原因是;(2)请写出此题正确的解答过程.
16.(5分)被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁,其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km,隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km.求隧道累计长度与桥梁累计长度.
17.(5分)在一个不透明的盒子中装有三张卡片,分别标有数字1,2,3,这些卡片除数字不同外其余均相同.小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回,洗匀后再随机抽取一张卡片.用画树状图或列表的方法,求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率.
18.(5分)如图,点E、F在BC上,BE=FC,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.
四、解答题(每小题7分,共28分)
19.(7分)某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额(单位:万元)如下表:
(1)根据上表中的数据,将下表补充完整:
(2)甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好,你赞同谁的说法?请说明理由.
20.(7分)图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点.线段AB的端点在格点上.
(1)在图①、图2中,以AB为边各画一个等腰三角形,且第三个顶点在格点上;(所画图形不全等)
(2)在图③中,以AB为边画一个平行四边形,且另外两个顶点在格点上.21.(7分)如图,一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射,当火箭到达点A,B时,在雷达站C处测得点A,B的仰角分别为34°,45°,其中点O,A,B在同一条直线上.求A,B两点间的距离(结果精确到0.1km).
(参考数据:sin34°=0.56,cos34°=0.83,tan34°=0.67.)
22.(7分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与函数y=(x>0)的图象交于点A(m,2),B(2,n).过点A作AC平行于x轴交y轴于点C,在y轴负半轴上取一点D,使OD=OC,且△ACD的面积是6,连接BC.
(1)求m,k,n的值;
(2)求△ABC的面积.
五、解答题(每小题8分,共16分)
23.(8分)如图①,BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°,AD=1.将△BCD 沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置,使B'为BD中点,连接AB',C'D,AD',BC',如图②.
(1)求证:四边形AB'C'D是菱形;
(2)四边形ABC'D′的周长为;
(3)将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形,直接写出所有可能拼成的矩形周长.
24.(8分)如图①,一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内,现以一定的速度往水槽中注水,28s时注满水槽.水槽内水面的高度y(cm)与注水时间x(s)之间的函数图象如图②所示.
(1)正方体的棱长为cm;
(2)求线段AB对应的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)如果将正方体铁块取出,又经过t(s)恰好将此水槽注满,直接写出t的值.
六、解答题(每小题10分,共20分)
25.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=45°,AB=4cm.点P从点A 出发,以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动.过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q,D为PQ中点,以DQ为边向右侧作正方形DEFQ.设正方形DEFQ与△ABC 重叠部分图形的面积是y(cm2),点P的运动时间为x(s).
(1)当点Q在边AC上时,正方形DEFQ的边长为cm(用含x的代数式表示);
(2)当点P不与点B重合时,求点F落在边BC上时x的值;
(3)当0<x<2时,求y关于x的函数解析式;
(4)直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围.26.(10分)《函数的图象与性质》拓展学习片段展示:
【问题】如图①,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x﹣2)2﹣经过原点O,与x轴的另一个交点为A,则a=.
【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方,将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G,如图②.直接写出图象G对应的函数解析式.
【探究】在图②中,过点B(0,1)作直线l平行于x轴,与图象G的交点从左至右依次为点C,D,E,F,如图③.求图象G在直线l上方的部分对应的函数y 随x增大而增大时x的取值范围.
【应用】P是图③中图象G上一点,其横坐标为m,连接PD,PE.直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围.
2017年吉林省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题(每小题2分,共12分)
1.(2分)(2017?吉林)计算(﹣1)2的正确结果是()
A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2
【解答】解:原式=1.
故选A.
2.(2分)(2017?吉林)如图是一个正六棱柱的茶叶盒,其俯视图为()
A.B.
C.D.
【解答】解:正六棱柱的俯视图为正六边形.
故选B.
3.(2分)(2017?吉林)下列计算正确的是()
A.a2+a3=a5 B.a2?a3=a6 C.(a2)3=a6D.(ab)2=ab2
【解答】解:(A)a2与a3不是同类项,故A错误;
(B)原式=a5,故B错误;
(D)原式=a2b2,故D错误;
故选(C)
4.(2分)(2017?吉林)不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是()
A.B.C.
D.
【解答】解:∵x+1≥2,
∴x≥1.
故选A.
5.(2分)(2017?吉林)如图,在△ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的度数是()
A.70°B.44°C.34°D.24°
【解答】解:∵AB=BD,∠B=40°,
∴∠ADB=70°,
∵∠C=36°,
∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=34°.
故选C.
