注意:在下面的题目中m 为你的学号的后4位
第一次练习题
1. 求0
32=-x e
x
的所有根。(先画图后求解)
fplot('[exp(x)-3*x^2,0]',[-1,4])
fsolve('exp(x)-3*x.^2',[-0.5,1,4])
ans =
-0.4590 0.9100 3.7331 2. 求下列方程的根。 1)
0155=++x x
fplot('[x^5+5*x+1,0]',[-5,5])
fsolve('x.^5+5*x+1',-0.2) ans = -0.1999
2)
至少三个根)(02
1s i n =-
x x
fplot('[x*sin(x)-1/2,0]',[-4,4])
fsolve('x.*sin(x)-1/2',[-3,-1,1,3])
ans =
-2.9726 -0.7408 0.7408 2.9726
3. 求解下列各题:
1)30sin lim x mx mx
x
->- >> syms x;
>> limit((407*x-sin(407*x))/x^3,x,0) ans =
67419143/6 2)
2
1/2
(17mx e dx
?
精确到位有效数字)
>> syms x;
>> f=int(exp(407*x^2),x,0,1/2);vpa(f,17) ans =
.38197076670642666e42
3)4
2
4x dx m x
+? >> syms x;
>> int(x^4/(407+4*x^2),x) ans =
1/12*x^3-407/16*x+407/32*407^(1/2)*atan(2/407*x*407^(1/2))
4)
08
x=
将在展开(最高次幂为)
>> taylor(sqrt(407/1000+x),9,x,0)
ans =
(1464843750000000*407^(1/2)*1000^(1/2)*x^7)/168177611185614613 - (1190185546875000000*407^(1/2)*1000^(1/2)*x^8)/68448287752545147491 - (20507812500000*407^(1/2)*1000^(1/2)*x^6)/4545340842854449 + (27343750000*407^(1/2)*1000^(1/2)*x^5)/11167913618807 - (39062500*407^(1/2)*1000^(1/2)*x^4)/27439591201 + (62500*407^(1/2)*1000^(1/2)*x^3)/67419143 - (125*407^(1/2)*1000^(1/2)*x^2)/165649 + (407^(1/2)*1000^(1/2)*x)/814 + (407^(1/2)*1000^(1/2))/1000
5)
1
s i n(3)
()
x
y e y m
=求( 精确到17位有效数字)
>> syms x;
>> f=diff(exp(sin(1/x),3); >> y=subs(f,x,407);vpa(y,17) ans =
-.21973664849151321e-9
4.求矩阵
211
020
41
100
A
m
??
?
-
?
= ?
?
?
-
??
的逆矩阵
1
-
A及特征值和特征向量。
>> A=[-2,1,1;0,2,0;-4,1,4.07],inv(A) A =
-2.0000 1.0000 1.0000
0 2.0000 0
-4.0000 1.0000 4.0700 ans =
-0.9831 0.3708 0.2415
0 0.5000 0
-0.9662 0.2415 0.4831 >> eig(A)
ans =
-1.2478
3.3178
2.0000
>> [P,D]=eig(A)
P =
-0.7992 -0.1848 0.2425
0 0 0.9701 -0.6011 -0.9828 -0.0000 D =
-1.2478 0 0 0 3.3178 0 0 0 2.0000 5. 已知
,21)(2
22)(σμσ
π--
=
x e
x f 分别在下列条件下画出)(x f 的图形:
);
(在同一坐标系上作图,,=时=、);(在同一坐标系上作图,-,=时、421,0)2(110,1)1(σμμσ=
(1)>> syms x;
>> f=inline('(1/((2*pi)^(1/2)*p))*exp(-(x-u)^2/(2*p^2))'); >> y1=f(1,0,x); >> y2=f(1,-1,x); >> y3=f(1,1,x); >> y1 y1 =
7186705221432913/18014398509481984*exp(-1/2*x^2) >> y2 y2 =
7186705221432913/18014398509481984*exp(-1/2*(x+1)^2) >> y3 y3 =
7186705221432913/18014398509481984*exp(-1/2*(x-1)^2)
>>fplot('[7186705221432913/18014398509481984*exp(-1/2*x^2),7186705221432913/18014398509481984*exp(-1/2*(x+1)^2),7186705221432913/18014398509481984*exp(-1/2*(x-1)^2)]',[-6,6])
(2)>> syms x;
>> f=inline('(1/((2*pi)^(1/2)*p))*exp(-(x-u)^2/(2*p^2))');
>> y1=f(1,0,x);
>> y2=f(2,0,x);
>> y3=f(4,0,x);
>> y1
y1 =
