二次函数专题习题

二次函数专题

1．已知点A （b a 2-，ab 42-）在抛物线1042++=x x y 上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为 A. （-3，7） B. （-1，7） C. （-4，10） D. （0，10）

2．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2

＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

3．已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx 2

﹣4x+k 2

的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．二次函数

2

y ax b

=+（b ＞0 ） A. B.

C. D.

5．如图是二次函数y=ax 2

+bx+c 图象的一部分，且过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论正确的是（ ）

A ．b 2

＞4ac B ．ac ＞0 C ．a ﹣b+c ＞0 D ．4a+2b+c ＜0

6．二次函数y=ax 2

+bx+c （a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（ ）

A ．c ＞0

B ．2a+b=0

C ．b 2

﹣4ac ＞0 D ．a ﹣b+c ＞0

7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax 2

＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）

A ．k ＜－3

B ．k ＞－3

C ．k ＜3

D ．k ＞3

8．如图，抛物线y=ax 2

+bx+c 与x 轴交于点(1，0)，对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（ ）

A ．0>a

B ．当1>x 时，y 随x 的增大而增大

C ．0

D ．

3

x =是一元二次方程

20

ax bx c ++=的一个根

9．二次函数y=ax 2

+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）

A ．abc ＜0

B ．a+c ＜b

C ．b ＞2a

D ．4a ＞2b ﹣c

10．如图为二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c(a≠0)的图象，则下列说法：

①a>0 ②2a ＋b ＝0 ③a ＋b ＋c>0 ④当－10其中正确的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

11．已知二次函数y=ax 2

+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b 2

＞4ac ；②abc ＞0；③2a-b=0；④8a+c ＜0；⑤9a+3b+c ＜0，其中结论正确的是 ( )．（填正确结论的序号）

12．如图，已知二次函数c bx ax y ++=2

的图象过A （2，0），B （0，-1）和C （4，5）三点。 （1）求二次函数的解析式；

（2）设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，求点D 的坐标；

（3）在同一坐标系中画出直线1+=x y ，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值。

13．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°， BC ∥x 轴，抛物线y=ax 2

－2ax ＋3经过△ABC 的三个顶点，并且与x 轴交于点D 、E ，点A 为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接CD ，在抛物线的对称轴上是否存在一点P 使△PCD 为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图所示的二次函数

的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）

；（2）

c>1

；（3）2a －b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误的有（ ）

A ．

2个 B ．3个 C ．4个 D

．1个 15．如图，直线y ＋m 与抛物线y 2

－2x ＋l

交于不同的两点M 、N （点M 在点N 的左侧）． (1)设抛物线的顶点为B ，对称轴l 与直线y

＋m 的交点为C ，连结BM 、BN ，若S △MBC △NBC ，求直线MN 的解析式；

(2)在(1)条件下，已知点P(t

，0)为x 轴上的一个动点， ①若△PMN 为直角三角形，求点P 的坐标．

②若∠MPN>90°，则t 的取值范围是 ．

16．如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，且3AB =， 经过点C ，交y 轴于点G ．

（1）点C 、D 的坐标分别是C （ ），D （ ）；

（2上且经过点C D 、的抛物线的解析式；

（3）将（2向上平移，平移后的抛物线交y 轴于点F ，顶点为点E ．求出当

EF EG =时抛物线的解析式．

17A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B x 轴的直线)53(<<-=m m y 与两条抛物线有四个交点；④2AB=3AC ．其中错误结论的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

18．如图，若抛物线Y=X 2 改为抛物线Y= X 2

+BX+C 其他条件不变 求矩形ABCD 的面积

19．如图，抛物线y ＝ax 2

－5ax ＋4经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC

＝BC.