6.(2分)(2017?吉林)如图,直线l是⊙O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交⊙O于点C.若AB=12,OA=5,则BC的长为()
A.5 B.6 C.7 D.8
【解答】解:由勾股定理,得
OB==13,
CB=OB﹣OC=13﹣5=8,
故选:D.
二、填空题(每小题3分,共24分)
7.(3分)(2017?吉林)2016年我国资助各类家庭困难学生超过84 000 000人次.将84 000 000这个数用科学记数法表示为8.4×107.
【解答】解:84 000 000=8.4×107,
故答案为:8.4×107.
8.(3分)(2017?吉林)苹果原价是每千克x元,按8折优惠出售,该苹果现价是每千克0.8x元(用含x的代数式表示).
【解答】解:依题意得:该苹果现价是每千克80%x=0.8x.
故答案是:0.8x.
9.(3分)(2017?吉林)分解因式:a2+4a+4=(a+2)2.
【解答】解:a2+4a+4=(a+2)2.
故答案为:(a+2)2.
10.(3分)(2017?吉林)我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法,如图所示,直线a∥b的根据是同位角相等,两直线平行.
【解答】解:如图所示:
根据题意得出:∠1=∠2;∠1和∠2是同位角;
∵∠1=∠2,
∴a∥b(同位角相等,两直线平行);
故答案为:同位角相等,两直线平行.
11.(3分)(2017?吉林)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'.若点B的对应点B'落在边CD上,则B'C的长为1.
【解答】解:由旋转的性质得到AB=AB′=5,
在直角△AB′D中,∠D=90°,AD=3,AB′=AB=5,
所以B′D===4,
所以B′C=5﹣B′D=1.
故答案是:1.
12.(3分)(2017?吉林)如图,数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度,使用长为2m的竹竿CD作为测量工具.移动竹竿,使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合,测得OD=4m,BD=14m,则旗杆AB的高为9m.
【解答】解:
∵OD=4m,BD=14m,
∴OB=OD+BD=18m,
由题意可知∠ODC=∠OBA,且∠O为公共角,
∴△OCD∽△OAB,
∴=,即=,解得AB=9,
即旗杆AB的高为9m.
故答案为:9.
13.(3分)(2017?吉林)如图,分别以正五边形ABCDE的顶点A,D为圆心,
以AB长为半径画,.若AB=1,则阴影部分图形的周长为π+1(结果保留π).
【解答】解:∵五边形ABCDE为正五边形,AB=1,
∴AB=BC=CD=DE=EA=1,∠A=∠D=108°,
∴==?πAB=π,
∴C
=++BC=π+1.
阴影
故答案为:π+1.
14.(3分)(2017?吉林)我们规定:当k,b为常数,k≠0,b≠0,k≠b时,一次函数y=kx+b与y=bx+k互为交换函数.例如:y=4x+3的交换函数为y=3x+4.一
次函数y=kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为1.
【解答】解:由题意可得,
,
解得,,
故答案为:1.
三、解答题(每小题5分,共20分)
15.(5分)(2017?吉林)某学生化简分式+出现了错误,解答过程如下:
原式=+(第一步)
=(第二步)
=.(第三步)
(1)该学生解答过程是从第一步开始出错的,其错误原因是分式的基本性质;
(2)请写出此题正确的解答过程.
【解答】解:(1)一、分式的基本性质用错;
(2)原式=+
=
=
故答案为:(1)一、分式的基本性质用错;
16.(5分)(2017?吉林)被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁,其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km,隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km.求隧道累计长度与桥梁累计长度.
【解答】解:设隧道累计长度为x km,桥梁累计长度为y km,
根据题意得:,
解得:.
答:隧道累计长度为126km,桥梁累计长度为216km.
17.(5分)(2017?吉林)在一个不透明的盒子中装有三张卡片,分别标有数字1,2,3,这些卡片除数字不同外其余均相同.小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回,洗匀后再随机抽取一张卡片.用画树状图或列表的方法,求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率.
【解答】解:画树状图得:
∵共有9种等可能的结果,两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有4种情况,∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为.
18.(5分)(2017?吉林)如图,点E、F在BC上,BE=FC,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.
【解答】证明:∵BE=FC,
∴BE+EF=CF+EF,
即BF=CE;
又∵AB=DC,∠B=∠C,
∴△ABF≌△DCE;(SAS)
∴∠A=∠D.
四、解答题(每小题7分,共28分)
19.(7分)(2017?吉林)某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额(单位:万元)如下表:
(1)根据上表中的数据,将下表补充完整:
(2)甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好,你赞同谁的说法?请说明理由.