7186705221432913/18014398509481984*exp(-1/2*x^2)
>> y2
y2 =
7186705221432913/36028797018963968*exp(-1/8*x^2)
>> y3
y3 =
7186705221432913/72057594037927936*exp(-1/32*x^2)
>>fplot('[7186705221432913/18014398509481984*exp(-1/2*x^2),7186705221432913/3602 8797018963968*exp(-1/8*x^2),7186705221432913/72057594037927936*exp(-1/32*x^2 )]',[-8,8])
二解:(1)>>fplot('[(1/sqrt(2*pi))*exp(-x^2/2),1/sqrt(2*pi)*exp(-(x+1)^2/2),1/sqrt(2*pi)*exp(-(x-1)^ 2/2)]',[-10,10])
(2)>>fplot('[(1/sqrt(2*pi))*exp(-x^2/2),1/(sqrt(2*pi)*2)*exp(-x^2/8),1/(sqrt(2*pi)*4)*exp( -x^2/32)]',[-10,10])
6. 画 下列函数的图形:(1)2
02004
cos sin ≤≤≤≤????
???
===u t t z t
u y t u x
>> ezmesh('u*sin(t)','u*cos(t)','t/4',[0,20,0,2])
(2)sin (3cos )02cos (3cos )
02sin x t u t y t u u z u π
π=+?≤≤?
=+?≤≤?=?
(第6题只要写出程序).
ezmesh('sin(t)*(3+cos(u))','cos(t)*(3+cos(u))','sin(u)',[0,2*pi,0,2*pi])
第二次练习题
1、 设11
()/23n n
n m x x x x +?
=+???=?,数列}{n x 是否收敛?若收敛,其值为多少?精确到6位有
效数字。
>> f=inline('(x+407/x)/2'); syms x; x0=3; for i=1:1:20 x0=f(x0);
fprintf('%g,%g\n',i,x0); end 1,69.3333 2,37.6018 3,24.2129 4,20.5111
5,20.177 6,20.1742 7,20.1742 8,20.1742 9,20.1742 10,20.1742 11,20.1742 12,20.1742 13,20.1742 14,20.1742 15,20.1742 16,20.1742 17,20.1742 18,20.1742 19,20.1742 20,20.1742
本次计算运行到第六次结果稳定,可得: 数列}{n x 收敛,收敛到20.1742
2、设 ,131211p p p n n
x ++++
= }{n x 是否收敛?若收敛,其值为多少?精确到17位有效数字(提示:当n x 与1n x +的前17位有效数字一致时终止计算)
注:学号为单号的取7=p ,学号为双号的取.8=p >> s=0; for i=1:1:200 s=s+1/i^7;
fprintf('%g,%20.17f\n',i,s); end
1, 1.00000000000000000 2, 1.00781250000000000 3, 1.00826974737082750
4, 1.00833078252707750 5, 1.00834358252707750 6, 1.00834715477216210 7, 1.00834836903784100 8, 1.00834884587499920 9, 1.00834905495015730 10, 1.00834915495015730 …………………………… 181, 1.00834927738191870 182, 1.00834927738191890 183, 1.00834927738191920 184, 1.00834927738191940 185, 1.00834927738191960 186, 1.00834927738191980 187, 1.00834927738192000 188, 1.00834927738192030 189, 1.00834927738192050 190, 1.00834927738192070 191, 1.00834927738192070 192, 1.00834927738192070 193, 1.00834927738192070 194, 1.00834927738192070 195, 1.00834927738192070 196, 1.00834927738192070 197, 1.00834927738192070 198, 1.00834927738192070 199, 1.00834927738192070 200, 1.00834927738192070
运行至第190次后稳定,值为1.00834927738192070
练习12 对例2,对例2,取 120,55,25,5.4 a 观察图形有什么变化.试着提高迭代次数至26 000、28 000、100 000、500 000等观察图形有什么变化. >> Martin(45,2,-300,5000);
>> Martin(45,2,-300,26000);
>> Martin(45,2,-300,28000);
>> Martin(45,2,-300,100000);
>> Martin(45,2,-300,500000);
练习13 取参数c b a ,,为其他的值会得到什么图形?参考表4.4.
