函数专题之值域与最值问(附有训练题)
函数专题之值域与最值问题
一．观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 【例1】求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 .
点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 【练习1-1】：
1、求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）
2、求下列函数值域：
（1）32y x =-+ [1,2]x ∈- （2）2
1y x =- {2,1,0,1,2
x ∈-- （3）
3
1
y x =
+ （4）
1,00,01,0x y x x >??
==??-
（答案一[4,5]-）， （答案二{3,0,1}-）， （答案三(,1)(1,)-∞+∞ ）， （答案四{1,0,1}-） 二、配方法(当所给函数是二次函数y=ax 2+bx+c 或可化为二次函数的复合函数
y=a[f(x)]2+b f(x)+c 时，可利用配方法求值域。)
【例2-1】已知函数
2
23y x x =+-，分别求它在下列区间上的值域。 （1）x R ∈； （2）[0,)x ∈+∞； （3）[2,2]x ∈-； （4）[1,2]x ∈． 解：（1）∵2
(1)4y x =+-
∴min 4y =- ∴值域为[4,)-+∞．
（2）∵2
23y x x =+-的图象如图， 当0x =时，min 3y =-，
∴当[0,)x ∈+∞时，值域为[3,)-+∞．
（3）根据图象可得： 当1x =-时，min 4y =-，
当2x =时，max 5y =，
∴当[2,2]x ∈-时，值域为[4,5]-． （4）根据图象可得：
当1x =时，min 0y =，
当2x =时，max 5y =，
∴当[1,2]x ∈时，值域为[0,5]． 说明：（1）函数的定义域不同，值域也不同； （2）二次函数的区间值域的求法：①配方；②作图；③求值域。
【练习2-1】已知函数
2
31213y x x =-+，求它在下列各区间上的值域： （1）[1,1]-； （2）[1,4]； （3）(1,3]． 【例2-2】求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。
解：设)0)((4)(2≥+-=x f x x x f ，配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f
利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：][2,2-∈y 。
[说明]：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的
限求函数 y =sin2x +4cos x +1 的值域. 制，本题为：0)(≥x f 。
【例2-3】求函数 y =sin2x +4cos x +1 的值域. 【总结】
1、 配方法适用于：当所给函数是二次函数y=ax 2+bx+c 或可化为二次函数的复合函数
y=a[f(x)]2+b f(x)+c 时，可利用配方法求值域。 2、 步骤: ①配方，化为顶点式→②作图→③写出解集
三．换元法
（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）
【例3-1
】求函数y x =
解：令u = （0u ≥），则211
22
x u =-+，
22
111(1)1222
y u u u =--+=-++，
由函数图象可知，当0u ≥时，1
2y ≤，
∴函数y x =1
(,]2
-∞．
【例3-2】（选讲）求函数2
)1x (12x y +-++=的值域。
解：因0)1x (12
≥+-,即1)1x (2≤+
故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+
∴1cos sin cos 11cos y 2
+β+β=β-++β=1)4sin(2+π
+β=
∵
π
≤π+β≤π≤β≤45
40,0 2
11)4sin(201)4
sin(22+≤+π
+β≤∴≤π
+β≤-
∴
故所求函数的值域为]21,0[+
【练习】
1、求函数1x x y -+=的值域。
2、求函数y=2x-3+x 413-的值域。
1、解：令t x =-1，)0t (≥
则1t x 2
+=，
43
)21t (1t t y 22+
+=++=
又0t ≥，由二次函数的性质可知 当0t =时，1y min =
当0t →时，+∞→y ，故函数的值域为),1[+∞
2、解：设t=x 413-，则x=4132
t - (t≥0).
于是，y=2·4
132
t --3+t=-21 (t-1)2+4(t≥0),
在区间[0,+∞)上，当t=1时，y max =4. 而y 没有最小值，故函数的值域为(-∞,4].
四、分离常数法
（主要适用于具有分式形式且分子分母具有相似的项的函数解析式,通过变形,将函数化成y =a +
)
(x g b
的形式） 【例4-1】：y=
1
231+-x x
解： y=1231+-x x =-3·1231
+-
x x =-12351223+-
+?x x =-1212523+?+x ∴ y≠-23, 值域是{y|y≠-2
3
, y ∈R}.