(1)求抛物线的对称轴；

(2)写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式．

20．如图，抛物线y＝x2－2x＋c的顶点A在直线l：y＝x－5上．

(1)求抛物线顶点A的坐标；

(2)设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧)，试判断△ABD的形状．

参考答案

1．D

【解析】

试题分析：∵点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，

∴（a﹣2b）2+4×（a﹣2b）+10=2﹣4ab，

a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab，

（a+2）2+4（b﹣1）2=0，

∴a+2=0，b﹣1=0，

解得a=﹣2，b=1，

∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4，

2﹣4ab=2﹣4×（﹣2）×1=10，

∴点A的坐标为（﹣4，10），

∵对称轴为直线x=﹣2，

∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）．

故选D．

考点：二次函数

2．B

【解析】

试题分析：∵抛物线和x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；

∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，

∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，

∴4a+c＞2b，∴②错误；

∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，

∴2a+2b+2c＜0，

∵b=2a，

∴3b，2c＜0，∴③正确；

∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，

∴y=a﹣b+c的值最大，

即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，

∴am2+bm+b＜a，

即m（am+b）+b＜a，∴④正确；

即正确的有3个，

故选B．

考点：二次函数图象与系数的关系

3．

【解析】

试题分析：∵函数k＜0，

由图知当x=﹣1时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1，

∴抛物线y=2kx 2﹣4x+k 2

开口向下，

对称为x=10，

∴对称轴在﹣1与0之间，

故选：D ．

考点：1、反比例函数的图象；2、二次函数的图象 4．B ． 【解析】 试题分析：先根据各选项中反比例函数图象的位置确定a 的范围，再根据a 的范围对抛物线的大致位置进行判断，从而对各选项作出判断：

四象限时， a ＜0，∴抛物线2y ax b =+（b ＞0）中a ＜0，b ＞0，

∴抛物线开口向下. 所以A 选项错误.

三象限时， a ＞0，∴抛物线2y ax b =+（b ＞0）中a ＞0，b ＞0，

∴抛物线开口向上，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方. 所以B 选项正确，C ，D 选项错误. 故选B ．

考点：1.二次函数和反比例函数的图象与系数的关系；2.数形结合思想的应用． 5．A 【解析】

试题分析：∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2﹣4ac ＞0，即b 2

＞4ac ，所以A 选项正确； ∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，

∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，

∴ac ＜0，所以B 选项错误； ∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x=1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴a ﹣b+c=0，所以C 选项错误； ∵当x=2时，y ＞0，

∴4a+2b+c ＞0，所以D 选项错误． 故选A ．

考点：二次函数图象与系数的关系 6．D 【解析】

试题分析：A 、因为二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的上方，所以c ＞0，正确；

B 、由已知抛物线对称轴是直线x=1=2a+b=0，正确；

C 、由图知二次函数图象与x 轴有两个交点，故有b 2

﹣4ac ＞0，正确；

D 、直线x=﹣1与抛物线交于x 轴的下方，即当x=﹣1时，y ＜0，即y=ax 2

+bx+c=a ﹣b+c ＜0，

错误．

故选D．

考点：二次函数的图象与系数的关系

7．D．

【解析】

试题分析：∵当ax2+bx+c≥0，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，

∴此时y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c，

∴此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方部分的图象，

∵当ax2+bx+c＜0时，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴下方，

∴此时y=|ax2+bx+c|=﹣（ax2+bx+c）

∴此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象，∵y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点纵坐标是﹣3，

∴函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是3，

∴y=|ax2+bx+c|的图象如图，

∵观察图象可得当k≠0时，

函数图象在直线y=3的上方时，纵坐标相同的点有两个，

函数图象在直线y=3上时，纵坐标相同的点有三个，

函数图象在直线y=3的下方时，纵坐标相同的点有四个，

∴若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，

则函数图象应该在y=3的上边，

故k＞3．

故选D．

考点：二次函数的图象与性质．

8．D．

【解析】

试题分析：A、根据图象，二次函数开口方向向下，∴a＜0，故本选项错误；

B、当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误；

C、根据图象，抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，故本选项错误；

D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（-1，0），对称轴是x=1，

设另一交点为（x，0），

-1+x=2×1，

x=3，

∴另一交点坐标是（3，0），

∴x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，

故本选项正确．

故选D．

考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．二次函数的性质；3．抛物线与x轴的交点．

【答案】C

【解析】由抛物线的开口方向判断a的正负，由“左同右异” 判断b的正负，由抛物线与y轴的交点位置判断c的正负，然后根据对称轴及图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解：A、∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴a、b符号相同，∴b＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故本选项错误；

B、∵当x=﹣1时，对应的函数值y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，故本选项错误；

C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞﹣1，又a＜0，∴b＞2a，故本选项正确；

D、∵当x=﹣2时，对应的函数值y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a＜2b﹣c，故本选项错误．故选C．

10．C

【解析】①图象开口向下，能得到a<0；

②对称轴在y轴右侧，x11，即2a＋b＝0；③当x＝1时，y>0，

则a＋b＋c>0；

④由图可知，当－10.