表4.4 Martin 迭代参数参考表
练习13 取参数c b a ,,为其他的值会得到什么图形?参考表4.4.
表4.4 Martin 迭代参数参考表
>> Martin(-1000,0.1,-10,5000);
>> Martin(-0.4,1,0,5000);
>> Martin(90,30,10,5000);
>> Martin(10,-10,100,5000);
>> Martin(-200,-4,-80,5000);
>> Martin(-137,17,4,5000);
>> Martin(10,100,-10,5000);
练习14设A,B,C为某三角形的顶点,现作这样的迭代:计算两个点的中点,这两个点分别是A,B,C中随机取得的一点,与前一步求得的中点(初始点任取).当迭代次数大于10000时,试观察所得的散点图.
输入:
>> f=@(x,y)(x+y)/2;
x1=0;y1=0;x2=4;y2=0;x3=0;y3=4;
xn=x1;yn=y1;
for n=1:10000
m=ceil(3*rand);
if m==1;
X=x1;Y=y1;
elseif m==2;
X=x2;Y=y2;
else m==3;
X=x3;Y=y3;
end;
xN=xn;yN=yn;
xn=f(xN,X);yn=f(yN,Y);
plot(xn,yn,'k*');
hold on;
end;
hold off
>>
输出:
书上习题:(实验四) 1,2,4,7(1),8,12(改为:对例2,取 120,55,25,5.4=a 观察图形有什么变化.),13,14 。
练习1 编程判断函数)(x f 1
1
+-=x x 的迭代序列是否收敛. >> f=inline('(x-1)/(x+1)'); x0=4; for i=1:20 x0=f(x0);
fprintf('%g,%g\n',i,x0); end 1,0.6 2,-0.25 3,-1.66667 4,4 5,0.6 6,-0.25 7,-1.66667 8,4 9,0.6 10,-0.25 11,-1.66667 12,4 13,0.6 14,-0.25 15,-1.66667 16,4 17,0.6 18,-0.25 19,-1.66667 20,4
由此可以发现迭代数列不一定收敛,迭代中出现循环。
练习2 先分别求出分式线性函数31)(1+-=
x x x f 、1
15
)(2++-=x x x f 的不动点,再编程判断它们的迭代序列是否收敛.