【例4-2】：求下列函数的值域：
（1）1
22+=x x
y （2）3sin 2sin -+=
x x y
(法一：分离常数法；法二：有界性法。答案：（1）（0,1）；（2）??
?
???--41,23) 【4-1练习】
1、求函数
54
1x y x +=
-的值域。
解： 545(1)99
5111
x x y x x x +-+===+---， ∵
9
01
x ≠- ∴5y ≠ 即函数值域为(,5)(5,)-∞+∞ ． 五、.单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域，可只用于y =ax +b + cx +d (ac >0)形式的函数）
复习：函数单调性的运算性质：若f(x)、g(x)为增函数，则 ① f(x)+g(x)为增函数；
②
)
(1
x f 为减函数（f(x)≠0） ③
)(x f 为增函数（f(x)≥0）
④ f(x)·g(x)为增函数（f(x)>0,g(x)>0） ⑤ –f(x)为减函数。
【例5-1】例10：求函数x x y --+=863的值域。
此题可以看作v u y +=和63+=x u ，x v --=8的复合函数，显然函数63+=x u 为单调递增函数，易验证x v --=8亦是单调递增函数，故函数x x y --+=863也是单调递增函数。而此函数的定义域为]8,2[-。
当2-=x 时，y 取得最小值10-。当8=x 时，y 取得最大值30。 故而原函数的值域为]30,10[-。
【例5-2】 求函数
)10x 2(1x log 2y 35
x ≤≤-+=-的值域。 解：令1x l o
g y ,2y 325
x 1-==- 则21y ,y 在[2，10]上都是增函数
所以21y y y +=在[2，10]上是增函数 当x=2时，
81
12l o g
2y 3
3m i n =
-+=-
当x=10时，
339log 2y 35
max =+= 故所求函数的值域为：?
????
?33,81
【练习5-1】 求函数1x 1x y --+=的值域。
解：原函数可化为：
1x 1x 2y -++=
令1x y ,1x y 21-=+=，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数 所以1y y =，2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数
所以当x=1时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值2
2
2
=
显然0y >，故原函数的值域为]2,0(
六、函数有界性法（直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域）
【例6-1】. 求函数
1e 1e y x
x +-=的值域。 解：由原函数式可得：
1y 1y e x -+=
∵0e x
> ∴01y 1
y >-+
解得：1y 1<<- 故所求函数的值域为)1,1(-
【例6-2】（选讲） 求函数
3x sin x
cos y -=
的值域。 解：由原函数式可得：y 3x c
o s x s i n y =-，可化为： y 3)x (x sin 1y 2=β++，即
1y y 3)x (x sin 2+=
β+
∵R x ∈
∴]1,1[)x (x sin -∈β+
即
1
1
y y 312
≤+≤
-，
解得：42y 42≤
≤- 故函数的值域为????
???
?-42,42 【练习6-1】求函数3
42+-=x x y 的值域
解：y=
3
42+-x x ,y
y x -+=
24
3≥0. ∴ -
34≤y<2, ∴值域是[-3
4
,2).
七、均值不等式法
（利用基本不等式a+b ≥2ab 求出函数的最值进而确定函数的值域。其题型特征：解析式是和式时，要求积为定值，解析式是积时，要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。使用公式时，要注意满足条件“一正、二定、三等”。即①a>0,b>0，②a+b(或ab)为定值，③取等条件a=b 。三个条件缺一不可。）
【例7-1】（2011年重庆）求函数y=x+
2
1
-x (x>2)的最值。 【练习7-1】（2008年安徽）求函数y=2x+
x
1
-1(x<0)的最值。 【练习7-2】（2008年重庆）求函数y=1
+x x
的最大值。 八、判别式法
(主要适用于形如 y =c
bx ax f
ex dx ++++2
2(a , d 不同时为零)的函数(最好是满足分母恒不为零). 且能转化为 A(y )x 2+B(y )x +C(y )=0 的函数常用判别式法求函数的值域. )
【例8-1】 求函数
22x 1x x 1y +++=
的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程
0x )1y (x )1y (2=-+-
（1）当1y ≠时，R x ∈
0)1y )(1y (4)1(2
≥----=?，解得：23
y 21≤
≤
（2）当y=1时，0x =，而?????