11．①②⑤

【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2-4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；

②抛物线开口向上，得：a＞0；

抛物线的对称轴为x=-=1，b=-2a，故b＜0；

抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；

所以abc＞0；

故②正确；

③∵抛物线的对称轴为x=-=1，b=-2a，

∴2a+b=0，故2a-b=0错误；

④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2-2ax+c（a≠0）；

由函数的图象知：当x=-2时，y＞0；即4a-（-4a）+c=8a+c＞0，故④错误；

⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；

当x=-1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故⑤正确；

所以这结论正确的有①②⑤．

故答案为：①②⑤．

【答案】（1

（2）点D的坐标为（-1,0）

（3）X的取值范围为了-1

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式；（2）令y=0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；

（3）画出图象，再根据图象直接得出答案．

试题解析：（1）∵函数c bx ax y ++=2图象过点A （2，0）、B(0,1)和C （4,5）三点

∴??

?

??=++-==++5

41610

24c b a c c b a ∴

（2）当Y=0时

∴x 1=2,x 2=-1

∴点D 的坐标为（-1,0） （3）画图正确

X 的取值范围为了-1

考点：1、二次函数，2、函数大小比较

13．（1）y=-x 2

+2x+3；（2）P 1(1，4) P 2(1，

【解析】

试题分析：（1）根据题意知点B 的坐标为（0，3）抛物线的对称轴方程为x=1，所以A 点坐标为（1，4），C 点坐标为（2，3），由此可求抛物线的解析式. (2)分两种情况：CD 为直角边，CD 为斜边进行讨论，由勾股定理得到方程即可求出P 点坐标.

试题解析：（1）∵y=ax 2

－2ax ＋3 ∴它的对称轴为直线

令x=0，则y=3, ∴B （0，3）

根据抛物线的对称性知：C （2，3），A （1，4）

把A （1，4）代入y=ax 2

－2ax ＋3，得：a=-1

∴抛物线的解析式为：y=-x 2

+2x+3； （2）存在.分两种情况：

（1）当CD 为直角边时，设P （1，a ）：

i)当点P 在x 轴上方时，

∵CD2+CA2=AD2

∴18+2=4+a2

即：a2=16

解得a=±4（负舍去）

∴a=4

ii)当点P在x轴下方时，CD2+DP2=CP2

解得：a=-2

(2)当CD为斜边时，同理可以得出：

综上所述，点P的坐标分别为：P1(1，4) P2(1，

考点：二次函数综合题.

14．A

【解析】解：观察图像:函数与x轴有两个交点，所以（1）正确；函数与y 轴的交点的纵坐标在0到1之间，所以0＜c＜1，故（2）c>1错误；由函数的对称轴，而，所以，所以（3）2a－b<0正确；当

时，函数y的值为，观察图像可知：，所以（4）a+b+c<0错误。故选A。

15．（1）直线MN的解析式为；

（2）①若∠NMP1=90°，则△MOP1∽△FOM，P10）；

若∠NMP2=90°，过N作NH⊥x轴于H，则△NHP2∽△FOM，P20）；

若∠MP3N=90°，则△MOP3∽△FOM，P30）；

t

【解析】

试题分析：（1）设点M（x1，y1），N（x2，y2），过点M、N分别作MD⊥BC，NE⊥BC，垂足为D、E，根据已知条件可求出m的值，进而得到直线解析式；

（2）①由（1）知M（0，1），N（5，），设直线MN的解析式

与x轴的交点为F，因

为直角三角形的斜边不确定，所以要分三种情况分别讨论，求出符合题意的t值，即可求出P的坐标；②由①可知当若∠MPN=90°，P的坐标，进而可求出∠MPN＞90°，则t的取值范围．