运用上节的收敛定理可以证明:如果迭代函数在某不动点处具有连续导数且导数值介于-1与1之间,那末取该不动点附近的点为初值所得到的迭代序列一定收敛到该不动点. (1)解方程3
1
+-=x x x ,得到x =-1,是函数f1(x )的不动点。 x=(x-1)/(x+3) x =-1
f1=inline('(x-1)/(x+3)'); x0=-0.5; for i=1:2000 x0=f1(x0);
fprintf('%g,%g\n',i,x0); end
1982,-0.999001 1983,-0.999001 1984,-0.999002 1985,-0.999002 1986,-0.999003 1987,-0.999003 1988,-0.999004 1989,-0.999004 1990,-0.999005 1991,-0.999005 1992,-0.999006 1993,-0.999006 1994,-0.999007 1995,-0.999007 1996,-0.999008 1997,-0.999008 1998,-0.999009 1999,-0.999009 2000,-0.99901
(2)解方程1
15
++-=x x x ,得到x =-5和3,是函数f2(x )的不动点。
x=(-x+15)/(x+1) x=-5,3; format long;
f2=inline('(x-15)/(x+1)'); x0=6; for i=1:2000 x0=f2(x0);
fprintf('%g,%g\n',i,x0); end
1980,-17.2814 1981,1.98272 1982,-4.36424 1983,5.75591 1984,-1.3683 1985,44.4431 1986,0.647912 1987,-8.70926 1988,3.07543 1989,-2.92597 1990,9.3075 1991,-0.552267 1992,-34.7356 1993,1.47428 1994,-5.46654 1995,4.58219 1996,-1.86626 1997,19.4703 1998,0.218379 1999,-12.1322 2000,2.43727
由此可见由于迭代序列虽有不动点x=-1,但在此处导数不在-1与1之间,所以迭代数序列不收敛。
第一次练习题 1. 求 32 =-x e x 的所有根。(先画图后求解) 2. 求下列方程的根。 1) 0155 =++x x 2) 至少三个根)(0 2 1s i n =- x x 3) 所有根0 c o s s i n 2 =-x x x 3. 求解下列各题: 1) 3 sin lim x x x x ->- 2) ) 10(, cos y x e y x 求= 3) ?+dx x x 2 4 425 4) )(最高次幂为 展开在将801=+x x 5) )2() 3(1sin y e y x 求 = 4. 求矩阵 ???? ? ? ?--=31 4020 112 A 的逆矩阵1 -A 及特征值和特征向量。 5. 已知,21)(2 2 2)(σ μσ π-- = x e x f 分别在下列条件下画出)(x f 的图形: ); (在同一坐标系上作图 ,,=时=、);(在同一坐标系上作图,-,=时、421,0)2(110,1)1(σμμσ=、 6. 画 (1)202004 cos sin ≤≤≤≤???? ?? ? ===u t t z t u y t u x (2) 30,30)sin(≤≤≤≤=y x xy z
(3)π π2020sin ) cos 3()cos()cos 3()sin(≤≤≤≤?? ? ??=+=+=u t u z u t y u t x 的图(第6题只要写出程序). 7绘制曲线x x x sa )sin()(=,其中]10,10[ππ-∈x 。(注意:0=x 处需要特别处理。) 8.作出函数x e x f x cos )(-=的图形;求出方程0=)(x f 在],[020-的所有根;令 n x 为从0向左依次排列的方程的根,输出n n x x --1 ,并指出?)(lim =--∞ >-n n n x x 1 9. 把x cos 展开到2,4,6项,并作出的x cos 和各展开式的图形;并指出用展开式逼 近x cos 的情形。 10. 请分别写出用for 和while 循环语句计算63 263 2 2212+++== ∑ = i i K 的程序。此外, 还请写出一种避免循环的计算程序。 11. 对于0>x ,求1 20 11122 +∞ =∑ ? ? ? ??+-+k k x x k 。(提示:理论结果为x ln ) 第二次练习题 1、 设????? =+=+32/)7(1 1 x x x x n n n ,数列}{n x 是否收敛?若收敛,其值为多少?精确到6位 有效数字。 用两种方法 2、设 ,13 12 11p p p n n x + ++ += }{n x 是否收敛?若收敛,其值为多少?精确到17 位有效数字。 注:学号为单号的取7=p ,学号为双号的取.8=p 3、38P 问 题2 4、编程找出 5,1000+=≤b c c 的所有勾股数,并问:能否利用通项表示 },,{c b a ? 5、编程找出不定方程 )35000(122 2 <-=-y y x 的所有正整数解。(学号为单号
北京交通大学海滨学院考试试题 课程名称:数学实验2010-2011第一学期出题教师:数学组适用专业: 09机械, 物流, 土木, 自动化 班级:学号:姓名: 选做题目序号: 1.一对刚出生的幼兔经过一个月可以长成成兔, 成兔再经过一个月后可以 繁殖出一对幼兔. 如果不计算兔子的死亡数, 请用Matlab程序给出在未来24个月中每个月的兔子对数。 解: 由题意每月的成兔与幼兔的数量如下表所示: 1 2 3 4 5 6 ··· 成兔0 1 1 2 3 5··· 幼兔 1 0 1 1 2 3··· 运用Matlab程序: x=zeros(1,24); x(1)=1;x(2)=1; for i=2:24 x(i+1)=x(i)+x(i-1); end x 结果为x = 1 1 2 3 5 8 13 21 3 4 5 5 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 1094 6 7711 2865 7 46368 2.定积分的过程可以分为分割、求和、取极限三部分, 以1 x e dx 为例, 利用
