MBA数学常用公式

目录

第一部分算术 (2)

一、比和比例 (2)

二、指数和对数的性质 (3)

第二部分初等代数 (4)

一、实数 (4)

二、代数式的乘法公式与因式分解 (5)

三、方程与不等式 (6)

四、数列 (9)

五、排列、组合、二项式定理和古典概率 (11)

第三部分几何 (15)

一、常见平几何图形 (15)

二、平面解析几何 (17)

第一部分 算术

一、比和比例

1、比例

d

c b a =具有以下性质：

（1）bc ad = （2）a

c b

d =

（3）d d c b b a +=+ （4）

d

d c b

b a -=-

（5）

d

c d c b

a b a -+=-+（合分比定理）

2、增长率问题

设原值为a ，变化率为%p ， 若上升%p ）（现值%1p a +=? 若下降升%p ）（现值%1p a -=? 注意： p%%=-?

乙

乙甲甲比乙大p

p%%乙甲甲是乙的=?p 3、增减性

)0.......(1><

++?

>m b a

m b m

a b a

)0.......(10>>++?<

本题目可以用：所有分数，在分子分母都加上无穷（无穷大的符号无关）时，极限是1来辅助了解。助记：1lim

=++∞

→m

b m a m

二、指数和对数的性质

（一）指数

1、n m n m a a a +=?

2、n m n m a a a -=÷

3、mn n m a a =)(

4、m m m b a ab =)(

5、m

m m

b

a b a =

?

?

? ?? 6、）（0.......1≠=

-a a

a

n

n

7、100

=≠a a 时，当 （二）对数)1,0,(log ≠>a a N a 1、对数恒等式 N

N

e

N a N a ln log ==，更常用

2、N M MN a

a

a log log )(log +=

3、N M N M a

a

a log log

)(

log -=

4、M n M a

n

a log

)(log =

5、M n

M a

n a

log

1log

=

6、换底公式a

M M b

b a

log

log log

=

7、1log

01log ==a a

a ，

第二部分 初等代数

一、实数

（一）绝对值的性质与运算法则 1、)0(0时成立等号当且仅当

=≥a a

2、)0(时成立等号当且仅当

≥+≤+ab b a b a

3、b a b a -≥- 时成立且等号当且仅当b a ab >≥0

4、b a ab =

5、)0.........(≠=b b

a b

a

6、k a k k a k a k a k a k ≤≤-?≤-≤≥?≥≥；或时，

当0 （二）绝对值的非负性

即负，任何实数的绝对值非0≥a

归纳：所有非负的变量

1、正的偶数次方（根式），如：41

21

4

2

,,,,a a a a 2、负的偶数次方（根式），如：4

12

142,,,,-

---a

a a a

3、指数函数 )10....(≠>a a a x 且

考点：若干个非负数之和为0，则每个非负数必然都为0. （三）绝对值的三角不等式

b a b a b a +≤+≤- 时成立

且左边等号当且仅当

时成立

右边等号当且仅当b a ab ab >≤≥00

二、代数式的乘法公式与因式分解

2

2

1()()a b a b a b +-=-、 （平方差公式）

2、2

222)(b ab a b a +±=± （二项式的完全平方公式 3、3

2

2

3

3

33)(b ab b a a b a ±+±=+ （巧记：正负正负） 4、))((2

2

3

3

b ab a b a b a +±=± （立方差公式） 5、a

c bc ab c b a c b a 222)(2

2

2

2

+++++=++

三、 方程与不等式

（一）一元二次方程

设一元二次方程为)0...(02≠=++a c bx ax ，则 1、判别式

?

??

??<=>?-=?无实根

二相等实根二不等实根的取值有三种情况

，则......0......0.. (042)

ac b 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是 a b

x 2-=，顶点坐标是???

?

?