试题解析：（1）设点M（x1，y1），N（x2，y2），

x2﹣5x+2﹣2m=0，

则x1+x2=5①，x1?x2=2﹣2m②．

过点M、N分别作MD⊥BC，NE⊥BC，垂足为D、E．

∵S△MBC

△NBC，

∴

，即2﹣x1

x2﹣2），

∴x1=

2

③，

③代入①，得x2=5，x1=0，代入②，得m=1，

∴直线MN的解析式为

；

（2）①由（1）知M（0，1），N（5，），设直线MN的解析式

与x轴的交点为F（﹣

2，0）．

若∠NMP1=90°，则△MOP1∽△FOM，

∴

∴P1

0）；

若∠NMP2=90°，过N作NH⊥x轴于H，则△NHP2∽△FOM，

∴

∴P2

0）；

若∠MP3N=90°，则△MOP3∽△FOM，

∴2t2﹣10t+7=0，

解得：

∴P3

0）；

②由①可知P3

0），

∵∠MPN＞90°，

t

．考点：二次函数综合题．

16．(1) C（4，

，D（1，

；（2

（3）

x

2

【解析】

试题分析：（1）根据题意可得点C的纵坐标为3，代入直线解析式可得出点C的横坐标，继

而也可得出点D的坐标；

（2）由题意可得点C和点D关于抛物线的对称轴对称，从而得出抛物线的对称轴为

再由抛物线的顶点在直线?，设出顶点式，代入点C的坐标即可得出答案．

试题解析：（1）C（4，，D（1，

（2

令

，

D（1

（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（

当GE=EF时，，则F（0，

2

解得m=0（舍去），

此时所求的解析式为：x2

考点：二次函数综合题．

17．B．

【解析】

试题分析：①把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2﹣3得，3=a（1+2）2﹣3，解得

故本选项正确；

②由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2﹣3

解析式为y ）2

﹣3，

当x=0时，）2﹣3=y 20﹣3）2

故y 2﹣y 1=

③当m=3时，平行于x 轴的直线)53(<<-=m m y 与两条抛物线有三个交点，故本选项错误；

④∵物线y 1=a （x+2）2

﹣3与y 2x ﹣3）2

+1交于点A （1，3）， ∴y 1的对称轴为x=﹣2，y 2的对称轴为x=3， ∴B （﹣5，3），C （5，3） ∴AB=6，AC=4，

∴2AB=3AC ，故本选项题正确． 错误结论的个数是2个． 故选B ．

考点：二次函数综合题． 18．见解析

【解析】设抛物线Y= X 2+BX+C=（X-H ）2

+N 所以点P 的坐标为（H,N ） 设AD=M 又AB=2AD 所以AB=2M

又 抛物线是轴对称图形 所以PD=M

点A 的坐标为（H-M,N+M ）

N+M=(H-M-H)2

+N M=M 2 又M ≠0 所以M=1

矩形ABCD 的面积为1*2=2

19．－3，0) B(5，4) C(0，4)，y 2＋4 【解析】

解：(1)抛物线的对称轴为x (2)在抛物线y ＝ax 2

－5ax ＋4中，

令x ＝0，则y ＝4，∴C 点坐标为(0，4)．

又∵抛物线的对称轴为x B 、C 两点对称， ∴B 点坐标为(5，4)． ∵BC ＝AC ，∴AC ＝BC ＝5，

∴OA 3，

∴A点坐标为(－3，0)．

将A点坐标代入y＝ax2－5ax＋4，

解得a y2＋4.

20．(1)A(1，－4) (2)△ABD是直角三角形【解析】

解：(1)∵顶点 A的横坐标为x1，

且顶点A在y＝x－5上，

∴当x＝1时，y＝1－5＝－4，∴A(1，－4)．(2)△ABD是直角三角形．

将A(1，－4)代入y＝x2－2x＋c，

可得1－2＋c＝－4，

∴c＝－3，∴y＝x2－2x－3，∴B(0，－3)．

当y＝0时，x2－2x－3＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴C(－1，0)，D(3，0)．

∵BD2＝OB2＋OD2＝18，

AB2＝(4－3)2＋12＝2，AD2＝(3－1)2＋42＝20，∴BD2＋AB2＝AD2，∴∠ABD＝90°，

即△ABD是直角三角形．

二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)

二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x

7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0N ，0>P C. 0>M ，0P D. 0N ，0

x 时，求使y ≥2的x 的取值围.

(完整版)二次函数复习课教学设计

二次函数复习课教学设计 和平中学任广香 一、教材分析 1．地位和作用： （1）二次函数是初中数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初中数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一，二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一,更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。在历届中考试题中，二次函数都是不可缺少的内容。 （2）二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。 （3）二次函数与一元二次方程知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会贯通。 2．课标要求： ①通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。 ②会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。 ③会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，平移，并能解决简单的实际问题。 ④会利用二次函数的图象求与x、y轴的交点坐标。 3．学情分析 （1）九年级学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识。 （2）学生的分析、理解能力、学习新课时有明显提高。 （3）学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力。 （4）学生能力差异较大，两极分化明显。 4．教学目标 认知目标： (1)掌握二次函数y=ax2+bx+c图像与系数符号之间的关系。 (2)通过复习,掌握各类形式的二次函数解析式求解方法和思路,能够一题多解,发散提高学生的创造思维能力. 能力目标：提高学生对知识的整体合作能力和分析能力。 情感目标：制作动画增加直观效果,激发学生兴趣,感受数学之美.在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。 5．教学重点与难点： 重点：(!)掌握二次函数y=ax2+bx+c图像与系数符号之间的关系。 (2) 各类形式的二次函数解析式的求解方法和思路. 难点：(1)已知二次函数的解析式说出函数性质 (2)运用数形结合思想,选用恰当的数学关系式解决问题. 二、教学方法： 1.师生互动探究式教学，以课标为依据，渗透新的教育理念，遵循教师为