已学过的Matlab 命令, 通过作图演示计算积分的过程, 并与使用命令int() 直接积分的结果进行比较. 解:根据求积分的过程,我们先对区间[0,1]进行n 等分, 然后针对函数x e 取和,取和的形式为10 1 i n x i e e dx n ξ=≈ ∑ ? ,其中1[ ,]i i i n n ξ-?。这里取i ξ为区间的右端点,则当10n =时,1 x e dx ?可用10 101 1.805610 i i e ==∑ 来近似计算, 当10n =0时,100 100 1 01 =1.7269100 i x i e e dx =≈ ∑?,当10n =000时,10000 10000 1 1 =1.718410000 i x i e e dx =≈ ∑ ?. 示意图如下图,Matlab 命令如下: x=linspace (0,1,21); y=exp(x); y1=y(1:20); s1=sum(y1)/20 y2=y(2:21); s2=sum(y2)/20 plot(x,y); hold on for i=1:20 fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i),y(i),0],'b') end syms k;symsum(exp(k/10)/10,k,1,10);%n=10 symsum(exp(k/100)/100,k,1,100);%n=100 symsum(exp(k/10000)/10000,k,1,10000);%n=10000
大学数学实验 项目一 矩阵运算与方程组求解 实验1 行列式与矩阵 实验目的 掌握矩阵的输入方法. 掌握利用Mathematica (4.0以上版本) 对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式. 基本命令 在Mathematica 中, 向量和矩阵是以表的形式给出的. 1. 表在形式上是用花括号括起来的若干表达式, 表达式之间用逗号隔开. 如输入 {2,4,8,16} {x,x+1,y,Sqrt[2]} 则输入了两个向量. 2. 表的生成函数 (1) 最简单的数值表生成函数Range, 其命令格式如下: Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n }; Range[m, n]—生成表{m ,…,n }; Range[m, n, dx]—生成表{m ,…,n }, 步长为d x . (2) 通用表的生成函数Table. 例如,输入命令 Table[n^3,{n,1,20,2}] 则输出 {1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859} 输入 Table[x*y,{x,3},{y,3}] 则输出 {{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}} 3. 表作为向量和矩阵 一层表在线性代数中表示向量, 二层表表示矩阵. 例如,矩阵 ??? ? ??5432 可以用数表{{2,3},{4,5}}表示. 输入 A={{2,3},{4,5}} 则输出 {{2,3},{4,5}} 命令MatrixForm[A]把矩阵A 显示成通常的矩阵形式. 例如, 输入命令: MatrixForm[A] 则输出 ??? ? ??5432 但要注意, 一般地, MatrixForm[A]代表的矩阵A 不能参与运算. 输入 B={1,3,5,7} 输出为 {1,3,5,7} 输入 MatrixForm[B] 输出为
一、实验内容 P206第六题 function f=wuyan2(c) y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.41 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4] t=[0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210] f=y-c(1)/(1+c(1)/3.9-1)*exp^(-c(2)*t) c0=[1 1] c=lsqnonlin('wuyan2',c0) P206第七题 function f=wuyan1(c) q=[0.4518 0.4862 0.5295 0.5934 0.7171 0.8964 1.0202 1.1963 1.4928 1.6909 1.8548 2.1618 2.6638 3.4634 4.6759 5.8478 6.7885 7.4463 7.8345 8.2068 8.9468 9.7315 10.5172 11.7390 13.6876 ]; k=[0.0911 0.0961 0.1230 0.1430 0.1860 0.2543 0.3121 0.3792 0.4754 0.4410 0.4517 0.5595 0.8080 1.3072 1.7042 2.0019 2.2914 2.4941 2.8406 2.9855 3.2918 3.7214 4.3500 5.5567 7.0477]; l=[4.2361 4.3725 4.5295 4.6436 4.8179 4.9873 5.1282 5.2783 5.4334 5.5329 6.4749 6.5491 6.6152 6.6808 6.7455 6.8065 6.8950 6.9820 7.0637 7.1394 7.2085 7.3025 7.3470 7.4432 7.5200]; f=q-c(1)*k.^c(2).*l.^c(3) c0=[1 1 1] c=lsqnonlin('wuyan1',c0) c = 0.4091 0.6401 1.1446 a=0.4091 α=0.6401 β=1.1446 P239第五题 c=[-20 -30]; A=[1 2;5 4]; b=[20 70]; v1=[0 0]; [x,f,ef,out,lag]=linprog(c,A,b,[],[],v1) z=-f x = 10.0000 5.0000
清华大学数学实验报告4
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ?