?--a b ac a b 4422

，。

用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有 三种形式，即

（一般式）c bx ax

x f ++=2

)(，

（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2

)()(（顶点式）。

2、判别式与根的关系之图像表达

)0..(02

21≠=++a c bx ax

x x 是方程，的两个根，则有

利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数值来：

x 1，x 2是方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0) 的两根

（1）

121212

11x x x x x x ++

=

（2）2

1212

222

1

2

12()211()

x x x x x

x

x x +-+=

（3）212

212

21214)()

(x x x x x x x x -+=

-=-

(4)3322

12121121()()x x x x x x x x +=+-+

]3))[((212

2121x x x x x x -++=

（二）、一元二次不等式

1、一元二次不等式的解，可以根据其对应的二次函数

c bx ax

y ++=2

的图像来求解（参见上页的图像）

。 2、一般而言，一元二次方程的根都是其对应的一元二次不等式

的解集的临界值。 3、注意对任意x 都成立的情况

（1）2

0ax bx c ++＞对任意x 都成立，则有：a>0且△< 0 （2）ax 2 + bx + c<0对任意x 都成立，则有：a<0且△< 0 4、要会根据不等式解集特点来判断不等式系数的特点 （三）其他几个重要不等式

1、平均值不等式，都对正数而言：

两个正数：

ab b a ≥

+2

n 个正数：

n

n n

a a a n

a a a 2121≥

+++

注意：平均值不等式，等号成立条件是，当且仅当各项相等。 2、两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是（助记：从小到大依次为：调和·几何·算·方根）

2

2

1122

2

b a b a ab b a +≤

+≤

≤

+

注意：等号成立条件都是，当且仅当各项相等。 3、双向不等式是：b a b a b a +≤±≤-

左边在)0(0≥≤ab 时取得等号，右边在)0(0≤≥ab 时取得等号。

四、数列

（一）的关系与n n S a

1、n n S a ，求已知 公式：∑==

n

i i

n a

S 1

2、n n a S 求已知 公式：???≥-==-)2( (11)

1n S S S a a n n

n

（二）等差数列

1、通项公式 d n a a n )1(1-+=

2、前n 项和的3种表达方式 n d a n d d n n na a a n S n n )2

(2

2

)1(2

)

(12

11-

+=

-+

=+=

第三种表达方式的重要运用：如果数列前n 项和是常数项为

0的n 的2项式，则该数列是等差数列。

3、特殊的等差数列 常数列 自然数列 奇数列 偶数列 etc.

4、等差数列的通项n a 和前项和n n S 的重要公式及性质 （1）通项n a （等差数列），有

时成立当t k n m a a a a t k k n m +=++=++......

（2）前项和n n S 的2个重要性质 Ⅰ.n n n n n S S S S S 232--，，仍为等差数列

Ⅱ.等差数列{}n a 和{}n b 的前表示和项和分别用n n T S n ，则：

1

212--=

k k k

k T S b a

（三）等比数列

1、通项公式 )0........(1

1≠

=-q q a a n n 2、前n 项和的2种表达方式， (1)当)1(≠q 时

)1........(111)1(111≠--

-=

--=

q q q

a q

a q

q a S n

n

n

后一种的重要运用，只要是以q 的n 次幂与一个非0数的表达式，且q 的n 次幂的系数与该非0常数互为相反数，则该数列为等比数列

（2）当)1(=q 时 )0......(..........11≠=a na S n 3、特殊等比数列 非0常数列 以2、2

1、（-1）为底的自然

次数幂

4、当等比数列{}n a 的公比q 满足q <1时，n n S ∞

→lim =S=

q

a -11。

5、等比数列的通项n a 和前项和n n S 的重要公式及性质 Ⅰ. 若m 、n 、p 、q ∈N ，且q p n m +=+，那么有

q p n m a a a a ?=?。

Ⅱ. 前项和n n S 的重要性质：

n n n n n S S S S S 232--，，仍为等比数列

五、排列、组合、二项式定理和古典概率

（一）排列、组合

1、排列!(1)(2)[(1)]()!

m

n n P n n n n m n m =--???--=

-

2、全排列 (1)(2)321n

n P n n n n =--?????=

3、组合

)!

(!!!

