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2005年全国初中数学联赛试题及答案

一、选择题：(每题7分，共42分) 1

的结果是＿＿。

A 、无理数

B 、真分数

C 、奇数

D 、偶数

2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。 A 、78.5 B 、97.5 C 、90 D 、102

3、设r ≥4，a ＝11

r r+1－，b ，

c ＝

，则下列各式一定成立的是＿＿。

A 、a>b>c

B 、b>c>a

C 、c>a>b

D 、c>b>a 4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公

切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。

A 、

B 、

C D

5、已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，记p ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|，q ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|A 、p>q B 、p ＝q C 、p

6、若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005

－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)＝242，则22222

12345

x +x +x +x +x 的未位数字是＿＿。 A 、1 B 、3 C 、5 D 、7 二、填空题(共28分)

1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。

2，则x ＝＿＿＿。 3、若实数x 、y 满足

3333y x =1,3+43+6＋3333

y x =1,5+45+6＋则x ＋y ＝＿＿。

4、已知锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＞B ＞C ，用a 表示A －

B，B－C以及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。

三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)

1、a、b、c为实数，ac＜0

，证明：一元二次方程ax2＋bx

＋c＝0有大于3

而小于1的根。

2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC 的垂线交BE于F，交CA的延长线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延长线于Q，证明：BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。

3、a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。

2005年全国联赛决赛试卷详解

一、选择题：(每题7分，共42分)

A、无理数

B、真分数

C、奇数

D、偶数

解

：

====-

所以选D

2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。

A、78.5

B、97.5

C、90

D、102

解：由题意得：

52＋142－2×5×14×cosα＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α)

∴221－140cosα＝221＋220 cosα

∴cosα＝0

∴α＝90°

∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90

∴选C

3、设r ≥4，a ＝11r

r+1－

，b

，c

，则下列各式一定成立

的是＿＿。

A 、a>b>c

B 、b>c>a

C 、c>a>b

D 、c>b>a 解法1：用特值法，取r=4，则有

a=1114520=－，b

＝(251 1.03622020

-==≈

， c

)

52 1.182020==≈

∴c>b>a ，选D 解法2：a ＝()

11111r

r r r =++－

， b

()

)

()

)

4,11111

1,0

,:,D

r r r r

r r r r a b

r r

r r r

b c a b c

≥∴++

=?=->?

∴+><-=

<<<

故故综上所述

选　

解法3：∵r ≥4

＜1

∴a b =<=

b >==

∴a

4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。

解：由图形割补知圆面积等于矩形ABCD 的面积 ∴2

12,2

AB AB π

π?=∴=

由垂径定

理

得

公

共

弦

为

242=?=

∴选D

5、已知二次函数f(x)＝ax 2

＋bx ＋c 的图象如图所示，记p ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|，q ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，则＿＿。 A 、p>q B 、p ＝q C 、p0，c=0

∴p ＝|a －b|＋|2a ＋b|，q ＝|a ＋b|＋|2a －b| 又1,2,20,02b

b a a b a b a a

>∴-<∴+>+>->从而 ∴p ＝|a －b|＋|2a ＋b|＝b-a+2a+b=a+2b=2b+a ， q ＝|a ＋b|＋|2a －b|= a ＋b ＋b-2a=2b-a

∴p

－x 4)(2005－x 5)＝242

，则2222212345

x +x +x +x +x 的未位数字是＿＿。 A 、1 B 、3 C 、5 D 、7

解：因为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，所以(2005－x 1)、(2005－x 2)、(2005－x 3)、(2005－x 4)、(2005－x 5)为互不相等的偶数

而将242分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：242

＝2·(-2)·4·6·(-6) 所以(2005－x 1)、(2005－x 2)、(2005－x 3)、(2005－x 4)、(2005－x 5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)

所以(2005－x 1)2＋(2005－x 2)2＋(2005－x 3) 2＋(2005－x 4) 2＋(2005－x 5) 2＝22＋(-2) 2

＋42＋62＋(-6) 2

＝96

展开得：()()

222222

123451234552005-4010x +x +x +x +x +x +x +x +x +x 96?=

()()2222221234512345x +x +x +x +x =96-52005+4010x +x +x +x +x 1mod10A

∴?≡ ，选二、填空题(共28分)

1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。

解：(3×1＋3×2＋……3×33)＋(5×1＋5×2＋……5×20)－(15×1＋15×2＋……15×6)＝1683＋1050－315＝2418

，则x ＝＿＿＿。

，

∵x ≠0，

两边平方化简得：72x -=

再平方化简得：212421x 8x 48=0()73

x x --==-，解之得或舍去

3、若实数x 、y 满足3333y x =1,3+43+6＋3333y x =1,5+45+6

＋则x ＋y ＝＿＿。

解法1：假设x ＋y ＝a ，则y ＝a －x

()()()()()()()()()

333

3333

3634

3634,

6434

33436461

x a x x a ∴++

=++-++

=+?+

?+?＋－即

()()()()()()()()()3333

333

5654

5654,

6454

55456462

x a x x a ∴++

=++-++

=+?+

?+?＋－即

()()()()()()()2

333333333333215

3535345363456a a -=-+-?+-?∴=+++－得：

=432

解法2：易知3

35146

x y

t t t +=++、

是关于的方程的两根化简得：()()

2333333

4664460t x y t x y -+---+-?=

33333

35463456432

x y x y +=+--∴+=+++=由韦达定理得：

4、已知锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＞B ＞C ，用a 表示A －B ，B －C 以

及90°－A 中的最小者，则a 的最大值为＿＿＿。

解：{}min ,,90A B B C A α=--?-

()()()

(),,906239027090

15901575,60,4515A B B C A

A B B C A A B C A B B C A A B C αααααα∴≤-≤-≤?-∴≤-+-+?-=?-++=

?∴≤?