?∈23,211，故函数的值域为???
???23,21 【练习8-1】求函数 y =1
22++-x x x
x 的值域。
（答案：]3
3
21,3321[+-
） 九.数型结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然
后利用函数图像求其值域）
【例9-1】求函数y=2
2)2()1(-++x x 的值域。
解：y==|x+1|+|x-2|.
它表示数轴上任一点P(x)到定点A(-1),B(2)间的距离之和，
如右图.
当P点在线段AB上时，|x+1|+|x-2|=3，
当P点在A点左侧或B点右侧时|x+1|+|x-2|>3, ∴y≥3.
训练例题
例1．求下列函数的值域 （1）2
22y x
=+（2）31(1)2x y x x +=≤-（3
）2y x =+4）
4y x =+
例2．已知,0,26x y x y ≥+=，求224363Z x xy y x y =++--的最值。
例3．求下列函数的值域
（1）221425x x y +=--+（2）22
1
x x
y x x -=-+（3）sin 2cos x y x =-
例4.如何求函数23
(1)1
x y x x +=
>-+的最值？21(1)3x y x x +=>-+呢？
例5．求下列函数的值域
（1）21
()(2)x f x x x
+=≥（2
）2y x =-3）|1||4|y x x =-++（4）1sin 2cos x y x -=-
课后练习题
1. 已知函数()f x =?
??≤>)0(3)0(log 2x x x x ，则f ［f （41
）］的值是
A.9
B.
91 C. -9 D. -9
1
2. 若集合??
????????∈-???
??==R x y y S x
,121|,{}2|log (1),1T y y x x ==+>-，则T S 等于
A ．{0}
B ．{|0}y y ≥
C ．S
D ．T
3. 下列函数中值域是（0，+∞）的函数是
A.125
x
y -= B.11()
2
x
y -=
C.y =
D. y =
4. 定义在R 上的函数()y f x =的值域为［a ，b ］,则(1)f x +的值域为
A.［a ,b ］
B.［a +1,b +1］
C.［a －1,b －1］
D.无法确定
5. 函数y =
1
2
-x 的定义域是(-∞，1) [2,5]，则其值域是 A.(-∞,0) [21,2] B.(-∞,2) C.(-∞,2
1
) [2,+∞] D.(0,+∞)
6. 函数]4)3(lg[2+++=x k x y 的值域为R ，则实数k 的取值范围是
A ．17≤≤-k
B ．7-≤k 或1≥k
C ．71≤≤-k
D ．7-
|1
)1
()(2)(x f x x f x f x f 则满足=
-的最小值是 A ．2 B ．22 C ．3
2 D ．
3
2
2 8. 函数|3||1|y x x =--+
A.最小值为0，最大值为4
B.最小值为-4，最大值为0
C.最小值为-4，最大值为4
D.没有最大值，也没有最小值 9. 已知)12(+x f 的最大值为2，)14(+x f 的最大值为a ，则a 的取值范围是
A ．2 B ．2>a C ．2=a D ．以上三种均有可能 10.已知a b a ,0,0>>、b 的等差中项是βαβα++=+=则且,1 ,1,21b b a a 的最小值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 11. 已知()1 2g x x =-,2 21[()](0)x f g x x x -=≠,则f ()21= A ．15 B ．1 C ．3 D ．30 12. 设函数f x x x ()()() =-> ()()() ()a b a b f a b a b ++-?-≠2的值为 A.a B. b C.a 、b 中较小的数 D.a 、b 中较大的数 13．函数 19 1 ()n f x x n ==-∑的最小值为 A ．190 B ．171 C ．90 D ．45 二、填空题： 14. 定义在R 上的函数)(x f 满足关系式:2)21()21(=-++x f x f ,则+)81(f )8 2(f )8 7 (f ++ 的值等于________ 15. 已知函数()f x 对一切实数a b ，,均满足()()()f a b f a f b +=?，且(1)2f =．则 (2)(3)(4)(2007) (1)(2)(3)(2006) f f f f f f f f ++++= 16. 