二次函数经典例题及答案

二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点

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《二次函数复习》教学案 班级：初三 18 班年级：九设计者：李玲时间： 2015 年 10 月 16 日课题二次函数课型复习课 知识技能掌握二次函数的图象及其性质，能灵活运用数形结合知识解一些实际问题． 数学思考通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力． 教学目标 解决问题学生亲自经历巩固二次函数相关知识点的过程，体会利用数形结合线索解决问题策略的多样性． 经历探索二次函数相关题目的过程，体会数形结合思想、化归思想 情感态度在数学中的广泛应用，同时感受数学知识来源于实际生活，反之，又服务于实际生活． 教学重点教学难点二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题． 课前准备 （教具、活制作课件 动准备等） 教学过程 教学步骤师生活动设计意图 如图是抛物线y ax2bx c a 0 的图像，通过一个具体二次函数， 请尽可能多的说出一些结论。请学生说出尽可能多的结论，主要让学生回忆二次函数有 基础知识之 关基础知识．同学们之间可以自我构建 相互补充，体现团结协作精 神．同时发展了学生的探究意 识，培养了学生思维的广阔 性． 二次函数是生活中最常 见的一类函数，它有着自己固 有的性质，反映的是轴对称性 和增减性； 我们要突出反映二次函数的 轴对称性、顶点坐标，我们就基础知识之可以把一般式改写成顶点式；基础演练如果想知道抛物线与 x 轴两 个交点的情况，我们可以把一 般式写出交点式； 刚刚我们回顾了二次函数的 性质，我们发现二次函数的图 像能够直观地反映函数的特 性，而数又能细致刻画函数图

二次函数的最值问题(典型例题)

二次函数的最值问题 【例题精讲】 题面：当1≤x ≤2时,函数y =2x 24ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值. 【拓展练习】 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c = ++的图象与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C . (1)求此二次函数解析式； (2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333 y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK AD l K ：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.

练习一 【例题精讲】 若函数y=4x24ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值． 【拓展练习】 题面：已知：y关于x的函数y=(k1)x22kx+k+2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围； (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值． 练习二 金题精讲 题面：已知函数y=x2+2ax+a21在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值． 【拓展练习】 题面：当k分别取1，1，2时，函数y=(k1)x2 4x+5k都有最大值吗请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．

高中数学二次函数分类讨论经典例题

例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。

解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(?吗？），即.4 21-++++≥+????? ?????≥+-+<+-<≥≥m m m m m m m m m m f f （3）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，原命题等价于 ???<<0)3(0)1(f f 即? ??<++++<++++0142)3(690142)3(21m m m m 得.421-0)4(0g m 或,0 )4(0???>)(恒成立，求实数a 的取 值范围。 解：（1）0)()(恒成立?.)]([min a x f >又当]1,1[-∈x 时， 5)1()]([min -=-=f x f ，所以).5,(--∞∈a 【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：（1）a x f >)(恒成立?a x f >min )]([；（2）a x f <)(恒成立?a x f )(有解?a x f >max )]([；（4）a x f <)(有解?.)]([min a x f < 分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，首先应搞清二次项系数a 是否为零，如果)(,0x f a ≠的最大值与二次函数系数a 的正负有关，也与对称轴

二次函数典型例题解析

二次函数典型例题解析 关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。 例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。 关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示， 则a 、b 、c ，?，c b a ++，c b a +-的符号 为 ， 例4 （镇江2001中考题）老师给出一个函数y=f （x ）,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。 例5 （荆州2001）已知二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是 （只要写出一个可能的解析式） 例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） （A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限 例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的大致图 象是（ ） 例8 在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式 例9 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（（A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y

