初三数学 二次函数专题1——面积及等腰三角形、直角三角形
二次函数面积问题
首先仔细观察下列常见图形,说出如何求出各图中阴影部分图形的面积.
在以上问题的分析中研究思路为:
(1)分析图形的成因 (2)识别图形的形状 (3)找出图形的计算方法
1.若抛物线y=-x 2
–x+6与x 轴交于A 、B 两点,则AB= ,此抛物线与y 轴交于点C ,则C 点的坐标为 ,△ABC 的面积为 .
2.已知二次函数y=x 2
–21x-2
3与x 轴交于A 、B 两点,顶点为C ,则△ABC 的面积为 .
3. 已知抛物线y=x 2
–4x+1, 与x 轴交于A 、B 两点,在抛物线上有一点N,使△ABN 的面积为43
,求点N 的坐标.
4. 已知二次函数y=-2
1x 2
+x+4的图象与x 轴的交点从右向左为A 、B 两点,与y 轴交点为C ,
顶点为D ,求四边形ABCD 的面积.
1.如图,已知点A (-1,0)和点B (1,2),在坐标轴上确定点P ,使得△ABP 为直角三角形,则满足这样条件的点P 共有 个
.
2.线段AB 的两端点的坐标为A (-1,0),B (0,-2).现请你在坐标轴上找一点P ,使得以P 、A 、B 为顶点的三角形是直角三角形,则满足条件的P 点的坐标是
3.在平面直角坐标系中有两点A (-1,2),B (3,2),C 是坐标轴上的一点,若△ABC 是直角三角形,则满足条件的点C 有
4.已知A(-1,0),C(0,3),在坐标轴上找一点P ,使△ACP 是等腰三角形,这样的点有 个.
5.直角坐标系中,A (1,1),在坐标轴上找点B 使△AOB 为等腰三角形的点共有 个.
6.在平面直角坐标系中有两点A (-2,2),B (3,2),C 是坐标轴上的一点,若△ABC 是等腰三角形,则满足条件的点C 有 个. 例题:二次函数y=322
--x x 图像如下,分别求:
和最小,差最大 在对称轴上找一点P ,使得PB+PC 的和最小,求出P 点坐标. 在对称轴上找一点P ,使得PB-PC 的差最大,求出P 点坐标.
讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P ,使得ACP ?为直角三角形,求出P 坐标.
或者在抛物线上求点P ,使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形.
讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P ,使得ACP ?为等腰三角形,求出P 坐标.
图2
1.如图,抛物线y =ax 2
+c (a >0)经过梯形ABCD 的四个顶点,梯形的底AD 在x 轴上,其中A (-2,0),B (-1, -3). (1)求抛物线的解析式;
(2)点M 为y 轴上任意一点,当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时,求此时点M 的坐标;
(3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点P 使S △PAD =4S △ABM 成立,求点P 的坐标.
2.已知:如图一次函数y =
21x +1的图象与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ;二次函数y =2
1
x 2
+bx +c 的图象与一次函数y =
2
1
x +1的图象交于B 、C 两点,与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1,0)
(1)求二次函数的解析式; (2)求四边形BDEC 的面积S ;
(3)在x 轴上是否存在点P ,使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P ,若不存在,请说明理由.
3.如图,抛物线2
54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点,已知BC x ∥轴,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,且AC BC =.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)写出A B C ,,三点的坐标并求抛物线的解析式;
(3)探究:若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点,是否存在PAB △是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点P 坐标;不存在,请说明理由.