)]

1([)2)(1(1m n m n m m n n n n C m m m n m

n -----=

恒等变形

的全排列

项，正好是

开始依次往上乘，刚好

从项好开始往下依次相乘，刚从

4、组合的5个性质（只有第一个比较常用） （1）m n n m n C C -=

（2）1

1

1---+=m n m n m n C C C （助记：下加1上取大） （3）∑=n

r r n C 0

=n 2 （见下面二项式定理）

（4）r n rC =11--r n nC （5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C

（二）二项式定理 1、二项式定理：

项

共10

1

1

1

1

1

1

)(+---++++=+n n

n

n n n n n n n

n n

b

a C

b a C b a C b a C b a

助记：可以通过二项式的完全平方式来协助记忆各项的变化 2、展开式的特征

（1）通项公式 r

r

n r n r b a

C T k -+=+1

1项为：第

3、展开式与系数之间的关系

（1）r

n n r n C C -= 与首末等距的两项系数相等

（2）

n

n n n n n n n C C C C C 21210=+++++- 展开式的各项系

数和为n 2 （证明：1==b a 令，即轻易得到结论）

（3）1

314202

-=++=+++n n n n n n C C C C C ，展开式中奇数项系数和等于偶数项系数和

（三）古典概率问题

1、事件的运算规律（类似集合的运算，建议用文氏图求解）

（1）事件的和、积满足交换律 BA AB A B B A =+=+, （2）事件的和、积交满足结合律

C B A C B A C AB BC A ++=++=)()(,)()(

（3）交和并的组合运算，满足交换律

),()()(AC AB C B A +=+ ))(()(C A B A BC A ??=?

（4）徳摩根定律 B A B A B A B A ?=??=?, （5）Φ??ΩA

（6）集合自身以及和空集的运算

Ω

=ΦΦ=Ω==Φ?=?Φ=Φ?=?,,,,,,A A A A A A A A A A A （7）B A AB A B A AB ?=互不相容，且

与

(8)B A AB B A B A B A B A AB ++=+互不相容，且、

、

2、古典概率定义 样本的总点数

中所包含的样本点数

A n m A P =

=

)(

3、古典概率中最常见的三类概率计算 （1）摸球问题； （2）分房问题； （3）随机取数问题

此三类问题一定要灵活运用事件间的运算关系，将一个较复杂的事件分解成若干个比较简单的事件的和、差或积等，再利用概率公式求解，才能比较简便的计算出较复杂的概率。 4、概率的性质

（1）0)(=ΦP 强调：但是不能从是空集A A P ?=0)( （2）有限可加性：若互不相容n A A A ,,,21 ，则

)(1

1

∑===

n

i i

n

i i A P A P ）（

(3)若n A A A ,,,21 是一个完备事件组，则，)(1

∑=n

i i A P =1，特

别的 1)()(=+A P A P

5、概率运算的四大基本公式

（1）加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 加法公式可以推广到任意个事件之和

∑∑≤<≤-==-++-=

n

n

j i n n j

i

n

i i

n

i i A A A P A

A A P A P 1211

1

)

()

1()( ）（提示：各项的符号依次是正负正负交替出现。

(2)减法公式 )()()()(AB P A P B A P B A P -==-

(3)乘法公式 )/()()/()()(B A P B P A B P A P AB P == (4) 徳摩根定律

)()(,)()(B A P B A P B A P B A P ?=??=?

6、伯努利公式

只有两个试验结果的试验成为伯努利试验。记为A A 和，则在n 重伯努利概型中)(0k B P n k k A 次的概率）（发生≤≤的概率为：p a P p p C B P k n k k n k =-=-)(........)1()(其中