二次函数经典例题与解答

、中考导航图 顶点 对称轴 1. 二次函数的意义 ; 2. 二次函数的图象 ; 3. 二次函数的性质 开口方向 增减性 顶点式： y=a(x-h) 2+k(a ≠ 0) 4. 二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式： y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 两根式： y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) 5. 二次函数与一元二次方程的关系。 6. 抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象与 a 、 b 、 c 之间的关系。 三、中考知识梳理 1. 二次函数的图象 在 画二 次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 的图象 时通常 先通 过配 方配成 y=a(x+ b ) 2+ 2a 公式来求得顶点坐标 . 2. 理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由 a 的符号来确定 , 当 a>0 时, 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小 b 4ac-b 2 反之当 a0时,抛物线开口向上 ; 当 a<0时,?抛物线开口向 下 ;c 的符号由抛物线与 y 轴交点的纵坐标决定 . 当 c>0 时, 抛物线交 y 轴于正半轴 ; 当 c<0 时,抛物线交 y 轴于负半轴 ;b 的符号由对称轴来决定 .当对称轴在 y?轴左侧时 ,b 的符号与 a 二次函数 4ac-b 的形式 , 先确定顶点 4a (- 2b a 4ac-b 2 ), 然后对称找点列表并画图 ,或直接代用顶点 4a 在对称轴的右侧 ,y 随 x 的增大而增大 简记左减右增 , 这时当 x=- b 时 ,y 2a 最小值= 4ac-b 2 4a

二次函数对称轴经典问题

高中数学二次函数对称轴典型问题练习题 二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，此类问题与区间和对称轴有关，一般分为三类： ①定区间，定轴； ②定区间，动轴， ③动区间，动轴．要认真分析对称轴与区间的关系，合理地进行分类讨论，特别要注意二次项系数是否为0. 第一类问题 二次函数中的动轴定区间 例一已知函数2 142+-+-=a ax x y 在区间[0，1]上的最大值是2，求实数a 的值。 〖解答〗.3 106,310,2)1(,]1,0[,2,12/;,20,32,2)2 (,20,120;6,2)0(,]1,0[,0,02 ,2,42)2(max max max 22或综上上单调递增函数在即时当故舍去矛盾与或得有即时当得有上单调递减函数在即时当对称轴为-==∴==∴>>≤≤-===≤≤≤≤-===<<=+-+--=a a f y a a a a a f y a a a f y a a a x a a a x y 第二类问题 二次函数中的定轴动区间 例二 函数f (x )＝142-+-x x 在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值记为g (t )． (1)求g (t )的解析式；(2)求g (t )的最大值 (1)对区间[t ，t ＋1](t ∈R)与对称轴x ＝2的位置关系进行讨论： ①当t ＋1<2，即t <1时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上递增，

此时g (t )＝f (t ＋1)＝－t 2＋2t ＋2； ②当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上先增后减， 此时g (t )＝f (2)＝3； 例三 已知f (x )＝)(2)34(2R a a x x a ∈+--a ∈R)，求f (x )在[0,1]上的最大 值 ()()()()()()2222[1]4122(1)3(12)241(2) 3. t f x t t g t f t t t t t t g t t t t t g t >?-++? ③当时，函数在区间，＋上递减，此时＝＝－＋－，综上，＝利用图象解得的最大值是()()()[]()()()()[]()()max max 4430342.30,140.34430341()43003430,10.12a a f x x f x f x f a a a a x a f x f x f a ????≠≠ <><-????若－＝，则＝，所以＝－＋由于在上是减函数，所以＝＝若－，即，分两种情况讨论：ⅰ若－，即，因为对称轴＝，所以在上是减函数，所以＝【】＝解析()()()()()[]max max 41()4300343112043231221124<<<0.243330,12a a x a a a f x f a a f x f a a f x ><>-<≤≤-????????-?ⅱ若－，即，因为对称轴＝ ，故又分两种情况讨论： ①当，即时，＝＝－；②当，即时，＝＝综上所述，在上的最大值是关

二次函数经典测试题及答案解析

二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函

数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．

二次函数最值知识点总结典型例题及习题

必修一二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若-

二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)

二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意ａ不为零，那么ｙ叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 ２、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法－－-----－五点作图法： （１)先根据函数解析式，求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点Ｍ，并用虚线画出对称轴 （２）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点Ａ,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点Ｄ。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点Ｄ。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-２x-3， （１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图； （２）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: （3)根据第(１)题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=０；② y ＜0；③ ｙ>0