4.已知抛物线y =ax 2
+bx +c 经过A (-1,0)、B (3,0)、C (0,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P 是直线l 上的一个动点,当△PAC 的周长最小时,求点P 的坐标; (3)在直线l 上是否存在点M ,使△MAC 为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
九年级数学上册 圆 几何综合(提升篇)(Word 版 含解析) 一、初三数学 圆易错题压轴题(难) 1.如图,二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ,且经过点(m ,9m ),⊙E 过A 、B 、C 三点。 (1)求这条抛物线的解析式; (2)求点E 的坐标; (3)过抛物线上一点P (点P 不与B 、C 重合)作PQ ⊥x 轴于点Q ,是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似?如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,说明理由 【答案】(1)y=x 2 +2x-8(2)(-1,- 72)(3)(-8,40),(-15 4,-1316),(-174 ,-25 16 ) 【解析】 分析:(1)把(),9m m 代入解析式,得:22289m m m m -+=,解这个方程可求出m 的值; (2)分别令y =0和x =0,求出OA ,OB ,O C 及AB 的长,过点E 作EG x ⊥轴于点 G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ,AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ,列方过程求出a 的值, 从而求出点E 的坐标; (3)设点P (a , a 2+2a -8), 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-,然后分PBQ ∽CBO 时 和PBQ ∽BCO 时两种情况,列比例式求出a 的值,从而求出点P 的坐标. 详解:(1)把(),9m m 代入解析式,得:22289m m m m -+= 解得:121,0m m =-=(舍去) ∴228y x x =+-
21.1二次函数 教学目标 【知识与技能】 以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】 联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点 【重点】 二次函数的概念. 【难点】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)
3.物体解放下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授 师:我们再来看几个问题. 问题1某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米? 这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为 Sm2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:大凡地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围大凡都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0 (2018?畐建A卷)已知四边形ABCD是O O的内接四边形,AC是。O的直径,DE丄AB,垂足为E. (1)延长DE交。O于点F,延长DC, FB交于点P,如图1.求证:PC=PB (2)过点B作BC丄AD,垂足为G, BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的 左侧,如图2.若AB=;, DH=1,Z OHD=8°,求/ BDE的大小. (12.00分)(2018?畐建B卷)如图,D是厶ABC外接圆上的动点,且B, D位于AC的两侧,DE丄AB,垂足为E, DE的延长线交此圆于点F. BG丄AD,垂足为G, BG交DE于点H, DC, FB的延长线交于点P,且PC=PB (1)求证:BG// CD; (2)设厶ABC外接圆的圆心为O,若AB^'DH,/ OHD=8°,求/ BDE的大小. 备用圉 25. (10.00分)(2018?河北)如图,点A在数轴上对应的数为26,以原点O为 4 圆心,OA为半径作优弧■■-,使点B在O右下方,且tan/AOB=,在优弧加上任取一点P,且能过P作直线I// OB交数轴于点Q,设Q在数轴上对应的数为x, 连接OP (1)若优弧恥上一段4P的长为13 n求/ AOP的度数及x的值; (2)求x的最小值,并指出此时直线I与?期所在圆的位置关系; (3)若线段PQ 的长为12.5,直接写出这时x 的值. 23. (10.00分)(2018?恩施州)如图,AB 为。O 直径,P 点为半径 OA 上异于O 点和A 点的一个点,过P 点作与直径AB 垂直的弦CD,连接AD,作BE ± AB, OE// AD 交 BE 于 E 点,连接 AE 、DE 、AE 交 CD 于 F 点. AD _ EC 交EC 的延长线于点D ,AD 交L O 于F ,FM _AB 于H ,分别交L O 、AC 于 M 、N ,连接 MB ,BC . (1)求证:AC 平方.DAE ; 4 (2)若 cosM ,BE =1,①求 5 25. (10.00分)(2018?株洲)如图,已知 AB 为。O 的直径,AB=8,点C 和点D 是。O 上关于直线AB 对称的两个点,连接 OC AC,且/ BOC X 90°直线BC 和 直线AD 相交于点E,过点C 作直线CG 与线段AB 的延长线相交于点F ,与直线 O 的半径;②求FN 的长. (1)求证:DE 为。O 切线; DC E 第23融圈 学习必备 欢迎下载 1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 2.二次函数的图象顶点坐标为(2,1),形状开品与 抛物线y= - 2x 2 相同,这个函数解析式为________。 3.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数, 则k 的值是______ 4.已知点11()x y ,,22()x y ,均在抛物线2 1y x =-上,下列说法中正确的是( ) A .若12y y =,则12x x = B .若12x x =-,则12y y =- C .若120x x <<,则12y y > D .若120x x <<,则12y y > 5. 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为 322--=x x y ,则b 、c 的值为 A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2 ★6.