第三部分 几何

一、常见平几何图形

（一）多边形（包含三角形）之间的相互关系 1、n 边形的内角和=)3........(180)2(0

≥?-n n

n 边形的外角和一律为)3........(3600

≥n ，与边数无关

2、平面图形的全等和相似

（1）全等：两个平面图形B A 和的形状和大小都一样，则称

为B A 和全等，记做B A ?。全等的两个平面图形边数相同，对应角度也相等。 （2）相似：两个平面图形B A 和的形状相同，仅仅大小不一

样，则称为B A 和相似，记做B A ~。相似的两个平面图形边数对应成比例，对应角度也相等。对应边之比称

为相似比,记为k 。

（3）为相似比k k S S B A ......:2=，即两个相似的B A 和的面积比等于相似比的平方。

（二）三角形

1、三角形三内角和0180321=∠+∠+∠

2、三角形各元素的主要计算公式（参见三角函数部分的解三角形）

3、直角三角形

（1）勾股定理：对于直角三角形，有222b a c += 1 （2）直角三角形的直角边是其外接圆的直径。 （三）平面图形面积

1、任意三角形的6个求面积公式

（1）a h a S ?=

?2

1（已知底和高）；

提示：等底等高的三角形面积相等，与三角形的形状无关。 （2）R

abc S 4=?（已知三边和外接圆半径）；

（3）))()((c s b s a s s S ---=

?（已知三个边）

备注：)(2

1c b a s s ++=

为三角形的半周长，即

（4）sr S =?（已知半周长和内切圆半径）

另外两个公式由于不考三角，不做要求。另外2个公式如下 （5）A bc S sin 2

1=

?（已知任意两边及夹角）；

（6）C B A R S sin sin sin 22

=?（已知三个角度和外接圆半径，

不考）；

2、平行四边形：

)

.........(sin ...).......(..........已知两边极其夹角

底乘以高?ab bh S ==

3、梯形：高下底）（上底高中位线?+=?=2

1

S

4、扇形：

)

,...(. (2)

1

....)

2

1........(

(212)

为扇形的弧度

倍弧长乘以半径θθθr l r rl S ==

=

5、圆：2r S π=

二、平面解析几何

（一）有线线段的定比分点

1、若点P 分有向线段21P P 成定比λ，则λ=

2

1PP P P

2、若点),(),(),(222111y x P y x P y x P ，，，点P 分有向线段21P P 成定比λ，则：λ=

x

x x x --21=

y

y y y --21； x =

λ

λ++121x x ，

y =

λ

λ++121y y

3、若在三角形ABC 中，若),(),(),(332211y x C y x B y x A ，，，

则△ABC 的重心G 的坐标是??

?

?

?++++33

3213

21y y y x x x ，。

（二）平面中两点间的距离公式

1、数轴上两点间距离公式：A B x x AB -=

2、直角坐标系中两点间距离:2

2122121)

()(y y x x P P -+-=

（三）直线

1、求直线斜率的定义式为k=αtg ，两点式为k=1

212x x y y --

2、直线方程的5种形式：

点斜式：)(00x x k y y -=-， 斜截式：b kx y += 两点式：

1

211

21x x x x y y y y --=--， 截距式：

1=+

b

y a

x

一般式：0=++C By Ax 3、经过两条直线

0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：和：的交点的直

线系方程是：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ 4、两条直线的位置关系（设直线的斜率为k ） （1）2121//k k l l =? （不重合，21l l ） （2）2

1211k k l l -

=?垂直

（3）相交与21l l ，夹角为θ。（了解即可） Ⅰ若：222111b x k y l b x k y l +=+=：，：，

则2

1121k k k k tg +-=θ。

Ⅱ若：0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：，则： 2

1211221B B A A B A B A tg +-=

θ

Ⅲ21l l 与的交点坐标为：???

?

???

--=--=1221211212211221B A B A C A C A y B A B A C B C B x

助记：分母相同，分子的小角标依次变化

5、点到直线的距离公式（重要） 点),(00y x P 到直线

0=++C By Ax l ：的距离：2

2

00B

A C

By Ax d +++=

6、平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：

2

2

21B

A C C d +-=

（四）圆（到某定点的距离相等的点的轨迹） 1、圆的标准方程：2

2

2

)()(r b y a x =-+- 2、圆的一般方程式

)04(02

222>-+=++++F E

D F Ey Dx y x

其中半径2

42

2

F

E D

r -+=

，圆心坐标??

?

?

?-

-

22

E D ， 思考：方程022=++++

F Ey Dx y x 在0422=-+F E D 和0422<-+F E D 时各表示怎样的图形？ 3、 关于圆的一些特殊方程：

（1）已知直径坐标的，则：若),(),(2211y x B y x A ，，则以线

段AB 为直径的圆的方程是

0))(())((2121=--+--y y y y x x x x

（2）经过两个圆交点的，则：

过011122=++++F y E x D y x

02222

2

=++++F y E x D y x 的交点的圆系方

)(2222

2

1112

2

=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ

（3）经过直线与圆交点的，则：

过0=++C By Ax l ：与圆02

2=++++F Ey Dx y x 的交点的圆的方程是：

0)(2

2=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ

（4）过圆切点的切线方程为：2

00r y y x x =+