知识点二：二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： (1）一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2） 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果 没有交点,则不能这样表示。 （3)顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。 【例１】 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1,０),Ｂ（3,0）两点，且过（-1，16)，求抛物线的解析式。 【例2】 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2，０)和(-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部)的一个动点,则： (１）abc 0 (>或<或＝） （2)a 的取值范围是 ? 【例３】 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点（0，1)的是 ( ) A.ｙ = (ｘ ? 2)2 + 1 B ．y = (ｘ + ２）2 + 1 C ．y = (x ? 2)２ ? 3 D.ｙ = (x + 2）２ – 3

二次函数典型例题——最大值问题

二次函数典型例题——最大面积 1、如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OBC 的两条直角边分别落在x 轴、y 轴上，且 OB=1,OC=3,将△OBC 绕原点O 顺时针旋转90°得到△OAE ，将△OBC 沿y 轴翻折得到△ODC ，AE 与CD 交于点 F. （1）若抛物线过点 A 、B、C, 求此抛物线的解析式; （2）求△OAE 与△ODC 重叠的部分四边形ODFE 的面积; （3）点M 是第三象限内抛物线上的一动点，点M 在何处时△AMC 的面积最大？最大面积 是多少？求出此时点M 的坐标. 解：(1)∵OB=1 ，OC=3 ∴C（0，-3），B（1，0） ∵△OBC 绕原点顺时针旋转90°得到△ OAE ∴A（-3,0） 所以抛物线过点A（-3 ，0），C（0，-3），B（1，0） 设抛物线的解析式 为 y 2 ax bx c(a 0) ，可得 a+b+c 0a1 c -3解得b2 9a-3b c 0c-3 ∴过点A,B,C 的抛物线的解析式为y x2 2x-3 （2）∵△OBC 绕原点顺时针旋转90°得到△ OAE ，△OBC 沿y 轴翻折得到△COD ∴ E（0，-1），D（-1,0） 1 可求出直线AE 的解析式为y 1x 1 3直线DC 的解析式为y 3x 3 ∵点F为AE、DC 交点 ∴F（-3，-3） 44

3 S 四边形 ODFE =S △AOE -S △ADF = 4 3）连接 OM ，设 M 点的坐标为 （m ，n ） 2 2、在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y mx 2 （m 2）x 2 过点 （2, 4） ，且与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C.点 D 的坐标为 （2,0） ，连接 CA ，CB ，CD. （1）求证： ACO BCD ； （2） P 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接 DP 交 BC 于点 E. ①当 △BDE 是等腰三角形时，直接写出点 E 的坐标； ②连接 CP ，当△ CDP 的面积最大时，求点 E 的坐标. ∵点 M 在抛物线上，∴ n 2 m 2m ∴ S AMC S AMO S OMC S AOC = 12OA m = 32(m 2 11 OC n OA OC 2 2 3m) 3(m 因为 0 m 3 ，所以当 m 所以当点 M 3 的坐标为 （ ， 2 3 9 3 (m n) (m n 3) 2 2 2 3 2 27 2) 8 3 时， 2 15 - ) 时， 4 n 15 ，△AMA ' 的面积有最大值 4 △ AMA '的面积有最大值

二次函数典型例题——旋转

二次函数典型例题——找规律 1、如图，一段抛物线：y ＝－x(x －3)（0≤x≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1； 将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3； …… 如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ）在第13段抛物线C 13上，则m =_________． 2、二次函数223 y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点1232015,,,,A A A A ???在y 轴的正半轴上，点1232015,,,,B B B B ???在二次函数223 y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1C 1，△A 1B 2C 2，△A 2B 3C 3，…△A 2014B 2015C 2015都为正三角形，则△011A B A 的边长= , △201420152015A B A 的边长= . 1,2015