抛物线5)43()1(2 2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M = 7.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值,则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时,Y 随X 的增大而增 大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上,则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ,当X 取1x 和2x 时函数值相等,当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ,当X 取X1和X2(21x x ≠) 时函数值相等,则当X 取X1+X2时,函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过(2.9)点,则当X =4 时函数值Y = ★14.若函数k h x y ---=2 )(的顶点在第二象限则, h 0 ,k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是1.且过(3.0)点求解析式? 16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的 形式,则n m ?=_____。 ★17. 已知抛物线在X 轴上截得的线段长为6.且顶点 的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于( ) (A )8 (B )14 (C )8或14 (D )-8或-14 19.二次函数y=x 2 -(12-k)x+12,当x>1时,y 随着x 的增大而增大,当x<1时,y 随着x 的增大而减小,则k 的值应取( ) (A )12 (B )11 (C )10 (D )9 20.若0 B.1a < C.1a ≥ D.1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2 +m-4kx 的对称轴是直线x=2,且它的最低点在直线y= - 2 1 +2上,求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点(2,0)(-1,0)与y 轴交点是(0,-1)求解析式及顶点坐标。 32.y= ax 2 +bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ,OA=2,OB=1 ,OC=1,求函数解析式 32.抛物线562 -+-=x x y 与x 轴交点为A ,B ,(A 在B 左侧)顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 (2)若在抛物线上有一点M ,使△ABM 的面积是△ABC 的面积的2倍。求M 点坐标(得分点的把握) (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得 △QAC 的周长最小?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由. 4)在抛物线上是否存在一点P ,使四边形PBAC 是等腰 梯形,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由 教材分析 本节课是数学新人教版九级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面: 1.理解并掌握二次函数的概念; 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式,培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面:通过学生的主动参与,师生、学生之间的合作交流,提高学生的学习兴趣,激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面,它是在正比例函数,一次函数,对函数认识的完善与提高;也是对方程的理解的补充,同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情,给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例,进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 难点是从实例中抽象出二次函数的定义,会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程: 一、提出问题,导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的?图象形状各是什么? 2、教师提出问题:投篮球时篮球运行的路线是什么曲线?这种曲线的形状是怎样的?是否象以前学过的函数图象?能否用新的函数关系式来表示?怎样计算篮球达到最高点时的高度?这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗? 二、合作交流,形成概念。1.列式表示下面函数关系。 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形 的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。 问题2:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注: (1)学生参与小组合作讨论后,能否明白题意,写出相应关系式。 (2)问题3中可先分析一年后的产量,再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察,分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论,它们的共同点: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数,且a≠0 (2)等式的右边最高次数为,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。(3)x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫二次函数。 一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,AB是半圆O的直径,C是的中点,D是的中点,AC与BD相交于点E. (1)求证:BD平分∠ABC; (2)求证:BE=2AD; (3)求DE BE 的值. 