设1 )(2 ++= x b ax x f （a >0）的值域为[-1，4]，则a ,b 的值为_________ 17．函数?? ? ??>+-≤<+≤+=15103 03 2x x x x x x y 的最大值是 18．已知a ,b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= 三、解答题： 19. 求下列函数的值域 （1）5 44 2--= x x y ； （2）x x y 21-+-=； （3）x x y 1 2-= 20． 已知函数222()(0)1 x bx c f x b x ++=<+的值域为［1，3］，求实数b 、c 的值。 21．设函数4 1)(2 - +=x x x f ， （1）若定义域为[0，3]，求)(x f 的值域； （2）若定义域为]1,[+a a 时，)(x f 的值域为]16 1 ,21[-，求a 的值. 22. 已知函数：)(1)(a x R a x a a x x f ≠∈--+= 且 （1）证明：()2(2)0f x f a x ++-=对定义域内的所有x 都成立. （2）当()f x 的定义域为1 [,1]2 a a + + 时，求证：()f x 的值域为[3,2]--； *（3）设函数2 ()|()()|g x x x a f x =+-, 求()g x 的最小值 . 函数的值域与最值参考答案 （三）例题讲评 例1．(0,1];[4,3);(,4];[1,4--∞+ 例2．620,0,03y x x x =-≥≥∴≤≤ 及 2232726182()(03)22Z x x x x =-+=-+≤≤，最大值18；最小值27 2 例3．[1,1)-；1 [,1)3-；[33 - ； 例4．223(1)2(1)44 (1)22111 x x x y x x x x ++-++= ==++-≥+++，当且仅当 4 1(1)1 x x x += >-+时取等号；即1x =时，y 的最小值是2。没有最大值。 另外22 11331 x y x x x += =+++方法同上，即1x =时，y 的最大值是1 2 。没有最小值。 说明：本题不能用判别式法。因为x R ?。若用判别式法得1162y -≤≤，当1 6 y =-时， 求得3x =-，不合。 例5．5 [,);(,2]2+∞-∞；4[5,);[0,]3 +∞ （以上各小题考虑了各种方法的顺序，有的方法给出2个小题，有的题目可以多种方法导数法暂不考虑。） （四）练习题 9.提示：令)14()2()12()(+=→+=x f x g x f x g ，实际是将原函数图象的点的横坐标缩短变为原来的二分之一，纵坐标不变。故最值不变。 10. 提示：由111144a b a b ab ab +=?=+≥≤ ?≥， 1 11 ()1145a b a b ab αβ+=+++=+ ≥+= 二、填空题 14.7； 15.4012； 16. a =4, b=3； 17. 4； 18.2。 15.提示： () ()() f a b f a f b +=用赋值法或令()2x f x = 三、解答题 19． [解析]先确定函数的定义域，正确选择方法，并作出相应的数式变换. （1）函数的定义域为5,1≠-≠x x 且， 令09,9)2(542 2 ≠-≥∴--=--=u u x x x u 且， 即0>u 或9 440409-≤>? <≤-u u u 或， ∴函数的值域为),0(]9 4,(+∞--∞ ； （注）这里运用了不等式性质：b a ab b a 1 10 >； [解法二]原函数等价于0)45(4,4)54(22=+--=--y yx yx x x y 即， 当0=y 时，得－4=0，矛盾，0≠∴y ， )5,1(≠-≠∈x x R x 且 ， 0)49(0)45(4162≥+?≥++=?∴y y y y y ， 解得函数的值域为),0(]9 4,(+∞--∞ . （2）函数的定义域为]21,(-∞.作换元，令)0(2 1212 ≥-= ?=-t t x t x ， ),0[)(,1)1(21 2122+∞∴-+=+-=∴在t f t t t y 上为增函数， 21)0(-=≥∴f y ，∴函数的值域为),2 1 [+∞-； [解法二]令x x f x x f 21)(,)(21-=-=，∴原函数)()(21x f x f y +=， ∵)()(21x f x f 与在定义域内都是减函数， ∴原函数)(x f y =在定义域]21 ,(-∞是减函数，2 1)21(-=≥∴f y ， 而当-∞→x 时，+∞→y ，∴函数的值域为),2 1 [+∞-. （3）函数的定义域为2 1≥ x ， )210(1)11(21122 22≤<+--=+-=-= ∴x x x x x x y ， 由二次函数性质知函数的值域为[0，1]； [解法二]令12-=x t ， )0(21 2≥+=∴t t x ， 10,12212)(2 ≤≤∴=≤+= =∴y t t t t t f y ， 即函数的值域为[0，1] 20．