3、如图，点A 1、A 2、A 3、……、A n 在抛物线2y x =图象上，点B 1、B 2、B 3、……、B n 在y 轴上，若△A 1B 0B 1、△A 2B 1B 2、……、△A n B n －1B n 都为等腰直角三角形（点B 0是坐 标原点），则△A 2014B 2013B 2014的腰长= ． （石景山区）已知关于x 的方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根，且m 为非负 整数. （1）求m 的值； （2）将抛物线1C ：1)1(22-+-+=m x m mx y 向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位得到抛物线2C ，若抛物线2C 过点），（b A 2和点），（12 4+b B ，求抛物线2C 的 表达式； （3）将抛物线2C 绕点(n n ,1+)旋转?180得到抛物线3C ，若抛物线3C 与直线 12 1+=x y 有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n 的取值范围． （石景山区）解：（1）∵方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根， ∴0≠m 且0≥?， ……………………1分 则有0)1(4-)1(42≥--m m m 且0≠m ∴1≤m 且0≠m 又∵m 为非负整数， ∴1=m . ………………………………2分 （2）抛物线1C ：2x y =平移后，得到抛物线2C ：b a x y +-=2 )(，……3分 ∵抛物线2C 过),2(b A 点，b a b +-=2)2(，可得2=a ， 同理：b a b +-=+2)4(12，可得3=b ， …………………………4分 ∴2C ：()322+-=x y ）（或742+-=x x y . …………5分 （3）将抛物线2C ：3)2(2+-=x y 绕点(n n ,1+)旋转180°后得到的抛物线3C 顶 点为（322-n n ，）， ………………6分 当n x 2=时，1122 1+=+?= n n y ， 由题意，132+>-n n ，

二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习(超全)

二次函数 专题一：二次函数的图象与性质 考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a ，244ac b a -）. 例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5 y x =与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． （1）求m 、c 的值； （2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系 抛物线y=ax 2 +bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2b a 的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小. 例2 已知2 y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限 考点3.二次函数的平移 当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2 -2 图1

专题练习一 1.对于抛物线y=13-x 2+ 103x 163 -，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0） 3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________. 4.小明从图2所示的二次函数2 y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号） 专题复习二：二次函数表达式的确定 考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式 例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙 的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2 ）与x （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）． 考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式 1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）； 2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）； 3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式. 图2 A B C D 图1 菜园 墙

实际问题与二次函数典型l例题

1. 某商品的售价为每件60 元，进价为每件40元，每星期可卖出300件，该商场一星期卖这种商品的利润为元。 2、我班某同学的父母开了一个小服装店,出售一种进价为40元的服装,现每件60元,每星期可卖出300件. 该同学对父母的服装店很感兴趣,因此,他对市场作了如下的调查: 如调整价格,每降价1元,每星期可多卖出20件. 请问同学们,该如何定价,才能使一星期获得的利润最大? 3、某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售(按部门规定，单价不超过每件70元)，可以卖出(100- x)件，应如何定价才能使利润最大？ 4、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。 (1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润ω(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 5、某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销量将减少10千克 （1）该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？ 6、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）. （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时Array间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

初三数学二次函数所有经典题型

初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数21(1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线223y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62-+=x y 可由抛物线262-=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线()4222-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．21xy x += B ． 220x y +-= C ． 22y ax -=- D ．2210x y -+= 12．在同一坐标系中，作22y x =、22y x =-、212 y x =的图象，它们共同特点是 ( ) 22 3x y -=

二次函数典型例题50题

选择 1.二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=1 2 2. 抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有 （ ） A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.二次函数y= a (x+m)2-m (a ≠0) 无论m 为什么实数，图象的顶点必在 ( ) A.直线y=-x 上 B. 直线y=x 上 C.y 轴上 D.x 轴上 4. 如图2，抛物线 ，OA=OC ，下列关系中正确的是 ( ) A ．ac+1=b B ．ab+1=c C ．bc+1=a D ．b a +1=c 5.如图6，是二次函数的图象在x 轴上方的一部分，若这段图象与x 轴所围成的阴影部分面积为S ，则S 取值最接近（ ）． A.4 B.16 3 C.2π D.8 6．如图7，记抛物线 2 1y x =-+的图象与x 正半轴的交点为A ，将线段OA 分成n 等份，设分点分别为1P ，2P ，…1n P -，过每个分点作x 轴的垂线，分别与抛物线交于点 2 y ax bx c =+ +21 2 2y x =- +

1Q ，2Q ，…1n Q -，再记直角三角形11OPQ ，122PP Q 的面积分别为1S ，2S ，这样就有 21312n S n -=，22342n S n -= ，…；记121 n W S S S -=+++… ，当n 越来越大时，你猜想W 最 接近的常数是（ ） A. 23 B. 12 C. 1 3 D.14 7.定义[]为函数 的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(，)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于； ③ 当m < 0时，函数在x >时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 8. （2010宿迁改编）如图11，在矩形ABCD 中， AB=4，BC=6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边线段 MP=A ， 设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP=x ，CQ=y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（ ） ,,a b c 2 y ax bx c =++3138 23 41 C B A D