【答案】(1)答案见解析(2)BE=AF=2AD(3)21 2 - 【解析】 试题分析:(1)根据中点弧的性质,可得弦AD=CD,然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可; (2)延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得 BE=AF=2AD; (3)连接OD,交AC于H.简要思路如下:设OH为1,则BC为2,OB=OD=2, DH=21 -, 然后根据相似三角形的性质可求解. 试题解析:(1)∵D是的中点 ∴AD=DC ∴∠CBD=∠ABD ∴BD平分∠ABC (2)提示:延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, BE=AF=2AD (3)连接OD,交AC于H.简要思路如下: 设OH为1,则BC为2,2, 21, DE BE = DH BC DE BE = 21 2 - 2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC为直径,BD=BA,BE⊥DC交DC的延长线于点E (1) 求证:BE是⊙O的切线 (2) 若EC=1,CD=3,求cos∠DBA 【答案】(1)证明见解析;(2)∠DBA 3 5 = 【解析】 分析:(1)连接OB,OD,根据线段垂直平分线的判定,证得BF为线段AD的垂直平分线,再根据直径所对的圆周角为直角,得到∠ADC=90°,证得四边形BEDF是矩形,即 ∠EBF=90°,可得出结论. (2)根据中点的性质求出OF的长,进而得到BF、DE、OB、OD的长,然后根据等角的三角函数求解即可. 详解:证明:(1) 连接BO并延长交AD于F,连接OD ∵BD=BA,OA=OD ∴BF为线段AD的垂直平分线 ∵AC为⊙O的直径 ∴∠ADC=90° ∵BE⊥DC ∴四边形BEDF为矩形 ∴∠EBF=90° ∴BE是⊙O的切线 (2) ∵O、F分别为AC、AD的中点 ∴OF=1 2CD= 3 2 ∵BF=DE=1+3=4 二次函数与圆的专题复习 4.(2014?黑龙江哈尔滨)将抛物线y=﹣2x 2+1向右平移1个单位,再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( ) A . y=﹣2(x+1)2﹣1 B . y ﹣2(x+1)2+3 C . y=﹣2(x ﹣1)2+1 D . y=﹣2(x ﹣1)2+3 5.(2014?舟山)当﹣2≤x ≤1时,二次函数y =﹣(x ﹣m )2+m 2+1有最大值4,则实数m 的值为( ) A . B . 或 C . 2或 D . 2或﹣或 6.(2014?毕节地区)抛物线y =2x 2,y =﹣2x 2,共有的性质是( ) A.开口向下 B.对称轴y 轴 C.都有最低点 D.y 随x 的增大而减小 7.(2014·台湾)已知a 、h 、k 为三数,且二次函数y =a (x ﹣h )2+k 在坐标平面上的图形通过(0,5)、(10,8)两点.若a <0,0<h <10,则h 之值可能为下列何者?( ) A .1 B .3 C .5 D .7 8.(2014?浙江宁波)已知点A (a ﹣2b ,2﹣4ab )在抛物线y =x 2+4x +10上,则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为( ) 9.(2014·浙江金华)如图是二次函数2y x 2x 4=-++的图象,使y 1≤成立的x 的取值范围是( ) A .1x 3-≤≤ B .x 1≤- C .x 1≥ D .x 1≤-或x 3≥ 10. (2014年湖北黄石) 二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图,则函数值y >0时,x 的取值范围是( )A . x <﹣1 B . x >3 C .﹣1<x <3 D . x <﹣1或x >3 11.(2014?陕西)二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是( ) A .c >﹣1 B . b >0 C .2a+b≠0 D .9a+c >3b 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图 一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D. (1)求抛物线的解析式; (2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值; (3)△APD能否构成直角三角形?若能请直接写出点P坐标,若不能请说明理由;(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大?若存在请求出点M的坐标,若不存在请说明理由. 【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)9 4 ;(3)点P(1,0)或(2,﹣1);(4)M(2,﹣ 3). 【解析】 试题分析:(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,解方程组得到b、c的值,即可得解; (2)求出点C的坐标,再利用待定系数法求出直线AC的解析式,再根据抛物线解析式设出点P的坐标,然后表示出PD的长度,再根据二次函数的最值问题解答; (3)①∠APD是直角时,点P与点B重合,②求出抛物线顶点坐标,然后判断出点P为在抛物线顶点时,∠PAD是直角,分别写出点P的坐标即可; (4)根据抛物线的对称性可知MA=MB,再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时,|MA﹣MC|最大,然后利用待定系数法求出直线BC的解析式,再求解即可. 试题解析:解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0), ∴ 930 10 b c b c ++= ? ? ++= ? ,解得 4 3 b c =- ? ? = ? ,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3; (2)令x=0,则y=3,∴点C(0,3),则直线AC的解析式为y=﹣x+3,设点P(x,x2﹣4x+3).∵PD∥y轴,∴点D(x,﹣x+3),∴PD=(﹣x+3)﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x=﹣ (x﹣3 2 )2+ 9 4 .∵a=﹣1<0,∴当x= 3 2 时,线段PD的长度有最大值 9 4 ; 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当02018中考数学圆(大题培优)
二次函数培优专项练习
人教版九年级数学上册二次函数教案
人教数学 圆的综合的专项 培优练习题及答案
二次函数与圆的专题复习
人教【数学】数学 二次函数的专项 培优练习题及详细答案
最新史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结