【解答】解:(1)=(7.2+9.6+9.6+7.8+9.3)=8.7(万元)
把乙按照从小到大依次排列,可得5.8,5.8,9.7,9.8,9.9;
中位数为9.7万元.
丙中出现次数最多的数为9.9万元.
故答案为:8.7,9.7,9.9;
(2)我赞同甲的说法.甲的平均销售额比乙、丙都高.
20.(7分)(2017?吉林)图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点.线段AB的端点在格点上.
(1)在图①、图2中,以AB为边各画一个等腰三角形,且第三个顶点在格点上;(所画图形不全等)
(2)在图③中,以AB为边画一个平行四边形,且另外两个顶点在格点上.【解答】解:(1)如图①、②所示,△ABC和△ABD即为所求;
(2)如图③所示,?ABCD即为所求.
21.(7分)(2017?吉林)如图,一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射,当火箭到达点A,B时,在雷达站C处测得点A,B的仰角分别为34°,45°,其中点O,A,B在同一条直线上.求A,B两点间的距离(结果精确到0.1km).(参考数据:sin34°=0.56,cos34°=0.83,tan34°=0.67.)
【解答】解:由题意可得:∠AOC=90°,OC=5km.
在Rt△AOC中,
∵tan34°=,
∴OA=OC?tan34°=5×0.67=3.35km,
在Rt△BOC中,∠BCO=45°,
∴OB=OC=5km,
∴AB=5﹣3.35=1.65≈1.7km,
答:求A,B两点间的距离约为1.7km.
22.(7分)(2017?吉林)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与函数y=(x >0)的图象交于点A(m,2),B(2,n).过点A作AC平行于x轴交y轴于点C,在y轴负半轴上取一点D,使OD=OC,且△ACD的面积是6,连接BC.(1)求m,k,n的值;
(2)求△ABC的面积.
【解答】解:(1)∵点A的坐标为(m,2),AC平行于x轴,
∴OC=2,AC⊥y轴,
∵OD=OC,
∴OD=1,
∴CD=3,
∵△ACD的面积为6,
∴CD?AC=6,
∴AC=4,即m=4,
则点A的坐标为(4,2),将其代入y=可得k=8,
∵点B(2,n)在y=的图象上,
∴n=4;
(2)如图,过点B作BE⊥AC于点E,则BE=2,
∴S
=AC?BE=×4×2=4,
△ABC
即△ABC的面积为4.
五、解答题(每小题8分,共16分)
23.(8分)(2017?吉林)如图①,BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°,AD=1.将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置,使B'为BD中点,连接AB',C'D,AD',BC',如图②.
(1)求证:四边形AB'C'D是菱形;
(2)四边形ABC'D′的周长为4;
(3)将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形,直接写出所有可能拼成的矩形周长.
【解答】解:(1)∵BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°,
∴∠ADB=60°,
由平移可得,B'C'=BC=AD,∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°,
∴AD∥B'C'
∴四边形AB'C'D是平行四边形,
∵B'为BD中点,
∴Rt△ABD中,AB'=BD=DB',
又∵∠ADB=60°,
∴△ADB'是等边三角形,
∴AD=AB',
∴四边形AB'C'D是菱形;
(2)由平移可得,AB=C'D',∠ABD'=∠C'D'B=30°,
∴AB∥C'D',
∴四边形ABC'D'是平行四边形,
由(1)可得,AC'⊥B'D,
∴四边形ABC'D'是菱形,
∵AB=AD=,
∴四边形ABC'D′的周长为4,
故答案为:4;
(3)将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下:
∴矩形周长为6+或2+3.
24.(8分)(2017?吉林)如图①,一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内,现以
一定的速度往水槽中注水,28s时注满水槽.水槽内水面的高度y(cm)与注水时间x(s)之间的函数图象如图②所示.
(1)正方体的棱长为10cm;
(2)求线段AB对应的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)如果将正方体铁块取出,又经过t(s)恰好将此水槽注满,直接写出t的值.
【解答】解:(1)由题意可得:12秒时,水槽内水面的高度为10cm,12秒后水槽内高度变化趋势改变,
故正方体的棱长为10cm;
故答案为:10;
(2)设线段AB对应的函数解析式为:y=kx+b,
∵图象过A(12,0),B(28,20),
∴,
解得:,
∴线段AB对应的解析式为:y=x+(12≤x≤28);
(3)∵28﹣12=16(s),
∴没有立方体时,水面上升10cm,所用时间为:16秒,
∵前12秒由立方体的存在,导致水面上升速度加快了4秒,