电13 苗键强2011010645
一、实验目的 1.掌握用 MATLAB 软件求解非线性方程和方程组的基本用法, 并对结果作初步分析; 2.练习用非线性方程和方程组建立实际问题的模型并进行求解。 二、实验内容 题目1 【问题描述】 (Q1)小张夫妇以按揭方式贷款买了1套价值20万元的房子,首付了5万元,每月还款1000元,15年还清。问贷款利率是多少? (Q2)某人欲贷款50 万元购房,他咨询了两家银行,第一家银行 开出的条件是每月还4500元,15 年还清;第二家银行开出的条件是每年还45000 元,20年还清。从利率方面看,哪家银行较优惠(简单假设:年利率=月利率×12)? 【分析与解】 假设初始贷款金额为x0,贷款利率为p,每月还款金额为x,第i 个月还完当月贷款后所欠银行的金额为x i,(i=1,2,3,......,n)。由题意可知: x1=x0(1+p)?x x2=x0(1+p)2?x(1+p)?x x3=x0(1+p)3?x(1+p)2?x(1+p)?x ……
x n=x0(1+p)n?x(1+p)n?1???x(1+p)?x =x0(1+p)n?x (1+p)n?1 p =0 因而有: x0(1+p)n=x (1+p)n?1 p (1) 则可以根据上述方程描述的函数关系求解相应的变量。 (Q1) 根据公式(1),可以得到以下方程: 150p(1+p)180?(1+p)180+1=0 设 f(p)=150p(1+p)180?(1+p)180+1,通过计算机程序绘制f(p)的图像以判断解p的大致区间,在Matlab中编程如下: fori = 1:25 t = 0.0001*i; p(i) = t; f(i) =150*t*(1+t).^180-(1+t).^180+1; end; plot(p,f),hold on,grid on; 运行以上代码得到如下图像:
1.(1) [1 2 3 4;0 2 -1 1;1 -1 2 5;]+(1/2).*([2 1 4 10;0 -1 2 0;0 2 3 -2]) 2. A=[3 0 1;-1 2 1;3 4 2],B=[1 0 2;-1 1 1;2 1 1] X=(B+2*A)/2 3. A=[-4 -2 0 2 4;-3 -1 1 3 5] abs(A)>3 % 4. A=[-2 3 2 4;1 -2 3 2;3 2 3 4;0 4 -2 5] det(A),eig(A),rank(A),inv(A) 求计算机高手用matlab解决。 >> A=[-2,3,2,4;1,-2,3,2;3,2,3,4;0,4,-2,5] 求|A| >> abs(A) ans = ( 2 3 2 4 1 2 3 2 3 2 3 4 0 4 2 5 求r(A) >> rank(A) ans =
4 求A-1 《 >> A-1 ans = -3 2 1 3 0 -3 2 1 2 1 2 3 -1 3 -3 4 求特征值、特征向量 >> [V,D]=eig(A) %返回矩阵A的特征值矩阵D 与特征向量矩阵V , V = - + + - - + - + - + - + D = { + 0 0 0 0 - 0 0 0 0 + 0 0 0 0 - 将A的第2行与第3列联成一行赋给b >> b=[A(2,:),A(:,3)'] b = 《 1 - 2 3 2 2 3 3 -2