-=-=?-=?=?=?=??

另一方面，当时，有满足题设条件，故

可取得最大值

三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)

1、a 、b 、c 为实数，ac ＜0

，证明：一元二次方程ax 2

＋bx ＋c

＝0有大于

而小于1的根。解：设()2f x ax bx c =++

()()

()()39

3141641

91216

f f a b c a b c a b c a b c ?????=++++ ? ?????=++++则

+5c ∴

()(

)(

)

2591216441560

a b c a b c a c a c a c a c c ??

∴++++=--+-+ ? ???

???=++?

????

??=+

???

＜ ∴一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0有大于

而小于1的根.

2、锐角ΔABC 中，AB ＞AC ，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，DE 与BC 的延长线于交于T ，过D 作BC 的垂线交BE 于F ，过E 作BC 的垂线交CD 于G ，证明：F 、G 、T 三点共线。

证法1：设过D 、E 的垂线分别交BC 于M 、N ，在Rt △BEC 与Rt △BDC 中，由射影定理得： CE 2＝CN ·CB ，BD 2

＝BM ·BC

∴2

CN CE BM BD

= 又Rt △CNG ∽Rt △DCB ，Rt △BMF ∽Rt △BEC ， ∴,BD CE

GN CN FM BM CD BE

=?=? ∴

()221GN BD BE CN BD BE CE BE CE

FM CD CE BM CD CE BD BD CD

???=?=?=??? 在Rt △BEC 与Rt △BDC 中，由面积关系得：BE ·CE ＝EN ·BC ，BD ·CD ＝DM ·BC

∴()2BE CE EN TN

BD CD DM TM

?==?

由

(1)(2)

得

：

,.GN TN

GN FM F G T FM TM

=∴ 又，、、三点共线证法2：设CD 、BE 相交于点H ，则H 为△ABC

记DF 、EG 、AH 与BC 的交点分别为M 、N 、R

∵DM ∥AR ∥EN

∴DF AH EG

FM HR GN

由合比定理得：

DM EN GN EN FM GN FM DM TM

=∴==证法3：在△ABC 中，直线DET 分别交BC 、CA 、AB 于T 、E 、

D ，由梅涅劳斯定理得：

1(1)BT CE AD

TC EA DB

??= 设CD 、BE 相交于点H ，则H 为△ABC 的垂心，∵DF ⊥BC 、EG ⊥BC ∴AH ∥DF ∥EG ∴

(),,1CE CG AD HF BT CG HF

EA GH DB FB TC GH FB

==??代入得由梅涅劳斯定理的逆定理得：F 、G 、T 三点共线

证法4：连结FT 交EN 于G 为了证明F 、G 、T 可

∵

212sin sin sin BDF BMF BD BF ABE S DF FM S BM BF CBE BM CBE

???∠==?∠∠1212sin sin sin sin CEG CMG CE CG ACD S EG CE ACD GN S CN CG BCD CN BCD ???∠∠===??∠∠ 又

,BD BC CE BC

BM BD CN CE

== ∴sin ,sin DF BC ABE FM BD CBE ∠=∠()sin 1sin EG BC ACD

GN CE BCD

∠=∠ ∵CD ⊥AB 、BE ⊥CA ，∴B 、D 、E 、C 四点共圆 ∴∠ABE ＝∠ACD (2)

又

,sin sin sin sin BD CE

BC BD CBE CE BCD BCD CBE

==∴∠=∠∠∠ (3)

将(2) (3)代入（1）得：DF EG

FM GN

=，故F 、G 、T 三点共线. 3、设a 、b 、c 为正整数，且a 2

＋b 3

＝c 4

，求c 的最小值。

解：显然c ＞1.由题设得：(c 2-a)(c 2+a)=b 3

若取()22

1,2b b c a b c c a b ?+-==?+=?

则由大到小考察b ，使()12

b b +为完全平方数，易知当b ＝8时，

c 2

＝36，则c=6，从而

a=28。下面说明c 没有比6更小的正整数解，列表如下：

显然，表中c -x 的值均不是完全平方数。故c 的最小值为6

参考答案：一、1、D 原式14

=-2、C ∵52+142=221=102+112 ∠A 、 ∠C 都是直角 3、D

4、D

5、C

6、A

二、1、2418 2、127 3、x ＋y ＝33＋43＋53＋63＝432 4、15°

三、1、略 2、略 3、c 的最小值为6。