由y =1 22 2+++x c bx x 得 (2－y )x 2 +bx +c －y =0,(*) 当y －2≠0,由x ∈R,有Δ=b 2 －4(2－y )·(c －y )≥0 即4y 2 －4(2+c )y +8c －b 2 ≤0，由已知得2+c =1+3且4 82 b c -=1×3 ∴b =±2,c =2又b <0,∴b =－2,c =2, 而y －2=0,b =－2,c =2代入（*）式得x =0 ∴b =－2,c =2为所求 21．解：21)21()(2- +=x x f ，∴对称轴为21 -=x ， （1）2103->≥≥x ，∴)(x f 的值域为)]3(),0([f f ，即]447 ,41[-； （2）∴-=,21)]([min x f 对称轴]1,[2 1 +∈-=a a x ， 212321 121-≤≤-???? ???? -≥+-≤∴a a a ， ∵区间]1,[+a a 的中点为2 1 0+=a x ， ①当2 1 1,2121-≤≤--≥+ a a 即时， 16 1 41)1()1(,161)1()]([2max =-+++∴=+=a a a f x f ， 4 9 (4302748162-=-=?=++∴a a a a 不合）； ②当123,2121-<≤--<+a a 即时，161 )()]([max ==a f x f ， 41 (45051616,1614122=-=?=-+∴=-+∴a a a a a a 不合）； 综上，4 5 43-=-=a a 或. 22.（1）证明：x a a a x a x a a x x a f x f +--+-++--+=-++21221)2(2)( 01221121=--+--+-+=-+-++--+=x a x a x a a x a x x a x a a x ∴结论成立 （2）证明：x a x a x a x f -+-=-+--= 1 11)()( 当11 2,211211121-≤-≤--≤-≤-- -≤-≤--+≤≤+x a x a a x a a x a 时 21 13-≤-+-≤-x a 即]2,3[)(--值域为x f （3）解：)(|1|)(2 a x a x x x g ≠-++= ①当a x a x x x g a x a x -++=-++=≠-≥4 3 )21(1)(,122 时且 如果211- ≥-a 即2 1 ≥a 时，则函数在),(),1[+∞-a a a 和上单调递增 2min )1()1()(-=-=a a g x g ， 如果a g x g a a -=-=<-<-4 3 )21()(,21211min 时即当 而当21- =a 时，)(x g 在2 1 ==a x 处无定义，故)(x g 最小值不存在 ②当4 5)21(1)(122 -+-=+--=-≤a x a x x x g a x 时 如果4 5 )21()(23211min -==>>-a g x g a a 时即 如果2min )1()1()()1,()(2 3 211-=-=--∞≤≤-a a g x g a x g a a 上为减函数在时即 当0)2 1 ()43()1(210 )23 ()45()1(232222>-=---<>-=--->a a a a a a a a 时当时 综合得：
- 三角函数的最值与值域的教学设计
- 高一数学-指数函数-函数的值域与最值 (教案)
- 函数专题复习资料(一)值域与最值
- 函数的值域和最值教案
- 高中数学 必修四 三角函数最值与值域常考题型总结(含答案)
- 函数的最值与值域(提高)知识梳理
- 求函数的值域、最值的十三种方法(最全)
- 高一数学函数的值域与最值问题
- 高中数学 函数的值域与最值
- 求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
- 函数的最值与值域知识梳理
- 高考复习函数的最值与值域知识梳理
- 高一数学-指数函数-函数的值域与最值-(教案)
- 函数的值域与最值
- 函数的定义域值域最值
- 高中一年级数学_指数函数_函数的值域与最值(教(学)案)
- 高考数学复习专题函数的最值
- 函数的值域与最值
- 三角函数的定义域值域和最值
- 函数的最值与值域